MASARYKOVA UNIVERZITA
Přírodovědecká fakulta
Ústav matematiky a statistiky
Bakalářská práce
Brno 2015 Klára Hordějčuková
MASARYKOVA UNIVERZITA
Přírodovědecká fakulta
Ústav matematiky a statistiky
Spojité Markovské
řetězce a jejich použití
Bakalářská práce
Klára Hordějčuková
Vedoucí práce: Mgr. Martin Panák, Ph.D. Brno 2015
Bibliografický záznam
Autor: Klára Hordějčuková
Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita
Ústav matematiky a statistiky
Název práce: Spojité Markovské řetězce a jejich použití
Studijní program: Matematika
Studijní obor: Finanční a pojistná matematika
Vedoucí práce: Mgr. Martin Panák, Ph.D.
Akademický rok: 2014/2015
Počet stran: viii + ??
Klíčová slova: Markovské řetězce; spojitý čas; Kolmogorovovy rovnice;
pravděpodobnost přechodu; stacionární rozložení; bonus–
malus systém; relativní sazba; efektivnost
Bibliographic Entry
Author: Klára Hordějčuková
Faculty of Science, Masaryk University
Department of Mathematics and Statistics
Title of Thesis: Continuous Markov chains and their applications
Degree Programme: Mathematics
Field of Study: Financial and Insurance Mathematics
Supervisor: Mgr. Martin Panák, Ph.D.
Academic Year: 2014/2015
Number of Pages: viii + ??
Keywords: Markov chains; continuous time; Kolmogorov’s equations;
transition probability; stationary distribution;
bonus–malus system; relativity; efficiency
Abstrakt
V této bakalářské práci se věnujeme Markovským řetězcům se spojitým časem,
které na závěr využijeme v oblasti pojišťovnictví. V teoretické části jsou popsány
vlastnosti a chování tohoto řetězce, z nichž vyniká jedna markovská vlastnost tzv.
„bezpaměťovost“. V praktické části je pomocí Markovského řetězce modelován systém
bonus–malus, který se používá v pojištění automobilů a slouží k ohodnocení
řidičů pomocí slev (bonusů) či přirážek (malusů) na pojistném na základě jejich
nehodovosti. Výsledkem práce je určení optimální výše pojistného a posouzení efektivnosti
zvoleného teoretického modelu.
Abstract
Poděkování
V úvodu bych ráda poděkovala svému vedoucímu bakalářské práce Mgr. Martinu
Panákovi, Ph.D. za odborné rady, připomínky a za čas, který mi věnoval na
konzultacích.
Prohlášení
Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracovala samostatně s využitím
informačních zdrojů, které jsou v práci citovány.
Brno xx. května 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Klára Hordějčuková
Obsah
Úvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
Kapitola 1. Stochastický proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Kapitola 2. Spojité Markovské řetězce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1 Vlastnosti Markovského řetězce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Matice intenzit přechodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 Význam intenzit přechodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Kolmogorovovy diferenciální rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.1 Homogenní Kolmogorovovy rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3.2 Nehomogenní Kolmogorovovy rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.4 Stacionární a limitní rozložení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Kapitola 3. Speciální markovské procesy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1 Poissonův proces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Procesy vzniku a zániku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Kapitola 4. Využití MŘ v systému bonus-malus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.1 Základní a relativní pojistné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.2 Modelování bonus-malus systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3 Pravděpodobnosti přechodu mezi třídami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.4 Bonus-malus v dlouhém období . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Kapitola 5. Optimální relativní sazby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.1 Bayesovké sazby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2 Efektivnost bonus-malus systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.1 Loimarantova efektivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.2.2 De Prilova efektivnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Seznam použité literatury . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
– vii –
Úvod
V základním počtu teorie pravděpodobnosti se zkoumá pravděpodobnost jevů nezávisle
na čase. Náhodný proces popisuje změnu těchto jevů v čase, obecně můžeme
říci, že náhodný proces je množina náhodných veličin závislých na určitém počtu
parametrů. My se zaměříme na procesy s jedním parametrem t, který představuje
čas. Tyto náhodné procesy se nazývají stochastické procesy. A Markovovy řetězce
jsou jejich nejjednodušším případem.
