Pojistná matematika Brutto pojistné a rezervy v neživotním pojištění Silvie Kafková 2015 Silvie Kafková Pojistná matematika Q Brutto pojistné O Pojistné rezervy Q Stupňová metoda Q Separačm metoda Silvie Kafková Pojistná matematika Q Brutto pojistné O Pojistné rezervy Q Stupňová metoda Q Separačm metoda Silvie Kafková Pojistná matematika Brutto pojistné •ooooooooo Pojistné rezervy oooo Brutto pojistné Stupňová metoda ooooooo Separační metoda ooooooooo ■ Konstruuje se z príslušného netto pojistného podobným způsobem jako v životním pojištění: brutto pojistné = netto pojistné + bezpečnostní přirážka + správní náklady + kalkulovaný zisk. ■ Po přidání bezpečnostní přirážky často mluvíme o rizikovém pojistném. Silvie Kafková Pojistná matematika Brutto pojistné o»oooooooo Pojistné rezervy oooo Stupňová metoda ooooooo Separační metoda ooooooooo Bezpečnostní přirážka (výkyvová přirážka) ■ Měla by krýt výkyvy škodního průběhu, které jsou z hlediska pojistitele nepříznivé. ■ Tyto škody jsou způsobeny především ■ aplikací pravděpodobnostního počtu a expertních odhadů na reálná data; ■ ekonomickými a jinými změnami relevantními pro daný pojistný produkt. ■ Bývá jedním ze zdrojů při vytváření rezervy na vyrovnávání mimořádných rizik. Silvie Kafková Pojistná matematika Brutto pojistné oo«ooooooo Pojistné rezervy oooo Stupňová metoda ooooooo Separační metoda ooooooooo Bezpečnostní přirážka statistické povahy ■ Nejčastější konstrukce rizikového pojistného RP (tj. netto pojistné P s bezpečnostní prirážkou) je PP=(1 +A0- P + X2-s + X3-s2, kde ■ s (resp. s2) je odhadnutá směrodatná odchylka (resp. odhadnutý rozptyl) související se statistickým odhadem netto pojistného P; ■ A, jsou nezáporné koeficienty. ■ Problém rizikového pojistného se pak redukuje na výpočet odhadu s (resp. s2) a na numerické nastavení hodnot A,. Silvie Kafková Pojistná matematika ■ Nejčastější v praxi bývá princip směrodatné odchylky: RP = P + X . s. ■ Uvažujme případ, kdy máme údaje za jeden rok pro tarifní skupinu s N pojistkami, pojistnoju částkou Sas ročním netto pojistným p kalkulovaným na jednotkovou pojistnou částku. ■ Pro každou pojistku máme údaje o výši škody v daném roce vyjádřené jako z, • S, kde z, má význam škodního stupně Mé pojistky. Silvie Kafková Pojistná matematika Platí N ;=1 kde ■ na levé straně je celkové netto pojistné v dané tarifní skupině za daný rok ■ na pravé stane je celková škoda. Odtud 1 N /=1 Silvie Kafková Pojistná matematika Odhadnutá směrodatná odchylka výše škody na jednu pojistku je s = i N -.J2(zi-s-p-sr, /=1 kde při větších hodnotách N nevadí, že ve jmenovateli není N- 1. Využijeme vzorec pro p a aproximaci p2 « 0, která je přípustná vzhledem k malým hodnotám pojistné sazby p. Silvie Kafková Pojistná matematika Pak dostaneme s = S- = S- N 2-p-^Zj + N-p /=1 i i w /=1 Odhadnutá směrodatná odchylka celkové škody pro všechny pojistky v uvažované tarifní skupině je proto R = VAŽ- S- i N /=1 Silvie Kafková Pojistná matematika Za předpokladu normálního rozdělení celkové škody a s využitím distribuční funkce rozdělení A/(0,1) pak platí „ /celková škoda - celkové netto pojistné , \ p (-^-—-< k j ~ Hk) Snažíme se určit bezpečnostní přirážku tak, aby byla téměř stoprocentně bezpečná. Platí (4) = 0,9997 a odtud podle předchozího vzorce dostáváme 0(4) « P(celkové netto pojistné + 4R > celková škoda). Silvie Kafková Pojistná matematika Tedy volíme-li bezpečnostní přirážku ve výši čtyřnásobku