4. Poissonovo rozložení a jeho vlastnosti
4.1. Definice: Definice náhodné veličiny s Poissonovým rozložením.
4.2. Poznámka: Funkcionální a číselné charakteristiky Poissonova rozložení.
4.3. Poznámka: Praktické příklady náhodných veličin s Poissonovým rozložením.
4.4. Věta: Věta o vztahu mezi binomickým a Poissonovým rozložením.
4.5. Příklad: Pravděpodobnost závady na 1 km telefonního kabelu je 0,01. Kabel je složen ze
100 vodičů a bude plnit svou funkci, když aspoň 99 vodičů bude v pořádku. Jaká je
pravděpodobnost, že kabel bude plnit svou funkci?
Řešení: Označme Y náhodnou veličinu, která udává počet porouchaných kabelů. Z podmínek
úlohy plyne, že Y ~ ( )01,0;100Bi .
Přesný výpočet:
( ) 7358,0)01.0,100,1(binocdf99,001,0
y
100
1YP
1
0y
y100y
==





=≤ ∑=
−
Aproximace Poissonovým rozložením: podmínky 30n ≥ a 1,0≤ϑ jsou splněny. Přitom
101,0100n =⋅=ϑ⋅=λ .
( ) 7358,0)1,1(poisscdfe
!y
1
1YP
1
0y
1
y
==≈≤ ∑=
−
Pravděpodobnost, že kabel bude plnit svou funkci, je 0,7358.
4.6. Věta: Věta o modu Poissonova rozložení.
4.7. Příklad: K holiči chodí průměrně 6 zákazníků za 1 h. Určete nejpravděpodobnější počet
zákazníků u holiče během půl hodiny a určete pravděpodobnost tohoto počtu.
Řešení: Náhodná veličina X udává počet zákazníků u holiče během 1/2 h, X ~ ( )3Po . Protože
λ je přirozené číslo, existují dvě modální hodnoty, a to 2 a 3. Jejich pravděpodobnosti:
( ) 224,0e5,4e
!2
3
2XP 33
2
==== −−
, ( ) 224,0e5,4e
!3
3
3XP 33
3
==== −−
4.8. Věta: Věta o rozložení součtu dvou stochasticky nezávislých náhodných veličin
s Poissonovým rozložením.
4.9. Poznámka: Zobecnění věty 4.8.
4.10. Věta: Věta o aproximaci Poissonova rozložení normálním rozložením.
4.11. Věta: Věta o aproximativním výpočtu pomocí normálního rozložení.
4.12. Poznámka: Poznámka o korekci na nespojitost.
4.13. Příklad: Nechť X ~ ( )12Po . Pomocí aproximace normálním rozložením stanovte
( )20X8P ≤≤ .
Řešení:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 89606,09034,0199286,03,1145,2
3,145,2
12
128
12
1220
20X8P 2
1
2
1
=+−=Φ+−Φ=
=−Φ−Φ=




 −−
Φ−




 +−
Φ≈≤≤
Pro porovnání provedeme přesný výpočet:
( ) 8989,0)12,7(poisscdf)12,20(poisscdfe
!x
12
20X8P
20
8x
12
x
=−==≤≤ ∑=
−
4.14. Věta: Věta o 100(1-α)% asymptotickém intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu
Poissonova rozložení.
4.15. Poznámka: Poznámka o korekci na nespojitost.
4.16. Příklad: Předpokládáme, že při výrobě určité tkaniny je počet kazů připadajících na 100
m této tkaniny náhodná veličina s rozložením Po(λ). Při kontrole 25 balíků, z nichž každý
obsahoval 100 m této tkaniny, bylo zjištěno, že celkový počet kazů je 30. Najděte 95%
asymptotický interval spolehlivosti pro střední hodnotu počtu kazů připadajících na jeden
balík.
Řešení: n = 25, m = 30/25 = 1,2, α = 0,05.
75,096,1
25
2,1
50
1
2,1u
n
m
n2
1
md 21 =−−=−−= α−
65,196,1
25
2,1
50
1
2,1u
n
m
n2
1
mh 21 =++=++= α−
S pravděpodobností aspoň 95 % lze očekávat, že střední hodnota počtu kazů připadajících na
jeden balík se nachází v mezích od 0,75 do 1,65.
4.17. Věta: Věta o 100(1-α)% intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu Poissonova
rozložení.
4.18. Příklad: Pro údaje z příkladu 4.16. najděte 95% empirický interval spolehlivosti pro
střední hodnotu počtu kazů připadajících na jeden balík.
Řešení: n = 25, m = 30/25 = 1,2, α = 0,05.
( ) ( ) 81,048,40
50
1
60
50
1
nm2
n2
1
d 025,0
2
2
2
==χ=χ= α
( ) ( ) 71,165,85
50
1
62
50
1
2nm2
n2
1
h 975,0
2
21
2
==χ=+χ= α−
S pravděpodobností aspoň 95 % lze očekávat, že střední hodnota počtu kazů připadajících na
jeden balík se nachází v mezích od 0,81 do 1,71.