Typickou vlastností Markovova řetězce je jeho „bezpaměťovost“, to znamená, že
budoucí hodnoty závisí jen na současných hodnotách tohoto řetězce, ne na minulých.
Této vlastnosti je využito v celé řadě oborů, např. v ekonomii, biologii, fyzice, chemii.
Jelikož jsem student oboru Finanční a pojistná matematika, rozhodla jsem se využít
tento řetězce v modelu pojištění automobilů.
Cílem této práce je popsat základní vlastnosti a chování Markovského řetězce
speciálně ve spojitém čase a poté najít uplatnění těchto řetězců. Základní pojmy
teoretické části jsem zpracovala na základě materiálů [2], tyto poznatky jsem rozšířila
o literaturu [8], [6] a [4]. Následuje praktická část, ve které ukážeme, jak se dá
tento řetězec využít v pojištění automobilů. Zaměříme se na modelování systémů
bonus–malus, tj. nastavování výše pojistného podle nehodovosti řidičů. Zde byl mým
hlavním zdrojem [3].
V Kapitole 1 osvětlíme pojem stochastický proces, který nám pomůže při pochopení
samotných Markovských řetězců. Druhá kapitola se už věnuje Markovským
řetězcům se spojitým časem, definujeme si základní pojmy a charakteristické vlastnosti
tohoto řetězce. V další kapitole zmíníme pár nejdůležitějších příkladů spojitého
Markovského řetězce, zpracovaných převážně podle [7]. Teoretické výsledky z druhé
kapitoly využijeme v Kapitole 4 k modelování systému bonus–malus, který je využíván
nejvíce v pojištění automobilů. Tento speciální tarifní systém skládající se z
určitého počtu tříd má za úkol rozdělit řidiče do jednotlivých bonusových tříd podle
počtu nahlášených škod, a tím i spravedlivěji určit výši pojistného pro každého řidiče.
Při způsobení nehody řidič klesá do horší třídy, kde získává malusy (přirážku)
k pojistnému, naopak při jízdě bez nehod, řidič postupuje do lepší třídy, kde obdrží
bonusy (slevu) na pojistném. Naším cílem a také závěrem je v Kapitole 5 stanovit
optimální relativní sazby ke každé třídě a zhodnotit efektivnost zvoleného modelu.
– viii –
Kapitola 1
Stochastický proces
Markovský řetězec je jeden ze základních příkladů stochastického procesu. Uveďme
si proto nejdříve definici tohoto náhodného procesu.
Definice 1. Nechť (Ω, A, P) je pravděpodobnostní prostor a T neprázdná podmnožina
R. Pak systém náhodných veličin {Xt, t ∈ T} definovaných na (Ω, A, P) se
nazývá stochastický proces.
Množina všech hodnot, které může Xt nabývat, se nazývá množina stavů a značí
se J.
Věta 1. Nechť {Xt, t ∈ T} je stochastický proces. Pak podle povahy množiny T
rozlišujeme
• proces s diskrétním časem, je-li T spočetná množina, tj. T = (t0, t1, . . . )
• proces se spojitým časem, je-li T interval, zpravidla T = 0, ∞).
Nechť {Xt, t ∈ T} je stochastický proces. Dle stavu hodnoty Xt rozlišujeme
• proces s diskrétními stavy, je-li náhodná veličina Xt diskrétní
• proces se spojitými stavy, je-li náhodná veličina Xt spojitá.
– 1 –
Kapitola 2
Spojité Markovské řetězce
Předpokládáme-li, že se přechody mezi jednotlivými stavy mohou uskutečnit v libovolně
blízkých časových okamžicích (lišící se o přírůstek h blížící se k nule), mluvíme
o Markovském či Markovově řetězci se spojitým časem (též zkráceně markovský proces).
Náhodné proměnné Xt nabývají hodnoty přiřazené určitým stavům. Uvažujeme
zde tedy diskrétní stavový prostor a spojitý čas.
