Pojistná matematika Pojištění s pevnou dobou výplaty, běžné netto pojistné. všeobecná rovnice ekvivalence Silvie Kafková 2015 Běžné netto pojistné Pojištění s pevnou dobou výplaty Všeobecná rovnice ekvivalence Silvie Kafková Pojistná matematika Běžné netto pojistné Pojištění s pevnou dobou výplaty Všeobecná rovnice ekvivalence Silvie Kafková Pojistná matematika Běžné netto pojistné •ooooo Běžné netto pojistné Z hlediska pojistného můžeme uvažovat následující situace ■ Jednorázové pojistné - placené při uzavření smlouvy. ■ Běžné pojistné - placené v pravidelných splátkách. Jedná se o splátky stejné výše placené vždy na počátku pravidelných pojistných období (roční, področní). ■ Označení běžného netto pojistného: P, případně Px, pokud budeme chtít zdůraznit, že jde o x- letou osobu. Silvie Kafková Pojistná matematika Běžné netto pojistné Pojištění s pevnou dobou výplaty Všeobecná rovnice ekvivalence o»oooo Výpočet bezneho netto pojistného Předpokládejme hodnotu pojištění tt. Zákazník si ale přeje platit pojistné m roků ročními předlhůtními splátkami. Platí, že m < n, kde n je doba trvání pojištění. Výše předlhůtní splátky je P. Vyjdeme opět z rovnice ekvivalence přijaté jednorázové pojistné tt = = součet ročních pojistných přijatých od žijících osob Silvie Kafková Pojistná matematika Běžné netto pojistné oo«ooo Pojištění s pevnou dobou výplaty ooo Všeobecná rovnice ekvivalence ooooooooooooooooo To lze matematicky zapsat jako tt ' lX = P * Ix + P • /x+1 * V + ... + P • /X+A7?_1 • V A77-1 Rovnici vynásobíme výrazem vx a přejdeme ke komutačním číslům vr • Dx = P • Dx + P • Dy^1 + ... + P • D x x+1 'x+m-1 Odtud n-Dx = P-(Nx-Nx+m) P = 71 Nx-Nx+m I Silvie Kafková Pojistná matematika ■ A tedy axm~] ■ Podobně se dají odvodit i vzorce pro ostatní pojištění ■ Jestliže platíme běžně po dobu kratší než je doba trvání pojištění, tj. m < n, označujeme pojistné \mP. Silvie Kafková Pojistná matematika Příklad Odvoďte vzorec na výpočet netto pojistného na pojištění x-leté osoby na dožití se věku (x + n) běžně placeného m let přičemž m < n. 40-ti letá osoba uzavře pojištění pro případ smrti na dobu 5 roků a pojistnou částku 100000 Kč. Jak vysoké by bylo jednorázové pojistné? Jak vysoké by bylo běžné pojistné, pokud by doba placení byla také 5 roků? Silvie Kafková Pojistná matematika Běžné netto pojistné ooooo» Pojištění s pevnou dobou výplaty ooo Všeobecná rovnice ekvivalence ooooooooooooooooo Podrocni bezne netto pojistné Zákazník platí pojistné vícekrát do roka, obecně m- krát za rok. p[m^ označujeme roční pojistné placené m-krát ročně : p(m) ve výši Rozlišujeme ■ pravé podrobní pojistné: platí Px < Pxm\ Doživotně placené področní běžné pojistné vypočteme jako Px^ = -^fm) a pro dočasné placení trvající n roků Pxm^ = \n1 nepravé področní pojistné: počítá se z ročního pjistného vydělením počtem splátek, tedy ^. Pak si pojišťovny účtují přirážku. i Silvie Kafková Pojistná matematika Běžné netto pojistné Pojištění s pevnou dobou výplaty Všeobecná