Cvičení 10 s návodem
Optimalizace systémů hromadné obsluhy (s neomezenou kapacitou)
1. Systém M/M/1/∞/FIFO
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí
exponenciálním rozložením. Známe náklady c1 na obsluhu jednoho požadavku a náklady c2
na údržbu prázdného systému za jednotku času. Hledáme intenzitu obsluhy µ tak, aby funkce
nákladů a ztrát
( ) ( )
λ−µ
λ
+µ=+µ=µ 2121 ccNEccF
nabývala svého minima. Vzhledem k tomu, že systém musí být schopen se stabilizovat (tj.
µ<λ ), je minima dosaženo pro λ+λ=µ
1
2
c
c
.
Optimální intenzitu obsluhy a hodnotu funkce nákladů a ztrát pro tuto optimální intenzitu
počítá funkce opt_neomezeny_1.m.
Příklad 1.: Na konci montážní linky se nachází pracoviště kontroly kvality, které se skládá
z prostoru na čekání palet a zkušebního pracoviště. Průměrně přichází 80 palet v průběhu
osmihodinové směny. Doba mezi příchody palet má exponenciální rozložení a doba kontroly
rovněž. Náklady na kontrolu jedné palety činí 100 Kč, prostojové náklady jsou 40 Kč/h.
Stanovte optimální dobu kontroly jedné palety a najděte hodnotu funkce nákladů a ztrát pro
optimální intenzitu obsluhy.
Řešení: 10
8
80
==λ palet za 1 h, c1 = 100 Kč, c2 = 40 Kč
1221010
100
40
10
c
c
1
2
=+=+=λ+λ=µ
Optimální intenzita je 12 palet za 1 h, tj. jedna paleta je zkontrolována za 5 minut.
( ) 1400
1012
10
4012100ccF 21 =
−
+⋅=
λ−µ
λ
+µ=µ
Výsledek: 5 minut, tedy za 1 h by se mělo zkontrolovat 12 palet. Funkce nákladů a ztrát
nabývá hodnoty 1400.
Příklad 2.: V dílně dochází v průměru ke třem poruchám strojů za hodinu, přičemž se jedná o
poissonovský proud. Prostojové náklady stroje jsou 1000 Kč/h. Můžeme volit mezi
průměrným opravářem, který opravuje 4 stroje za 1 h a stojí i režií 500 Kč/h a zkušeným
opravářem, který opravuje 5 strojů ze 1 h a stojí i s režií 650 Kč/h. V obou případech
předpokládáme, že doba opravy se řídí exponenciálním rozložením. Kterého opraváře je
výhodnější přijmout?
Řešení: 3=λ , c2 = 1000
a) c1 = 500, 4=µ
( ) 5000
34
3
10004500ccF 21 =
−
+⋅=
λ−µ
λ
+µ=µ
b) c1 = 650, 5=µ
( ) 4750
35
3
10005650ccF 21 =
−
+⋅=
λ−µ
λ
+µ=µ
Výsledek: Funkce nákladů a ztrát pro průměrného opraváře nabývá hodnoty 5000, pro
zkušeného opraváře 4750, je tedy výhodnější přijmout zkušeného opraváře.
2. Systém M/M/n/∞/FIFO
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí
exponenciálním rozložením s parametrem µ. Známe náklady c1 na čekajícího zákazníka za
jednotku času a náklady c2 na nevyužitou linku obsluhy za jednotku času. Hledáme počet
linek n tak, aby kriteriální funkce
( ) ( ) ( )[ ]S2Q1 NEncNEcnC −+=
nabývala svého minima.
Přitom ( )
ρ−
ρ
=
1
PNE QQ ,
( ) ρ−
=
ρ−
β
=
1
a
1!n
aP n
n
0Q ,
µ
λ
=β ,
n
β
=ρ ,
( )
1
1n
0j
nj
0
n!n
n
!j
a
−
−
=






β−
β
+
β
= ∑ , ( ) ρ= nNE S . Podmínka stabilizace:
µ
λ
>n .
Optimální počet linek a hodnotu kriteriální funkce pro tento optimální počet linek počítá
funkce opt_neomezeny_n.m.