Definice 2. Systém celočíselných náhodných veličin {Xt, t ≥ 0} definovaných na
(Ω, A, P), jehož složky Xt nabývají hodnot z množiny stavů J, se nazývá markovský
proces se spojitým časem, jestliže splňuje následující předpoklady:
1. ∀j ∈ J ∃t ∈ T : P(Xt = j) > 0
2. Pravděpodobnost výsledku v čase n závisí pouze na čase n − 1 (budoucí stav
závisí pouze na stavu přítomném, nikoli na stavech minulých). Tento vztah je
nazýván jako markovská vlastnost, kterou můžeme zapsat následovně
∀t0, t1, . . . , tn ∈ T(t0 < t1 < · · · < tn) a pro ∀j0, j1, . . . , jn ∈ J :
P(Xtn = jn|Xtn−1 = jn−1, . . . , Xt0 = j0) = P(Xtn = jn|Xtn−1 = jn−1)
3. Pravděpodobnost nastání 2 a více přechodů v intervalu délky h se rovná o(h).
Symbol o(h) představuje funkci f(h), pro kterou platí
lim
h→0+
f(h)
h
= 0.
Jak vidíme, tato pravděpodobnost je velmi malá, tudíž ji můžeme zanedbat.
– 2 –
Kapitola 2. Spojité Markovské řetězce 3
Označme
• Xt = j jev, že řetězec v okamžiku t je ve stavu j
• P(Xt = j) = pj(t) absolutní pravděpodobnost stavu j v okamžiku t
• p(t) = (. . . , pj(t), . . . ) vektor absolutních pravděpodobností
• P(X0 = j) = pj(0) počáteční pravděpodobnost stavu j
• p(0) = (. . . , pj(0), . . . ) vektor počátečních pravděpodobností
• P(Xt+h = j|Xt = i) = pij(t, t + h) pravděpodobnost přechodu ze stavu i
v okamžiku t do stavu j v okamžiku t + h
• P (t, t+h) =





...
· · · pij(t, t + h) · · ·
...





matice pravděpodobnosti přechodu mezi
okamžiky t a t+h
2.1 Vlastnosti Markovského řetězce
Věta 2. Nechť {Xt, t ∈ T} je markovský řetězec. Pak platí podmínky ∀i, j ∈ J a
∀t, h, g ∈ T :
• pij(t, t + h) ≥ 0,
P (t, t + h) ≥ 0, kde 0 představuje nulovou matici
• pij(t, t) =



1 pro i = j
0 pro i = j
,
P (t, t) = I, kde I přestavuje jednotkovou matici
• j∈J pij(t, t + h) = 1 (tj. stochastický vektor),
P (t, t + h)e = e, kde e představuje sloupcový vektor ze samých jedniček
• Chapmanovy-Kolmogorovovy rovnice:
pij(t, t + h + g) = k∈J pik(t, t + h)pkj(t + h, t + h + g),
P (t, t + h + g) = P (t, t + h)P (t + h, t + h + g)
• Zákon evoluce:
pj(t + h) = k∈J pk(t)pkj(t, t + h),
p(t + h) = p(t)P (t, t + h)
Kapitola 2. Spojité Markovské řetězce 4
Důkaz. Nyní dokážeme výše zmíněnou Chapman-Kolmogorovovu rovnost
pij(t, t + h + g) =
k∈J
pik(t, t + h)pkj(t + h, t + h + g) (2.1)
Využijeme zde větu o úplné pravděpodobnosti P(A) = k P(A|Bk)P(Bk) a markovskou
vlastnost. Označme jevy A = {Xt+h+g = j}, Bk = {Xt+h = k} a C = {Xt = i}.
Pak můžeme psát:
pij(t, t + h + g) = P(Xt+h+g = j|Xt = i) = P(A|C) =
k
P(A|BkC)P(Bk|C)
=
k∈J
P(Xt+h+g = j|Xt+h = k, Xt = i)P(Xt+h = k|Xt = i)
=
k∈J
P(Xt+h+g = j|Xt+h = k)P(Xt+h = k|Xt = i)
=
k∈J
pik(t, t + h)pkj(t + h, t + h + g).
