3. Exponenciální rozložení a jeho vlastnosti
3.1. Definice: Definice náhodné veličiny s exponenciálním rozložením.
3.2. Poznámka: Funkcionální a číselné charakteristiky exponenciálního rozložení
3.3. Poznámka: Dvouparametrické exponenciální rozložení
3.4. Věta: Vysvětlení, proč se exponenciální rozložení nazývá rozložením bez paměti.
3.5. Poznámka: Exponenciální rozložení je speciálním případem Erlangova rozložení.
3.6. Příklad: Výrobce žárovek jisté značky ví, že průměrná životnost jeho žárovek je 10 000
h. Přitom ke spálení žárovky může dojít k každém okamžiku se stejnou šancí bez ohledu na
dobu, po kterou žárovka dosud svítila. V rámci své propagační kampaně chce garantovat dobu
t, do níž se spálí maximálně 3 % žárovek. Stanovte tuto dobu t.
Řešení: Životnost žárovky je náhodná veličina X ~ Ex(λ), přičemž 1/ λ = 10 000, tj. λ =
0,0001. Nyní musíme najít dobu t tak, aby ( ) 03,0tXP =≤ . Tedy
( ) ( ) 6,30497,0ln10000te1ttXP03,0 t0001,0
=−=⇒−=Φ=≤= −
3.7. Věta: Věta o standardizovaném exponenciálním rozložení.
3.8. Věta: Věta o transformaci rovnoměrného spojitého rozložení na intervalu (0,1) na
exponenciální rozložení.
3.9. Poznámka: Využití vět 3.7. a 3.8. při generování realizací náhodné veličiny
s exponenciálním rozložením na počítači.
3.10. Věta: Věta o rozložení minima dvou stochasticky nezávislých náhodných veličin
s exponenciálním rozložením.
3.11. Poznámka: Zobecnění věty 3.10.
3.12. Věta: Věta o rozložení součtu dvou stochasticky nezávislých náhodných veličin
s exponenciálním rozložením.
3.13. Poznámka: Zobecnění věty 3.10.
3.14. Příklad: Zákazník prochází třemi nezávislými stanicemi obsluhy, přičemž v každé
z nich má doba obsluhy exponenciální rozložení se střední hodnotou 1 min. Jaká je
pravděpodobnost, že celková doba obsluhy nepřesáhne 2 min?
Řešení: Podle poznámky 3.13. se celková doba obsluhy Y řídí rozložením Er(3,1), tedy
( ) ∫ ===≤ −
2
0
y
2
323,0dye
2
y
2YP K
3.15. Věta: Věta o pravděpodobnosti přežití jedné součástky druhou součástkou.
3.16. Věta: Věta o transformaci exponenciálního rozložení na rozložení ( )22
χ .
3.17. Poznámka: Zobecnění věty 3.16.
3.18. Věta: Věta o 100(1-α)% intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu exponenciálního
rozložení.
3.19. Příklad: V jisté prodejně potravin bylo na základě náhodného výběru 50 zákazníků
zjištěno, že průměrná doba obsluhy u pokladny je 30 s. Předpokládejme, že doba obsluhy u
pokladny je náhodná veličina, která se řídí exponenciálním rozložením. Najděte 95% interval
spolehlivosti pro střední hodnotu doby obsluhy.
Řešení: n = 50, m = 30, α = 0,05
( ) ( )
23
561,129
3000
100
3000
n2
mn2
d
975,0
2
2/1
2
==
χ
=
χ
⋅
=
α−
( ) ( )
40
222,74
3000
100
3000
n2
mn2
h
025,0
2
2/
2
==
χ
=
χ
⋅
=
α
23 s < 1/λ < 40 s s pravděpodobností aspoň 0,95.
3.20. Poznámka: Vzorce pro meze 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro
střední hodnotu exponenciálního rozložení.
3.21. Příklad: Pro údaje z příkladu 3.19. spočtěte meze 95% intervalu spolehlivosti pro
střední hodnotu doby obsluhy podle vzorců uvedených v poznámce 3.20.
Řešení: n = 50, m = 30, α = 0,05
68,2196,1
50
30
30u
n
m
md 21 =−=−= α−
32,3896,1
50
30
30u
n
m
mh 21 =+=+= α−
Střední hodnota doby obsluhy se s pravděpodobností aspoň 0,95 nachází v intervalu 22 s až
38 s.