Jihomoravské centrum pro mezinárodní mobilitu Kunice 2014 Petr Pupík Obsah Obsah 1 Základy matematiky 3 2 Výrazy 4 3 Výroky a množiny 5 4 Planimetrie 7 5 Funkce 9 6 Rovnice a nerovnice 12 7 Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika 13 8 Analytická geometrie 16 9 Stereometrie 18 10 Posloupnosti 19 1 Základy matematiky - výsledky 21 2 Výrazy - výsledky 22 3 Výroky a množiny - výsledky 22 4 Planimetrie - výsledky 24 5 Funkce - výsledky 25 6 Rovnice a nerovnice - výsledky 26 7 Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika - výsledky 26 8 Analytická geometrie - výsledky 27 9 Stereometrie - výsledky 28 10 Posloupnosti - výsledky 29 1 Základy matematiky 1 Základy matematiky Příklad 1.1. Na obrázku vidíte číselnou osu o-o-o-o-o-e-o-o-o-o-©-©-o-g -i 22 3 3 1. Znázorněte na číselnou osu obrazy čísel (a) 0 (b) 1 (c) 0,6 (d) -§ 2. Pokud jsou obrazy čísel —é db 2 ^ Het číselné ose vzdáleny 10 cm, jak budou od sebe vzdáleny obrazy čísel (a) 0 a 1 (b) -0,3 a 3 (c) -h\ a 12§ Příklad 1.2. Vypočítejte a výsledek vyjádřete zlomkem v základním tvaru 1.1,83 - 1,6 + 0,2 2. 0,3-(3,45 - 0,15) Příklad 1.3. Mějme číslo a = 243 ■ 65 ■ 366 1. Napište toto číslo ve tvaru součinu mocnin prvočísel. 2. Určete, kolik má dané číslo přirozených dělitelů. 3. Určete, jaký je největší dělitel čísla a, který ve svém prvočíselném rozkladu obsahuje všechna prvočísla v nejvýše první mocnině. 4. Určete prvočíselný rozklad nejmenšího čísla b, které je dělitelné číslem a, je dělitelné pěti a navíc platí, že exponenty čísel 2, 3, 5 z prvočíselného rozkladu čísla b tvoří aritmetickou posloupnost. 5. Určete největší dvojciferný a nejmenší trojciferný dělitel čísla a. 6. Určete nejmenší čtyřciferné číslo c, které je s číslem a nesoudělné. Příklad 1.4. Je dáno číslo a 1; -2" •!'.....1010. 1. Určete, které prvočíslo se v rozkladu čísla a na součin prvočísel objevuje v nej vyšší mocnině. 2. Určete, které prvočíslo se v rozkladu čísla a vyskytuje v nejnižší kladné mocnině. 3. Určete, kolika nulami končí číslo a. 3 2 Výrazy 4. Určete, jaký je největší dělitel čísla a, který ve svém prvočíselném rozkladu obsahuje všechna prvočísla v nejvýše první mocnině. Příklad 1.5. Pišme za sebe čísla 123443211234432112 ... 1. Kolik nejméně čísel za sebe musíme napsat, aby bylo výsledné číslo dělitelné dvěma a devíti. 2. Kolik nejméně čísel za sebe musíme napsat, aby bylo výsledné číslo dělitelné třemi a čtyřmi. Příklad 1.6. Seřaďte podle velikosti čísla 1. (a) 2"> (b) C*) (c) 102 (d) Q (e) (™) (f) 10! (g) 101" 2. (a) V2 (c) log32 (e) (i)"1 (g) ln27 (b) 73 (d) log55 (f) ^9 2 Výrazy Příklad 2.1. Je dán výraz 1 - 1 a+3 a+S 1. Určete definiční obor výrazu. 2. Daný výraz zjednodušte. 3. Určete, pro jaká reálná čísla a je hodnota výrazu rovna dvěma. Příklad 2.2. Je dán výraz x3 - 2x2 - xy2 + 2y2 1. Rozložte daný výraz na součin. 2. Určete, pro která reálná čísla x je uvedený výraz roven nule, jestliže je x ^ ázy. 3. Určete hodnotu výrazu pro x = — 1, y = —2 Příklad 2.3. Je dán výraz 1 x2+y2 1 — —T-T yz—xz x—y x+y x+y x—y 1. Daný výraz zjednodušte. 