Matice aneb rovnice, determinanty, lišky a králíci Petr Pupík Aplikace matematiky Přírodovědecká fakulta 14. května 2015 □ Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy O Úvod n g Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Co je to matice Definice Matice řádu m x n je obdélníkové schéma o m řádcích a n sloupcích, ve kterém se vyskytují reálná čísla. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Co je to matice Definice Matice řádu m x n je obdélníkové schéma o m řádcích a n sloupcích ve kterém se vyskytují reálná čísla. 1 2 -1 3 2 -2,1 □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Co je to matice Definice Matice řádu m x n je obdélníkové schéma o m řádcích a n sloupcích ve kterém se vyskytují reálná čísla. 1 2 -1 3 2 -2,1 Definice Je-li m = a?, potom říkáme, že je matice čtvercová řádu m □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Co je to matice Definice Matice řádu m x n je obdélníkové schéma o m řádcích a n sloupcích ve kterém se vyskytují reálná čísla. 1 2 -1 3 2 -2,1 Definice Je-li m = a?, potom říkáme, že je matice čtvercová řádu m Definice O Matice ze samých nul se nazývá nulová. Q Čtvercová matice, která má na hlavní diagonále samé jedničky a všude jinde nuly, se nazývá jednotková. Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Základní pojmy Definice Matice, ve které vyměníme sloupce za řádky, se nazývá matice transponovaná. Je-li původní matice A, potom transponovanou značíme AT. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Základní pojmy Definice Matice, ve které vyměníme sloupce za řádky, se nazývá matice transponovaná. Je-li původní matice A, potom transponovanou značíme AT. 3 2 2 -1 2,1 T T □ Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Q Operace s maticemi □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Sčítání matic Definice Dvě matice stejného typu sčítáme po složkách. Součet matic různých typů nedefinujeme. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Sčítání matic Definice Dvě matice stejného typu sčítáme po složkách. Součet matic různých typů nedefinujeme. 1 2 -1 3 2 -2,1 + 0 -3 5 -1 0 1 -1 4 1 4 2.1 □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Sčítání matic Definice Dvě matice stejného typu sčítáme po složkách. Součet matic různých typů nedefinujeme. 1 2 -1 3 2 -2,1 0 -3 5 -1 0 1 -1 4 1 4 2.1 Příklad Vypočtete {AT + B)T, jestliže A 1 -2 0 2 3 -1 2 -2 1 B Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Sčítání matic Příklad O Uveďte příklad dvou nenulových matic, jejichž součtem bude nulová matice. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Sčítání matic Příklad O Uveďte příklad dvou nenulových matic, jejichž součtem bude nulová matice. O Uveďte příklad dvou čtvercových matic čtvrtého řádu, jejichž součtem bude jednotková matice. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Sčítání matic Příklad O Uveďte příklad dvou nenulových matic, jejichž součtem bude nulová matice. O Uveďte příklad dvou čtvercových matic čtvrtého řádu, jejichž součtem bude jednotková matice. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Sčítání matic Příklad O Uveďte příklad dvou nenulových matic, jejichž součtem bude nulová matice. O Uveďte příklad dvou čtvercových matic čtvrtého řádu, jejichž součtem bude jednotková matice. Definice Je dána matice A. Matice B taková, že A + B je nulová matice se nazývá matice opačná k matici A. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Sčítání matic Příklad O Uveďte příklad dvou nenulových matic, jejichž součtem bude nulová matice. O Uveďte příklad dvou čtvercových matic čtvrtého řádu, jejichž součtem bude jednotková matice. Definice Je dána matice A Matice B taková, že A + B je nulová matice se nazývá matice opačná k matici A. Definice Matice, která má všude kolem hlavní diagonály nuly se nazývá diagonální. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Násobení matic Násobení matic je komplikovanější. Násobit můžeme pouze matici řádu n x k s maticí řádu k x m. Výsledkem je pak matice řádu n x k. Definice Nechť A = (aij), B = (bij). Potom A ■ B = (qj), kde E '// — / , c*la 0.= ] ba i □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Násobení matic Násobení matic je komplikovanější. Násobit můžeme pouze matici řádu n x k s maticí řádu k x m. Výsledkem je pak matice řádu n x k. Definice Nechť A = (aij), B = (bij). Potom A ■ B = (qj), kde k E* 0.