Geometrie v gotické architektuře
Obsah
Obsah
1 Úvod 3
2 Gotika 4
2.1 Základní údaje ................................. 4
2.2 Významné evropské gotické stavby...................... 4
2.2.1 Francie.................................. 4
2.2.2 Anglie.................................. 4
2.2.3 Itálie................................... 4
2.3 Gotika u nás................................... 5
2.4 Znaky gotické architektury........................... 5
3 Oblouky 8
3.1 Lomený oblouk................................. 8
3.1.1 Základní lomený oblouk........................ 8
3.1.2 Lomený oblouk zvýšený........................ 9
3.1.3 Lomený oblouk snížený......................... 9
3.2 Půlkruhový oblouk............................... 9
3.3 Segmentový oblouk............................... 9
3.4 Tudorský oblouk ................................ 10
3.5 Oslí hřbet.................................... 10
3.6 Úkoly pro studenty............................... 11
4 Klenby 12
4.1 Klenba valená.................................. 12
4.2 Klenba křížová ................................. 13
4.3 Klenba klášterní................................. 13
4.4 Klenba hvězdová................................ 14
4.5 Úkoly pro studenty............................... 14
5 Kružby 15
5.1 Trojlístek, čtyřlístek a pětilístek v kruhu................... 15
5.2 Sférický trojúhelník a sférický čtyřúhelník .................. 16
5.3 Mniška...................................... 17
5.4 Tři sférické trojúhelníky vepsané do kruhu.................. 17
5.5 Úkoly pro studenty............................... 17
1
Obsah
6 Závěr 19 Literatura 20
Kapitola 1. Úvod
Kapitola 1 Úvod
Milí učitelé matematiky,
právě v ruce držíte sbírku věnující se geometrii v gotické architektuře. Jedná se o studijní text, který můžete poskytnout svým studentům, či si podle něho připravit hodinu. Na konci každé kapitoly jsou příklady na procvičení probíraných aplikací.
Tento text si neklade za cíl dát přehled historických dat a souvislostí, ale chtěl bych ukázat, že základní architektonické prvky nejsou jen umělecká kouzla tehdejších mistrů, ale že se převážně jedná o složení několika základních geometrických konstrukcí.
Uvedené konstrukce jsou kresleny v programu GeoGebra. Za konstrukce modelů kleneb děkuji Mgr. Barboře Kutilové.
3
Kapitola 2. Gotika
Kapitola 2 Gotika
V této kapitole si řekněme několik základních údajů o tomto architektonickém slohu a udělejme si přehled staveb v tomto slohu postavených.
2.1 Základní údaje
Gotický sloh vznikl přibližně kolem roku 1150 ve Francii v oblastech okolo Paříže. Samotný název se však ještě v době gotiky nepoužíval. Pojem gotika byl použit poprvé až v Itálii v období pozdní renesance. Ve Francii byl tento sloh nazýván sloh lomený.
Z Francie se šířila gotika prakticky do celé Evropy. Ještě ve 12. století se dostala do Anglie, o sto let později pak do Německa, Španělska a Itálie. K nám do českých zemí se gotika dostala koncem první poloviny 13. století. V té době u nás vládli Přemyslovci.
2.2 Významné evropské gotické stavby
2.2.1 Francie
Podívejme se nejprve do Francie. Mezi nejvýznamnější francouzské stavby patří katedrála Notre-Dame v Paříži či katedrála v Remeši (obr. 2.1 a 2.2).
2.2.2 Anglie
V Anglii mezi nejvýznamnější stavby patří katedrála v Salisbury a také Westminsterské opatství v Londýně (obr. 2.3 a 2.4).
2.2.3 Itálie
Z italské architektury zmiňme dvě stavby: Milánský dóm a katedrálu v Sieně (obr. 2.5 a 2.6).
4
Kapitola 2. Gotika
2.3   Gotika u nás
U nás najdeme velké množství gotických staveb. Ukažme si ty nej významnější.
1. Katedrála svatého Víta v Praze (obr. 2.7).
2. Chrám svaté Barbory v Kutné Hoře (obr. 2.8).
3. Bazilika Nanebevzetí Panny Marie v Brně (obr. 2.9).
4. Porta Coeli v Předkláštěří u Tišnova (obr. 2.10)
2.4   Znaky gotické architektury
Mezi charakteristické znaky gotické architektury patří oblouky, klenby a kružby. Jednotlivé znaky si rozebereme z geometrického hlediska v dalších kapitolách. Mezi další důležité prvky patří fialy či chrliče. Charakteristická pro gotiku je vertikálnost a štíhlost.
