Cvičení 4
Příklady na využití Poissonova rozložení
Příklad 1.: Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se
řídí rozložením Po(2). Jaká je pravděpodobnost, že během směny dojde k aspoň jedné poruše?
[0,8647]
Příklad 2.: Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 15 hovorů. Jaká je
pravděpodobnost, že během 4 minut ústředna zapojí a) právě jeden hovor, b) aspoň dva
hovory?
[ad a) 0,368, ad b) 0,264]
Příklad 3.: Ze zkušenosti víme, že při správné obsluze stroje je v průměru 0,1% výrobků
zmetkových. Ke stroji nastoupil nový pracovník. Za týden vyrobil 5 000 kusů, z nichž 11 bylo
zmetkových. Lze takto vysoký počet zmetků vysvětlit působením náhodných vlivů?
[Nikoliv, pravděpodobnost, že při správné obsluze stroje se vyrobí aspoň 11 zmetků, je pouze
0,0137.]
Příklad 4.: Semena rostlin určitého druhu jsou znečištěna malým množstvím plevele. Je
známo, že na jedné jednotce plochy vyrostou po osetí v průměru 4 rostliny plevele.
Vypočítejte pravděpodobnost, že na dané jednotce plochy:
a) nebude žádný plevel,
b) vyrostou nejvýše 3 rostliny plevele,
c) vyroste aspoň 5, ale nejvýše 7 rostlin plevele.
[ad a) 0,0183, ad b) 0,4335, ad c) 0,32]
Příklad 5.: V prodejně posunuli zavírací dobu ve všední dny z 18 na 19 hodin. Sestrojte 90%
asymptotický empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu počtu zákazníků v této
době, navštívilo-li prodejnu ve 30 náhodně zvolených dnech ve sledované době celkem 225
zákazníků. Přitom předpokládáme, že počet zákazníků v určitém časovém intervalu má
Poissonovo rozložení.
[Střední hodnota počtu zákazníků se s pravděpodobností přibližně 90 % nachází v mezích od
6,68 do 8,32.]
Příklad 6.: Nechť X ~ Po(λ). Dokažte, že pro L,3,2,1x =∀ platí: ( ) ( )1xxx −λπ=π .
Pravděpodobnostní funkci Poissonova rozložení lze tedy vyjádřit rekurzívně:
( ) ( )1x
x
x −π
λ
=π pro x = 1, 2, 3, …, ( ) λ−
=π e0
Příklad 7.: Nechť X ~ Po(λ). Dokažte, že pro L,2,1,0x =∀ platí: ( ) ( )
( )1x
,1x
x
+Γ
λ+Γ
=Φ , kde
( ) ∫
∞
−−
=Γ
0
t1a
dteta , ( ) ∫
∞
λ
−−
=λΓ dtet,a t1a
,
pro přirozené a: ( ) ( )!1aa −=Γ , ( ) ( ) ( ) λ−−λ−−λ−
−++λ−+λ=λΓ e!1ae1ae,a 2a1a
K
Cvičení 4
Příklady na využití Poissonova rozložení
Příklad 1.: Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se
řídí rozložením Po(2). Jaká je pravděpodobnost, že během směny dojde k aspoň jedné poruše?
[0,8647]
Příklad 2.: Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 15 hovorů. Jaká je
pravděpodobnost, že během 4 minut ústředna zapojí a) právě jeden hovor, b) aspoň dva
hovory?
[ad a) 0,368, ad b) 0,264]
Příklad 3.: Ze zkušenosti víme, že při správné obsluze stroje je v průměru 0,1% výrobků
zmetkových. Ke stroji nastoupil nový pracovník. Za týden vyrobil 5 000 kusů, z nichž 11 bylo
zmetkových. Lze takto vysoký počet zmetků vysvětlit působením náhodných vlivů?
[Nikoliv, pravděpodobnost, že při správné obsluze stroje se vyrobí aspoň 11 zmetků, je pouze
0,0137.]
Příklad 4.: Semena rostlin určitého druhu jsou znečištěna malým množstvím plevele. Je
známo, že na jedné jednotce plochy vyrostou po osetí v průměru 4 rostliny plevele.
Vypočítejte pravděpodobnost, že na dané jednotce plochy:
a) nebude žádný plevel,
b) vyrostou nejvýše 3 rostliny plevele,
c) vyroste aspoň 5, ale nejvýše 7 rostlin plevele.
[ad a) 0,0183, ad b) 0,4335, ad c) 0,32]
Příklad 5.: V prodejně posunuli zavírací dobu ve všední dny z 18 na 19 hodin. Sestrojte 90%
asymptotický empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu počtu zákazníků v této
době, navštívilo-li prodejnu ve 30 náhodně zvolených dnech ve sledované době celkem 225
zákazníků. Přitom předpokládáme, že počet zákazníků v určitém časovém intervalu má
Poissonovo rozložení.
[Střední hodnota počtu zákazníků se s pravděpodobností přibližně 90 % nachází v mezích od
6,68 do 8,32.]
Příklad 6.: Nechť X ~ Po(λ). Dokažte, že pro L,3,2,1x =∀ platí: ( ) ( )1xxx −λπ=π .
Pravděpodobnostní funkci Poissonova rozložení lze tedy vyjádřit rekurzívně:
( ) ( )1x
x
x −π
λ
=π pro x = 1, 2, 3, …, ( ) λ−
=π e0
Příklad 7.: Nechť X ~ Po(λ). Dokažte, že pro L,2,1,0x =∀ platí: ( ) ( )
( )1x
,1x
x
+Γ
λ+Γ
=Φ , kde
( ) ∫
∞
−−
=Γ
0
t1a
dteta , ( ) ∫
∞
λ
−−
=λΓ dtet,a t1a
,
pro přirozené a: ( ) ( )!1aa −=Γ , ( ) ( ) ( ) λ−−λ−−λ−
−++λ−+λ=λΓ e!1ae1ae,a 2a1a
K