Cvičení 9 – příklady u tabule
Příklad 1.: (viz př. 10.5.3. ze skript) Při parlamentních volbách získaly 4 nejsilnější strany 30%, 20%, 15% a 10% hlasů, zbytek hlasů byl
rozdělen mezi ostatní strany. Při volbách do obecního zastupitelstva v jedné obci získaly zmíněné strany (ve stejném pořadí) 1400, 900, 900 a
600 hlasů z 5000 odevzdaných hlasů. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že rozložení hlasů při parlamentních a
místních volbách (v uvedené obci) je stejné.
Řešení: n = 5000
j nj pj npj (nj - npj)2
(nj - npj)2
/ npj
1 1400 0,3 5000.0,3=1500 10000 6,67
2 900 0,2 5000.0,2=1000 10000 10
3 900 0,15 5000.0,15=750 22500 30
4 600 0,1 5000.0,1=500 10000 20
5 1200 0,25 5000.0,25=1250 2500 2
K = 68,67, r = 5, p = 0, χ2
0,95(4) = 9,488. Protože K ≥ 9,488, H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Příklad 2.: (viz př. 10.5.4. ze skript) Z 300 výrobků je 160 první jakosti, 110 druhé, 20 třetí a 10 čtvrté. Dodavatel se zavázal dodat výrobky
v tomto složení: 50 %, 35 %, 12 %, 3 %. Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že dodávka odpovídá kontraktu.
Řešení: n = 300
j nj pj npj (nj - npj)2
(nj - npj)2
/ npj
1 160 0,5 300.0,5=150 100 0,6667
2 110 0,35 300.0,35=105 25 0,2381
3 20 0,12 300.0,12=36 256 7,1111
4 10 0,03 300.0,03=9 1 0,1111
K = 8,127, r = 4, p = 0, χ2
0,95(3) = 7,815. Protože K ≥ 7,815, H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Příklad 3.: Za 2. světové války byl Londýn bombardován řízenými střelami. Jeho jižní část byla rozdělena na oblasti o ploše 0,25 km2
a bylo
zkoumáno, kolik řízených střel dopadlo na každou z těchto oblastí.
Počet střel 0 1 2 3 4 a víc
Počet oblastí 229 211 93 35 8
Na asymptotické hladině významnosti testujte hypotézu, že počet řízených střel, které dopadly na jednu oblast, se řídí Poissonovým rozložením.
Úkol vyřešte
a) pomocí testu dobré shody,
b) pomocí jednoduchého testu Poissonova rozložení.
Řešení: n = 576
Ad a) Parametr λ Poissonova rozložení neznáme, odhadneme ho pomocí výběrového průměru.
[ ] ( ) λ==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅== ∑=
)
9271,08435393221112290
576
1
xn
n
1
m
r
1j
jj . Pravděpodobnost, že náhodná veličina X ~ Po(0,9271) bude nabývat
hodnot pj, j = 0,1,2,3,4 a víc, je ( )32104
9271,0
j
j pppp1p0,1,2,3,j,e
!j
9271,0
p +++−=== −
j nj pj npj (nj - npj)2
(nj - npj)2
/ npj
0 229 0,3957 227,9268 1,1518 0,0051
1 211 0,3669 211,3071 0,0943 0,0004
2 93 0,1701 97,9496 24,4990 0,2501
3 35 0,0536 30,2692 22,3809 0,7394
4 8 0,0148 8,5473 0,2996 0,0351
K = 1,03, r = 5, p = 1, χ2
0,95(3) = 7,815. Protože K < 7,815, H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Ad b) m = 0,9271,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 9234,09271,0489271,03359271,02939271,012119271,00229
4
1
mxn
1n
1
s
22222
r
1j
2
]j[j
2
=−+−+−+−+−=−
−
= ∑=
( ) 696,572
9271,0
9234,0575
m
s1n
K
2
=
⋅
=
−
= , χ2
0,025(575) = 510,4485, χ2
0,975(575) = 643,3392.
Protože K nepatří do kritického oboru )∞∪ ;3392,6434485,510;0 , H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Příklad 4.: Bylo zkoumáno 43 automobilů téže značky a měřena vzdálenost (v tisících km), kterou ujely, než se vyskytla první vážná porucha:
5 48 7 30 15 18 7 1 15 90 25 17 32 3 2 27 19 16 74 9 8
11 12 21 8 9 58 14 24 12 1 5 13 69 23 4 10 3 2 83 6 10 5
Pro úsporu času máte uveden průměr 20,2558 a rozptyl 506,4806. Na asymptotické hladině významnosti testujte pomocí Darlingova testu
hypotézu, že počet km do první vážné poruchy se řídí exponenciálním rozložením.
Řešení:
( ) 8457,51
2558,20
4806,50642
m
s1n
K 22
2
=
⋅
=
−
= , χ2
0,025(42) = 25,9987, χ2
0,975(42) = 61,7768 .
Protože K nepatří do kritického oboru )∞∪ ;7768,619987,25;0 , H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.