Matuňtní písemná práce
11. dubna 2012 čtvrtý roíník^se zaměřením na matematiku
Příklad 1.
l.A V rovině je dána přímka p : x — y = 0 a bod A[2; 0]. Vhodnou rovnicí charakterizujte množinu všech bodů [x,y], které mají od bodu A dvakrát větší vzdálenost než od přímky p.
(a) Dokažte, že touto množinou je kuželosečka.
(b) Dokažte, že se jedná o regulární kuželosečku.
(c) Určete asymptotické směry této kuželosečky a rozhodněte, zda se jedná o elipsu, hyperbolu či parabolu.
(d) Určete všechny středy této kuželosečky.
1. B Jsou dána komplexní čísla a = 1 + i, b = 2 + i.
(a) Určete reálnou i imaginární část komplexního čísla |.
(b) Dokažte, že \b\ není racionální číslo.
(c) Určete normovaný polynom nejnižšího stupně s reálnými koeficienty, který bude mít komplexní čísla a, b za kořeny.
(d) Vyjádřete v algebraickém i goniometrickém tvaru všechny odmocniny z a a odtud odvoďte, čemu se rovná cos |.
(e) Určete všechny kořeny polynomu 2x6 + x5 — 3x4 + 5x3 + 2x2 + 6x — 4 víte-li, že má za kořen komplexní číslo a a má dva racionální kořeny.
Příklad 2.
2. A Je dán pravidelný šestiboký jehlan ABCDEFV s délkou podstavné hrany 4 cm a délkou pobočné
hrany 9 cm. Na hraně AV je dán bod X tak, že \AX\ : \XV\ = 1 : 3, na hraně CV je dán bod Y tak, že \CY\ = 2 ■ \YV\, a na hraně EV je dán bod Z tak, že = 0,4. Dále je na polopřímce AB dán bod U tak, že \AB\ = \BU\, a na přímce kolmé k rovině podstavy procházející bodem F je dán bod W takový, že leží v rovině rovnoběžné s rovinou podstavy procházející bodem V.
(a) Ve volném rovnoběžném promítání sestrojte pravý nadhled jehlanu ABCDEFV tak, aby byla rovina FCV rovnoběžná s průmětnou.
(b) Sestrojte řez jehlanu rovinou XYZ. Svůj postup řádně komentujte.
(c) Sestrojte průsečíky přímky UW s jehlanem a s rovinou XYZ. Svůj postup řádně komentujte.
(d) Sestrojte skutečnou odchylku rovin BCV a AFV. Svůj postup řádně komentujte.
2. B Je dána kružnice k(S; r =   cm) a bod A takový, že | Aí?| =   cm. Dále je dána úsečka délky d,
d < 5 cm. Nakonec je dán bod M ležící vně kružnice k, M ^ A. Pro každý z následujícíh úkolů prosím použijte jiný náčrtek a sestrojte novou konstrukci.
(a) Pro každý bod X kružnice k takový, že X neleží na přímce AS, sestrojme rovnoběžník ASXY. Určete množinu všech bodů Y. Své tvrzení řádně dokažte.
(b) Bodem A veďte všechny přímky, které na kružnici k vytnou tětivu délky d. Proveďte obecný rozbor, postup kostrukce a diskuzi o počtu řešení. Kostrukci proveďte pro d = 3, 7 cm.
(c) Sestrojte kružnici, která bude procházet body A, M a bude se dotýkat kružnice k. Proveďte důkladný rozbor a diskuzi o počtu řešení. Postup konstrukce ani konstrukci provádět nemusíte.
Příklad 3.
3. A Jsou dány funkce f(x) = ^fzi, g(x) = \/x, h(x) = logi x.
(a) Vyšetřete průběh funkce / (tj. určete definiční obor, paritu, periodicitu, nulové body, znaménka funkce, lokální extrémy, intervaly, kde je funkce rostoucí/klesající, body, ve kterých se mění konvexnost/konkávnost, intervaly, kde je funkce konvexní/konkávni, asymptoty, limity funkce ve význačných bodech, graf funkce).
(b) Na množině reálných čísel řešte nerovnici {ho g o f)(x) > 0. 3.B Jsou dány posloupnosti {pn}^=2 a {Qn}™=i, přičemž
Pn
log„ a, q,
log™ a, hGK+.
(a) Rozhodněte o konvergenci poslopupnosti {Pn}^=2-
(b) Rozhodněte o konvergenci nekonečné řady 2     i Je_n cl > 1.
(c) Určete všechna kladná reálná čísla a, která splňují nerovnost
oo
71=1
(d) V závislosti na parametru n určete všechna kladná reálná čísla a, která splňují rovnost
7Pn + 13 . T,
5Pn + l _ 3 . gp,
0.