Definice 3. Markovský řetězec {Xt, t ∈ T} je homogenní, jestliže platí:
∀i, j ∈ J ∀t, h ∈ T : P(Xt+h = j|Xt = i) = pij(t, t + h) = pij(h) (2.2)
Vztah (2.2) znamená, že tyto pravděpodobnosti pij(h) nezávisí na tom, mezi kterými
okamžiky k přechodu dochází. Závisí pouze na délce časového úseku h. Matice pravděpodobnosti
přechodu P (t, t+h) se pak rovná P (h) a nazývá se matice přechodu za
časový přírůstek h. Máme celý systém pravděpodobností {pij(h), h ≥ 0} takových,
že j∈J pij(h) = 1, tudíž i celý systém matic {P (h), h ≥ 0} obvykle definujeme
P (0) = I. Nadále budeme předpokládat, že daný Markovův řetězec je homogenní
(dokud nebude uvedeno jinak) a budeme jej značit HMŘ.
Věta 3. Nechť {Xt, t ∈ T} je HMŘ s vektorem počátečních pravděpodobností p(0)
a systémem matic přechodu {P (h), h ∈ T}. Pak pro ∀h, g ∈ T platí:
P (h + g) = P (h)P (g) (2.3)
p(h) = p(0)P (h) (2.4)
Důkaz. Pro každý prvek matice (2.3) platí:
pij(h + g)
i→j
=
k∈J
pik(h)
i→k
pkj(g)
k→j
.
Nechť máme daný stav i, j a spočetně mnoho stavů k. Pravděpodobnost přechodu
ze stavu i v čase 0 do stavu j v čase h + g se dá chápat jako pravděpodobnost
sjednocení disjunktních jevů, tj. součet pravděpodobností přechodu ze stavu i v čase
0 do stavu k v čase h a přechodu ze stavu k v čase h do stavu j v čase h + g. Zmíněné
pravděpodobnosti přechodu jsou reprezentovány cestami z i → k a z k → j.
Kapitola 2. Spojité Markovské řetězce 5
Spojením těchto cest získáme cestu z i → j. Tento proces můžeme názorněji vidět
na obrázku 2.1.
Druhý výraz dokážeme obdobně; pro každý prvek matice (2.4) platí:
pj(h) =
k∈J
pk(0)pkj(h).
Princip je stejný, jenom zde nemáme počáteční stav i. Zde může nastat jakýkoli.
Sečteme-li všechny pravděpodobnosti, představující cesty z těchto stavů k, získáme
pak cestu z k → j, kterou můžeme vidět na obrázku 2.2.
Obrázek 2.1 Obrázek 2.2
Poznámka. Upřesníme zde pojem pravděpodobnosti setrvání ve stavu i. Mohou nastat
dvě na první pohled identické situace:
• pii(h) = P(Xs = i, ∀s ∈ 0; h |X0 = i)
označuje pravděpodobnost, že proces byl ve stavu i v čase 0 a tento stav i
neopustí do času h,
• pii
(h) = P(Xh = i|X0 = i)
označuje pravděpodobnost, že proces byl v čase 0 ve stavu i a také v čase h
je ve stavu i. Také zahrnuje i to, že proces opustí stav i v časovém intervalu
délky h za předpokladu, že se zpět vrátí do stavu i v čase h.
Pak můžeme zapsat vztah mezi těmito dvěma pravděpodobnostmi následovně
pii
(h) = pii(h) + o(h).
Kapitola 2. Spojité Markovské řetězce 6
2.2 Matice intenzit přechodu
U spojitého markovského řetězce je dán celý systém matic přechodu {P (h), h ∈ T},
protože řetězec za čas t může projít několika změnami. Zápis těchto matic by byl příliš
složitý, proto zavedeme matici intenzit přechodu, která bude tvořena intenzitami pro
nekonečně krátký interval h.
Mějme HMŘ se spojitým časem. Řekneme, že v okamžiku t je řetězec ve stavu i
a za časový přírůstek h přejde do stavu j s pravděpodobností pij(h). Pak číslo
pij(h)
h
vyjadřuje průměrnou rychlost změny pravděpodobnosti přechodu ze stavu i do
stavu j za přírůstek h. Dále víme, že pravděpodobnost pii(h) se limitně blíží jedné,
proto definujeme její doplněk 1−pii(h) jako pravděpodobnost, že za časový přírůstek
h přejde řetězec do nějakého jiného stavu. Pak hodnota výrazu
1 − pii(h)
h
vyjadřuje průměrnou rychlost změny pravděpodobnosti výstupu ze stavu i za časový
přírůstek h.