4 3 Výroky a množiny 2. Znázorněte v rovině množinu bodů [x,y], pro které je uvedený výraz roven jedné polovině. Příklad 2.4. Vydělte se zbytkem: (2a;5 + 3a;4 - 4a;3 - 2a;2 + 5a; - 2) : (a;3 + x2 - x + 1) Příklad 2.5. Součet tří po sobě jdoucích lichých čísel, z nichž prostřední je ve tvaru 13 — 2s je 51. Určete hodnotu čísla s. Příklad 2.6. Pro polynom p třetího stupně platí všechny tyto podmínky • vedoucí koeficient je dvojnásobkem absolutního členu, • součet i součin koeficientů polynomu p je roven nule, • hodnota polynomu p v nule je rovna jedné. Určete všechny takovéto polynomy p. 3 Výroky a množiny Příklad 3.1. Rozhodněte o pravdivosti každého výroku 1. Graf každé sudé funkce je souměrný podle osy y. 2. Každé prvočíslo je liché. 3. Existují dva čtverce jejichž průnikem je pravidelný osmiúhelník. 4. Žádná rostoucí funkce není shora ohraničená. 5. Mějme dány přímky a,b,cv rovině. Jsou-li přímky a, b různoběžné, b, c také různoběžné, potom jsou vždy i přímky a, c různoběžné. 6. Průnikem dvou nekonečných množin může být konečná množina. 7. Každá periodická funkce je ohraničená. 8. Číslo \/5 je iracionální. 9. Těžnice každého trojúhelníku rozděluje tento trojúhelník na dva trojúhelníky se stejným obsahem. Příklad 3.2. Je dána množina M M = {*, 0. Příklad 6.2. V oboru reálnych čísel řešte rovnici 1 = 27. Příklad 6.3. Stanovte podmínky, poté řešte rovnici a proveďte zkoušku: 3 - VŠ-^ x = x. Příklad 6.4. Zvětšíme-li jednu stranu obdélníka o 2 cm a druhou o 1 cm zmenšíme, zmenší se nám obsah o 1 cm2. Uděláme-li to však naopak (tj. první stranu zmenšíme o 1 cm a druhou zvětšíme o 2 cm), zvětší se nám obsah o 5 cm2. Určete původní rozměry obdélníku. Příklad 6.5. V obchodě prodávají lyže. Na každý den vyhlásili akci. Ve který den se vyplatí lyže koupit: 1. V pondělí slevíme na 70% původní ceny. 2. V úterý slevíme o 30% oproti původní ceně. 3. Ve středu slevíme o třetinu z původní ceny. 4. Ve čtvrtek vezmeme pondělní a středeční cenu, sečteme je a budeme je prodávat za polovic tohoto součtu. 5. V pátek zdražíme o 50% oproti původní ceně. 6. V sobotu budeme prodávat za polovinu páteční ceny. 7. V neděli máme zavřeno. Příklad 6.6. Pro neznámé x, a, b,p,u platí vztah — = 2ub — p. a 1. Vyjádřete neznámou b 2. Vyjádřete neznámou x 12 7 Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Příklad 6.7. Bleška Blanka se posadila na konec minutové ručičky dlouhé 1,5 cm. Veška Věrka se posadila na konec hodinové ručičky dlouhé 1 cm. Určete kolikrát větší vzdálenost urazí Blanka za jeden den než Věrka? Příklad 6.8. Třída jela na školní výlet do Českého ráje. Pan učitel chtěl nakopírovat dětem mapu v měřítku 1 : 75000. Aby ušetřil, nastavil zmenšení mapy z formátu AA na formát papíru A6. Na kopii mapy je trasa výletu dlouhá 10 cm. Jak dlouho budou děti na výletě, jestliže půjdou průměrnou rychlostí 3 km/h a zastaví se na dvě hodiny na hradě Kost? Příklad 6.9. Krejzule obecná se živí pouze škorvaněmi. Smečka složená z pěti malých krejzulí, čtyř samiček a tří samečků spořádá za týden 5600 škorvaní. Navíc platí, že tři malé krejzule sní denně totéž, co dvě dospělé samičky, a dospělí samečci spořádají za den dvakrát tolik, co samičky. Určete,kolik škorvaní spořádá za 30 dní smečka složená ze 7 malých krejzulí, 8 samiček a 5 samečků. 