Cvičení 10: Hodnocení kontingenčních tabulek
Úkol 1.: Testování hypotézy o nezávislosti, měření síly závislosti
V roce 1950 zkoumali Yule a Kendall barvu očí a vlasů u 6800 mužů.
Barva vlasůBarva očí
světlá kaštanová černá rezavá
modrá 1768 807 180 47
šedá nebo zelená 946 1387 746 53
hnědá 115 438 288 16
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti barvy očí a barvy
vlasů. Vypočtěte Cramérův koeficient. Simultánní četnosti znázorněte graficky.
Návod:
Testujeme hypotézu H0: X, Y jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny proti
H1: X, Y nejsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny. Testová statistika má tvar:
∑∑= =






−
=
r
1j
s
1k k..j
2
k..j
jk
n
nn
n
nn
n
K . Platí-li H0, pak K se asymptoticky řídí rozložením χ2
((r-1)(s-1)),
kde r, s jsou počty variant jednotlivých proměnných.
Hypotézu o nezávislosti veličin X, Y tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti α,
když K ≥ χ2
1-α((r-1)(s-1)).
V našem případě zjistíme, že K = 1088,15, r = 3 , s = 4, χ2
1-α((r-1)(s-1) = χ2
0,95(6) = 12,592 a
protože hodnota testové statistiky K = 1088,15 ≥ 12,592, zamítáme nulovou hypotézu na
asymptotické hladině významnosti 0,05.
Cramérův koeficient:
)1m(n
K
V
−
= , kde m = min{r,s}. Tento koeficient nabývá hodnot
mezi 0 a 1. Čím blíže je 1, tím je těsnější závislost mezi X a Y, čím blíže je 0, tím je tato
závislost volnější.
Význam hodnot Cramérova koeficientu:
mezi 0 až 0,1 … zanedbatelná závislost,
mezi 0,1 až 0,3 … slabá závislost,
mezi 0,3 až 0,7 … střední závislost,
mezi 0,7 až 1 … silná závislost.
Otevřeme datový soubor oci_vlasy.sta. Před provedením testu je zapotřebí ověřit podmínky
dobré aproximace: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Kontingenční tabulky - Specif.
tabulky – List 1 OCI, List 2 VLASY, OK, Váhy - CETNOST, Stav zapnuto, OK – na záložce
Možnosti zaškrtneme Očekávané četnosti – Výpočet.
Souhrnná tab.: Očekávané četnosti (oci_vlasy.sta)
Četnost označených buněk > 10
Pearsonův chí-kv. : 1088,15, sv=6, p=0,00000
OCI VLASY
světlá
VLASY
kaštanová
VLASY
černá
VLASY
rezavá
Řádk.
součty
modrá 1167,259 1085,976 500,902 47,8622 2802,000
šedá nebo zelená 1304,731 1213,875 559,895 53,4990 3132,000
hnědá 357,010 332,149 153,202 14,6388 857,000
Vš.skup. 2829,000 2632,000 1214,000 116,0000 6791,000
Podmínky dobré aproximace jsou splněny. Všechny teoretické četnosti jsou větší než 5. Nyní
budeme testovat hypotézu o nezávislosti proměnných OCI, VLASY.
Návrat do Výsledky; kontingenční tabulky – na záložce Detaily zaškrtneme Pearsonův & M-L
Chi - kvadrát, Phi & Cramerovo V – Detailní výsledky – Detailní 2 rozm. tabulky.
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Fí
Kontingenční koeficient
Cramér. V
1088,149 df=6 p=0,0000
1155,669 df=6 p=0,0000
,4002923
,3716246
,2830494
Ve výstupní tabulce najdeme mj. hodnotu testové statistiky (Pearsonův chí-kv = 1088,149)
s počtem stupňů volnosti (sv = 6) a odpovídající p-hodnotou (p = 0,0000), dále Cramérův
koeficient (V = 0,283). Protože p-hodnota je menší než 0,05, nulovou hypotézu o
nezávislosti barvy očí a barvy vlasů zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Cramérův koeficient svědčí o slabé závislosti barvy očí a vlasů.
