Pojistná matematika Zillmerova rezerva, změny pojistné smlouvy Silvie Kafková 2015 Silvie Kafková Pojistná matematika Zillmerova rezerva Změny pojistné smlouvy Zillmerova rezerva oooooo Změny pojistné smlouvy ooooooooooo Obsah Zillmerova rezerva Změny pojistné smlouvy Silvie Kafková Pojistná matematika Zillmerova rezerva ■ Počáteční náklady a, které vznikají při uzavírání smlouvy, vynakládá pojišťovna při vzniku pojištění nebo krátce po ■ Při běžném placení pojistného se tyto náklady započítávají do pojistného. ■ Pojišťovna dostane zpět o-náklady až na konci pojištění, resp. při ukončení placení pojistného. ■ Vznik finančních těžkostí pro pojišťovny s velkým počtem nových pojistek. nem. Silvie Kafková Pojistná matematika ■ Problém řešil německý pojistný matematik August Zillmer. ■ Ještě nezaplacené částky o-nákladů označil jako pohledávku pojišťovny vůči pojištěnému. ■ O tuto částku je snížena jeho netto rezerva. ■ Takovou rezervu nazýváme zillmerovaná rezerva nebo Zillmerova rezerva. Silvie Kafková Pojistná matematika Zillmerovu rezervu vypočítáme následovně: ŕ V? = tVx - - ax+Un_n pro m > t axri\ a = f Vx pro m < t tvx Silvie Kafková Pojistná matematika Příklad Určete zillmerovanou rezervu ve 2. roce běžně placeného pojištění pro případ smrti na pojistnou částku 10000 Kč, které uzavřela 30-ti letá osoba, pokud a = 3% z pojistné částky. Silvie Kafková Pojistná matematika ■ V počátečních letech pojištění může být Zillmerova rezerva záporná. Místo kladného konta se na klientovi vymáhá dluh. ■ V případě záporné Zillermanovy rezervy tuto rezervu pokládáme rovnu nule. ■ Zillmer určil podmínky, při kterých už rezerva v prvním roce nebude záporná, tj. 1 l/jf > 0. ■ Počítá se tzv. Zillmerova (zillmerovací) sazba az, která je kořenem rovnice -i Vjf = 0. ■ Zřejmě pak pro všechny a < az je Zillmerova rezerva již nezáporná. Silvie Kafková Pojistná matematika Zillmerova rezerva ooooo* Změny pojistné smlouvy ooooooooooo Příklad Vypočítejte Zillmerovu sazbu pro předchozí příklad. Silvie Kafková Pojistná matematika Zillmerova rezerva oooooo Změny pojistné smlouvy ooooooooooo Obsah Zillmerova rezerva Změny pojistné smlouvy Silvie Kafková Pojistná matematika Zrušení (stornování) pojistné smlouvy Většina smluv životního pojištění má dlouhodobý charakter a klient by měl mít právo kdykoli od smlouvy odstoupit a pojištění zrušit. Mohou nastat dvě možnosti: ■ zánik- nejčastěji v prvních letech pojištění, kdy je Zillmerova rezerva záporná; bez nároku na vyrovnání (odkup) ■ odkup - pokud nastalo právo odkupu (Zillmerova rezerva je kladná); odkupní hodnota se počítá ze Zillmerovy rezervy nebo z netto rezervy a vzorec navrhuje pojistný matematik. i Silvie Kafková Pojistná matematika Odkup Odkupné by nemělo vést k neoprávněnému obohacení klienta nad rámec jím zaplaceného pojistného a odpovídajících úroků na úkor pojistitele a ostatních klientů. Odkupné by mělo být spravedlivé ke klientovi. Nejčastěji používaná konstrukce odkupného je ve tvaru Zillmerovy rezervy zmenšené o stornosrážku volenou obvykle jako určité procento z rezervy. Stornosrážka obvykle klesá s rostoucí dobou pojištění, aby se zvýhodnili dlouhodobější klienti. i Silvie Kafková Pojistná matematika Osoba uzavřela ve věku 40 roků běžně placené smíšené pojištění na 20 let s pojistnou částkou 