Pojistná matematika Jednorázové netto pojistné pro případ dožití a pro případ smrti Silvie Kafková 2015 Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného Pojištění pro případ dožití Pojištění pro případ smrti Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti ooooooooooooooooooooooo Obsah Uvod do výpočtu pojistného Pojištění pro případ dožití Pojištění pro prípad smrti Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného •oooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti ooooooooooooooooooooooo Pojistné I Platí, že pojistné = netto pojistné + náklady pojišťovny Pojistné se také někdy nazývá brutto pojistné, pojistná sazba nebo pojistný tarif. Jedná se o ekvivalentní výrazy. Netto pojistné se někdy nazývá čisté pojistné nebo rizikové pojistné. Podle frekvence plateb pojistného rozlišujeme ■ Jednorázové pojistné - pojistné je zaplaceno jednou a dále se nic neplatí. ■ Běžné pojistné - pojistné je placeno jednou za rok. Dá se dále rozlišit placení běžné po celou dobu pojištění a placení běžné placené kratší dobu, než je doba pojištění. ■ Področní pojistné - je placeno m krát za rok, např. měsíčně, půlročně, atd. Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného o»ooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti ooooooooooooooooooooooo Základní principy pojištění osob Při stanovení výše pojistného vycházíme ze dvou záladních principů. Jsou to ■ princip fiktivního souboru - spočívá v předpokladu, že stejný typ pojištění uzavřou všechny osoby, které jsou ve věku x naživu. Tento předpoklad zjednodušuje všechny úvahy, ale nakonec vede k výsledkům dostatečně přesným na praktické použití. ■ princip ekvivalence - vychází z požadavku, aby se rovnaly příjmy a výdaje pojišťovny, pokud se diskontují nebo zúročí ke stejnému datu. Silvie Kafková Pojistná matematika Při výpočtech prováděných v rámci principu ekvivalence musí pojišťovna odhadnout své budoucí příjmy a výdaje se zohledněním dvou hlavních aspektů ■ Časové rozložení příjmů a výdajů - finanční toky rozložené v čase se vztáhnou diskontovaním do jejich počáteční hodnoty nebo úročením do koncové hodnoty. ■ Náhodný charakter finančních toků v rámci pojištění a to jak na straně pojistného plnění (dožití se výplaty životního důchodu není jisté), tak na straně pojistného (placení pojistného obvykle končí smrtí klienta). Proto se obvykle pracuje se středními hodnotami příslušných veličin. Silvie Kafková Pojistná matematika ■ Pojišťovna oceňuje své budoucí příjmy a výdaje hlavně pomocí jejich očekávaných počátečních hodnot. Princip ekvivalence pak má tento tvar: očekávaná počáteční hodnota pojistného= =očekávaná počáteční hodnota pojistného plnění ■ V nejjednodušším případě představuje počáteční hodnota pojištění jednorázové netto pojistné, protože částka v této výši jednorázově pokryje průměrná pojistná plnění pojišťovny. ■ Pro jednoduchost budeme uvažovat jednotková pojistná plnění, pak mluvíme o jednotkové počáteční hodnotě pojištění. Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného oooo» Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti ooooooooooooooooooooooo Ocenění některých druhů pojištění ■ Postupně si popíšeme hlavní druhy pojištění osob. ■ Ukážeme si především výpočet jednotkové počáteční hodnoty pojištění- jednorázové nettopojistné na jednotkovou pojistnou částku. ■ Výpočet se provádí dvěma způsoby: ■ pomocí výpočtu střední hodnoty vhodné náhodné veličiny; ■ pomocí komutačních čísel. Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného Pojištění pro případ dožití Pojištění pro případ smrti Silvie Kafková Pojistná matematika Pojištění pro případ dožití ■ Pojišťovna vyplatí sjednanou částku, jestliže se osoba pojištěná ve věku x dožije konce sjednané pojistné doby n, tedy věku x + n. m Zemře-li pojištěný před koncem pojistné doby, pojištění zanikne bez náhrady. ■ Označení jednotkové počáteční hodnoty: nEx nebo ■ Výpočet nEx pomocí náhodné veličiny: Zvolíme odpovídající náhodnou veličinu Z jako Silvie Kafková Pojistná matematika Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z je 0|<7x, ilQx, n-1|<7x, nPx Tedy nEx je Z = 0, Kx = 0, Z = 0, K* = 1, Z = 0, Kx = n - 1 Z = vn, Kx > n. nEx = E(Z) =nPx • vn. Silvie Kafková Pojistná matematika Výpočet nEx pomocí komutačních čísel: zde využijeme již známého nPx = a tedy r- _ lx+n n _ lx+n ' Vx+n _ Dx+n n Ex — —,— • v — —;-~— — —ň— lx lx ' Vx Dx Pokud chceme vypočítat jednorázové netto pojistné pro jinou pojistnou částku, vynásobíme vzorec danou pojistnou částkou PČ: 7r{nEx) = —^--PC. Silvie Kafková Pojistná matematika Příklad Jaké je jednorázové nettopojistné pro pojištění 40 leté osoby na dožití věku 60 let na 1 000Kč pojistné částky? Počítáme s úrokovou mírou 2%. Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného Pojištění pro případ dožití Pojištění pro případ smrti Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti •oooooooooooooooooooooo (Doživotní) pojištění pro případ smrti Pojišťovna vyplatí sjednanou pojistnou částku na konci pojistného roku, v němž osoba pojištěná ve věku x zemře. Pojistné plnění je vyplaceno dědicům nebo určeným osobám. Označení jednotkové počáteční hodnoty: Ax Výpočet Ax pomocí náhodné veličiny: Zvolíme odpovídající náhodnou veličinu Z jako Z = vKx^, kde Kx označuje celočíselnou délku života ve věku x. i Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti o»ooooooooooooooooooooo (Doživotní) pojištění pro případ smrti Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z je o\Qx, Z = v, Kx-- = 0, i|Qx, z = v2, Kx = 1 2\Qx, z = v3, Kx = 2 Tedy Ax je OJ — X Uú—X Ax = E (Z) = J2k\Qx- vk^ = kPx ' Qx+k ' v k=0 k=0 Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti oo»oooooooooooooooooooo (Doživotní) pojištění pro případ smrti Výpočet Ax pomocí komutačních čísel: zde využijeme již známého n\qx = ^ a tedy Ax = dx dx+1 • V -|- / x I + ... = x dx ■ yx+i + ďx+1 • vx+2 + lx-vx Cx + Cx+1 + ... Mx D X D X Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti ooo»ooooooooooooooooooo (Doživotní) pojištění pro případ smrti Jaké je jednorázové netto pojistné pro pojištění 30leté osoby pro případ smrti na 1 000 000Kč? Úroková míra jsou 2%. Příklad 20-ti letá osoba vyhrála ve Sportce 1 milion Kč. Uzavře smlouvu na doživotní pojištění pro případ smrti. Kolik obdrží dědicové, pokud daná osoba zemře (nebereme v úvahu náklady pojišťovny a zdanění výhry)? Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného Pojištění pro případ dožití Pojištění pro případ smrti ooooo oooo oooo»oooooooooooooooooo Dočasne pojištěni pro prípad smrti ■ Pojišťovna vyplatí sjednanou pojistnou částku na konci pojistného roku, v němž osoba pojištěná ve věku x zemře, pokud k úmrtí dojde před uplynutím pojistné doby n. ■ Dožije-li se pojištěný konce pojistné doby, pojištění zanikne bez náhrady. ■ Často bývá podmínkou pro poskytnutí hypotečního úvěru. ■ Označení jednotkové počáteční hodnoty: ■ Výpočet pomocí náhodné veličiny: Zvolíme odpovídající náhodnou veličinu Z jako Z = Kx = 0,1,n - 1 Kx = n,n+ 1,..., Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti ooooo«ooooooooooooooooo Dočasné pojištění pro případ smrti Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z je Tedy A'xn] je z = i/, = 0, i|Qx, z = v2, Kx = 1 2\Qx, ■ z = v3, Kx = 2 ■ n-1|9x z = nPx, z = 0, Kx > n, n-1 n-1 k=0 kPx • qx+k • v k=0 /c+1 Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti oooooo»oooooooooooooooo Dočasné pojištění pro případ smrti Výpočet Ax pomocí komutačních čísel: zde využijeme již známého n\qx = ^ a tedy Ax = Iy dx ■ Vx+' + • Vx+2 + ... + ďx+f?_1 • Vx+n lx-Vx Cx + Cx+\ + ... + Cx+f7_i Mx — Mx+n D X D X Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti ooooooo»ooooooooooooooo Dočasné pojištění pro případ smrti Příklad Vypočtěte počáteční hodnotu dočasného pojištění pro případ smrti 40-ti leté osoby na dobu 5 let s pojistnou částkou 1 000 000 Kč. Příklad 20-ti letá osoba vyhrála ve Sportce 1 milion Kč. Uzavře smlouvu na dočasné pojištění pro připad smrti na 50 roků. Kolik obdrží dědicové, pokud daná osoba zemře během dané doby (nebereme v úvahu náklady pojišťovny a zdanění výhry)? Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti oooooooo»oooooooooooooo (Doživotní) pojištěni pro prípad smrti odložené o t roků Pojišťovna vyplatí sjednanou pojistnou částku na konci pojistného roku, v němž osoba pojištěná ve věku x zemře, pokud k úmrtí dojde po uplynutí doby x + t. Zemře-li osoba před dovršením věku x+t, pojištění zaniká bez náhrady. Označení jednotkové počáteční hodnoty: k\Ax Výpočet k\Ax pomocí náhodné veličiny: Zvolíme odpovídající náhodnou veličinu Z jako Z = 0 v Kx+1 Kx = 0,1,...,r-1 Kx = ŕ,ŕ + 1,..., Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti ooooooooo»ooooooooooooo (Doživotní) pojištěni pro pnpad smrti odložené o t roků ■ Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z je z = 0, Kx = 0, i|Qx, ■ Z = 0, Kx = 1, ■ f-i|<7x, Z = 0, Kx = ř- 1, Z = vt+\ Kx = ř, ř+11 Qx Z = i/ř+2, Kx = Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti oooooooooo»oooooooooooo (Doživotní) pojištěni pro pnpad smrti odložené o t roků Tedy klAx je klAx = E(Z) = Y,k\Q. k=t LO — X LO — X x • V — kPx • qx+k k=t Výpočet k\Ax pomocí komutačních čísel: v k+1 A, = k ™x Vt+1 + V +... = dx+t ■ vx+ř+1 + t + n Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti oooooooooooooo»oooooooo Dočasne pojištěni pro pnpad smrti odložené o t roků Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z je o\Qx, ■ z = 0, Kx - ■ z = 0, Kx = t\Qx z = vf+\ Kx ř+i|Qx z = Kx ■ •t+n-llQx, z = vt+n, Kx t+nPx z = 0, Kx — -1 = ř. ř + 1, Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti ooooooooooooooo»ooooooo Dočasne pojištěni pro prípad smrti odložené o t roků Tedv k\AU \e ř+n-1 k=t k=t Výpočet k\Aln-] pomocí komutačních čísel: k\^lrí] / x i X dx+t ■ vx+t+i + ... + dx+t+n^-vx+t+" Cx+t + ■■■ + Cx+t+n^ Mx+t — Mx+t+n D X D X Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti oooooooooooooooo»oooooo Dočasne pojištěni pro prípad smrti odložené o t roků Příklad 20-ti letá osoba vyhrála ve Sportce 1 milion Kč. Uzavře smlouvu na dočasné pojištění pro případ smrti na 50 let s karenční dobou 15 let. Kolik obdrží dědicové, pokud daná osoba zemře během dané doby(nebereme v úvahu náklady pojišťovny a zdanění výhry)? Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti ooooooooooooooooo»ooooo Pojištěni pro prípad smrti s lineárne rostoucí částkou ■ Patří do skupiny speciálního pojištění ■ x-letá osoba se pojistí tak, že v případě úmrtí dané osoby v prvím roce pojištění dostanou dědicové (nebo určené osoby) na konci roku 1p.y\, v případě úmrtí dané osoby ve druhém roce pojištění bude pojistné plnění na konci roku 2p.y\, ... ■ Označení jednotkové počáteční hodnoty: {LA)X Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti oooooooooooooooooo«oooo Pojištěni pro prípad smrti s lineárne rostoucí částkou ■ Výpočet (LA)X pomocí náhodné veličiny: Zvolíme odpovídající náhodnou veličinu Z jako v, Kx = 0 2 v2, Kx = 1 3 v3, Kx = 2 Silvie Kafková Pojistná matematika ■ Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Z je '0|<7x, Z=v, Kx = 0, . li|C7x, Z = 2v2, Kx = \, P{Z)-)2lqx, Z = 3v*, Kx = 2, Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti oooooooooooooooooooo»oo Pojištění pro případ smrti s lineárně rostoucí částkou Tedy (LA)X je OJ — X u—x (LA)X = E(Z) = Y^(k+^k]qx-vk+' = £(/c+1)*Px-ť7x+*-v k=0 k=0 Výpočet (LA)x pomocí komutačních čísel: (LA)X = ^-v + 2.^.v2 + ...= lx lx ofx.^+i + 2-dx+1 -vx+2 + ... lx-vx Cx + 2 • Cx+1 + ... R X D X Dx Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti ooooooooooooooooooooo»o Pojištěni pro prípad smrti s lineárne rostoucí částkou 20-ti letá osoba vyhrála ve Sportce 1 milion Kč. Uzavře smlouvu na doživotní pojištění pro případ smrti s lineárně rostoucí pojistnou částkou. Kolik obdrží dědicové, pokud daná osoba zemře již v prvním roce trvání pojištění(nebereme v úvahu náklady pojišťovny a zdanění výhry) a o jakou částku se bude pojistná částka každý rok navyšovat? Silvie Kafková Pojistná matematika Úvod do výpočtu pojistného ooooo Pojištění pro případ dožití oooo Pojištění pro případ smrti oooooooooooooooooooooot Reference ^ Červinek R: Pojistná matematika I, Masarykova univerzita, 2008 CipraT.: Pojistná matematika- Teorie a praxe, Ekopress, 1999 Čámský R : Pojistná matematika v životním a neživotním pojištění Masarykova univerzita, 2004 i Silvie Kafková Pojistná matematika