2   Statistická inference II - cvičení 16-03-01
Řešení příkladů z domácí úlohy - SI I
Příklad č.4 (kvadratická aproximace profilové funkce věrohodnosti)
(a) Nakreslete škálovaný logaritmus profilové funkce věrohodnosti normálního rozdělení pro fi. Na ose x bude fi a na ose y ln£p(/i|x) = Zp(/x|x) — lp(jl\x). Porovnejte ln£p(/x|x) s kvadratickou aproximací vypočítanou pomocí Taylorova rozvoje ln£p(/x|x) = ln(^[^jx)) ~ —— /2)2.
(b) Nechť skóre funkce S(fi) = In Lp(/x|x). Vezmeme-li derivaci kvadratické aproximace uvedené výše, dostaneme S(fi) ~ —X(/2)(/x — /2) nebo —I~1/2(fl)S(fi) ~ X1/2(/2)(/x — Potom zobrazením pravé strany na ose x a levé strany na ose y dostaneme asymptoticky lineární funkci s jednotkovým sklonem. Asymptoticky také platí Z1/2(X)(fi — X) ~ N(0,1). Je postačující mít rozsah osy x rovný (—2,2), protože funkce je asymptoticky (lokálně) lineární na tomto intervalu. Rozumně škálujte osu y. Zobrazte pro (a) n = 10, (b) n = 100 a (c) n = 1000. Použijte (1) X ~ N(0,1) a (2) X ~ (1 — p)N(0,1) +pA^(0, 2), kde p = 0.05. Okomentujte rozdíly mezi (a), (b) a (c), stejně jako rozdíly mezi (1) a (2).
kvadratická aprox. fce věrohodnosti linearita skoré fce
N(0,1), r = 100 N{0.1). n = 100
1
kvadratická aprox. fce věrohodnosti
linearita skoré fce
Statistická inference II — příklady
Příklad č.l (Generování pseudonáhodných čísel)
1. Nechť Y ~ pN(fi1,af) + (l-p)N(fi2,<T2), kde m = 2, fi2 = 3, u\ = 0.52 a a2 = 0.82. Vygenerujte n = 1000 pseudonáhodných čísel z tohoto smíšeného rozdělení.
2. Nechť X\ ~ N(fii,af) a X2 ~ ./V(/i2, o^). Potom náhodný vektor (Xi,X2)T pochází z dvourozměrného normálního rozdělení s vektorem středních hodnot \i = (/íi,/í2)T a variační maticí
Vygenerujte n = 500 pseudonáhodných čísel z dvourozměrného normálního rozdělení, pokud fii = 2, fi2 = 3, o\ = 0.52, o"! = 1, p = 0.3. K vygenerování použijte
(a) funkci mvrnorm() z knihovny MASS;
(b) funkci rmvnormQ z knihovny mvtnorm.
funkce mvrnorm()
x,~N(2,r
funkce rmvtnorm()
X,~N(2,r)
3
Příklad č.2 (MC experiment pro IS)
Nechť
(a) X~N{0,1);
(b) X ~ pN(0,1) + (1 — p)N(0,4), kde p = 0.9, tedy jde o směs dvou normálních rozdělení X ~ N(0,1) a X ~ AT(0, 4) v poměru 9 : 1.
Pro obě části (a) i (b):
1. Vygenerujte M = 100 náhodných výběrů s rozsahem n = 500 a vypočítejte Waldovy 100(1 —a) % empirické IS pro střední hodnotu /i, když a2 známe. Spočítejte, kolik IS obsahuje střední hodnotu fi = 0. Toto číslo podělené hodnotou M představuje simulovanou hladinu významnosti a.
Simulace 95% spolehlivosti Waldových empirických IS
X~N(0,1), o2 neznáme
o ó
n I I I I I
0 20 40 60 80 100
experiment
Simulace 95% spolehlivosti Waldových empirických IS
_X~pN(0,1)+(1-p)N(0,2), o2 známe_
				11						T									4																																
															T																																				
1-1-1-1-1-1
0 20 40 60 80 100
experiment
4
2. Vygenerujte M = 100 náhodných výběrů s rozsahem n = 500 a vypočítejte Waldovy 100(1 —a) % empirické IS pro střední hodnotu /x, když a2 známe. Spočítejte, kolik IS obsahuje střední hodnotu fi = 0. Toto číslo podělené hodnotou M představuje simulovanou hladinu významnosti a.
Simulace 95% spolehlivosti Waldových empirických IS
experiment
Simulace 95% spolehlivosti Waldových empirických IS
X~pN(0,1)+(1-p)N(0,2), o2 neznáme
o d
d
40
60
20
80
100
experiment
3. Postupy (1) a (2) zopakujte ./V = lOOx a zjistěte, jaká je průměrná simulovaná hladina významnosti a v těchto stech pokusech.
5