R, pak po rozpočtení na jednotlivé pojistky z uvažované tarifní skupiny dostáváme rizikové pojistné ve tvaru „ AR „ 4 ^ RP = P+ P+ s. N ;'=1 A/ Silvie Kafková Pojistná matematika Příklad Stanovte roční rizikové pojistné v tarifní skupině kde máme uzavřených 44 500 pojistek, pojistná hodnota je 300 000 Kč, součet čtverců šodních stupňů z, je 179,64, škodní frekvence je 2%, škodní stupeň je 0,3082 a pojistně technická úroková míra činí 4%, víte-li, že se jedná o ryzí zájmové pojištění. Silvie Kafková Pojistná matematika Q Brutto pojistné O Pojistné rezervy Q Stupňová metoda Q Separační metoda Silvie Kafková Pojistná matematika Brutto pojistné oooooooooo Pojistné rezervy •ooo Stupňová metoda ooooooo Separační metoda ooooooooo Pojistné rezervy I Hrají významnou roli v pojištění. V ČR vymezujeme pro oblast neživotního pojištění tvorbu následujících rezerv: Rezerva na nezasloužené pojistné: ■ Tvoří se z části pojistného, které se vztahuje k budoucímu účetnímu období. ■ Přijaté pojistné je nutno rozdělit na pojistné odpovídající sledovanému období a na pojistné, které patří do následujícího období. ■ Výše je zcela jednoznačně dána výší předepsaného pojistného a obdobím, na které je toto pojistné určeno délka období po 31.12. vyse rezervy = —-„ — , • pojistné délka pojistného období Silvie Kafková Pojistná matematika Rezerva na pojistná plnění ■ Je určena na pojistná plnění z pojistných událostí: ■ hlášených do konce běžného účetního období, ale v běžném účetním období dosud nezlikvidovaných. Značíme RBSN rezerva (Reported But Not Settled). Mluvíme o otevřených pojistných nárocích. ■ vzniklých do konce běžného účetního období, ale v běžném účetním období dosud nehlásených. Značíme IBNR rezerva (Incurred But Not Reported). ■ Pro odhad výše této rezervy se využívají matematicko-statistické metody. ■ Zahrnuje také předpokládané výdaje spojené s likvidací pojistných událostí a snižuje se o předpokládanou výši vymahatelných pohledávek za pojistné plnění. Silvie Kafková Pojistná matematika Brutto pojistné Pojistné rezervy Stupňová metoda Separační metoda Rezerva na prémie a slevy ■ Je určena na poskytování prémií a slev na pojistném v souladu se všeobecnými pojistnými podmínkami dané pojišťovny. ■ Při tvorbě se vychází z principu, že prémie a slevy představují určitý druh pojistného plnění. Rezerva na vyrovnávání mimořádných rizik (výkyvová rezerva): ■ Je určena na vyrovnání meziročních výkyvů ve výplatách pojistných plnění. ■ Stanovuje se metodou kvalifikovaného odhadu podle objemu a rizikovosti provozovaných pojištění a způsobu jejich zajištění. Silvie Kafková Pojistná matematika Brutto pojistné Pojistné rezervy Stupňová metoda Separační metoda ■ Využívají se pro výpočet rezerv typu RBNS a IBNR. ■ Vycházejí z uspořádání podkladových údajů za minulé roky podle roku vzniku pojistné události do trojúhelníkových schémat. ■ V trojúhelníkovém schématu jsou celková dosud vyplacená pojistná plnění uspořádaná v řádcích podle roku vzniku pojistné události a ve sloupcích podle počtu let, které od vzniku pojistné události uplynuly. ■ Obvykle se zde zohledňuje inflace. Silvie Kafková Pojistná matematika Q Brutto pojistné O Pojistné rezervy Q Stupňová metoda Q Separační metoda Silvie Kafková Pojistná matematika Brutto pojistné oooooooooo Pojistné rezervy oooo Stupňová metoda •oooooo Separační metoda ooooooooo Metoda Chain Ladder (Stupňová metoda) ■ Trojúhelníkové schéma se doplňuje na obdélík následujícím způsobem: 1) K dispozici máme údaje o inflaci v jednotlivých letech a údaje o pojistných plněních P/j3 které byly vyplaceny v jednotlivých letech j = 0,1,n uplynulých od roku vzniku / = 1,2,n pojistné události. 