rovnice ekvivalence Silvie Kafková Pojistná matematika Běžné netto pojistné oooooo Pojištění s pevnou dobou výplaty •oo Všeobecná rovnice ekvivalence ooooooooooooooooo Pojištění s pevnou dobou výplaty ■ Pojišťovna vyplatí sjednanou pojistnou částku na konci pojistné doby n bez ohledu na to, zda osoba pojištěná ve věku x žije. ■ Toto pojištění se uzavírá obvykle jako běžné. ■ V případě smrti pojištěného před uplynutím pojistné doby trvá pojištění dál, jako by pojišťovna na sebe převzala povinnost placení pojistného. Silvie Kafková Pojistná matematika Označení: Px Jednorázové pojistné: 71X = V výplata jednotkové pojistné částky za n let je jistá. Nezávisí na vstupním věku x. Běžné pojistné: 7TX _ vn • Dx 'x — ~ — Nx - Nx+n Silvie Kafková Pojistná matematika Příklad 50-ti letá osoba uzavřela pojištění s pevnou dobou výplaty na 10 let na pojistnou částku 100000 Kč. Vypočítejte běžné netto pojistné. Silvie Kafková Pojistná matematika Běžné netto pojistné Pojištění s pevnou dobou výplaty Všeobecná rovnice ekvivalence Silvie Kafková Pojistná matematika Běžné netto pojistné oooooo Pojištění s pevnou dobou výplaty ooo Všeobecná rovnice ekvivalence •oooooooooooooooo Hodnota pojištění ■ Nárok pojištěného vůči pojišťovně označíme pomocí uspořádané dvojice (77; f), kde rj a f jsou konečné posloupnosti nezáporných čísel v = {vf> y = o, 15 — ,cj-x} £ = {£y; y = o, 15 - - - ,cj-x}, kde ■ hodnota 77y je rovna pojistné částce při dožití se věku x + j ■ hodnota 6 je rovna pojistné částce při úmrtí ve věku x + y. Silvie Kafková Pojistná matematika Běžné netto pojistné oooooo Pojištění s pevnou dobou výplaty ooo Všeobecná rovnice ekvivalence o«ooooooooooooooo Hodnota pojištění Hodnotu nároků (77; f) pojištěného ve věku x vůči pojišťovně můžeme vyjádřit jako 1 ^ UJ — X ^ ÜJ — X háv^) = ď" E^y • D*+i + d~ E*y • - x 7 = 0 j — 1,2,..., tu — x Silvie Kafková Pojistná matematika Běžné netto pojistné oooooo Pojištění s pevnou dobou výplaty ooo Všeobecná rovnice ekvivalence oooooooooooooo«oo Všeobecná rovnice ekvivalence Jednorázové smíšené pojištění na dobu n let ■ Pak můžeme psát -| 0 -| n ^ n-\ - £ Axn] ■ Dx+J = — • £ 1 • Dx+j + p- • £ 1 • Cx+J 7=0 j=n y=0 Odtud 1 D • Axn] ' ux = —^--1-- x 'X D X D x A tedy Dx+n + MX- Mx+n D X Silvie Kafková Pojistná matematika Příklad 30-ti letá osoba se chce zabezpečit předlhůtním doživotním důchodem, který by začínal výplatou 10 000 Kč ve věku 50 let a každý rok by rostl o 1 000 Kč. Pokud zemře, chce, aby pozůstalí dostali na pohřeb 50 000 Kč. Pojistné chce platit 10 let. Jak vysoké je běžné pojistné? Silvie Kafková Pojistná matematika Běžné netto pojistné oooooo Pojištění s pevnou dobou výplaty ooo Všeobecná rovnice ekvivalence oooooooooooooooo* Reference ^ Červinek R: Pojistná matematika I, Masarykova univerzita, 2008 CipraT.: Pojistná matematika- Teorie a praxe, Ekopress, 1999 Čámský R : Pojistná matematika v životním a neživotním pojištění Masarykova univerzita, 2004 i Silvie Kafková Pojistná matematika