Pro grafické znázornění četností se vrátíme do Výsledky; kontingenční tabulky – Detailní
výsledky – 3D histogramy. Graf lze natáčet pomocí volby Zorný bod.
Dvourozměrné rozdělení: OCI x VLASY
svetla
kastanova
cerna
rezava
VLASYmodra
seda nebo zelena
hneda
O
CI
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Početpozorování
Úkol 2.: Fisherův faktoriálový test
100 náhodně vybraných osob bylo dotázáno, zda dávají přednost nealkoholickému nápoji A či
B. Údaje jsou uvedeny ve čtyřpolní kontingenční tabulce.
pohlavípreferovaný nápoj
muž žena
A 20 30
B 30 20
Na hladině významnosti 0,05 testujte pomocí Fisherova faktoriálového testu hypotézu, že
preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Návod: Vytvoříme nový datový soubor o třech proměnných NAPOJ, POHLAVI, CETNOST
a čtyřech případech. Do proměnné NAPOJ napíšeme dvakrát pod sebe 1 (nápoj A) a dvakrát
pod sebe 2 (nápoj B). Do proměnné POHLAVI napíšeme jedničku (1 – muž) a dvojku (2 –
žena) a znovu jedničku a dvojku. D proměnné CETNOST napíšeme uvedené četnosti.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Kontingenční tabulky - Specif. tabulky – List 1
NAPOJ, List 2 POHLAVI, OK, Váhy - CETNOST, Stav zapnuto, OK – na záložce Možnosti
zaškrtneme Fisher exakt, Yates, McNemar (2x2) – Detailní výsledky – Detailní 2-rozm.
tabulky.
Statist. : POHLAVI(2) x NAPOJ(2) (kap11_2)
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Yatesův chí-kv.
Fisherův přesný, 1-str.
2-stranný
McNemarův chí-kv. (A/D)
(B/C)
4,000000 df=1 p=,04550
4,027103 df=1 p=,04478
3,240000 df=1 p=,07186
p=,03567
p=,07134
,0250000 df=1 p=,87437
,0166667 df=1 p=,89728
Ve výstupní tabulce je mimo jiné uvedena p-hodnota pro oboustranný a jednostranný test.
V našem případě se jedná o oboustranný test (nevíme, zda muži více preferují nápoj A či
nápoj B než ženy), zajímáme se tedy o Fisherův přesný, 2-str. Ta je 0,07134. Protože phodnota
je větší než 0,05, nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že preferovaný
typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Úkol 3.: Podíl šancí
Pro údaje z úkolu 2 vypočtěte podíl šancí a sestrojte 95% asymptotický interval spolehlivosti
pro podíl šancí. Pomocí tohoto intervalu spolehlivosti testujte na asymptotické hladině
významnosti 0,05 hypotézu, že preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Návod: Nejprve zopakujme teorii:
Ve čtyřpolních tabulkách používáme charakteristiku
bc
ad
OR = , která se nazývá podíl šancí
(odds ratio). Můžeme si představit, že pokus se provádí za dvojích různých okolností a může
skončit buď úspěchem nebo neúspěchem.
okolnostiVýsledek pokusu
I II
nj.
úspěch a b a+b
neúspěch c d c+d
n.k a+c b+d n
Poměr počtu úspěchů k počtu neúspěchů (tzv. šance) za 1. okolností je
c
a
, za druhých
okolností je
d
b
. Podíl šancí je
bc
ad
OR = . Považujeme ho za odhad skutečného podílu šancí
oρ. Pomocí 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro logaritmus skutečného
podílu šancí ln oρ lze na asymptotické hladině významnosti α testovat hypotézu o nezávislosti
nominálních veličin X a Y. Asymptotický 100(1-α)% interval spolehlivosti pro přirozený
logaritmus skutečného podílu šancí má meze:
2/1u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORln α−+++± . Jestliže interval spolehlivosti nezahrne 0, pak hypotézu o
nezávislosti zamítneme na asymptotické hladině významnosti α.
