Cvičení 4 s návodem
Příklady na využití Poissonova rozložení
Příklad 1.: Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se
řídí rozložením Po(2). Jaká je pravděpodobnost, že během směny dojde k aspoň jedné poruše?
Řešení: X – počet poruch během směny, X ~ Po(2),
P(X ≥ 1) = 1 – P(X < 1) = 1 – P(X = 0) = 1 - 2
0
e
!0
2 −
= 0,8647.
V MATLABu: p = 1 – poisspdf(0,2)
Příklad 2.: Telefonní ústředna zapojí během hodiny průměrně 15 hovorů. Jaká je
pravděpodobnost, že během 4 minut ústředna zapojí a) právě 1 hovor, b) aspoň 2 hovory?
Řešení: X – počet zapojených hovorů během 4 minut = 1/15 hodiny, X ~ Po(tλ), kde t = 1/15
a λ = 15, tedy X ~ Po(1).
ad a) ( ) 36788,0e1XP 1
=== −
,
ad b) ( ) ( ) ( ) ( ) 264242,0e210XP0XP11XP12XP 1
=−==−=−=≤−=≥ −
V MATLABu: a) p = poisspdf(1,1), b) p = 1 – poisscdf(1,1)
Příklad 3.: Ze zkušenosti víme, že při správné obsluze stroje je v průměru 0,1% výrobků
zmetkových. Ke stroji nastoupil nový pracovník. Za týden vyrobil 5 000 kusů, z nichž 11 bylo
zmetkových. Lze takto vysoký počet zmetků vysvětlit působením náhodných vlivů?
Řešení: Počítáme pravděpodobnost, že pracovník vyrobil aspoň 11 zmetků za předpokladu,
že stroj je obsluhován správně.
X – počet vyrobených zmetků za týden, X ~ Bi(5000, 0,001). Při splnění podmínek dobré
aproximace lze rozložení veličiny X aproximovat rozložením Po(5).
( ) ( ) .0137,09863,01e
!t
5
110XP111XP
10
0t
5
t
=−=−=≤−=≥ ∑=
−
Je zřejmé, že nový pracovník nepracuje správně.
V MATLABu: p = 1 – poisscdf(10,5)
Přesný výpočet v MATLABu: p = 1 – binocdf(10,5000,0.001)
Příklad 4.: Semena rostlin určitého druhu jsou znečištěna malým množstvím plevele. Je
známo, že na jedné jednotce plochy vyrostou po osetí v průměru 4 rostliny plevele.
Vypočítejte pravděpodobnost, že na dané jednotce plochy:
a) nebude žádný plevel,
b) vyrostou nejvýše 3 rostliny plevele,
c) vyroste aspoň 5, ale nejvýše 7 rostlin plevele.
Řešení: X – počet rostlin plevele na jednotce plochy, X ~ Po(4)
Ad a) ( ) 0183,0e0XP 4
=== −
V MATLABu: p=poisspdf(0;4)
Ad b) ( ) 4335,0e
!x
4
3XP
3
0x
4
x
==≤ ∑=
−
V MATLABu: p=poisscdf(3;4)
Ad c) ( ) 32,0e
!x
4
7X5P
7
5x
4
x
==≤≤ ∑=
−
V MATLABu: p=poisscdf(7;4)-poisscdf(4;4)
Příklad 5.: V prodejně posunuli zavírací dobu ve všední dny z 18 na 19 hodin. Sestrojte 90%
přibližný empirický interval spolehlivosti pro střední hodnotu počtu zákazníků v této době,
navštívilo-li prodejnu ve 30 náhodně zvolených dnech ve sledované době celkem 225
zákazníků. Přitom předpokládáme, že počet zákazníků v určitém časovém intervalu má
Poissonovo rozložení.
Řešení:
Meze 100(1-α)% přibližného empirického intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu λ jsou:
2/12/1 u
n
m
mh,u
n
m
md α−α− +=−=
V našem případě m = 225/30, n = 30, α = 0,1, u1-α/2 = u0,95 = 1,64
32,864,1
30
225
30
225
h
,68,664,1
30
225
30
225
d
2
2
=+=
=−=
Střední hodnota počtu zákazníků se s pravděpodobností přibližně 90 % nachází v mezích od
6,68 do 8,32.
V MATLABu:
d=225/30-15/30*norminv(0.95,0,1)
h=225/30+15/30*norminv(0.95,0,1)
Příklad 6.: Nechť X ~ Po(λ). Dokažte, že pro L,3,2,1x =∀ platí: ( ) ( )1xxx −λπ=π .