7 Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Příklad 7.1. Do třídy chodí 30 studentů, z toho je 8 dívek a 22 kluků. 1. Určete, kolika způsoby se mohou studenti celé třídy rozdělit do šestičlenných družstev. 2. Určete, kolika způsoby můžeme vybrat šestičlenný volejbalový tým. 3. Určete, kolika způsoby můžeme vybrat šestičlenný volejbalový tým, má-li v něm být alespoň jedna dívka. 4. Určete, kolika způsoby můžeme vybrat šestičlenný volejbalový tým, má-li v něm být právě jedna dívka. 5. Určete, kolika způsoby můžeme vybrat šestičlenný volejbalový tým, nemá-li v něm být žádná dívka. 6. Určete, kolika způsoby můžeme vybrat šestičlenný volejbalový tým, má-li v něm být alespoň jeden kluk a alespoň jedna dívka. 7. Určete, kolika způsoby můžeme vybrat ze šestičlenný volejbalový tým, má-li v něm být právě tři dívky. Příklad 7.2. V oboru přirozených čísel řešte rovnici 13 7 Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Příklad 7.3. Číslům v prvním řádku přiřaďte rovnající se čísla z druhého řádku 1. 5! 2. C2°) 3. Q 4. (4!)' a) 84 b) 1000 c) 120 d) 576 Příklad 7.4. Šmudla, Rýpal, Kýchal, Stístko, Prófa, Stydlín a Dřímal vyrazili za prací po uzoučké cestě, kde šli jeden po druhém v řadě. Stístko šel těsně před Prófou. Rýpal, Kýchal a Stydlín šli hned za sebou (ne nutně v tomto pořadí). Dřímal šel poslední. Určete, kolika možnými způsoby mohli jít. Příklad 7.5. V klobouku kouzelníka Pokustóna žije kromě Boba a Bobka ještě dalších 7 bílých králíků a 5 černých králíků, o kterých však (zatím) pohádky nepovídají. 1. Náhodně vytáhneme z klobou králíka. (a) S jakou pravděpodobností to bude bílý králík? (b) S jakou pravděpodobností to bude Bob? 2. Náhodně z klobouku vytáhneme králíka a pustíme ho ven. Nyní vytáhneme druhého králíka. (a) S jakou pravděpodobností bude druhý tažený králík bílý? (b) S jakou pravděpodobností bude druhý tažený králík Bob? Příklad 7.6. V matematické loterii se losuje 10 písmen z 26 (klasická abeceda s písmeny bez diakritiky), přičemž první cenu vyhraje ten, který bude mít správně všech 10 písmen, druhou cenu vyhraje ten, který bude mít alespoň polovinu písmen a třetí cenu získá ten, který neuhodne ani jedno písmeno. Písmenka se do osudí po vytažení zpět nevrací a nezáleží na tom, v jakém pořadí byla písmena tažena. 1. Určete pravděpodobnost zisku první ceny. 2. Určete pravděpodobnost zisku druhé ceny. 3. Určete pravděpodobnost zisku třetí ceny. 4. Již se vylosovalo 9 písmen a všechna mám na svém tiketu. S jakou pravděpodobností vylosují i mé poslední písmeno? Příklad 7.7. Seřaďte dané pravděpodobnosti od nejvyšší po nejnižší. a) Pravděpodobnost, že při hodu dvěma mincemi padne na obou orel. b) Pravděpodobnosti, že padne na klasické kostce sudé číslo. 