Pojistná matematika Bonus-malus systém, Markovská analýza Silvie Kafková 2014 Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza Silvie Kafková Pojistná matematika Uvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod •o Obecný bonus-malus systém oooo Markovská analýza oooooooooo Uvod Tento systém se týká hlavně pojištění automobilů. Výška pojistného, které pojišťovna vybírá, z velké části závisí na počtu pojistných nároků v minulosti. Bonus obvykle získávají ti, kdo neuplatnili po nějakou předem vymezenou dobu pojistný nárok a malus ti, kdo uplatnili velké množství pojistných nároků. Bonus slouží jako odměna pro opatrné řidiče. Naopak těm kteří nahlásí dopravní nehodu, je pojistné navýšeno. Systém je nevhodný třeba u zdravotního pojištění. i Silvie Kafková Pojistná matematika ■ U pojištění automobilů obvykle rozlišujeme dva typy pojištění a to povinné ručení neboli pojištění odpovědnosti za škodu způsobenou provozem motorového vozidla a havarijní pojištění. ■ Povinné ručení se týká škod, které jsou způsobeny další osobě. Jedná se o povinně smluvní pojištění vozidel. ■ Havarijní pojištění je nepovinné smluvní pojištění vozidel. Slouží ke krytí škod na vlastním automobilu. Využívá se více u nových automobilů. ■ Typický bonus-malus systém vznikl v Nizozemí. Silvie Kafková Pojistná matematika Uvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod oo Obecný bonus-malus systém •ooo Markovská analýza oooooooooo Obecný bonus-malus systém ■ Každá země má vlastní bonus-malus systém. ■ Systém stanovení pojistného probíhá takto: ■ Základní pojistné je určeno použitím raitingových faktorů jako váha vozu, cena vozu, typ automobilu, způsob použití (soukromé nebo k podnikání) a rozsah pojistky (havarijní, povinné ručení nebo kombinace). Takto stanovené pojistné platí řidiči bez historie. ■ Poté jsou zavedeny bonusy nebo malusy použitím stupnice určující jejich výši. ■ Nový pojištěnec obvykle platí pojistné 100%. A pak podle počtu let bez nehod dostává procentuální slevu podle stupnice. Dojde-li k uplatnění pojistného nároku, na stupnici klesá. i Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod oo Obecný bonus-malus systém 0900 Markovská analýza oooooooooo Obecný bonus-malus systém Ne všechny faktory rizika je možné použít jako ratingové faktory. Např. schopnosti řidiče, rychlost reakcí, agresivita za volantem, počet odřízených kilometrů jsou těžko měřitelné faktory. Pro některé z těchto faktorů je možné najít zástupce, např. počet najetých kilometrů je možné určit podle váhy a stáří auta, podle typu paliva nebo podle způsobu využití automobilu. Např. v Nizozemí mají dieselový motor spíše zkušenější ridici. Rychlost, kterou řidič jezdí je možné odhadnout podle výkonu motoru a váhy automobilu. i Silvie Kafková Pojistná matematika Uvod Obecný bonus-malus systém Markovská analýza Obecný bonus-malus systém ■ Ale použitím pouze těchto faktorů je nemožné určit budoucí vývoj množství pojistných nároků. ■ Proto je potřeba použít historii pojistných nároků jako raitingový faktor. ■ Výzkumem bylo zjištěno, že váha auta je korelovaná s celkovým rozsahem pojistných nároků, který je součinem průměrného počtu pojistných nároků a průměrné velikosti škody. U silnějších automobilů dochází k pojistnému nároku častěji a také u nehod, kde figurují, vzniká větší škoda. Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod oo Obecný bonus-malus systém ooo« Markovská analýza oooooooooo Obecný bonus-malus systém Dalším podobným faktorem, který přímo úměrně souvisí s výší pojistného, je cena automobilu. Další ukazatelem je počet let bez nehody. Riziko řidiče s velkým počtem let bez nehody klesá. V pozdějších letech je pokles pomalejší. Řidiči se "špatnou historiľ'jsou horší než "nováčci". Jejich pojistné je pak vyšší než 100%, uplatňuje se zde malus. i Silvie Kafková Pojistná matematika Uvod oo Obecný bonus-malus systém oooo Markovská analýza oooooooooo Obecný bonus-malus systém Markovská analýza Silvie Kafková Pojistná matematika Uvod oo Obecný bonus-malus systém oooo Markovská analýza •ooooooooo Markovská analýza I Bonus-malus systém je možné považovat za speciální Markovský proces. V takovém procesu dochází k přechodu z jednoho stavu do jiného během času. Markovská vlastnost říká, že se jedná o proces bez paměti, což znamená že pravděpodobnost takového přechodu nezávisí na tom, v jakých stavech se objekt nacházel v minulosti, ale pouze na tom, v jakém stavu je objekt nyní. Použitím této analýzy je možné zjistit, jaký je poměr řidičů v jednotlivých stavech, tedy na jednotlivých stupních bonus-malus stupnice. Silvie Kafková Pojistná matematika Uvod