Pojistná matematika Umrtnostní tabulky, komutační čísla a jejich použití Silvie Kafková 2015 Silvie Kafková Pojistná matematika D Délka života Q Intenzita úmrtnosti Q Úmrtnostní Tabulky Q Komutační čísla Silvie Kafková Pojistná matematika D Délka života Q Intenzita úmrtnosti Q Úmrtnostní Tabulky Q Komutační čísla Silvie Kafková Pojistná matematika Kombinace finanční matematiky a matematického modelování úmrtnosti- pojistná událost spočívá v úmrtí nebo dožití se určitého věku. charakteristika úmrtnosti: ■ dva stavy- "naživďa "zemřelý", o příslušném stavu každého z pojištěných lze jednoznačně rozhodnout; ■ přechod mezi těmito stavy pouze jedním směrem- úmrtí ■ okamžik úmrtí je náhodný a může být popsán jen s použitím pravděpodobnosních nástrojů. Silvie Kafková Pojistná matematika Délka života : ■ spojitá náhodná veličina představující délku života právě narozeného jedince (doba mezi věkem 0 a úmrtím); ■ měří se v letech; Představa na níž je založen model úmrtnosti: ■ náhodně vybereme jednoho jedince z velké skupiny x-letých, jeho délka života není známá, ale můžeme na ni pohlížet jako na náhodnou veličinu s odhadnutelným pravděpodobnostním rozdělením. Silvie Kafková Pojistná matematika Délka života oo«oooo Intenzita úmrtnosti ooooooooooo Úmrtnostní Tabulky ooooooooooo Komutační čísla oooo Pravděpodobnostní rozdělení Pravděpodobnostní rozdělení délky života 7"0 popisujeme pomocí distribuční funkce Fo(t)= P(T0 t) = 1 - Fo(t) I Silvie Kafková Pojistná matematika Budoucí délku života ve věku x za podmínky, že jedinec se dožil věku x budeme značit Tx. Distribuční funkci délky života ve věku x počítáme pomocí podmíněné pravděpodobnosti: Fx(t) = P(TX < t) = P(70 < x + t\T0 > x) = P(x < T0 < x + t) = F0{x + Q - Fp(x) P(T0>x) 1-F0(x) • Pro funkci přežití ve věku x platí Sx{t) = P(TX > t) = P(T0 > x + t\T0 > x) = P{Tp>x+t) = Spjx+t) P(T0>x) Sq(x) Silvie Kafková Pojistná matematika Značení I qx - pravděpodobnost úmrtí ve věku x: pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se nedožije věku x + 1 Qx = Fx(1)= P(7"x<1); px - pravděpodobnost dožití ve věku x: pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + 1: Px = Sx(1)= P(rx>1); tqx - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, zemře před dosažením věku x + ř řQx = Fx(0= P(7"x<ř): Silvie Kafková Pojistná matematika tPx - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, se dožije věku x + t tPx = Sx(t)= P(Tx>ř); s\Qx - pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x, zemře ve věku x + s s\Qx = Fx(s + 1) - Fx(š) = P{s) = -^0 -1 Po) = ~Yťp°- Jelikož platí tQx + tPx = 1, pak pravděpodobnostní hustota veličiny Tx je W) = jfFx(t) = ±{tqx) = ^(1 - tPx) = -jt(tPx). Pro f0 a fx platí fx(t) = f0(x+t) f0(x + t) 1 - F0(x) X Po Silvie Kafková Pojistná matematika I Intenzita úmrtnosti ve věku x Ux) 1 = fx(0) = Hx+t = fx+t{0) = xPo m x Pi 1 d d , , ^ Budeme-li předpokládat malé přírůstky Ax, pak platí f0(x)Ax « F0(x + Ax) - F0(x) = P(x < 70 < x + Ax), pak můžeme psát feAx = řx(0)Ax « Fx(Ax) - Fx(0) = p(x < r0 < x + Ax| r0 > x). Výraz //xAx udává pravděpodobnost úmrtí ve věkovém intervalu (x, x + Ax) malé