5. e) 45 1000\ 999 ) 14 7 Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika c) Pravděpodobnost, že mi při hodu dvěma kostkami padnou na obou kostkách stejná čísla. d) Pravděpodobnost, že mi při hodu dvěma kostkami padnou na obou kostkách dvě pětky. e) Pravděpodobnost, že při hodu pěti kostkami padne alespoň jedna šestka. Příklad 7.8. Petr má ve škole velmi špatné známky z matematiky. Jeho průměrná známka ze všech písemek je p. 1. Určete, jaký by byl Petrův průměr známek, pokud by všechny písemky napsal o stupeň lépe. (a) Průměr známek se nezmění, zůstane p. (b) Průměr známek se zvýší, bude p + 1. (c) Průměr známek se sníží, bude p — 1. (d) Z uvedených údajů nelze rozhodnout. 2. Určete, jaký by byl Petrův průměr, pokud by jednu písemku napsal o stupeň hůře. (a) Průměr známek se nezmění, zůstane p. (b) Průměr známek se zvýší. (c) Průměr známek se sníží. (d) Z uvedených údajů nelze rozhodnout. Příklad 7.9. V Brně pořádají každý rok závody agility na Výstavišti. Na grafu vidíte procentuální zastoupení jednotlivých plemen v jednotlivých letech, přičemž v roce 2009 se účastnilo závodů 160 psů, v roce 2010 to bylo 180 psů, o rok později dokonce 240 psů a v roce 2013 to bylo 200 závodících psů. ■ BorderCollie ■ Sheltie Belgický ovčák ■ Bgl ■ Nova Scotia Duck Tolling Retriever Ostatní 2009 2010 2011 2012 1. Určete, kolik bíglů se za všechny 4 roky účastnilo závodů? 2. Určete, ve kterém roce se účastnilo co do počtu nejvíce psů z kategorie ostatních plemen. 15 8 Analytická geometrie 3. V roce 2010 byla šestina psů z kategorie ostatních plemen bíle zbarvená. Určete, kolik psů z kategorie ostatních plemen nebylo bíle zbarvených. 4. Rozhodněte o pravdivosti následujících tvrzení: (a) V roce 2011 se závodů účastnil větší počet sheltií než v roce 2010. (b) V roce 2011 se závodů účastnilo více sheltií než v roce 2012 border colií. (c) Border colií bylo v letech 2010 a 2011 stejný počet. 8 Analytická geometrie Příklad 8.1. V rovině jsou dány body A,B,C, A[-l,2], B[9,-3], C[4, 7]. 1. Přiřaďte jednotlivým bodům jejich vlastnosti. 1. [4,2] (a) Střed strany AB 2. [4, - i] (b) Vrchol D rovnoběžníku ABC D 3- [-6,12] (c) Těžiště trojúhelníku ABC 2. Přiřaďte jednotlivým vektorům jejich vlastnosti. 1. (1, —2) (a) Normálový vektor přímky AB 2 q 2) o3) Směrový vektor těžnice na stranu AB ' v trojúhelníku ABC 3. (2,2) (c) Normálový vektor výšky na stranu AC v trojúhelníku ABC 4- (0,1) (d) Směrový vektor přímky BC 3. Rozhodněte, zda jsou pravdivá následující tvrzení: (a) Trojúhelník ABC je pravoúhlý. (b) Obsah trojúhelníku ABC je 37, 5. (c) Bod, který je patou výšky na stranu AB, má souřadnice [1,1]. Příklad 8.2. V rovině jsou dány přímky p : x + y — 5 = 0, q : x — 2 = 0. 1. Určete obsah trojúhelníku ohraničeného souřadnicovými osami a přímkou p. 2. Určete obsah lichoběžníku ohraničeného přímkami p, q a souřadnicovými osami. 