Pro h → 0+ nazveme tyto rychlosti změn intenzitami.
Dále předpokládejme, že ∀i, j ∈ J existuje
lim
h→0+
pij(h) =



1 pro i = j
0 pro i = j
, (2.5)
kterou znázorňuje 2.3 a 2.4.
Obrázek 2.3 Obrázek 2.4
Definice 4. Nechť {Xt, t ∈ T} je HMŘ se spojitým časem a systémem matic přechodu
{P (h), h ∈ T}. Potom definujeme (pokud následující limity existují) ∀i, j ∈ J:
Kapitola 2. Spojité Markovské řetězce 7
• intenzitu přechodu ze stavu i do stavu j jako:
qij = lim
h→0+
pij(h)
h
, (2.6)
ze které si můžeme vyjádřit pst. přechodu
pij(h) = hqij + o(h) (2.7)
• a intenzitu výstupu ze stavu i jako:
qi = lim
h→0+
1 − pii(h)
h
, (2.8)
ze které si můžeme vyjádřit pst. setrvání
pii(h) = 1 − hqi + o(h) = 1 + hqii + o(h) (2.9)
Nyní jsme si definovali intenzity změn k tomu, abychom mohli sestrojit matici
intenzit přechodu.
Definice 5. Mějme matici Q = (qij)i,j∈J takovou, pro kterou platí:
(i) diagonální prvky qii = −qi
(ii) qij ≥ 0 pro i = j a qii < 0
(iii) součet prvků v každém řádku je nulový, tj. j∈J qij = 0,
pak Q se nazývá matice intenzit přechodu a zapisujeme
Q =




−q0 q01 · · ·
q10 −q1
...
...



 .
Důkaz. Provedeme důkaz (iii) za pomocí intenzit přechodu (2.6) a (2.8) a tvrzení
(i):
j∈J
qij =
i=j
qij + qii =
i=j
qij − qi =
i=j
lim
h→0+
pij(h)
h
− lim
h→0+
1 − pii(h)
h
= lim
h→0+
i=j pij(h) − 1 + pii(h)
h
= lim
h→0+
j∈J pij(h) − 1
h
= lim
h→0+
1 − 1
h
= 0
Matici intenzit lze také vyjádřit pomocí přechodového diagramu 2.5. Jde o orientovaný
graf, kde vrcholy představují stavy a ohodnocení hran mezi intenzitám pře-
chodu.
Kapitola 2. Spojité Markovské řetězce 8
Obrázek 2.5: Přechodový diagram matice intenzit přechodu
2.2.1 Význam intenzit přechodu
Všechny pravděpodobnosti přechodu mohou být vyjádřeny pomocí intenzit přechodu,
které je často možné odhadnout v konkrétních modelech. Nejdříve si ukážeme
výraz pii vyjádřený intenzitami přechodu pro homogenní markovský řetězec a poté i
pro nehomogenní.
Věta 4. Nechť {Xt, t ∈ T} je HMŘ se spojitým časem a s konečnou množinou stavů
J. Pak platí ∀h > 0
pii(t) = e−qit
. (2.10)
Důkaz. Zde využijeme součin pravděpodobností pii(t + h) = pii(t)pii(h), do kterého
dosadíme tvrzení (2.7) a dále upravujeme
pii(t + h) = pii(t) 1 − hqi + o(h)
pii(t + h) = pii(t) − hqipii(t) + o(h)
pii(t + h) − pii(t)
h
= −pii(t)qi +
o(h)
h
Pro h → 0+ získáme soustavu
d
dt
pii(t) = −pii(t)qi
d
dt
ln |pii(t)| = −qi
a jelikož platí pii(t) > 0, můžeme odstranit absolutní hodnotu a integrujeme přes
(0, t)
ln pii(t) = −
t
0
qi ds = −tqi,
nakonec odlogaritmujeme a dostaneme
pii(t) = e−qit
.