2) Vyplacené pojistné plnění Pjj přepočítáme podle měr inflace za jednotlivé roky na úroveň cen ke konci vývojového roku n. 3) Takto upravené trojúhelníkové schéma přepočítáme na kumulativní trojúhelnkové schéma podle vztahů Brutto pojistné Pojistné rezervy Stupňová metoda Separační metoda oooooooooo oooo o»ooooo Metoda Chain Ladder (Stupňová metoda) 4) Určíme koeficienty vývoje pojistného plnění Ay podle vztahů + + ••• + 1,1 Ai = A2 = Q),0 + ^1,0 + ••• + ^77-1,0 ' Q),2 + fi,2 + ••• + Cn-2,2. Q),1 + £|,1 + ... + Cn_2,1 ' An — Silvie Kafková Pojistná matematika Brutto pojistné oooooooooo Pojistné rezervy oooo Stupňová metoda oo«oooo Separační metoda ooooooooo Metoda Chain Ladder (Stupňová metoda) 5) Doplníme trojúhelník odhady plnění Qj podle vztahů Cn,l = A-| • Cn$\ Cn-1,2 = ^2 ' ; — An • A/7_i.....A-| Cn?o- Silvie Kafková Pojistná matematika Brutto pojistné oooooooooo Pojistné rezervy oooo Stupňová metoda ooo«ooo Separační metoda ooooooooo 6) a Chain Ladder (Stupňová metoda) Odhadneme celkové rezervy na pojistné plnění na konci n-tého roku. V posledním sloupci tabulky totiž dostaneme odhadnuté kumulativní rezervy v posledním vývojovém roce C/>n. Odhad celkovývh rezerv na konci n-tého roku na pojistné události vzniklé ve sledovaných letech dostaneme, když od hodnot v posledním sloupci tabulky odečteme hodnoty, které jsou na diagonále a tyto výsledky sečteme. Tedy platí n /=1 Brutto pojistné oooooooooo Pojistné rezervy oooo Stupňová metoda oooo»oo Separační metoda ooooooooo Doplněný kumulativní vývojový trojúhelník Rok vzniku / Vývojový rok 0 1 2 • • • n-1 n 0 Q),o Q),2 • • • 1 C-|,o ^1,2 • • • A. 2 ^2,0 <^2,1 <^2,2 • • • C2,n-1 /\ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ m m m n-1 Cn-1,0 Cn-1,2 • • • C n-],n n A. A. Cn,2 • • • A. A. C n, n I Silvie Kafková Pojistná matematika Rok vzniku Vývojový rok 0 1 2 3 a více 2011 5802220 4996790 2400010 3336010 2012 4945340 4992930 2922270 2013 5511360 6090750 2014 7460030 Období 2011 2012 2013 2014 Inflace 3% 4% 2% 2% Silvie Kafková Pojistná matematika Brutto pojistné oooooooooo Pojistné rezervy oooo Stupňová metoda oooooo* Separační metoda ooooooooo Chyba odhadu I To do jaké míry odpovídají naše odhady skutečnosti si můžeme zpětně ověřit výpočtem relativní chyby odhadu, Tabulky s údaji o vývoji nekumulativních a kumulativních pojistných plnění doplníme zpětně o jejich odhady podle vztahu Cíj = Ay • C/J_1 pro / = 0,j= 1,2, Potom platí S-0 relativní chyba odhadu = • 100°/ kde S je skutečná výška kumulativního nebo nekumulativního vyplaceného pojistného, Oje odhad pojistného. Silvie Kafková Pojistná matematika D Brutto pojistné O Pojistné rezervy Q Stupňová metoda Q Separační metoda Silvie Kafková Pojistná matematika Brutto pojistné oooooooooo Pojistné rezervy oooo Separační metoda Stupňová metoda ooooooo Separační metoda •oooooooo ■ Tuto metodu navrhl v roce 1972 Verbeek, který ji aplikoval v zajištění na projekci počtu ohlášených škod. ■ Výhodou je, že součástí této metody je odhad míry inflace. ■ Existuje několik postupů této metody. ■ Východiskem je vývojový trojúhelník s nekumulativním pojistným plněním Pjj, které je rozdělené podle roku vzniku pojistné události / a podle vývojového roku j. ■ Známe také