Příklad 3.: V nově otevřené pobočce České spořitelny bylo rozhodnuto rezervovat pro
operace se sporožirovým účtem 3 přepážky. Klienti, kteří do pobočky přicházejí kvůli těmto
operacím, se řadí do jedné fronty a po uvolnění libovolné z přepážek mohou být obsluhováni.
Po otevření pobočky bylo zjištěno, že v průměru přichází 68 klientů za hodinu, přičemž
intervaly mezi jejich příchody mají exponenciální rozložení. Doba nutná pro odbavení klienta
je náhodná veličina s exponenciálním rozložením se střední hodnotou 2 min 24 s.
a) Za předpokladu, že náklady na pobyt klienta v pobočce po dobu 1 h jsou 120 Kč a náklady
na provoz jedné přepážky činí 300 Kč/h, najděte optimální počet přepážek.
b) Zjistěte, jak by se musely snížit náklady na pobyt klienta v pobočce po dobu 1 h, aby byl
optimální původně uvažovaný systém se třemi přepážkami.
Řešení:
15
17
60
68
==λ klientů za 1 min,
12
5
4,2
1
min,4,2s24min2
1
==µ==
µ
klientů za 1
min, c1 = 120, c2 = 300
72,2n1
n
,
75
204
12
5
15
17
=β>⇒<
β
=ρ==
µ
λ
=β , tj. 3n ≥
Ad a)
n=3:
( ) ( )
0231,0
72,23!3
72,23
!j
72,2
1
n!n
n
!j
1
a 2
0j
3j1n
0j
nj0 =
−
⋅
+
=
β−
β
+
β
=
∑∑ =
−
=
0774,00231,0
!3
72,2
aa
!n
a
3
30
n
n ==⇒
β
=
( )
( ) ( )
0638,8
1
0774,0
1
a
1
PNE 2
3
72,2
3
72,2
2nQQ =
−
=
ρ−
ρ
=
ρ−
ρ
= , ( ) 72,2nNE S =β=ρ=
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 2,105072,233000638,8120NE3cNEc3C S2Q1 =−+⋅=−+=
n=4: a0 = 0,0559, a4 = 0,1274, E(NQ) = 0,8461, E(NS) = 2,72, C(4) = 485,53
n=5: a0 = 0,0634, a5 = 0,0787, E(NQ) = 0,2058, E(NS) = 2,72, C(5) = 708,69
Ad b)
Požadujeme, aby C(3) < C(4).
( ) ( ) ( )[ ] ( )72,233000638,8cNE3cNEc3C 1S2Q1 −+⋅=−+=
( ) ( ) ( )[ ] ( )72,243008461,0cNE4cNEc4C 1S2Q1 −+⋅=−+=
( ) ( ) 56,41
2177,7
300
8461,00638,8
72,2330072,24300
c1 ==
−
−−−
<
Pokud má být optimální systém se třemi přepážkami, náklady na čekajícího zákazníka nesmí
přesáhnout 41,56 Kč za hodinu.
Výsledek:
Ad a)
n C(n)
3 1050,2
4 485,53
5 708,69
Optimální jsou 4 přepážky.
Ad b) Náklady na čekajícího zákazníka nesmí přesáhnout 41,56 Kč za hodinu.
Příklad 4.: Manažer fastfoodu se rozhodl optimalizovat večerní provoz pokladen. Zákazníci,
kteří do restaurace přicházejí, se řadí do jedné fronty a po uvolnění jakékoli pokladny jsou
obslouženi. Dlouhodobým pozorováním bylo zjištěno, že zákazníci přicházejí s průměrnou
intenzitou 40 osob za 1 h s tím, že intervaly mezi jejich příchody mají exponenciální
rozložení. Doba nutná pro obsloužení zákazníka je náhodná veličina s exponenciálním
rozložením se střední hodnotou 4 minuty. Za předpokladu, že náklady na pobyt zákazníka v
restauraci po dobu 1 h jsou 100 Kč a náklady na provoz jedné pokladny za 1 h jsou 110 Kč,
najděte optimální počet pokladen.
Řešení:
Výsledek:
n C(n)
3 693,08
4 227,17
5 276,62
Optimální jsou 4 pokladny.