Kapitola 2. Gotika
Obrázek 2.5: Milánský dóm
Obrázek 2.6: Katedrála v Sieně
Kapitola 2. Gotika
Obrázek   2.7:   Katedrála   svatého Víta
v Praze
Obrázek 2.9: Bazilika Nanebevzetí Panny Marie v Brně
Obrázek 2.8: Chrám svaté Barbory v Kutné
Hoře
Obrázek 2.10: Porta Coeli v Předklášteří u Tišnova
Kapitola 3. Oblouky
Kapitola 3 Oblouky
Tento konstrukční prvek nacházíme u zejména kleneb. Další využití nacházely tyto oblouky u oken, portálů či opěrných systémů.
Pojďme se podívat na jednotlivé typy oblouků z geometrického hlediska.
3.1   Lomený oblouk
Rozlišujeme tři typy lomených oblouků: základní, zvýšený a snížený.
3.1.1   Základní lomený oblouk
Postup konstrukce
1. AB; \AB\ = a
2. k; k(A;r = a)
3. /; l(b; r = a)
4. C; C G k H /
Na obrázku můžete vidět ukázku lomeného oblouku z katedrály ve Strasbourgu.
8
Kapitola 3. Oblouky
3.1.2   Lomený oblouk zvýšený
Postup konstrukce
5. /; l(S2;r= \AS2\)
6. C; C e k n/
3.2   Půlkruhový oblouk
Dalším důležitým obloukem je půlkruhový. Jeho konstrukce není vůbec složitá. Jedná se o jednoduchý půlkruh.
Postup konstrukce
1. AB; \AB\ = a
2. S; S = A = B
A s b 3. k; k(S;r= \AS\)
3.3   Segmentový oblouk
Segmentový oblouk taktéž není vůbec složitý. Jedná se pouze o kruhovou úseč.
Kapitola 3. Oblouky
Postup konstrukce
1. AB; \AB\ = a
2. o; o= {X;\AX\ = \XB\}
3. S±; S± G o
4. k; k(S;r = \AS\)
3.4   Tudorský oblouk
Už mírně složitějším je Tudorský oblouk. Ten se využíval převážně v období pozdní gotiky.
4. o; o= {X;\AX\ = \XB\}
5. O; O e o,\OS\ = \SS!\
6. k; k(0;r= \OS\)
7. S3; S3       OS2 n k
8. S4; S4e<*OS1nk
9. h; k1(S1;r=\AS1\)
10. k2- k2{S2-r=\S2B\)
11. C; C G h n 05i.
12. D; D Ek2f] OS2.
13. Ä;3; fc3(S,3;r= I^DI)
14. k4; k4(S4;r= \S4C\)
15. E; E ek3nk4
Postup konstrukce
1. AB; \AB\ = a
2. S; S = A = B
3. Si] 1S1 = A = S, S2] S2 = S = B
3.5   Oslí hřbet
Tento v gotice oblíbený oblouk na rozdíl od ostatních plnil pouze dekorativní funkci, nikoliv nosnou.
Postup konstrukce
1. AB; \AB\ = a
2. C;\AC\ = \BC\ = \AB\
3. S; S = A = B
4. p;p ll-H- AB; Cep
5. g;g ±-H- AB; A G g
Kapitola 3. Oblouky
6. r; r _L-H- AB; Ber
7. D; D E p f] q
8. G; G e p n r
9. k; k(S;r = \AS\)
10. h; k^D-r = \AS\)
11. fc2; k2(G;r = \AS\)
3.6   Úkoly pro studenty
Příklad 1. Pokuste se najít ve svém okolí příklady uvedených oblouků.
Kapitola 4. Klenby
Kapitola 4 Klenby
Klenbou rozumíme nosnou konstrukci, která uzavírá část prostoru. První doložené klenby pochází již z roku okolo 3300 před naším letopočtem, nejstarší dochované pak z 12. století před naším letopočtem. My se podíváme na klenby opět z geometrického hlediska. Prakticky se nejedná o nic jiného, než o plochy či průnik více ploch.
4.1   Klenba valená
Valená klenba je nej jednodušší klenbou a jedná se o polovinu válcové plochy.
Na obrázku vidíme ukázku valené klenby z hradu Špilberk.
12
Kapitola 4. Klenby
4.2   Klenba křížová
Křížová klenba vznikne průnikem dvou válcových ploch, kde se zachovají vnější části válcových ploch.
Na obrázku vidíme ukázku křížové klenby v katedrále v Remeši.
4.3   Klenba klášterní
Klášterní klenba vznikne podobně jako klenba křížová průnikem dvou válcových ploch, kde se ale tentokrát zachovají vnitřní části válcových ploch.