délky Ax za podmínky, že daný jedinec se dožil věku x. Silvie Kafková Pojistná matematika Délka života Intenzita úmrtnosti Úmrtnostní Tabulky Komutační čísla Zákony úmrtnosti ■ Praktické využití intenzity úmrtnosti. ■ Snaha modelovat lidskou úmrtnost pomocí matematických vzorců, konstrukce křivek úmrtnosti pro danou populaci. ■ Jedná se pak o úsporný popis velkého množství údajů. ■ Úmrtnostní křivky jsou hladké a přispívají k vyhlazování úmrtnostních tabulek. ■ Pro rozlišení různých zákonů úmrtnosti jsou vhodné různé volby intenzit úmrtnosti. Délka života ooooooo Intenzita úmrtnosti ooo»ooooooo Úmrtnostní Tabulky ooooooooooo Komutační čísla oooo Konstantní intenzita úmrtnosti Intenzita úmrtnosti je konstantní, tedy I Hx = A. Vyjdeme ze vztahu d I / X jehož integrací od 0 po t dostaneme tpx = exp ( - / /íx+s ds = e -xt Funkce přežití tPx zde nezávisí na veku, a proto je tento zákon úmrtnosti pro lidskou populaci nevhodný. Silvie Kafková Pojistná matematika Délka života ooooooo Intenzita úmrtnosti ooooooooooo Úmrtnostní Tabulky ooooooooooo Komutační čísla oooo Moivrův zákon úmrtnosti Jedná se o rovnoměrné rozdělení délky života s pravděpodobnostní hustotou W) = 1 pro 0 < t < oj - x, uj - x kde uj je stanovený nejvyšší věk pro uvažovanou populaci. Platí i—/.\ ^ — x — t _ tpx = 1 -t qx = 1 - Fx(t) =-, pro 0 < ř < u - x. uj — x Intenzita úmrtnosti 1 "» = «°> = -u-x- je hyperbolicky rostoucí funkce. pro 0 < x < uj, Silvie Kafková Pojistná matematika Délka života ooooooo Intenzita úmrtnosti ooooo»ooooo Úmrtnostní Tabulky ooooooooooo Komutační čísla oooo Další zákony úmrtnosti Gompertzův zákon úmrtnosti: exponenciálně rostoucí intenzita úmrtnosti Ijíx = Bď, kde B > 0, a o 1 jsou parametry. Makehamův zákon úmrtnosti: zobecnění Gompertzovy intenzity úmrtnosti do tvaru Ijíx = a + Bďkde a > 0 je další parametr. Silvie Kafková Pojistná matematika Délka života ooooooo Intenzita úmrtnosti oooooo»oooo Úmrtnostní Tabulky ooooooooooo Komutační čísla oooo Področní pravděpodobnosti úmrtí a dožití ■ Někdy je třeba v praxi určit rozsah kmene pojištěných lx+t, kde 0 < t < 1, jestliže známe rozsahy kmene pojištěných lx pro celočíselné věky x. ■ Uvedeme si pro to dvě metody související s intenzitou úmrtnosti. Silvie Kafková Pojistná matematika Délka života ooooooo Intenzita úmrtnosti ooooooo«ooo Úmrtnostní Tabulky ooooooooooo Komutační čísla oooo Předpoklad konstantní intenzity úmrtnosti mezi celočíselnými věky ■ Metoda je založena na předpokladu jjix+t = ii = konstanta, pro 0 < t < 1, x je pevně zvolený celočíselný věk. ■ Pro konstantní intenzitu úmrtnosti jsme již dříve odvodili tpx = e_/iř. Dosazením t = 1 dostáváme M = - In(iPx) = -ln(px). ■ Hledané področní pravděpodobnosti jsou ■ř l tpx+s = exp tqx+s = 1 - e-/iř, Hx+s+z 0 dzj = e""', Silvie Kafková Pojistná matematika Délka života ooooooo Intenzita úmrtnosti oooooooo»oo Úmrtnostní Tabulky ooooooooooo Predpoklad podrocni linearity úmrtnosti Metoda je založena na předpokladu tqx = tqx,0 0, s+t < -\. Silvie Kafková Pojistná matematika Délka života Intenzita úmrtnosti Úmrtnostní Tabulky Komutační čísla Nechť jsou známy hodnoty g50 = 0,0049867, Q51 = 0,00557449, q52 = 0,0061396, p50 = 0,99501, p51 = 0,99442, a p52 = 0,99386. Najděte hodnoty ■ 0,5 950; ■ 2P50,5! ■ M52,75- Silvie Kafková Pojistná matematika D Délka života Q Intenzita úmrtnosti Q Úmrtnostní Tabulky Q Komutační čísla Silvie Kafková Pojistná matematika Umrtnostní tabulky ■ jsou základním nástrojem pro výpočty prováděné v rámci životního pojištění. Prezentují model úmrtnosti praktickým způsobem. ■ poskytují základní informace o úmrtnosti uzavřené stacionární populace- nedochází k migraci obyvatelstva a v čase se nemění ani velikost populace a její věkové složení. ■ pro Českou republiku je každoročně publikuje Český statistický úřad. Silvie Kafková Pojistná matematika Délka života Intenzita úmrtnosti Úmrtnostní Tabulky Komutační čísla Rozlišují se úmrtnostní tabulky: ■ úplné - mají jednoleté věkové intervaly (tzn. údaje pro věk 0,1,cj roků) ■ zkrácené - mají víceleté věkové intervaly ■ běžné (průřezové) - vycházejí z úmrtnostní zkušenosti populace během krátkého (většinou ročního) časového období obvykle nepřesahujícího 10 let ■ generační - představují skutečný záznam průběhu života konkrétní generace V pojišťovací praxi se používají především běžné úplné úmrtnostní tabulky. Silvie Kafková Pojistná matematika Délka života ooooooo Intenzita úmrtnosti ooooooooooo Úmrtnostní Tabulky oo»oooooooo Komutační čísla oooo Popis úmrtnostni tabulky Sloupce úmrtnostní tabulky představují konkrétní veličiny, např. věk osob, počet žijících osob v daném věku, atd. Řádky představují hodnoty veličin uvedených ve sloupcích pro konkrétní věk. Charakteristika konkrétních veličin uvedených v úmrtnostních tabulkách: ■ x - vyjadřuje věk osoby - x e {0,1,u}, kde u je předpokládaný nejvyšší věk, který může dosáhnout osoba sledovaného souboru Silvie Kafková Pojistná matematika Délka života ooooooo Intenzita úmrtnosti ooooooooooo Úmrtnostní Tabulky 000*0000000 Komutační čísla oooo Veličiny úmrtnostní tabulky ■ pravděpodobnost dožitípx - vyjadřuje pravděpodobnost, že x-letá osoba se dožije věku (x + 1) ■ pravděpodobnost úmrtí qx - vyjadřuje pravděpodobnost, že x-letá osoba se nedožije věku (x + 1) ■ platí px + qx = 1 ■ počet dožívajících se věku x lx- vyjadřuje počet osob žijících ve věku x. Počáteční hodnota /0 vyjadřuje počáteční počet osob modelovaného souboru a nazývá se kořen úmrtnostní tabulky. Silvie Kafková Pojistná matematika ■ Pro libovolná přirozená x můžeme definovat posloupnost / jako lx = h 'x Po ■ Protože pro libovolné přirozené n platí vztah x+np0 =x po -n px, dostaneme z něj vynásobením rovnice kořenem /0 vztah lx+n — lx 'n Px- ■ Pak pro n = 1 dostáváme rekurentní vztah pro posloupnost lx = lx • Px- Silvie Kafková Pojistná matematika Můžeme tedy vyjádřit pravděpodobnost dožití z věku x do věku x + n jako o - !