3. Vyberte správnou variantu: (a) Přímka procházející počátkem souřadnic a je kolmá k přímce p má vyjádření i) x + y = 0 ii) y = x 16 8 Analytická geometrie iii) x = t, y = -1 + í, t £R iv) y = 2x (b) Přímka procházející bodem průsečíkem přímek p, q, která je rovnoběžná s osou x má vyjádření: i) y + 3 = 0 ii) x - 3 = 0 iii) x = -17 + í, y = 3, íeM iv) y = x + 3 (c) Přímky p, g svírají úhel i) 30° ii) 45° iii) 60° iv) 90° (d) Vzdálenost počátku souřadnic od přímky p je i) V5 ii) f iii) 5 iv) 2,5 (e) Přímka q dělí trojúhelník ohraničený souřadnicovými osami a přímkou p na lichoběžník a trojúhelník, jejichž obsahy jsou v poměru. i) 1:1 ii) 8:3 iii) 16 : 9 iv) 3:2 (f) Počet bodů , které leží uvnitř nebo na hranici trojúhelníku ohraničeného souřadnicovými osami a přímkou p a které mají obě souřadnice celočíselné, je i) 6 ii) 15 iii) 21 iv) 42 (g) Přímka, která obrazem přímky p ve středové souměrnosti podle počátku souřadnic, má vyjádření i) a; + y + 5 = 0 ii) x — y + 5 = 0 iii) —x + y — 5 = 0 iv) x — y — 5 = 0 (h) Přímka, která je obrazem přímky p v osové souměrnosti podle přímky q, má vyj ádření i) y = x + 1 ii) x = -1 +í, 1 +í, íeK iii) x + y + 1 = 0 iv) y = 3. 17 9 Stereometrie 9 Stereometrie Příklad 9.1. Určete, kolik hran, stěn a vrcholů mají následující tělesa: těleso počet vrcholů počet stěn počet hran pravidelný čtyřstěn pravidelný trojboký hranol pravidelný čtyřboký jehlan pravidelný pětiboký komolý jehlan Příklad 9.2. Je dána krychle ABCDEFGH s hrany délky a. Označme S střed stěny EFGH, O střed hrany AB. 1. Přiřaďte úsečkám jejich správné délky i) AS (a) aVŠ ii) SO (b) &a iii) GO (c) ^a iv) FD (d) |a 2. Pospojujte do dvojic navzájem rovnoběžné roviny i) ACF (a) XGH (X je střed BC) ii) OFH (b) EGD iii) OSA (c) XYG (X je střed BC, Y střed CD) 3. Přiřaďte daným tělesům jejich objemy. i) Trojboký jehlan ABDS. (a) ^a3 ii) Trojboký jehlan EFSO (b) ±a3 iii) Čtyřboký jehlan OBFES (c) ia3 4. Krychli rozřežme na 125 shodných krychliček a dále udělejme dva řezy, jeden rovinou ACGE a jeden rovinou BDHF. Určete, kolik ze 125 menších krychliček zůstane vcelku? (a) 75 (b) 80 (c) 95 (d) 105 5. Krychli rozřežeme na 125 shodných krychliček a odebereme v každém vrcholu krychle jednu rohovou krychličku. Určete, jak tím změníme povrch krychle: (a) Povrch se nezmění. (b) Povrch se zmenší. (c) Povrch se zvětší. 18 10 Posloupnosti (d) Na otázku nelze jednoznačně odpovědět. Příklad 9.3. Uvažujme pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, pro který bude platit, že je trojúhelník ACV rovnostranný. Označme U, V, W, X těžiště stěn ABV, BCV, CDV, ADV a S střed podstavy ABCD. Rozhodněte o pravdivosti následujících tvrzení 1. Výška jehlany UVWXS je jednou třetinou výšky jehlanu ABCDV. 2. Jehlan UVWXS má délku podstavné hrany rovnu dvěma třetinám délky podstavné hrany jehlanu ABCDV. 3. Objemy jehlanů ABCDV a UVWXV jsou v poměru 6^2 : 1. 