Cvičení 2: Úlohy o více nezávislých náhodných výběrech
Příklad na ANOVU
V jisté továrně se měřil čas, který potřeboval každý ze tří dělníků k uskutečnění téhož
pracovního úkonu. Čas v minutách:
1. dělník: 3,6 3,8 3,7 3,5
2. dělník: 4,3 3,9 4,2 3,9 4,4 4,7
3. dělník: 4,2 4,5 4,0 4,1 4,5 4,4.
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že výkony těchto tří dělníků jsou stejné.
Zamítnete-li nulovou hypotézu, určete, výkony kterých dělníků se liší na dané hladině
významnosti 0,05.
Návod:
Úloha vede na analýzu rozptylu jednoduchého třídění. Načteme datový soubor
cas_delniku.sta. Proměnná X obsahuje zjištěné časy, proměnná ID nabývá hodnoty 1 pro 1.
dělníka, hodnoty 2 pro 2. dělníka a hodnoty 3 pro 3. dělníka.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Rozklad & jednofakt. ANOVA – Proměnné Závislé
X, Grupovací ID, OK, Kódy pro grupovací proměnné – Vše, OK, Výpočet: Tabulka
statistik (zobrazí se průměry, směrodatné odchylky a rozsahy všech tří výběrů).
Rozkladová tabulka popisných statistik (cas_delniku.sta)
N=16 (V seznamu záv. prom. nejsou ChD)
ID X
průměr
X
N
X
Sm.odch.
1 3,650000 4 0,129099
2 4,233333 6 0,307679
3 4,283333 6 0,213698
Vš.skup. 4,106250 16 0,353023
Komentář: Na uskutečnění daného pracovního úkonu potřebuje nejkratší čas 1. dělník.
Podává také nejvyrovnanější výkony – směrodatná odchylka proměnné X je u něj nejmenší.
Naopak nejpomalejší je 3. dělník.
Nyní vytvoříme krabicové diagramy: Návrat do Statistiky podle skupin – Kategoriz.
krabicový graf (současné zobrazení krabicových diagramů pro všechny tři výběry )
Průměr
Průměr±SmOdch
Průměr±1,96*SmOdch
1 2 3
ID
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
X
Pomocí N-P plot orientačně posoudíme normalitu všech tří výběrů:
Návrat do Statistiky podle skupin – ANOVA & testy – Kategoriz. norm. pravd. grafy
ID: 1
3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Očekávanánormálníhodnota
ID: 2
3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8
ID: 3
3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 4,8
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Očekávanánormálníhodnota
Komentář: Ve všech třech případech se tečky jen málo odchylují od přímky, lze soudit, že
data pocházejí z normálního rozložení.
Provedení testu o shodě rozptylů:
Návrat do Statistiky podle skupin – Leveneovy testy
Leveneův test homogenity rozpylů (cas_delniku.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
X 0,042708 2 0,021354 0,183333 13 0,014103 1,514205 0,256356
Komentář: Testová statistika Levenova testu nabývá hodnoty 1,5142, stupně volnosti čitatele
= 2, jmenovatele = 13, odpovídající p-hodnota = 0,256, tedy na hladině významnosti 0,05 se
nezamítá hypotézu o shodě rozptylů.
Provedení testu o shodě středních hodnot:
Návrat do Statistiky podle skupin – Analýza rozptylu.
Analýza rozptylu (cas_delniku.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
X 1,117708 2 0,558854 0,751667 13 0,057821 9,665327 0,002680
Komentář: Skupinový součet čtverců SA = 1,1177, počet stupňů volnosti fA = 2, reziduální
součet čtverců SE = 0,7517, počet stupňů volnosti fE = 13, testová statistika
EE
AA
A
fS
fS
F =
nabývá hodnoty 9,6653, počet stupňů volnosti čitatele = 2, jmenovatele = 13, odpovídající phodnota
= 0,00268, tedy na hladině významnosti 0,05 se zamítá hypotéza o shodě středních
hodnot .
Provedení metody mnohonásobného porovnávání: Návrat do Statistiky podle skupin – Posthoc
– Schefféův test.
Scheffeho test; proměn.:X (cas_delniku.sta)
Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000
ID
{1}
M=3,6500
{2}
M=4,2333
{3}
M=4,2833
1 {1}
2 {2}
3 {3}
0,008391 0,004705
0,008391 0,937504
0,004705 0,937504
Komentář: Tabulka obsahuje p-hodnoty pro testování hypotéz o shodě středních hodnot
všech dvojic výběrů. Výsledek Scheffého metody ukazuje, že na hladině významnosti 0,05 se
liší výkony dělníků (1,2), (1,3) a neliší se (2,3).
Příklad na Kruskalův – Wallisův test a mediánový test
Příklad: V roce 1980 byly získány tři nezávislé výběry obsahující údaje o průměrných ročních
příjmech (v tisících dolarů) čtyř sociálních skupin ve třech různých oblastech USA.
jižní oblast: 6 10 15 29
pacifická oblast: 11 13 17 131
severovýchodní oblast: 7 14 28 25
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že příjmy v těchto oblastech se neliší.