ň±E >x Platí také lx ~ lx+n nqx = A 'X Jestliže /0 je počet jedinců ve věku 0, pak počet jedinců kteří přežijí do věku x je vzhledem k navzájem nezávislému úmrtnostnímu chování jedinců náhodná veličina s binomickým rozdělením 6/(/0,xPo)- Střední hodnota této veličiny je tedy /0 Po = /*. Silvie Kafková Pojistná matematika ■ lx lze interpretovat jako střední počet jedinců, kteří se při daném výchozím stavu /o dožijí věku x. ■ Je zřejmé, že posloupnost lx je nerostoucí tedy h>h>k> ... ■ Bývá zvykem v praxi stanovit nejvyšší věkovou hranici u jako nejnižší věk x takový, že pak již lx = 0. x > oj. ■ u se volí věk takový, jehož dožití je již málo pravděpodobné. Silvie Kafková Pojistná matematika počet zemřelých ve věku x dx - vyjadřuje počet osob, které zemřely ve věku x. Definujeme dx = lx- /x+i s tím, že platí du = lu. Platí tedy, že qx = nebo obecněji n^qx = dx se analogicky interpretuje jako střední počet jedinců kteří při daném výchozím stavu /0 zemřou ve věku x. Silvie Kafková Pojistná matematika I Lx - počet let prožitých jedinci ve veku x je střední počet roků, které ve věku x celkem prožije lx jedinců z úmrtnostní tabulky. Využijeme dříve zavedenou aproximaci tQx = tqx, což dává qx = fx(t). Pak Lx = I x+1 + lx í tfx(t) dt« /x+1 + /x / fefcdí Jo Jo 1 / / 1w = /x+i + 2^ ' = + Z původních /x jedinců ve věku x přispěje každý z /x+1 jedinců, kteří se dožijí věku věku x + 1, do Lx jedním rokem, tj. celkem /x+1 roky. Navíc každý z lx -t px • /ix+ř jedinců kteří zemřou před dosažením věku x + 1 ve věku x + ř, přispěje ještě ř roky, tj. celkem t • lx -t px • /ix+f roky. Silvie Kafková Pojistná matematika ■ T x - počet zbylých let života jedinců ve věku x je střední počet roků, které do konce svého života ještě celkem prožije lx jedinců z úmrtnostní tabulky. ■ Platí, že í'ĹJ—X r-~\ Tx = + = 1x1 tfx(t) dt=lx t tPxHx+t dt Jo Jo ■ °ex - střední délka života ve věku x vyjadřuje průměrný počet roků, kterých se ještě dožije jedinec ve věku x let. ■ Platí následující aproximativní vztah Délka života ooooooo Intenzita úmrtnosti ooooooooooo Úmrtnostní Tabulky oooooooooo* Komutační čísla oooo Příklad Kolik osob ve věku 60 let zemřelo během ■ 5 roků; ■ 7 roků? Silvie Kafková Pojistná matematika D Délka života Q Intenzita úmrtnosti Q Úmrtnostní Tabulky Q Komutační čísla Silvie Kafková Pojistná matematika Jedná se o často se opakující součiny a součty v pojistných výpočtech. Tyto součiny a součty byly označeny a jejich hodnoty jsou tabelizovány. Hodnoty komutačních čísel závisí na úmrtnostní tabulce a na výšce úrokové míry. V dalším budeme používat označení v pro diskontní faktor v = 1 1 +/' kde /je úroková míra. i Silvie Kafková Pojistná matematika Rozlišujeme komutační čísla: m nultého řádu: Dx = lxvx diskontovaný počet dožívajících se věku x Cx = dxvx+J[ diskontovaný počet zemřelých ve věku x ■ prvního řádu u—x Nx = y,°x+J 7=0 lj — X Mx = j2C*+J Silvie Kafková Pojistná matematika Délka života ooooooo Intenzita úmrtnosti ooooooooooo Úmrtnostní Tabulky ooooooooooo Komutační čísla oo«o ■ druhého řádu u—x sx = y,n*+j uj—X Rx = j2mx+j y=0 ■ Komutační čísla vyšších řádů se nepoužívají. Silvie Kafková Pojistná matematika Červinek R: Pojistná matematika I, Masarykova univerzita, 2008 CipraT.: Pojistná matematika- Teorie a praxe, Ekopress, 1999 ^ Bowers N.L., Gerber H.U., Hickman J.C, Jones DA, Nesbitt C.J. : Actuarial Mathematics The Society of Actuaries, Schaumburg, Illinois 1997 Silvie Kafková Pojistná matematika