V našem případě podíl šancí vypočteme ručně. 4,0
9
4
3030
2020
bd
ac
OR ==
⋅
⋅
== . Dolní a horní
mez intervalu spolehlivosti pro OR zjistíme pomocí STATISTIKY. Vytvoříme datový soubor
o dvou proměnných DM a HM a dvou případech. Do Dlouhého jména proměnné DM
napíšeme vzorec pro dolní mez:
=log(4/9)-sqrt(1/20+1/30+1/30+1/20)*VNormal(0,975;0;1)
a analogicky do Do Dlouhého jména proměnné HM napíšeme vzorec pro horní mez:
=log(4/9)+sqrt(1/20+1/30+1/30+1/20)*VNormal(0,975;0;1)
1
DM
2
HM
1 -1,61108 -0,01078
Výsledek: -1,61108 < ln oρ < -0,01078 s pravděpodobností přibližně 0,95. Protože tento
interval spolehlivosti neobsahuje 0, na asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítáme
hypotézu, že preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Tento výsledek je v rozporu s výsledkem, ke kterému dospěl Fisherův přesný test. Je to
způsobeno tím, že test pomocí asymptotického intervalu spolehlivosti je pouze přibližný.
Příklady k samostatnému řešení
Příklad 1.: Zajímá nás, zda má lokalita v ČR vliv na objem exportu do sousedních zemí.
Sledujeme lokality: Ostrava, Brno, Plzeň, Praha a země: Slovensko, Rakousko, Německo,
Polsko, USA). Máme k dispozici tato data:
Kam:
Odkud: SlovenskoRakouskoNěmeckoPolskoUSA
Ostrava 350 216 189 626 46
Brno 387 489 274 126 115
Plzeň 52 83 264 132 51
Praha 484 594 737 447 141
Řešení:
Načteme datový soubor export.sta. Proměnná EXPORT obsahuje objem exportu pro zvolenou
kombinaci LOKALITA, ZEMĚ.
Testová statistika K ze vzorce (11.1) nabývá hodnoty 821,59, odpovídající p-hodnota je velmi
blízká nule, tedy na asymptotické hladině významnosti 0,05 považujeme za prokázanou
závislost objemu exportu na lokalitě v České republice. Podmínky dobré aproximace jsou
splněny, jak vidíme z následující tabulky:
Souhrnná tab.: Očekávané četnosti (export.sta)
Četnost označených buněk > 10
Pearsonův chí-kv. : 821,587, sv=12, p=0,00000
LOKALITA ZEME
Slovensko
ZEME
Rakousko
ZEME
Německo
ZEME
Polsko
ZEME
USA
Řádk.
součty
Ostrava 330,106 358,371 301,840 345,146 91,5375 1427,000
Brno 321,778 349,330 294,226 336,438 89,2282 1391,000
Plzeň 134,633 146,161 123,105 140,767 37,3335 582,000
Praha 486,484 528,138 444,829 508,649 134,9008 2103,000
Vš.skup. 1273,000 1382,000 1164,000 1331,000 353,0000 5503,000
Cramérův koeficient nabývá hodnoty 0,223, tedy mezi sledovanými proměnnými existuje
slabá závislost.
Zjištěná data ještě znázorníme graficky:
Dvourozměrné rozdělení: LOKALITA x ZEME
Příklad 2.: 200 respondentů, z nichž bylo 73 žen, hodnotilo úroveň jistého časopisu. 34 žen ji
hodnotilo kladně, stejně jako 47 mužů. Ostatní respondenti se o úrovni časopisu vyjádřili
záporně. Vypočtěte a interpretujte podíl šancí časopisu na kladné hodnocení a na
asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte pomocí asymptotického intervalu
spolehlivosti pro podíl šancí hypotézu, že hodnocení úrovně časopisu nezávisí na pohlaví
respondenta. Proveďte též Fisherův přesný test a vypočtěte Cramérův koeficient.
