Pojistná matematika Pojistné rezervy v pojištění osob, ukládací a riziková část pojistného Silvie Kafková 2014 Silvie Kafková Pojistná matematika D Zdravotní aspekty Q Rezervy Q Netto rezerva Q Ukládací a riziková část pojistného Silvie Kafková Pojistná matematika D Zdravotní aspekty Q Rezervy Q Netto rezerva Q Ukládací a riziková část pojistného Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty Rezervy Netto rezerva •ooooooooooooooo oooooooo oooooooooooo Pojištěni vazných onemocnení ■ Označuje se také DD z anglického Dread Disease Insurance ■ Nejčastěji je nabízeno jako připojištění k životnímu pojištění. ■ Smyslem pojištění je snížit negativní dopad onemocnění a pokrytí rizika, kdy je pojištěný na základě uznané choroby pracovně neschopný a jeho příjem poklesl. ■ Pojišťovna uhradí smluvně sjednanou částku, která pomůže vyřešit zhoršenou finanční situaci. Plnění pojišťovny může pokrýt výdaje spojené s léčením, výdaje na nadstandardní lékařskou péči, na jednorázové splacení závazků např. úvěr, leasing nebo na úpravu prostředí, ve kterém pojištěný žije. ■ Na základě tohoto pojištění vyplácí pojištovna pojistné plnění při diagnóze kteréhokoli z pojišťovnou přesně definovaných onemocnění u pojištěného jedince. ■ Rozhodující obvyle není pozdější rozsah a následky nemoci, ale výsledky lékařského testu, podle něhož pojištěný utrpěl jednu z definovaných chorob. ■ Jako motivace pojištění vážných onemocnění se konkrétně uvádí: ■ možnost kvalitní léčby a nadstandardního ošetření; ■ finanční zabezbečení rodiny jako kompenzace ztráty výdělku; ■ pozitivní vliv na psychický stav pojištěného vyloučením materiálních starostí aj. Silvie Kafková Pojistná matematika Nejčastější DD skupinou je: ■ Srdeční infarkt ■ Cévní mozková příhoda ■ Rakovina ■ Selhání ledvin ■ Transplantace životně důležitých orgánů ■ Operace aorty ■ Operace srdečních chlopní ■ Slepota ■ Úplné a trvalé ochrnutí dvou a více končetin Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty ooo»oooooooooooo Rezervy oooooooo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Ochranná opatření pojišťovny Doba prežití: ■ je smluvně stanovená doba diagnózy vážného onemocnění a teprve po jejím uplynutí má pojištěný (pokud je naživu) nárok na pojistné plnění. ■ Důvod: v případě smrti pojištěného krátce po diagnóze onemocnění, dříve než pojišťovna stačí dokončit příslušná šetření, by mohly nastat problémy s likvidací pojistné události. Čekací doba: ■ je smluvně stanovená doba od uzavření pojištění (obvykle do 3 měsíců), během níž není pojištěný kryt proti riziku vážného onemocnění. ■ Důvod: snaha pojišťovny redukovat antiselekci. i Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooo»ooooooooooo Rezervy oooooooo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Formy pojištění vážných onemocnění Akcelerace pojistného plnění: u základního životního pojištění se zrychlí pojistné plnění tak, že pojistná částka je buď vyplacena rovnou celá (tzv. 100-procentní DD akcelerace), nebo ve výši k procent již v případě diagnózy vážného onemocnění a její případná zbývající část je pak vyplacena až v případě pojistné události ze základního pojištění. Nezávislé pojistné plnění: DD krytí je zaručeno zcela nezávisle na jiných okolnostech buď v samostatné pojistce nebo je opět připojeno k základní životní pojistce s tím, že DD plnění je tentokrát nezávislé na plnění ze základní pojistky. i Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty ooooo»oooooooooo Rezervy oooooooo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo 100-procentní DD akcelerace I U klasického životního pojištění jsou kalkulace založeny na pravděpodobnostech úmrtí qx. Zde se přechází na pravděpodobnost úmrtí nebo DD diagnózy q%cc počítané podle vzorce kde Qxcc = 'x + (1 - kx) • qx, qfc je pravděpodobnost toho, že jedinec, který je naživu ve věku x a který neměl DD diagnózu ve věku x a dříve, zemře nebo je DD diagnostikován před dosažením věku x + 1. ix je pravděpodobnost toho, že jedinec který je naživu ve věku x a který neměl DD diagnózu ve věku x a dříve, je DD diagnostikován před dosažením věku x + 1. kx je poměr DD úmrtí ve věku x vůči všem úmrtím ve věku x. Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooooo»ooooooooo Rezervy oooooooo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo 100-procentní DD akcelerace Pomocí hodnot q%cc se dopočítají komutační čísla. Pak je možné provést kalkulaci běžného netto pojistného na jednotkovou částku. Např. dočasné pojištění pro případ smri se 100-procentní DD akcelerací: >A1 ncc Macc — Macc pacc _ xn] = IVIX lvlx+n 'xri] ~ ~acc ~ Macc Macc ' axn\ N* ~ Nx+n Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty ooooooo»oooooooo Rezervy oooooooo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Nezávislé DD pojistné plnění I Přecházíme zde od qx k pravděpodobnostem DD diagnózy ve věku x podle vzorce nind _ : Wx — 'x- Jednotková počáteční hodnota pro samostatné nezávislé DD krytí při vstupním věku x na dobu n let je A 1 ind M'x - MUn xrí] nace ^x Běžné roční netto pojistné pak vypočteme jako pind _ _ A 1 ind X/7] acc ' X/7] Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooooooo«ooooooo Rezervy oooooooo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Úrazové a invalidní pojištěni ■ Formálně spadá pod neživotní pojištění, ale souvisí se zdravotními aspekty . ■ Velmi často bývá sjednáváno jako připojištění k většině produktů životního pojištění. ■ Přirozené pojistné zaplatí pojištěné riziko ne jedno pojistné období (obvykle rok) dopředu s tím, že na konci pojistného období je toto pojistné inkasované od celého pojistného kmene spotřebováno, protože odpovídá pravděpodobnosti toho, že v daném období nastane příslušná pojistná událost. V dalším pojistném období se začíná nanovo. Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty ooooooooo«oooooo Rezervy oooooooo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Úrazové pojištění ■ V rámci úrazového pojištění se velmi výrazně projevuje klasifikace rizik a to obvykle minimálně podle profese a provozovaných sportů. ■ Výpočet pojistného pro jednotlivé rizikové skupiny spočívá ve správném odhadu pravděpodobnosti pojistné události na základě minulých záznamů a projekcí do budoucnosti. ■ Pojistné plnění má většinou formu výplaty příslušných procent (podle sjednaných oceňovacích tabulek) ze sjednaných pojistných částek. Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooooooooo»ooooo Rezervy oooooooo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Invalidní připojištění I Pojištění invalidity lze připojistit v rámci každého produktu životního pojištění a jedinou podmínkou pro výplatu pojistného plnění z tohoto pojištění je přiznání invalidního důchodu ze státního systému. Při sjednání pojištění je nutné si nastavit způsob výplaty pojistného plnění. Produkty životního pojištění umožňují vyplacení tzv. důchodu formou jednorázové částky anebo formou ročního důchodu. U možnosti ročního důchodu si pojištěný může zvolit frekvenci výplaty, například měsíčně, čtvrtletně nebo jednou za půl roku. Pojištění invalidity nelze sjednat samostatně, a proto je často označováno jako připojištění. Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty ooooooooooo»oooo Rezervy oooooooo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Invalidní připojištění ■ Pojištění invalidity slouží zejména k zachování měsíčních příjmů pojištěného. Optimální sjednaná částka by tedy měla odpovídat rozdílu, o který klesne pravidelný roční příjem v případě přiznání invalidního důchodu. ■ Základem pojištění invalidity je zproštění od placení. Ve chvíli, kdy je pojištěnému přiznán plný invalidní důchod podle zákona o důchodovém pojištění, povinnost hradit běžně sjednané pojistné pro něj zaniká, přičemž jsou zachovány všechny nároky, které z pojištění vyplývají. ■ Po dobu zproštění není možné provádět v pojistné smlouvě jakékoli změny. Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooooooooooo»ooo Rezervy oooooooo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Invalidní připojištění ■ V rámci výpočtů souvisejících s invaliditou se obvykle uplatňuje model pojistného kmene s různými príčinami výstupů, mezi nimiž figuruje invalidita. ■ Vzhledem k problémům s daty pojišťovny často používají globální model se třemi skupinami populace: ■ skupina aktivních ■ skupina invalidních ■ skupina zemřelých. ■ Pravděpodobnosti přechodu mezi těmito skupinami se odhadují na základě dat ze sociálního pojištění či penzijního připojištění. Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty ooooooooooooo»oo Rezervy oooooooo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Invalidní připojištění Jedná se o následující pravděpodobnosti přechodu: ■ je pravděpodobnost, že jedinec aktivní ve věku x zemře před dosažením věku x + 1; ■ q'x je pravděpodobnost toho, že jedinec invalidní ve věku x zemře před dosažením věku x + 1; ■ ix je pravděpodobnost toho, že jedinec aktivní ve věku x se stane invalidní před dosažením věku x + 1 (míra invalidizace); ■ rx je pravděpodobnost toho, že jedinec invalidní ve věku x se stane aktivním před dosažením věku x + 1 (míra reaktivizace); Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooooooooooooo»o Rezervy oooooooo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Invalidní připojištění Příklad 35 letý muž, manažer firmy s příjmem 50 000,- Kč měsíčně, má manželku na mateřské dovolené s 2 letým synem. Má uzavřeno životní pojištění do 60 let s pojistnou částkou na smrt ve výši 2 500 000,- Kč, invalidní důchod v důsledku úrazu ve výši 240 000,- Kč a zproštění od placení. Celkové pojistné činí 3500,- Kč měsíčně. Silvie Kafková Pojistná matematika ■ Při autohavárii, kdy mu nedal na křižovatce přednost druhý řidič, si poranil páteř a je trvale upoután na invalidní vozík. Za půl roku mu byl přiznán plný invalidní důchod. ■ Po úrazu začne pobírat nemocenské dávky ve výši 19 590,- Kč po dobu 6 měsíců. Protože nemá sjednáno pojištění pracovní neschopnosti, příjmy rodiny klesnou o 30 410,- Kč. ■ Po 6 měsících začne pobírat plný invalidní důchod ve výši 15 000,- Kč a k tomu invalidní důchod ze životního pojištění ve výši 20 000,- Kč (240 000 :12, zvolena varianta měsíční výplaty). Měsíční příjmy klesnou celkem o 15 000,- Kč. ■ Je zproštěn od placení, tzn., že pojištění nadále trvá bez plateb pojistného. Silvie Kafková Pojistná matematika D Zdravotní aspekty Q Rezervy Q Netto rezerva Q Ukládací a riziková část pojistného Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooooooooooooooo Rezervy »ooooooo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Rezervy I Pojišťovny musí vytvářet řadu rezerv finančních prostředků. Pojem technických rezerv je důležitý pro oblast životního i neživotního pojištění. Pojem technických rezerv bývá přesně vymezen pojistnou legislativou každého státu. V ČR se jedná především o zákon 363/1999 Sb., jeho novelu 39/2004 Sb. a související prováděcí vyhlášky. Technické rezervy jsou vytvářeny pojistitelem jako náklady k plnění závazků z pojišťovací činnosti, které jsou pravděpodobné nebo jisté, ale nejistá je jejich výše nebo okamžik jejich vzniku. Silvie Kafková Pojistná matematika ■ Technické rezervy představují důležitou součást pasiv každé pojišťovny a o každé z rezerv se účtuje odděleně od ostatních závazků pojistitele. ■ Aktiva, jejichž zdrojem jsou technické rezervy podléhají striktním omezením, aby skladba jejich finančního umístění splňovala zásady bezpečnosti (jednotlivé složky musí poskytovat záruku návratnosti), diverzifikace (rozložení finančních prostředků mezi větším počet nezávislých právnických osob), rentability (výnos z držby nebo zisk z prodeje) a likvidity (část prostředků musí být pohotově k dispozici k výplatě pojistných plnění). Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooooooooooooooo Rezervy oo»ooooo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Technické rezervy I Legislativa CR vyžaduje v životním pojištění následující technické rezervy: ■ rezerva pojistného životních pojištění- hodnota závazků vyplývající ze smluv životního pojištění stanovená pomocí pojistně-matematických metod. ■ rezerva na nezasloužené pojistné- obsahuje část předepsaného hrubého pojistného, která se vztahuje k následujícím účetním obdobím. ■ rezerva na pojistná plnění- představuje odhad celkových nákladů na pojistná plnění, vyplývající z pojistných událostí vzniklých do konce účetního období, bez ohledu na to, zda tyto pojistné události byly či nebyly ohlášeny. Silvie Kafková Pojistná matematika ■ rezerva na prémie a slevy- používá se ke krytí nákladů na prémie a slevy poskytnuté v souladu s pojistnými smlouvami, např. podíl na výnosech nebo zisku z finančního umístění. ■ rezerva životních pojištění, je-li nositelem investičního rizika pojistník-\e určena na krytí závazků pojišťovny vůči pojištěným u těch odvětví životních pojištění, kdy na základě pojistné smlouvy investiční riziko nese pojistník. Silvie Kafková Pojistná matematika ■ rezerva na splnění závazků z použité technické úrokové míry- jestliže současný nebo předpokládaný výnos aktiv pojišťovny nepostačuje k úhradě závazků pojišťovny vyplývajících z použité technické úrokové míry, je pojišťovna povinna vytvořit technickou rezervu, určenou ke splnění těchto závazků. ■ rezerva pojistného neživotních pojištění- pro neživotní připojištění k produktům životního pojištění. ■ jiné rezervy. Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooooooooooooooo Rezervy ooooo»oo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Rezerva pojistného životních pojištění ■ Tato rezerva je určena ke krytí budoucích závazků ze životních pojištění. ■ Počítá se většinou tak, že od hodnoty budoucích závazků pojistitele se odečte hodnota budoucího pojistného. ■ Jedná se o nejdůležitější technickou rezervu v rámci klasických životních pojištění. ■ Rozdíl mezi pojistnou částkou a vytvořenou rezervou pojistného životních pojištění se nazývá rizikový kapitál. Silvie Kafková Pojistná matematika ■ Podle principu ekvivalence se celková hodnota očekávaného pojistného musí rovnat celkové hodnotě očekávaného pojistného plnění, pokud příjmy i výdaje diskontujeme ke stejné časové základně. ■ V průběhu pojištění tato rovnost neplatí. ■ Uvažujeme-li pojištění pro případ smrti běžně placené stejnými splátkami, tak z pojistného se na krytí pojistného plnění v prvích letech odčerpává málo, protože pravděpodobnost úmrtí je malá. Silvie Kafková Pojistná matematika ■ Pojistné vybrané v pozdějších letech kvůli vyšší pravděpdobnosti úmrtí už nestčí na krytí pojistného plnění, a proto musí pojišťovna čerpat ze svých rezerv. ■ Pojistná rezerva je suma, kterou musí pojišťovna nahromadit z přebytků v prvních letech pojištění tak, aby mohla plnit svoje závazky i v budoucnosti. Silvie Kafková Pojistná matematika D Zdravotní aspekty Q Rezervy Q Netto rezerva Q Ukládací a riziková část pojistného Silvie Kafková Pojistná matematika ■ Nepočítá se zde se správními náklady a pracujeme pouze s netto hodnotami. ■ Mějme pojištění se vstupním věkem x a pojistnou dobou n za roční pojistné Pxn-^, které vždy na počátku pojistného roku poskytuje na konci Mého pojištění: ■ pojistné plnění ve výši at při dožití ř-tého roku pojištění; ■ pojistné plnění ve výši bt při úmrtí během ř-tého roku pojištění. Silvie Kafková Pojistná matematika Uvažujme smíšené pojištění 40-ti leté osoby na dobu 20 let na pojistnou částku 10000Kč. Určete at a bt vzhledem k t (platí, že r = 0,1,2,...,/7). Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooooooooooooooo Rezervy oooooooo Netto rezerva oo»ooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Prospektivní výpočet rezerv ■ Vzhledem k tomu, jak je kalkulováno netto pojistné, musí platit (a-| • Dx+-| + ... + an • Dx-\-n + • Cx + ... + bn • Cx+A?_i) - (Pxri] ' Dx + ... + Pxri] ' ) = 0 ■ Netto rezervu nashromážděnou do konce Mého roku pojištění (t = 0,1, ...n) označíme symbolem tVxn-], resp. tVx pro trvalá pojištění. Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooooooooooooooo Rezervy oooooooo Netto rezerva OOO0OOOOOOOO Ukládací a riziková část pojistného oooo I tVxri\ Rozepsáním předchozího vzorce dostaneme vztah = • Px+t • V + ... + an -n-t Px+t ' v" * + bw • qx+t v + ... + bn -n_ŕ_i| qx+t ■ v"'*) - {Pxri\ + Pxri\ ' Px+t ' V + ... + Pxn^ -n_ŕ_i Z)yLf+1 (a7 ' DX+j + b j • Cx+y_-| ) Pxny X)yLf+1 ^+y-1 D 'x+ŕ D 'x+ŕ kde první zlomek je pojistné plnění na jednu pojistnou smlouvu očekávané od počátku (ř + 1 )-ního roku a diskontované k tomuto okamžiku, druhý zlomek je pojistné na jednu pojistnou smlouvu očekávané od počátku (ř + 1 )-ního roku a diskontované k tomuto okamžiku. Je ho možné psát ve tvaru xri] ' ax+t,n-t~] ■ Silvie Kafková Pojistná matematika Tento vzorec nazýváme prospektivní výpočet rezervy. Znamená: budoucí výdaje - budoucí príjmy. Jestliže t = 0, pak platí 0 Vxn-\ = 0, což v praxi platí, protože výchozí rezerva při uzavření pojistné smlouvy je nulová. Pokud se jedná o pojištění s jednorázovým pojistným, pak druhý zlomek zmizí Z)yLr+i (ay' Dx+j + bj' Cx+y-1) tVxn] - D Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooooooooooooooo Rezervy oooooooo Netto rezerva ooooo»oooooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Retrospektivní výpočet rezerv I Znamená: minulé příjmy - minulé výdaje. Vypočteme podle vzorce t^xrí] = Pxri\ ' Z)j=1 D*+y-1 Z)j=1 (a7 ' Dx+j + ty • Cx+y_i) D 'x+ŕ D x+t kde první zlomek je pojistné na jednu pojistno smlouvu očekávané do konce ŕ-tého roku a zúročené k tomuto okamžiku, druhý zlomek je pojistné plnění na jednu pojistnou smlouvu očekávané do konce ŕ-tého roku a zúročené k tomuto okamžiku. Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooooooooooooooo Rezervy oooooooo Netto rezerva OOOOOO0OOOOO Ukládací a riziková část pojistného oooo Prospektivní netto rezervy pro některé druhy pojištěni ■ Budeme uvažovat jednotkovou pojistnou částku a jednotkový důchod, dále pak roční placení pojistného. ■ Pojištění pro případ dožití: dosadíme an = 1, jinak ay i = 0 a bi = 0. Odtud 7 tVxn-} D x+n Dx+t Dx+n D x+n - P xri] ' <*x+t,n-ť\ D x+n Nx+t - N x+n Nx - Nx+n Nx - Nx+t D x+t Dx+t Nx - Nx+n' Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooooooooooooooo Rezervy oooooooo Netto rezerva ooooooo«oooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Pojištěni pro prípad smrti: í Vx = Ax+t — Px ■ äx+t = 1 — = 1 - Dx N x+t D x+t N X IX Dočasné pojištění pro prípad smrti: tVxri\ ^x+t,n-ť] ~ Pxri] ' äx+t,n-ť] Mx+t-Mx+n Mx-Mx+n Nx+t-Nx+n D x+t Dx+t Nx-Nx+n ' Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooooooooooooooo Rezervy oooooooo Netto rezerva oooooooo»ooo Ukládací a riziková část pojistného