Pravděpodobnostní funkci Poissonova rozložení lze tedy vyjádřit rekurzívně:
( ) ( )1x
x
x −π
λ
=π pro x = 1, 2, 3, …, ( ) λ−
=π e0
Řešení:
( )
( ) ( )
( )1xe
!1x
e
!1x
e
!x
xxx
1xxx
−λπ=
−
λ
λ=
−
λ
=
λ
=π λ−
−
λ−λ−
Příklad 7.: Nechť X ~ Po(λ). Dokažte, že pro L,2,1,0x =∀ platí: ( ) ( )
( )1x
,1x
x
+Γ
λ+Γ
=Φ , kde
( ) ∫
∞
−−
=Γ
0
t1a
dteta , ( ) ∫
∞
λ
−−
=λΓ dtet,a t1a
,
pro přirozené a: ( ) ( )!1aa −=Γ , ( ) ( ) ( ) λ−−λ−−λ−
−++λ−+λ=λΓ e!1ae1ae,a 2a1a
K
Řešení:
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )x01xx
ee
!1x
e
!x!x
e
!x
!x
e
1xx
!x
e
x
!x
e
1x
,1x 1xx2x1xx
Φ=π++−π+π=
=++
−
λ
+
λ
=++
λ
−+
λ
+
λ
=
+Γ
λ+Γ λ−λ−
−
λ−
λ−−λ−−λ−λ−
K
KK
Práce se systémem MATLAB
Úkol 1.: Na výrobní lince se zhruba každé dvě hodiny vyskytne porucha. Sestrojte tabulku
uvádějící, s jakou pravděpodobností se na této lince během osmihodinové pracovní směny
nevyskytne žádná porucha, vyskytne jedna porucha, vyskytnou dvě poruchy atd. až vyskytne
deset poruch. S jakou pravděpodobností nastane více než deset poruch? Určete
nejpravděpodobnější počet poruch během osmihodinové směny.
Řešení:
X - počet poruch během osmi hodin, X ~ Po(tλ), kde t = 4 a λ = 1 , tedy X ~ Po(4).
( ) ( ) 0183,0e
!0
4
00XP 4
0
==π== −
( ) ( ) 0733,0e
!1
4
11XP 4
1
==π== −
…………………………………..
( ) ( ) 0053,0e
!10
4
1010XP 4
10
==π== −
Přehledný zápis všech výsledků je v následující tabulce (včetně hodnot distribuční funkce).
Všimněte si, že ačkoli jsme samozřejmě nevyčerpali všechny možné počty poruch (těch je
nekonečně mnoho), dosahuje součet všech vypočtených pravděpodobností téměř 1. Najdeme
ho jako hodnotu distribuční funkce Φ(10)=0,9972 a jde o pravděpodobnost, že počet poruch
bude nejvýše deset. Celková pravděpodobnost, že by byl počet poruch naopak větší než deset,
je tedy 1-Φ(10) a činí pouze necelá tři promile (1-0,9972 = 0,0028).
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
π(n) 0,0183 0,0733 0,1465 0,1954 0,1954 0,1563 0,1042 0,0595 0,0298 0,0132 0,0053
Φ(n) 0,0183 0,0916 0,2381 0,4335 0,6288 0,7851 0,8893 0,9489 0,9786 0,9919 0,9972
Nejpravděpodobnější počet poruch během osmihodinové směny je tři až čtyři (protože
parametr Poissonova rozložení je v našem případě přirozené číslo, budou mody existovat
dva).
Návod pro MATLAB:
x=[0:10]';
pf=poisspdf(x,4);
df=poisscdf(x,4);
[x pf df]
Grafické znázornění:
plot(x,pf,'o')
figure
stairs(x,df)
(Samostatný úkol: Jak nakreslit graf distribuční funkce bez svislých čar?)
Jedno z možných řešení:
hold on
for i=1:(length(x)-2) plot([i,i],[0,1],'w'); end
Úkol 2.: Pro n = 30 a ϑ = 0,1 ilustrujte aproximaci binomického rozložení Bi(n, ϑ )
Poissonovým rozložením Po(nϑ ). Vypočtené hodnoty obou pravděpodobnostních funkcí
v bodech x = 0, 1, …, 30 zapište do tabulky a znázorněte graficky.
Návod:
x=[0:1:30]';
pf1=binopdf(x,30,0.1);
pf2=poisspdf(x,3);
[x pf1 pf2]
plot(x,pf1,'o',x,pf2,'*')
Úkol 3.: Vygenerujte 100 realizací náhodné veličiny s rozložením Po(2) a nakreslete jejich
histogram.
Návod:
r=poissrnd(2,100,1);
hist(r,x)
Úkol 4.: Odhadněte střední hodnotu a vypočtěte meze 95% intervalu spolehlivosti pro střední
hodnotu na základě proměnné r z předešlého úkolu. (Hodnoty uložené v proměnné r
považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 100 z rozložení Po(2).)
Návod:
[m,meze]=poissfit(r)
Upozornění: MATLAB počítá meze intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu λ podle
vzorce:
( )nm2
n2
1
d 2/
2
αχ= , ( )( )1nm2
n2
1
h 2/1
2
+χ= α− ,
nikoliv podle vzorce 2/12/1 u
n
m
mh,u
n
m
md α−α− +=−= , který využívá aproximaci
Poissonova rozložení normálním rozložením.