400 000 Kč. Pojišťovna počítá následující náklady: a = 3,5%, /3 = 0,3%, 7 = 10%. Pro hodnotu odkupného používá vzorec tOx = (0,885 + 0,005 • ř) -ř 1/jf pro ř > 5. Vypočítejte: brutto pojistné výšku rezervy v 10. roce pojištění ioQx- Silvie Kafková Pojistná matematika Technické změny Za technické změny budeme považovat redukci částky, změnu typu pojištění a dynamizaci. Metody výpočtu vycházejí z jednoho principu. V čase změny má pojištěný k dispozici nějakou částku (netto rezervu, Zillmerovu rezervu, odkupné). Tuto částku použijeme jako jednorázové pojistné na nové pojištění, které zohlední požadované změny. i Silvie Kafková Pojistná matematika Redukce pojistné částky ■ Pokud pojistník nemůže nebo nechce platit pojistné, ale nechce zrušit pojištění, může požádat o redukci pojistné částky. ■ Budeme předpokládat, že pojistník má k dispozici Zillmerovu rezervu, kterou budeme považovat za netto pojistné k datu redukce. ■ Označme redukovanou pojistnou částku, pak tVZ.PČ X tVfPČ X Silvie Kafková Pojistná matematika Příklad 45-ti letá osoba uzavřela běžně placené smíšené pojištění na 20 roků na pojistnou částku 10 000 Kč. V 10. roce pojištění chce redukci pojistné částky. Jaká bude redukovaná pojistná částka, pokud pojišťovna vychází ze Zillmerovy rezervy a počítá následující náklady: a = 3,5%, /3 = 0,5%? Silvie Kafková Pojistná matematika Zmena typu pojištěni Pojistník se v průběhu trvání rozhodne změnit typ pojištění, např. z pojištění pro případ smrti se pojištění mění na smíšené pojištění. Při výpočtu pojistného postupujeme tak, že ■ určíme Zillmerovu rezervu současného pojištění, ■ tuto částku pak považujeme za jednorázové pojistné pro nové pojištění, ■ z příslušného vzorce vyjádříme novou pojistnou částku. Příklad 30-ti letá osoba uzavřela doživotní pojištění pro případ smrti, za které zaplatila jednorázové netto pojistné 10 000 Kč. V 10. roce pojištění se rozhodla změnit pojištění. Jak se změní pojistná částka při změně pojištění na: □ dočasné pojištění pro případ smrti na 30 let, B smíšené pojištění na dobu 20 let. Pojištěná osoba přitom nechce již nic platit. Silvie Kafková Pojistná matematika ■ Většina pojišťoven nabízí možnost pravidelného zvyšování pojistného resp. pojistné částky o inflaci (jako protiinflační opatření). ■ Tento postup se nazývá dynamizace nebo indexace případně protiinflační pojištění. ■ Dynamizace umožňuje udržet reálnou hodnotu pojistné částky. ■ Pro výpočet nového pojistného budeme používat metodu dodatečného pojištění. Silvie Kafková Pojistná matematika Metoda dodatečného pojištění Nechť v (ř + 1 )-ním roce pojištění souhlasí pojištěný s dynamizací. Pak se pojistná částka změní z PČ na PČ', pro kterou platí PC > PC. Můžeme si to představit, jako kdyby pojištěný ve věku x + t uzavřel novou smlouvu na rozdíl (PČ - PČ). Bude pak platit S' = S+(PČ'-PČ)S x+t,n-ť] > kde B je původní brutto pojistné. i Silvie Kafková Pojistná matematika Příklad 41-letá osoba uzavřela běžně placené smíšené pojištění na 10 let s pojistnou částkou 100 000 Kč. Pojišťovna účtuje následující náklady: a = 3,5%, /3 = 0,5%, 7 = 5%. V 5. roce pojištění souhlasila dotyčná osoba s dynamizací pojištění zvýšením pojistné částky o 11,7%. Spočítejte běžné brutto pojistné před dynamizací a po dynamizaci. Silvie Kafková Pojistná matematika