oooo Smíšené pojištění: tVxri] — ^x-\-t,n-ť] ~ ^xri] ' äx+t,n-t~} ^ äx+t,n-ť] ^ Nx+t - Nx+n Dx+ŕ Nx-Nx+n Pojištění s pevnou dobou výplaty: ŕ Vxri\ = v" Pxrí] ' äx+ŕ,n-f| = v,n-ŕ n Dx Nx+t-Nx+n Dx+t ' Nx - Nx+n ' Silvie Kafková Pojistná matematika Pojištěni odloženého doživotního důchodu: {ó p ó _ Nx+k Nx-Nx+t t ... /f_ř|ax+ř - Px/fi • ax+t,k-t] - • Nx-Nx+k pro f < /c, äx+t = ^ pro ř > /c. Průběh netto rezerv ■ V případě dočasného pojištění pro případ smrti, netto rezerva vždy nejprve roste a po dosažení určitého maxima opět klesá k nule. ■ Ve smíšeném pojištění netto rezerva neustále roste. ■ U pojištění odloženého doživotního důchodu nejprve rezerva roste a po dosažení maxima už jen klesá. Silvie Kafková Pojistná matematika 30-ti letá osoba se pojistila pro případ smrti na pojistnou částku 100000 Kč. Pojistné zaplatila jednorázově. Jak velká je netto rezerva po 10. roce pojištění a po 40. roce pojištění? 30-ti letá osoba se pojistila pro případ smrti na pojistnou částku 100000 Kč. Pojistné platí běžně. Jak velká je netto rezerva po 10. roce pojištění? Silvie Kafková Pojistná matematika Rekurentní vzorec netto rezervy Pro pojištění s ročním pojistným platí: (t-iVxn] +Pxnl)-(1+/)-(arPx+r-i + br qx+t-i) =t í/xni-Px+ř-1, nebo ekvivalentně podle principu fiktivního souboru Na levé straně rovností je částka, kterou pjišťovna disponuje na začátku Mého roku, včetně pojistného zaplaceného na začátku tohoto roku, zúročená ke konci Mého roku a zmenšená o očekávané pojistné plnění na konci Mého roku. Na pravé straně je očekávaná částka, kterou by pojišťovna měla disponovat na konci Mého roku. (ř-1 Vxn-} + Pxn-\) -/x+ř-1 '0 +0~íat ' lx+t + bt • dx+t-\) =t Vxri\ 'lx+t nebo s použitím komutačních čísel Vxri\ + Pxri}) -(^r ' Dx+t + bt • Cx+ř_i ) =t VxnyDx+t. Silvie Kafková Pojistná matematika D Zdravotní aspekty B Rezervy Q Netto rezerva Q Ukládací a riziková část pojistného Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooooooooooooooo Rezervy oooooooo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného •ooo Ukladaci a riziková cast pojistného I Pokud dojde k pojistné události, pak pojišťovna čerpá pojistné plnění ze dvou zdrojů: ■ z netto rezervy - kterou pojišťovna průběžně vytváří z netto pojistného, tzv. ukládací část; ■ z rizikového kapitálu - rizikový kapitál v daném čase uvažovaného pojištění vždy odpovídá doplňku netto rezrvy do pojistné částky a pojišťovna na něj průběžně odčerpává zbývající část netto pojistného, tzv. rizikovou část netto pojistného, která souhrne v celém pojistném kmeni pokryje rizikový kapitál v těch pojištěních z pojistného kmene, u nichž došlo v daném pojistném období ke vzniku pojistné události. Silvie Kafková Pojistná matematika Rekurentní vzorec netto rezervy pro pojištění s ročním pojistným lze upravit Dx+t ar Dx+t + bt • Cx+t-1 = P$j (0 + PŽ| (0 • Silvie Kafková Pojistná matematika Zdravotní aspekty oooooooooooooooo Rezervy oooooooo Netto rezerva oooooooooooo Ukládací a riziková část pojistného oomo Tedy platí pukl priz rxri\ (0 = xn\ (0 —t Vxri\ ' v Vxn^ I Ukládací část pojistného P^j (ř) v čase ŕ je částka, kterou je nutné přidat v Mém roce pojištění k předchozí rezervě Vxn^, aby po ročním zúročení dala novou rezervu t Vxn^. Riziková část pojistného PrJ^ (ř) v čase ř je částka pokrývající v průměru riziko pojistného plnění at • Px+ř-1 + bt • Qx+ř-1 v t-tém roce pojištění při zohlednění prostředků tVxn-^ • gx+ř-i použitých z netto rezerv vzhledem k úmrtím v Mém roce. Silvie Kafková Pojistná matematika Příklad Vypočítejte ukládací a rizikovou část pojistného v 5. roce pojištění pro běžně placené pojištění pro případ smrti, pokud se pojistila 30-ti letá osoba na pojistnou částku 1000Kč. Silvie Kafková Pojistná matematika