= ] ba i Přiklad Vynásobte A ■ B, kde A 1 2 0 1 -1 -2 B 2 -1 0 3 -1 -2 -1 0 2 1 1 □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Vlastnosti sčítání a násobení Vlasnosti 9 Sčítání matic je komutativní, asociativní. 9 Násobení matic je asociativní, ale není komutativní 9 Sčítání a násobení matic je provázáno distributivním zákonem, tj. (A + B)-C = A-B+B-C. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Operace s maticemi Příklad • Uveďte příklad dvou nenulových čtvercových matic druhého řadu, jejichž součinem bude nulová matice. « Uveďte příklad dvou čtvercových matic druhého řádu, jejichž součinem bude jednotková matice. * Uveďte příklad dvou matic A, 6, tak aby byl součin A • B definován, ale nebyl definován součin B • A. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Operace s maticemi Příklad • Uveďte příklad dvou nenulových čtvercových matic druhého řadu, jejichž součinem bude nulová matice. « Uveďte příklad dvou čtvercových matic druhého řádu, jejichž součinem bude jednotková matice. * Uveďte příklad dvou matic A, 6, tak aby byl součin A • B definován, ale nebyl definován součin B • A. Definice Nechť je dána čtvercová matice A. Čtvercovou matici B nazveme inverzní maticí k matici A, jestliže A • B i B • A je jednotková matice. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Inverzní matice Příklad □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Cvičení Příklad Jsou dány matice A D Určete: O 2AT + C O DT-ET-(ED)T 3 0\ -1 2 , B = 1 V /1 5 2 = -1 0 1 U 2 4 O (A Q A (B C) Q CT ■ AT + 2ET O DT -ET s Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Cvičení Příklad K dané matici nalezněte matici inverzní /3 2 °\ A= 5 4 1 □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Cvičení Příklad K dané matici nalezněte matici inverzní /3 2 °\ A= 5 4 1 V 2 Přiklad Uveďte příklad čtvercové matice, ke které neexistuje matice inverzní. I □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Soustavy rovnic a matice Definice Elementární řádkové úpravy Příklad V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic 3x! + 2x2 + x3 = 5 2xí + 3x2 + x3 = 1 2x\ + x2 + 3x3 = 11 5x! + 5x2 + 2x3 = 6 □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Soustavy rovnic a matice Definice Elementární řádkové úpravy Příklad 1 V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic 3x! + 2x2 + x3 = 5 2xí + 3x2 + x3 = 1 2x\ + x2 + 3x3 = 11 5x! + 5x2 + 2x3 = 6 Příklad V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic 2xA + 2x2 + 8x3 - 3x4 + 9x5 =2 2x\ + 2x2 + 4x3 - x4 + 3x5 =2 x! + x2 + 3x3 - 2x4 + 3x5 = 1 3xí + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 1 Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Determinant Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Determinant Determinant matice je zobrazení, které každé čtvercové matici přiřadí nějaké reálné číslo. Obecná definice je komplikovaná, my si vystačíme s definicí determinantu pro matice druhého a třetího řadu. Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Determinant Determinant matice je zobrazení, které každé čtvercové matici přiřadí nějaké reálné číslo. Obecná definice je komplikovaná, my si vystačíme s definicí determinantu pro matice druhého a třetího řadu. Definice Determinant matice A, kde A = (a b\ (c d) je roven A = ad - bc. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Determinant Determinant matice je zobrazení, které každé čtvercové matici přiřadí nějaké reálné číslo. Obecná definice je komplikovaná, my si vystačíme s definicí determinantu pro matice druhého a třetího řadu. Definice Determinant matice A, kde A = (a b\ (c d) je roven A = ad - bc. Definice - Sarrusovo pravidlo Determinant matice třetího řádu je roven rozdílu součtu součinů prvků na hlavních diagonálách a součtu součinů prvků na vedlejších diagonálách. Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Determinant Příklad Vypočtěte determinant matice -2 1 -3 3 2 -1 -4 3 -1 □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Determinanty a soustavy Cramerovo pravidlo Má-li soustava rovnic právě jedno řešení, potom ho můžeme nalézt tak, že , kde A je matice soustavy, A, je matice soustavy, kde místo Xi IA-1 Mého sloupce je sloupec pravých stran soustavy. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Determinanty a soustavy Cramerovo pravidlo Má-li soustava rovnic právě jedno řešení, potom ho můžeme nalézt tak, že , kde A je matice soustavy, A, je matice soustavy, kde místo Xi IA-1 Mého sloupce je sloupec pravých stran soustavy. Pomocí Cramerova pravidla řešte danou soustavu lineárních rovnic 3*1 x2 + x3 =10 5*1 + x2 + 2x3 = 29 -4*! + x2 + 2x3 = 2 □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Q Vlastní čísla matice, vlastní vektory □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Vlastní čísla Nyní se budeme chtít naučit počítat vysoké mocniny některých matic. To potom využijeme právě u populačních modelů. Definice Nechť je dána čtvercová matice A. Potom determinant matice, kde k prvkům hlavní diagonály matice A dopíšeme nazýváme charakteristický polynom. Kořeny tohoto polynomu nazýváme vlastní čísla. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Vlastní čísla Nyní se budeme chtít naučit počítat vysoké mocniny některých matic. To potom využijeme právě u populačních modelů. Nechť je dána čtvercová matice A. Potom determinant matice, kde k prvkům hlavní diagonály matice A dopíšeme nazýváme charakteristický polynom. Kořeny tohoto polynomu nazýváme vlastní čísla. Určete vlastní čísla matic □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Vlastní vektory Matice řádu n může mít až n různých vlastních čísel. Jestliže dosadíme /-té vlastní číslo za x, dostaneme matici A. Definice Vektor (ui , u2, u3) splňující nazýváme vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Vlastní vektory Matice řádu n může mít až n různých vlastních čísel. Jestliže dosadíme /-té vlastní číslo za x, dostaneme matici A. Definice Vektor , U2, U3) splňující nazýváme vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu. Určete vlastní čísla a vlastní vektory matic □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Vlastní vektory Matice řádu n může mít až n různých vlastních čísel. Jestliže dosadíme /-té vlastní číslo za x, dostaneme matici A. Definice Vektor , U2, U3) splňující nazýváme vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu. Určete vlastní čísla a vlastní vektory matic Příklad Určete vlastní vektory matic z předešlého slidu. Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Vlastní vektory Definice Násobnost vlastního čísla nazýváme algebraická násobnost. „Počet" vektorů příslušných danému vlastnímu číslu nazýváme geometrická násobnost vlastního čísla. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Vlastní vektory Definice Násobnost vlastního čísla nazýváme algebraická násobnost. „Počet" vektorů příslušných danému vlastnímu číslu nazýváme geometrická násobnost vlastního čísla. Tvrzení, aneb zlatý hřeb Má-li matice A řádu n celkem n vlastních vektorů, potom se tato matice nazývá diagonalizovatelná a platí, že -i A = PDP kde D je diagonální matice, kde na diagonále jsou hlavní čísla, a P je matice, kde ve sloupcích jsou vlastní vektory. Platí, žeAn = PDnP -i □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Vlastní vektory Příklad Vypočtěte A3, jestliže 0 2 -2 1 -1 5 2 -4 8 □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Iterované procesy Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Populační modely Příklad Předpokládejme, že v populačním modelu liška-králík je vztah mezi počtem lišek Lk a králíků Kk v daném a následujícím měsíci následovný: L*+1 = O&Lk + OAKk, (1) Kk+, = -O.OSLk + IAKk (2) Určete limitní chování populace, je-li L0 = 100, K0 = 100. □ e Úvod Operace s maticemi Soustavy rovnic Determinant Vlastní čísla matice, vlastní vektory Iterované procesy Populační modely Příklad Brněnská oblast má cca 400 tisíc obyvatel. Uvažujme tři základní regiony v této oblasti - centrum, sever, jih. Z centra se na sever každý rok přestěhuje 10% obyvatel a z centra na jih 5% obyvatel. Ze severu se do centra každý rok přestěhuje 5% obyvatel a ze severu na jih také 5% obyvatel. A konečně z jihu se každý rok přestěhuje 10% obyvatel do centra a 15% obyvatel na sever. Označme jako ck, sk, jk počet obyvatel v regionu centrum, sever, jih v roce k. Sestavte příslušný iterační model a určete jeho matici. Dále již s tímto modelem nic nepočítejte. □ e