Řešení:
Sestavíme čtyřpolní kontingenční tabulku simultánních absolutních četností:
pohlaví respondentahodnocení časopisu
muž žena
nj.
kladné 47 34 81
záporné 80 39 119
n.k 127 73 200
Kladné hodnocení časopisu pozorujeme u 37% mužů a u 46,6 % žen.
Vypočítáme podíl šancí časopisu na kladné hodnocení.
,673897,0
8034
3947
bc
ad
OR =
⋅
⋅
== což znamená, že u mužů je 0,674 x menší šance na kladné
hodnocení časopisu než u žen.
Dále provedeme výpočty pro stanovení intervalu spolehlivosti.
96,1u,298,0
39
1
80
1
34
1
47
1
d
1
c
1
b
1
a
1
-0,39468,ORln 0,975 ==+++=+++=
189476,096,1298,039468,0hln,97876,096,1298,039468,0dln =⋅+−=−=⋅−−=
Protože interval (-0,97876; 0,189476) obsahuje číslo 0, na asymptotické hladině významnosti
0,05 nezamítáme hypotézu o nezávislosti hodnocení úrovně časopisu na pohlaví respondenta.
Další výsledky máme v tabulce:
Statist. : hodnoceni(2) x pohlavi(2) (Tabulka13)
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Yatesův chí-kv.
Fisherův přesný, 1-str.
2-stranný
McNemarův chí-kv. (A/D)
(B/C)
Fí pro tabulky 2 x 2
Tetrachorická korelace
Kontingenční koeficient
1,760835 df=1 p=,18452
1,752654 df=1 p=,18555
1,386184 df=1 p=,23905
p=,11967
p=,23131
17,76316 df=1 p=,00003
,5697674 df=1 p=,45035
,0938306
,1507792
,0934202
Fisherův přesný test poskytl p-hodnotu 0,23131, tedy na hladině významnosti 0,05
nezamítáme hypotézu o nezávislosti hodnocení úrovně časopisu na pohlaví respondenta.
Cramérův koeficient je 0,0938, což svědčí o zanedbatelné závislosti mezi sledovanými
veličinami.
Příklad 3.: Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti pedagogické
hodnosti a pohlaví a vypočtěte Cramérův koeficient vyjadřující intenzitu závislosti
pedagogické hodnosti na pohlaví, jsou-li k dispozici následující údaje:
pedagogická hodnostpohlaví
odb. asistent docent profesor
muž 32 15 8
žena 34 8 3
Výsledek: Podmínky dobré aproximace jsou splněny, pouze jediná teoretická četnost klesne
po 5. Testová statistika K nabývá hodnoty 3,5, p = 0,1739, tedy na asymptotické hladině
významnosti 0,05 nezamítáme hypotézu o nezávislosti pedagogické hodnosti a pohlaví.
Cramérův koeficient: V = 0,187.
Příklad 4.: 18 mužů onemocnělo určitou chorobou. Někteří z nich se léčili, jiní ne. Někteří se
uzdravili, jiní zemřeli. Údaje jsou uvedeny ve čtyřpolní kontingenční tabulce.
léčenípřežití
ano ne
ano 5 3
ne 6 4
Vypočtěte a interpretujte podíl šancí. Pomocí intervalu spolehlivosti pro podíl šancí testujte na
asymptotické hladině významnosti 0,05 hypotézu, že přežití nezávisí na léčení proti tvrzení,
že léčení zvyšuje šance na přežití.
Výsledek: 1,1OR = , nulovou hypotézu nezamítáme asymptotické hladině významnosti 0,05,
protože levostranný 95% asymptotický interval spolehlivosti pro logaritmus podílu šancí je
(-1,49785; ∞).