Smíšené pojištění ooooooo Důchodová pojištění ooooooooooooo Důchodová pojištění odložená oooooo Speciální důchody oooooooo Področní důchody ooooo Pojistná matematika Jednorázové netto pojistné pro smíšené pojištění, důchodové pojištění Silvie Kafková 2015 Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění Důchodová pojištění Důchodová pojištění odložená Speciální důchody Področní důchody ooooooo ooooooooooooo oooooo oooooooo ooooo Obsah Smíšené pojištění Důchodová pojištění Důchodová pojištění odložená Speciální důchody Podrocni důchody Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění ooooooo Důchodová pojištění ooooooooooooo Důchodová pojištění odložená Speciální důchody Področní důchody oooooo oooooooo ooooo Obsah Smíšené pojištění Důchodová pojištění Důchodová pojištění odložená Speciální důchody Podrocni důchody Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění •oooooo Důchodová pojištění ooooooooooooo Důchodová pojištění odložená oooooo Speciální důchody oooooooo Področní důchody ooooo Smíšené pojištění Bylo vytvořeno spojením pojištění na dožití a dočasného pojištění pro případ smrti do jednoho produktu. Je tak zaručeno, že nastane pojistná událost a klientovi bude vyplacena pojistná částka. Jedná se o nejprodávanější pojištění v rámci životního pojištění. Pojišťovna vyplatí v případě úmrtí osoby pojištěné ve věku x do věku (x + n) dědicům pojistné plnění. Pokud se daná osoba dožije věku (x + n) bude pojistné plnění vyplaceno pojištěnému. ■ Někdy je možné chápat jako pojištěnou formu spoření. Vklady jsou však vyšší, než by byly vklady v bance, je nutné zaplatit za jistotu, že bude dosaženo cílové částky. ■ Označení jednotkové počáteční hodnoty: Axn^ ■ Výpočet Axn-} pomocí náhodné veličiny: Zvolíme odpovídající náhodnou veličinu Z jako kde Kx označuje celočíselnou délku života ve věku x. x — x — 0,1,n - 1 n,n+ 1,..., Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění oo«oooo Důchodová pojištění ooooooooooooo Důchodová pojištění odložená oooooo Speciální důchody oooooooo Področní důchody ooooo Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny Zje 0|Qx, Z=v, Kx = 0, nQx, Z= v2, Kx = 1, n-2\Qx, n-lPx, Z=vn~\ Kx = n-2, Z=vn, Kx>n-^ Tedy Axrí] je n-1 A xri] E(Z) = 5],|g k=0 n-2 k=0 x ■ Vk+1 +n px ■ Vn x • Vk+1 +„_-, Px • Vn. Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění ooo»ooo Důchodová pojištění ooooooooooooo Důchodová pojištění odložená oooooo Speciální důchody oooooooo Področní důchody ooooo Výpočet Axn^ pomocí komutačních čísel: A _ dx .,2 , , n , lx+n n Axn] — -j-'V-\---— V +...H---- V + —— • V 'x 'x 'x 'x dx ■ vx+' + ... + dx+n-i • vx+n + lx+n ■ vx+n lx-vx Cx + Cx+i + ... + Cx+A?_-| + Dx+n d~x Mx - Mx+n + Dx+n Dx Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění oooo»oo Důchodová pojištění ooooooooooooo Důchodová pojištění odložená oooooo Speciální důchody oooooooo Področní důchody ooooo Příklad 20-ti letá osoba vyhrála ve Sportce 1 milion Kč. Uzavře smlouvu na smíšené pojištění na 50 roků. Kolik obdrží dědicové, pokud daná osoba zemře během dané doby, respektive kolik obdrží pojištěná osoba, pokud se dožije konce pojištění (nebereme v úvahu náklady pojišťovny a zdanění výhry)? Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění ooooo»o Důchodová pojištění ooooooooooooo Důchodová pojištění odložená oooooo Speciální důchody oooooooo Področní důchody ooooo Speciální smíšené pojištění ■ Dochází k vyplácení různých pojistných částek při úmrtí pojištěné osoby před dosažením věku (x + rí) a při dožití se věku (x + n). ■ Označíme-li si hodnotu pojištění 7r(Axn^) a PČ pojistnou částku, pak platí TľíAŕnl) = ^xri\ ' Pčýmilí +n Ex • PČdožití _ (Mx - Mx+n) ■ PCýmrtí + Dx+n • PČdožití Dy Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění 000000» Důchodová pojištění ooooooooooooo Důchodová pojištění odložená oooooo Speciální důchody oooooooo Področní důchody ooooo 20-ti letá osoba vyhrála ve Sportce 1 milion Kč. Uzavře smlouvu na smíšené pojištění na 50 roků. Kolik obdrží dědicové, pokud daná osoba zemře během dané doby, respektive kolik obdrží pojištěná osoba, pokud se dožije konce pojištěni (nebereme v úvahu náklady pojišťovny a zdanění výhry) a požaduje při dožití se konce pojištění stokrát větší částku než v případě úmrtí? Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění Důchodová pojištění Důchodová pojištění odložená Speciální důchody Področní důchody ooooooo ooooooooooooo oooooo oooooooo ooooo Obsah Smíšené pojištění Důchodová pojištění Důchodová pojištění odložená Speciální důchody Podrocni důchody Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění ooooooo Důchodová pojištění •oooooooooooo Důchodová pojištění odložená oooooo Speciální důchody oooooooo Področní důchody ooooo Důchodová pojištění ■ Budeme se zde zabývat tzv. "komerčním"důchodem nikoli klasickým starobním důchodem. ■ Někdy se charakterizuje jako pojištění "opakovaného dožití". ■ Budeme rozlišovat dva druhy důchodů a to ■ předlhůtní- vyplácený pojišťovnou vždy na počátku pojistného roku; ■ polhútní- vyplácený pojišťovnou vždy na konci pojistného roku. Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění Důchodová pojištění Důchodová pojištění odložená Speciální důchody Področní důchody ooooooo o»ooooooooooo oooooo oooooooo ooooo Doživotní důchod předlhůtní ■ Pojišťovna vyplácí důchod sjednané výše vždy na počátku pojistného roku, pokud osoba pojištěná ve věku x žije. ■ Klient kupuje okamžitě splatnou doživotní rentu. ■ Označení jednotkové počáteční hodnoty: ax ■ Odvození pravděpodobnostního vzorce z rovnice ekvivalence: Rovnice ekvivalence: i lx-äx = lx + /x+1 • V + lx+2 ■ V2 + ... + lu ■ V0J~X Rovnici vydělíme výrazem lx: • ax = 1 + / A x+1 ., , 'x+2 .,2 , , 'oj .,uj-x I V + x , kPx ' V /c=1 Výpočet axn-\ pomocí komutačních čísel: n lxn] E lx+k lx Dx+1 +D*+?... + D x+2 'x+n /c=1 D x D x Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění ooooooo Důchodová pojištění oooooooooooo* Důchodová pojištění odložená oooooo Speciální důchody oooooooo Področní důchody ooooo Příklad 20-ti letá osoba vyhrála ve Sportce 1 milion Kč. Uzavře smlouvu na dočasný polhůtní důchod trvající 40 let. Kolik bude dostávat na konci každého roku? Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění Důchodová pojištění Důchodová pojištění odložená Speciální důchody Področní důchody ooooooo ooooooooooooo oooooo oooooooo ooooo Obsah Smíšené pojištění Důchodová pojištění Důchodová pojištění odložená Speciální důchody Podrocni důchody Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění Důchodová pojištění Důchodová pojištění odložená Speciální důchody Področní důchody ooooooo ooooooooooooo »00000 oooooooo ooooo Doživotní důchod odložený předlhůtní ■ x-letá osoba se pojistí tak, že na začátku každého roku pokud je naživu, jí bude vyplacen sjednaný důchod, přičemž první výplata bude až ve věku x + t m Označení jednotkové počáteční hodnoty: t\äx ■ Odvození pravděpodobnostního vzorce z rovnice ekvivalence: Rovnice ekvivalence: i lx -ři äx = lx+t ■ v1 + lx+t+^ ■ vt+1 + - + L-v Rovnici vydělíme výrazem lx: A ,oj — x tlax = !