Věta 5. Nechť {Xt, t ∈ T} je nehomogenní MŘ se spojitým časem a s konečnou
množinou stavů J. Pak platí pro ∀h > 0
pii(t, t + h) = e
−
t
0 j∈J,j=i
qij(t+s) ds
. (2.11)
Kapitola 2. Spojité Markovské řetězce 9
Důkaz. Zde vyjdeme z těchto dvou tvrzení
pii(t, t + h + g) = pii(t, t + h)pii(t + h, t + h + g)
a
pii(t + h, t + h + g) = 1 − h
j∈J,j=i
qij(t + h) + o(h)
a upravujeme analogicky jako u homogenního MŘ.
Kapitola 2. Spojité Markovské řetězce 10
2.3 Kolmogorovovy diferenciální rovnice
V předcházející kapitole jsme definovali matici intenzit přechodu Q, kterou nyní
využijeme v systému Kolmogorovových diferenciálních rovnic. Cílem této kapitoly
je určit pravděpodobnosti přechodu, které získáme jako řešení zmíněného systému.
Nejprve si však ukážeme, jak se řeší absolutní pravděpodobnosti. V obou těchto případech
se jedná o systémy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty,
které se nejčastěji řeší pomocí Laplaceovy transformace.
2.3.1 Homogenní Kolmogorovovy rovnice
Věta 6. Mějme homogenní Markovův řetězec se spojitým časem, který má systém
vektorů absolutních pravděpodobností {p(t), t ∈ T}, vektor počátečních pravděpodobností
p(0) a matici intenzit přechodu Q. Pak pi(t) lze vyjádřit jako řešení systému
evolučních diferenciálních rovnic
p (t) = p(t)Q (2.12)
s počáteční podmínkou p(0).
Důkaz. Nechť I přestavuje jednotkovou matici. Pomocí rovnice Zákona evoluce p(t+
h) = p(t)P (t, t + h) upravujeme:
p (t) = lim
h→0+
p(t + h) − p(t)
h
= lim
h→0+
p(t)P (t, t + h) − p(t)
h
= lim
h→0+
p(t) P (t, t + h) − I
h
= lim
h→0+
p(t)Qh
h
= p(t)Q
Věta 7. Nechť Q je matice řádu n. Potom existuje jediné řešení systému evolučních
diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou p(0), které lze vyjádřit ve tvaru
p(t) = p(0)eQt
.
Později si ukážeme, co představuje tato exponenciální funkce.
Důkaz. Tvrzení (2.12) upravíme na tvar
p (t)
p(t)
= Q
d
dt
ln p(t) = Q
a řešíme rovnici
ln p(t) = Qt + c
p(t) = keQt
,
kde za k si můžeme zvolit vektor p(0), tudíž dostáváme p(t) = p(0)eQt
.
Kapitola 2. Spojité Markovské řetězce 11
Věta 8. Pro Markovův řetězec se spojitým časem a konečnou množinou stavů J
lze pij(t) vyjádřit jako řešení systému Kolmogorovových diferenciálních rovnic a to
jedním ze dvou následujících způsobů:
• soustavou retrospektivních rovnic s počáteční podmínkou P (0) = I
P (t) = P (t)Q (2.13)
• soustavou prospektivních rovnic s počáteční podmínkou P (0) = I
P (t) = QP (t) (2.14)
Soustava retrospektivních rovnic (2.13) vychází z derivace pij(t), která je vyjádřena
pomocí všech pravděpodobností přechodu do stavu j:
pij(t) = −pij(h)qj +
k∈J,k=i
pik(h)qkj =
k∈J
pik(h)qkj
Soustava prospektivních rovnic (2.14) vychází z derivace pij(t), která je vyjádřena
pomocí všech pravděpodobností přechodu ze stavu i:
pij(t) = −qipij(h) +
k∈J,k=i
qikpkj(h) =
k∈J
qikpkj(h)
Důkaz. uveden v [9, strana 83]
Věta 9. Nechť Q je kvazistochastická matice řádu n. Pak existuje jediné (a pro obě
stejné) řešení systému rovnic (2.13) a (2.14), které vyhovuje počáteční podmínce
P (0) = I. Maticově lze toto řešení psát ve tvaru
P (t) = eQt
,
kde exponenciální funkce matice Q je dána jako mocninný rozvoj
eQt
=
∞
k=0
Qk
tk
k!