4. Trojúhelník UWS je rovnostranný. Příklad 9.4. Krabička na dárky má tvar hranolu s hvězdicovou podstavou. Tuto hvězdu dostaneme tak, že ke každé straně šestiúhelníku o straně délky 3 cm přidáme rovnostranný trojúhelník se stejnou délkou strany. Výška krabičky je 1 dm. Vypočtěte objem této krabičky. Příklad 9.5. Osovým řezem válce je čtverec s úhlopříčkou dlouhou \/32 cm. 1. Objem válce je 2. Povrch válce je (a) 647T cm3 (a) 207r cm2 10 Posloupnosti Příklad 10.1. Tim stavěl dům z karet. Vždy k sobě přiložil dvě karty do tvaru střechy a z těchto dvojic vytvořil řadu. Na dvě sousední střechy vždy položil jednu kartu naležato. Na to opět stavěl další řadu střech. Takto pokračoval až do posledního patra, kde postavil k sobě dvě karty a dostal jen jednu stříšku. Do dolní řady postavil Tim 8 stříšek. 1. Kolik stříšek obsahuje celá stavba? (b) 32^ ir cm (c) 247t cm3 (d) 16-7T cm3 ,3 (b) 24tt cm2 (c) 32tt cm2 (d) 647t cm2 (a) 36 (b) 64 (c) 72 (d) 100 2. Kolik karet použil Tim celkem na prokládání mezi jednotlivými řadami střech? (a) 20 (b) 28 (c) 32 (d) 50 19 10 Posloupnosti 3. Kolik karet celkově Tim použil? (a) 72 (b) 90 (c) 98 (d) 100 Příklad 10.2. Součet sta po sobě jdoucích přirozených čísel, které všechny dávají zbytek 1 po dělení pěti, je 28350. Rozhodněte o pravdivosti následujících tvrzení 1. Nej menší z těchto čísel je 36. 2. Nej větší z těchto čísel je 536. 3. Součin těchto čísel je určitě větší než 30100. 4. Vzdálenost nejmenšího a největší takovéhoto čísla na číselné ose je 500. Příklad 10.3. Uvažujme přirozené číslo m = 2a-36-5c, a,b,c£ N. Přičemž exponenty a, b, c tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem různým od jedné. Rozhodněte o pravdivosti následujících tvrzení 1. Číslo m je jistě dělitelné 4. 2. Číslo m je jistě dělitelné 9. 3. Číslo m je jistě dělitelné 25. 4. Je-li součet exponentů čísla m roven 14, potom existuje právě jedno takové číslo m. Příklad 10.4. Odečteme-li od čísel 15, 23,39 stejné číslo, dostaneme tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Určete, které číslo musíme odečíst? Příklad 10.5. Kolik korun nastřádáme za 10 let, jestliže na počátku každého roku vložíme do banky 3000 Kč, banka úročí 2,6% na konci každého roku a daň z úroku je 15%? 20 1 Základy matematiky - výsledky Řešení 1 Základy matematiky - výsledky Příklad 1.1. 1. o-©-©-s-o-o-o-o-o-o-o-o-o-o _'l _1 0 0.6 1 ,2 3 3 3 2. (a) 3,3 cm (b) 11,1 cm (c) 60 cm Příklad 1.2. 1. ^ 2. § Příklad 1.3. 1. 226 ■ 320 . 3 . 6 . 5 . 96 a 128. 2. 567 4. b = 226 ■ 320 ■ 514. 6. 1001 Příklad 1.4. 1. Číslo 2 se zde vyskytuje s exponentem 50. 2. Číslo 7 se zde vyskytuje s exponentem 7. 3. 15. 4. 210 Příklad 1.5. 1. 21 2. 15 Příklad 1.6. L (o) < (9) < (2°) < 102 < 210 < 101 < 10l° 2. log32 < log55 < VŠ < V2 < (i)"1 < ^9 < ln27 21 3 Výroky a množiny - výsledky 2 Výrazy - výsledky Příklad 2.1. 1. R\{-3,-2} 2. s=i 3. a =-5 Příklad 2.2. 1. (x - 2)(x - y)(x +y) 2. x = 2 3. 9 Příklad 2.3. 1. 2. Příklad 2.4. Podíl je 2x2 + zbytek x + 1. Příklad 2.5. s = -2 Příklad 2.6. 2x3 + x2 + 1 a 2x3 +x + l 3 Výroky a množiny - výsledky Příklad 3.1. 