počet škod nh které byly zaznamenány v roce vzniku /. Silvie Kafková Pojistná matematika Separační metoda ■ Předpokládá se, že kdyby neexisstovala inflace, pak v každém vývojovém roce j by byl z celkové škody, bez ohledu na rok vzniku plnění /, vyplacen konstantní podíl ry-a v celém sledovaném období by se neměnila průměrná výška individuální škody c. ■ Symbolem A/+y označíme výšku skutečné průměrné individuální škody v roce / + j, kde / je rok vzniku škody a j je vývojový rok pojistných plnění. ■ Hodnoty A/+y jsou konstantní pro všechny kombinace i J pro které je součet / + j konstantní. ■ Za těchto předpokladů platí riJ — r,i ' rj ' Ai+j ■ Rozdíl v A/+y je způsoben změnou míry inflace. Silvie Kafková Pojistná matematika Brutto pojistné oooooooooo Pojistné rezervy oooo Stupňová metoda ooooooo Separační metoda oo»oooooo Doplněný kumulativní vývojový trojúhelník Rok n; Vývojový rok j vzniku / 0 1 • • • n-1 n 0 n0 f?o/bAo ^0^-1 An_i nornXn 1 rh n-i r, A2 n^rn_^Xn ■ ■ ■ m m m ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ m m m m m m n I Silvie Kafková Pojistná matematika Brutto pojistné oooooooooo Pojistné rezervy oooo Separační metoda Stupňová metoda ooooooo Separační metoda ooo»ooooo Z hodnot Pjj budeme odhadovat hodnoty r0, h, />? a pomoci nich hodnoty A0, A1? ...,An. Pomocí těchto hodnot doplníme předchozí tabulku. Zřejmě platí že r0 + /i + ... + rn = 1, kde n je mximální počet let potřebných na zlikvidování škody. Plnění na každé diagonále předcházející tabulky jsou vykonané ve stejném kalendářním roce. Proto z vývoje hodnot A0, A1, Xn můžeme posoudit vývoj míry inflace. i Silvie Kafková Pojistná matematika Separační metoda I Abychom odstranili vliv hodnot n, na výšku plateb, budeme dále analyzovat matici standardních hodnot pro 0 < ij < n. n — rjÁi+j? i Odhad hodnot ry a A/+y pro j = 0,1,n a 0 < / +j < n: ■ Označme ď, vstupy na /-té diagonále tabulky pro / = 1,2, ...,a?. Pak platí dn A tedy platí S/7,0 + S/7-1,1 + ••• + Č>1,/7-1 + So,n /o A/7 + í\ A/7 + ... + rn_i A/7 + rnXn A/7(/o + h + ••• + rn) = A/7. A/7 = dn. Silvie Kafková Pojistná matematika Brutto pojistné oooooooooo Pojistné rezervy oooo Stupňová metoda ooooooo Separační metoda ooooo»ooo Separační metoda I Jediný vstup v trojúhelníku v tabulce, který obsahuje rn je S0n = rnXn, ze kterého dostaneme odhad in — — An Podobné dn-1 = Sn-1,0 + Sn_2,l + ... + Sb,n-1 r0An_i + ri An_i + ... + rn_i An_i An-ito + n +... + rn_1) = -r„) A tedy platí = ďn-1 1^ - r n Silvie Kafková Pojistná matematika Brutto pojistné oooooooooo Pojistné rezervy oooo Separační metoda Stupňová metoda ooooooo Separační metoda oooooo»oo Z údajů ve vývojovém roce (n - 1) dostáváme odhad rn_1 platí So,n-i + S-|>n_i = rn_i (An_i + An) An_-| + Xn Takto pokračujeme, dokud nezískáme všechny odhady. Silvie Kafková Pojistná matematika ■ Pro t > n odhadneme Xt použitím předpokladů o vývoji inflace v dalších letech. ■ Když ve sledovaném období předpokládáme konstantní průměrnou výšku individuální škody ve stabilní měně, pak ^ - 1 vyjadřuje míru inflace plnění v roce t. ■ Odhad rezervy na nevyplacené plnění, které bude vylacené ve vývojovém roce k za škody vzniklé v roce /, kde / = 0,1,n a n < i + k < 2n je daný vztahem Pi,k = nirk^i+k Silvie Kafková Pojistná matematika Příklad Počet Rok Vývojový rok událostí vzniku 0 1 2 3 a více 641 2011 9032 2369 1608 985 560 2012 4120 2856 1438 599 2013 3926 2507 605 2014 7876 Silvie Kafková Pojistná matematika