Kapitola 4. Klenby
4.4   Klenba hvězdová
Hvězdová klenba je již o něco složitější. Vznikne opět jako průnik válcových ploch, které však mají lomené oblouky jako své podstavy.
Na obrázku vidíme ukázku hvězdové klenby u hradu Tochuraz u Českého Brodu.
4.5   Úkoly pro studenty
Příklad 2. Vyhledejte ve svém okolí stavby, ve kterých se vyskytují uvedené klenby.
Příklad 3. Znáte i další druhy kleneb? Pokuste se určit, jakým způsobem jsou konstruovány.
Kapitola 5. Kružby
Kapitola 5 Kružby
Posledním konstrukčním prvkem, který si ukážeme, jsou kružby. Ty mají nejen zdobnou funkci, ale řeší i čistě technický problém. Pro gotickou architekturu jsou typická velká okna, ovšem bylo problémem vyrobit tak velká skla. To vyřešily právě kružby.
Pojďme se nyní podívat na konstrukce kružeb. Nejprve si ukážeme konstrukce některých základních prvků, které se v kružbách vyskytují.
Prvními prvky budou trojlístek, čtyřlístek a pětilístek vepsaný do kruhu. Tyto prvky jdou konstruovat dvěma způsoby. V prvním se využije stejnolehlosti, ve druhém vlastnosti kružnice vepsané trojúhelníku. Touto cestou se vydáme i my. Protože je uvedená konstrukce téměř stejná pro všechny tři prvky, uveďme si ji hned na začátku další sekce.
5.1   Trojlístek, čtyřlístek a pětilístek v kruhu
Nejprve rozdělíme kruh na tři (čtyři resp. pět) stejné výseče. Sestrojme rovnoramenné trojúhelníky, jejichž ramena budou ležet na polopřímkách vymezujících jednotlivé výseče a jejichž přepony se budou dotýkat základní kružnice. Nyní již stačí do těchto trojúhelníků vepsat kružnice.
15
Kapitola 5. Kružby
5.2   Sférický trojúhelník a sférický čtyřúhelník
Sférický trojúhelník a sférický čtyřúhelník jsou častými prvky. Konstrukce sférického trojúhelníku je snadná. Stačí sestrojit oblouky nad stranami rovnostranného trojúhelníku se středy v protějších vrcholech.
Konstrukce sférického čtyřúhelníku je podobná. Stačí sestrojit oblouky nad stranami čtverce se středy ve středech protějších stran.
Kapitola 5. Kružby
5.3 Mniška
Dalším zajímavým prvkem je mniška. Konstrukce je poněkud složitější. Výchozí konstrukcí je lomený oblouk. Vycházejme tedy z něho.
Postup konstrukce
1.	Si	Si	= A	= B
2.	S2	S2	= A	= sľ
3.		S3	= s2	= sľ
4.	1S4	S4	= Si	= B
5.	S5	S5	= Si	= 1S4
6.	0;	0 =	{x\	\AX\
7. O; O E o; |0,SiI
8. h; ^3^= |AS3|)
9. k2; k2(S5;r=\S5B\) 10. o p; p =0 AO
= \BX\} BS2\
11. Ti, T\ G p H lomený oblouk
12. k; k(0;r= |OTi|)
5.4   Tři sférické trojúhelníky vepsané do kruhu
Poslední konstrukcí, na kterou se podíváme, jsou tři sférické trojúhelníky vepsané do kruhu. Rozdělme kruh na šest stejných výsečí. Každá z nich reprezentuje rovnostranný trojúhelník. Z každého druhého potom uděláme sférický trojúhelník.
5.5   Úkoly pro studenty
Příklad 4. Dokázali byste navrhnout ještě další konstrukci trojlístku, čtyřlístku a pětilístku? Příklad 5. Sestrojte šestilístek vepsaný do kruhu.
Kapitola 5. Kružby
Příklad 6. Vyhledejte ve svém okolí příklad nějaké kružby. Podívejte se na základní prvky, ze kterých je složena. Dokážete ji sestrojit?
Kapitola 6. Závěr
Kapitola 6 Závěr
Věřím, že vám tento text bude užitečný při výuce geometrie. Tento text nám dal přehled základních konstrukčních prvků, ze kterých se skládají prvky obtížnější a které tak obdivujeme u gotické architektury.
19
Literatura
Literatura
[1] Hylská, B.: Geometrie českých gotických katedrál, Masarykova univerzita, 2010. [2] Tesařová, A.: Geometrie v gotické architektuře, Masarykova univerzita, 2008. [3] http://www.wikipedia.org
20