*±L . vt + 'l+l+l. „f+1 + ... + *l . v"-x +-o^v _ Dx + 2- Dx+1 + ... + {u - x + 1) • Dw Dx Dx Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění ooooooo Důchodová pojištění ooooooooooooo Důchodová pojištění odložená oooooo Speciální důchody ooooooo* Področní důchody ooooo 20-ti letá osoba vyhrála ve Sportce 1 milion Kč. Uzavře smlouvu na doživotní předlhůtní důchod, přičemž pojistná částka má růst lineárně vždy o stejnou částku. Kolik bude první pojistná částka? Kolik bude 5. pojistná částka? Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění ooooooo Důchodová pojištění ooooooooooooo Důchodová pojištění odložená Speciální důchody Področní důchody oooooo oooooooo ooooo Obsah Smíšené pojištění Důchodová pojištění Důchodová pojištění odložená Speciální důchody Podrocni důchody Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění ooooooo Důchodová pojištění ooooooooooooo Důchodová pojištění odložená oooooo Speciální důchody oooooooo Področní důchody •oooo Področní důchody ■ V praxi se vyplácejí mnohem častěji než roční důchody. ■ Vyplácí se m-krát ročně. ■ Uplatňuje se zde področní úročení. ■ Pracuje se opět s jednotkovými počátečními hodnotami področních důchodů, kdy se m-krát ročně vyplácí částka ja, tedy dohromady za rok jednotková hodnota. ■ Např.pro jednotkovou počáteční hodnotu področního předlhůtního doživotního důchodu s platbami na začátku jednotlivých měsíčních období platí Smíšené pojištění ooooooo Důchodová pojištění ooooooooooooo Důchodová pojištění odložená oooooo Speciální důchody oooooooo Področní důchody o»ooo V praxi se používají aproximace vycházející z nepodročních hodnot. Je možné využít Woolhouseův vzorec pro diferencovatelnou funkci ut: u0 + u± + ... + Ukm « m • (i/0 + L/-i + ... + uk) - m m m -1 , m2 -1 , , --2~-(Wo + Wíc) - i2 -(^-^0) m4-1 /// /// 720 (U/< ~ Uo)' Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění ooooooo Důchodová pojištění ooooooooooooo Důchodová pojištění odložená oooooo Speciální důchody oooooooo Področní důchody oo»oo Za předpokladu, že zanedbáme členy s derivacemi a přihlédneme k limitnímu vztahu tPx • v* -> 0 pro t -> oc podle tohoto vzorce můžeme psát OO M El K — 'K Px ' Vm m m k=0 Ek AT? — 1 . 1 ^. kPx'VK--— ■(-■0Px + 0) k=0 m - 1 2/77 Podobně se dají odvodit i ostatní vzorce. Silvie Kafková Pojistná matematika Smíšené pojištění ooooooo Důchodová pojištění ooooooooooooo Důchodová pojištění odložená oooooo Speciální důchody oooooooo Področní důchody ooo»o Příklad 20-ti letá osoba vyhrála ve Sportce 1 milion Kč. Uzavře smlouvu na doživotní předlhůtní důchod vyplácený každý měsíc. Jak vysoká bude vyplácená měsíční částka? Silvie Kafková Pojistná matematika ^ Červinek R: Pojistná matematika I, Masarykova univerzita, 2008 CipraT.: Pojistná matematika- Teorie a praxe, Ekopress, 1999 ^ Čámský R : Pojistná matematika v životním a neživotním pojištění Masarykova univerzita, 2004 Silvie Kafková Pojistná matematika