Návod:
Načteme datový soubor prijmy_v_USA.sta. Je zřejmé, že kvůli vybočující hodnotě 131 ve 2.
výběru bude porušena normalita, proto musíme použít neparametrický test.
Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnání více nezávislých vzorků - OK – Seznam
závislých proměnných X, Nezáv. (grupovací) proměnná ID – OK – Shrnutí: KruskalWallisova
ANOVA a mediánový test. Ve dvou výstupních tabulkách se objeví výsledky K-W
testu a mediánového testu.
Kruskal-Wallisova ANOVA založ. na poř.; X (prijmy_v_USA.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná : ID
Kruskal-Wallisův test: H ( 2, N= 12) =,5000000 p =,7788
Závislá:
X
Kód Počet
platných
Součet
pořadí
Prům.
Pořadí
jižní oblast
pacifická oblast
SV oblast
1 4 22,00000 5,500000
2 4 29,00000 7,250000
3 4 27,00000 6,750000
Mediánový test, celk. medián = 14,5000; X (prijmy_v_USA.sta)
Nezávislá (grupovací) proměnná : ID
Chi-Kvadr. = 0,000000 sv = 2 p = 1,000Závislá:
X jižní oblast pacifická oblast SV oblast Celkem
<= Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
> Medián: pozorov.
očekáv.
poz.-oč.
Celkem: oček.
2,000000 2,000000 2,000000 6,00000
2,000000 2,000000 2,000000
0,000000 0,000000 0,000000
2,000000 2,000000 2,000000 6,00000
2,000000 2,000000 2,000000
0,000000 0,000000 0,000000
4,000000 4,000000 4,000000 12,00000
Testy nezamítají hypotézu o shodě mediánů v daných třech skupinách.
Grafické znázornění výsledků: návrat do Kruskal-Wallisova ANOVA a mediánový test –
Krabicový graf – Proměnná X – OK – Typ grafu: Medián/kvartily/Rozpětí – OK.
Krabicový graf dle skupin
Proměnná: X
Medián
25%-75%
Min-Max
jižní oblast pacifická oblast SV oblast
ID
0
20
40
60
80
100
120
140
X
Je vidět, že úroveň příjmů je nejvyšší pro pacifickou oblast, zatímco pro jižní oblast je
nejnižší.
Příklady k samostatnému řešení
Příklad 1.: Studenti byli vyučováni předmětu za využití pěti pedagogických metod: tradiční
způsob, programová výuka, audiotechnika, audiovizuální technika a vizuální technika. Z
každé skupiny byl vybrán náhodný vzorek studentů a všichni byli podrobeni témuž
písemnému testu. Výsledky testu:
metoda počet bodů
tradiční 76,2 48,3 85,1 63,7 91,6 87,2
programová 85,2 74,3 76,5 80,3 67,4 67,9 72,1 60,4
audio 67,3 60,1 55,4 72,3 40
audiovizuální 75,8 81,6 90,3 78 67,8 57,6
vizuální 50,5 70,2 88,8 67,1 77,7 73,9
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že znalosti všech studentů jsou stejné a
nezávisí na použité pedagogické metodě. V případě zamítnutí hypotézy zjistěte, které výběry
se liší na hladině významnosti 0,05. Data jsou uložena v souboru pet_metod.sta.
Výsledek: ANOVA neprokázala rozdíl v účinnosti jednotlivých pedagogických metod.
Příklad 2.: Pan Novák může cestovat z místa bydliště do místa pracoviště třemi různými
způsoby: tramvají (způsob A), autobusem (způsob B) a metrem s následným přestupem na
tramvaj (způsob C). Máme k dispozici jeho naměřené časy cestování do práce v době ranní
špičky (včetně čekání na příslušný spoj) v minutách:
způsob A: 32, 39, 42, 37, 34, 38:
způsob B: 30, 34, 28, 26, 32,
způsob C: 40, 37, 31, 39, 38, 33, 34
Pro všechny tři způsoby dopravy vypočtěte průměrné časy cestování. Na hladině významnosti
0,05 testujte hypotézu, že doba cestování do práce nezávisí na způsobu dopravy. V případě
zamítnutí nulové hypotézy zjistěte, které způsoby dopravy do práce se od sebe liší na hladině
významnosti 0,05. Data jsou uložena v souboru doby_cestovani.sta.
Výsledek: ANOVA zamítla hypotézu o shodě středních hodnot. S rizikem omylu nejvýše 5 %
se liší cestování tramvají a autobusem a dále cestování autobusem a metrem.
Příklad 3.: Voda po holení jisté značky se prodává ve čtyřech různých lahvičkách stejného
obsahu. Údaje o počtu prodaných lahviček za týden v různých obchodech:
1.typ: 50 35 43 30 62 52 43 57 33 70 64 58 53 65 39
2.typ: 31 37 59 67 44 49 54 62 34 42 40
3.typ: 27 19 32 20 18 23
4.typ: 35 39 37 38 28 33.
Posuďte na 5% hladině významnosti, zda typ lahvičky ovlivňuje úroveň prodeje.
Data jsou uložena v souboru voda po holeni.sta.
Výsledek: Vzhledem k porušení homogenity rozptylu nelze použít ANOVU. Mediánový test
zamítl hypotézu o shodě mediánů. Liší se typy (1, 3) a (2, 3).