oo Obecný bonus-malus systém oooo Markovská analýza o»oooooooo Markovská analýza I Matice pravděpodobnosti přechodu P: ■ Jedná se o čtvercovou matici prvků p,y, které udávají pravděpodobnost přechodu ze stavu / do stavu j ■ Každý řádek / reprezentuje pravděpodobnost, že ze stavu / v dalším kroku přejdeme do stavu j. ■ Každý prvek je proto nezáporné číslo z intervalu [0,1]. ■ Je to stochastická matice, což znamená, že součet prvků na řádku je vždy roven 1. ■ Platí tedy p W W Silvie Kafková Pojistná matematika Uvod oo Obecný bonus-malus systém oooo Markovská analýza oo»ooooooo Markovská analýza Předpokládejme, že začínáme v čase t = 0. Vektor počátečních pravděpodobností /(O) udává pravděpodobnost toho, že se na počátku nacházíme ve stavu 1 nebo 2 • • • nebo n. Tedy /(0) = (/i,fe,-- - ,/„). Platí lj > 0 a ^ + /2 + • • • + ln = 1 ■ Pravděpodobnost toho, že začínáme ve stavu / a po roce přejdeme do stavu j vypočítáme jako //p,y. i Silvie Kafková Pojistná matematika Uvod oo Obecný bonus-malus systém oooo Markovská analýza ooo»oooooo Markovská analýza I Tedy celková pravděpodobnost toho, že po roce budeme ve stavu y, jestliže uvažujeme vektor počátečních pravděpodobností /(O), je dána vztahem íp 11 /(1) = /(0)P = (/1 1 1 In) n1 Situaci ve druhém roce zjistíme jako 1(2) = /(1)P= /(0)P2. Stejným způsobem se dá pokračovat dále. P^n\ PnnJ Silvie Kafková Pojistná matematika Uvod oo Obecný bonus-malus systém oooo Markovská analýza oooo«ooooo Markovská analýza I Platí lim /(ř + 1) = lim l(t)P. t^OO t^oo Označíme-li /(oo) = a, pak platí a = aP. Vektor a nazýváme stacionární vektor stochastické matice P. Řekneme, že složka ay stacionárního vektoru a vyjadřuje pravděpodobnost toho, že objekt se bude nacházet ve stavu j po uplynutí dostatečně dlouhé doby, kdy už došlo k odeznění vlivu počáteční podmínky. Vektor a je stochastický vektor a proto platí č*i + č*2 + • • • + an = 1 Silvie Kafková Pojistná matematika Řidiči platí pojistné c, jestliže v předchozích dvou letech uplatnili 1 nebo více pojistných nároků. Ostatní řidiči platí pojistné a, kde a < c. Tedy rozlišujeme 3 skupiny řidičů: □ Uplatnili v současném roce pojistný nárok a bude platit pojistné c. B Neuplatnili pojistný nárok v současném roce, ale v minulém roce ano, a proto platí pojistné c. B Neuplatnili pojistný nárok v soušasném ani v předchozím roce a platí pojistné a. Pravděpodobnost toho, že řidič uplatní jeden nebo více nároků je q. Pak přejde do skupiny 1. Pravděpodobnost toho, že neuplatní v daném roce pojistný nárok a postoupí o skupinu výš, je-li to možné, je s. Určete stacionární vektor. Silvie Kafková Pojistná matematika Uvod oo Obecný bonus-malus systém oooo Markovská analýza oooooo»ooo ff HlacTpo bonusu Uvažujme řidiče s pravděpodobností pojistného nároku q z předchozího příkladu (3 stavy), který způsobil škodu o rozsahu t. Jesliže není povinen hlásit tento nárok své pojišťovně, pro jaké t se mu vyplatí nárok uplatnit? Některé pojistky umožňují rozhodnout se do 31.12., zda uplatnit tento nárok, tedy až když je jisté, že v daném roce nebude uplatněn žádný další nárok. Po dvou letetech "zmizPVliv uplatnění nároku. Při rozhodování tedy uvažujeme 2 letý horizont. i Silvie Kafková Pojistná matematika Uvod oo Obecný bonus-malus systém oooo Markovská analýza ooooooo»oo ff HlacTpo bonusu Řidič pak ve dvou po sobě jdoucích letech bude platit pojistné a případně škodu t v závislosti na tom, zda pojistný nárok uplatní nebo ne a na tom, zda dojde k uplatnění nároku v příštím roce. Situace bude následující: Neuplatní nárok v příštím roce Uplatní nárok v příštím roce Neuplatnil nárok Uplatnil nárok a + a+t c + c a+c+t c + c I Silvie Kafková Pojistná matematika Uvod oo Obecný bonus-malus systém oooo Markovská analýza oooooooo»o ff HlacTpo bonusu K uplatnění pojistného nároku dojde v případě, že to pro řidiče bude výhodné, tedy když (1 - q)(2a +t) + q(a + c+t)> 2c. Odtud ř>(2-Q)(c-a). Odtud je vidět, že by nebylo "rozumné"uplatnit pojistný nárok v menším rozsahu než je očekávaná ztráta ze snížení bonusu. Tento jev se nazývá "hlad po bonusu". i Silvie Kafková Pojistná matematika Uvod oo Obecný bonus-malus systém oooo Markovská analýza 000000000» ff HlacTpo bonusu Pojišťovna je tak připravena o vyšší pojistné, které jí náleží, protože pojištěný "tají", že je ve skutečnosti špatný řidič. Tato skutečnost je kompenzována tím, že i malé škody jsou spojeny s jistými správími náklady a ty pojišťovna ušetří. Složitější modely zkoumají například delší nebo nekonečný časový horizont s více stupni bonusu. Důležitý je také okamžik v roce, kdy ke vzniku škody dojde. i Silvie Kafková Pojistná matematika