1. Ano 3. Ano 5. Ne 7. Ne 9. Ano 2. Ne 4. Ne 6. Ano 8. Ano 22 4 Planimetrie - výsledky Příklad 3.2. 1. 64 2. 32 3. 16 Příklad 3.3. 1. 5 2. 13 3. 3 4. 15 5. 2 6. 10 Příklad 3.4. 1. Ne 2. Ano 3. Ne 4. Ano 5. Ano Příklad 3.5. Určete, kolik prvků mají následující množiny 1. 7 2. 20 Příklad 3.6. 1. a 2. b 3. b 4. c 4 Planimetrie - výsledky Příklad 4.1. 1. ^ 2. ^ 3. 40% Příklad 4.2. 1. 10 cm 2. 14 cm 3. 6, 25 cm 4. 5 ■ v7^ cm Příklad 4.3. 1. § 2. 3 : 5 Příklad 4.4. 23 5 Funkce - výsledky Příklad 4.5. 1. 30° 2. c Příklad 4.6. b 5 Funkce - výsledky Příklad 5.1. A) 4 B) 8 C) 3 D ) 7 E) 2 F) 6 G) 1 Příklad 5.2. X -3 -2 -1 0 1 2 3 9 6 5 4 5 6 9 1. (a) 0 (b) 1 (c) 2 2. (-1,1) Příklad 5.3. 1. Ano 2. Ne 3. Ne 4. Ano 5. Ano 6. Ne Příklad 5.4. 1. c 2. a 3. a 4. c Příklad 5.5. 1. ^, ff 2. d Příklad 5.6. 1. Grafem funkce / je hyperbola. 2. Funkce má dvě asymptoty a to přímku ,r=la přímku y = — 2. 3. Graf funkce / protíná osu x v bodě [—1,0] a osu y v bodě [0, 2]. 24 7 Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika - výsledky 6 Rovnice a nerovnice - výsledky Příklad 6.1. x G (-oo, -5) U (-1,2) U (3, oo) Příklad 6.2. x: = 4 Příklad 6.3. x = 2, x = 3 Příklad 6.4. 3 x 5 cm Příklad 6.5. Ve středu. Příklad 6.6. 1. b = 2. x = ^2uba - pa Příklad 6.7. 18 Příklad 6.8. 7 hodin Příklad 6.9. 40800 7 Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika - výsledky Příklad 7.1. 4. •8- •22' 5 •22' .6. 6 •30 .6, 22' 6 •8' .6 Příklad 7.2. n = 10 25 8 Analytická geometrie - výsledky Příklad 7.3. 1. c 2. e 3. a 4. d 5. b Příklad 7.4. 36 Příklad 7.5. 1. (a) £ 2. (a) 14 13 14 13 (b) Ä (b) Příklad 7.6. 9 1 _ Vio/ \io) (ľo) 17- Příklad 7.7. e, b, a, c, d Příklad 7.8. 1. c 2. b Příklad 7.9. 1. 56 2. 2011 3. 30 8 Analytická geometrie - výsledky Příklad 8.1. 2. 3. 4. Ano, Ano, Ano Bod [4, 2] je těžištěm trojúhelníku ABC. Bod [4, — ^] je středem strany AB. Bod [—6,12] je vrcholem D rovnoběžníku ABCD. Vektor (1,-2) je směrový vektor přímky BC. Vektor (1,2) je normálový vektor přímky AB. Vektor (2,2) je normálový vektor výšky na stranu AC v trojúhelníku ABC. Vektor (0,1) je směrový vektor těžnice na stranu AB v trojúhelníku ABC. Ne Ano Ano 26 9 Stereometrie - výsledky Příklad 8.2. 1. 12,5 2. 8 3. (a) ii (c) ii (e) iii (g) i (b) iii (d) ii (f) iii (h) i 9 Stereometrie - výsledky Příklad 9.1. těleso počet vrcholů počet stěn počet hran pravidelný čtyřstěn 4 4 6 pravidelný trojboký hranol 6 5 9 pravidelný čtyřboký jehlan 5 5 8 pravidelný pětiboký komolý jehlan 10 7 15 Příklad 9.2. Je dána krychle ABCDEFGH s hrany délky a. Označme S střed stěny EFGH, O střed hrany AB. 1. i) ii) ^-a iii) fa iv) aVŠ 2. i) ACF || EGD ii) OFH \\ XYG iii) OSA \\ XGH 3. i) ±a3 ii) ±a3 iii) la3 4. b 5. a Příklad 9.3. 1. 2. Ne 3. Ne 4. Ne Ano Příklad 9.4. 270^3 cm2 Příklad 9.5. 1. d 2. a 27 10 Posloupnosti - výsledky 10 Posloupnosti - výsledky Příklad 10.1. 1. a 2. b 3. d Příklad 10.2. 1. Ano 2. Ne 3. Ano 4. Ne Příklad 10.3. 1. Ne 2. Ano 3. Ne 4. Ne Příklad 10.4. 7 Příklad 10.5. 33899 Kč. 28