= I +
Q
1!
t +
Q2
2!
t2
+ · · ·
Důkaz. Soustava (2.13) má obecné řešení P (t) = P (0)eQt
a soustava (2.14) má
obecné řešení P (t) = eQt
P (0). Při počáteční podmínce P (0) = I mají obě soustavy
řešení
P (t) = eQt
Kapitola 2. Spojité Markovské řetězce 12
2.3.2 Nehomogenní Kolmogorovovy rovnice
Věta 10. Pro nehomogenní Markovův proces s konečnou množinou stavů J lze pravděpodobnosti
pij(t, t + h) vyjádřit pomocí systému Kolmogorovových diferenciálních
rovnic, a to jedním ze dvou způsobů. My si zde ukážeme jeden pomocí prospektivních
rovnic
P (t, t + h) = P (t, t + h)Q(t + h), (2.15)
tudíž pro každý prvek matice platí
pij(t, t + h) =
k∈J,k=j
pij(t, t + h)qjk(t + h) − pik(t, t + h)qkj(t + h) .
Důkaz. K odvození těchto rovnic postupujeme obdobně jako u tvrzení (2.11). Navíc
použijeme zápisy (2.1) a (2.9) a můžeme psát
pij(t, t + h + g) =
k∈J
pik(t, t + h)pkj(t + h, t + h + g)
= pij(t, t + h)pjj(t + h, t + h + g) +
k=j
pik(t, t + h)pkj(t + h, t + h + g)
= pij(t, t + h) 1 − h
k=j
qij(t + h) + o(h) +
k=j
pik(t, t + h) hqkj(t + h) + o(h)
= pij(t, t + h) − h
k=j
pij(t, t + h)qjk(t + h) − pik(t, t + h)qkj(t + h) + o(h).
Nakonec vydělíme h a pro h → 0+ dostaneme
d
dt
pij(t, t + h) =
k∈J,k=j
pij(t, t + h)qjk(t + h) − pik(t, t + h)qkj(t + h) .
2.4 Stacionární a limitní rozložení
Definice 6. Mějme HMŘ se spojitým časem a systémem matic přechodu {P (t), t ∈
T}. Pokud pro stochastický vektor π a ∀t ∈ T platí π = πP (t), pak π se nazývá
stacionární vektor daného řetězce.
Řešení této rovnice může být kvůli systému matic přechodu {P (t), t ∈ T} obtížné,
proto využijeme k výpočtu matici intenzit přechodu Q, jak si ukážeme za chvíli.
Věta 11. Existuje-li limita
lim
t→∞
p(t) = π (2.16)
a toto limitní rozdělení nezávisí na p(0), pak Markovův proces nazveme regulární a
pravděpodobnostní rozdělení π nazveme stacionárním rozložením.
Kapitola 2. Spojité Markovské řetězce 13
Věta 12. Nechť HMŘ se spojitým časem má systém matic přechodu {P (t), t ∈ T},
kde P (t) je regulární a matici intenzit přechodu Q = (qij)i,j∈J , pak stacionární vektor
vypočítáme ze soustavy homogenních diferenciálních rovnic
πQ = 0, (2.17)
kde
j∈J
πj = 1 s podmínkou πj > 0
Důkaz. Protože stacionární rozdělení π nezávisí na čase t, snadno odvodíme (2.17)
dosazením p(t) = π
0 = p (t) = p(t)Q = πQ.
Kapitola 3
Speciální markovské procesy
3.1 Poissonův proces
Poissonův proces je jeden z nejjednodušších a zároveň nejvýznamnějších příkladů
spojitého Markovského řetězce. Jedná se o proces, který popisuje výskyt událostí
(stejného druhu) v čase. Tyto události nastávají náhodně, jednotlivě a vzájemně
nezávisle. „Jednoduchý“ je v tom, že má velmi omezené přechody mezi stavy. Buď
může setrvat v dosavadním stavu nebo přejít do nejbližšího vyššího stavu.
Definice 7. Nechť Xt je počet výskytů určitého jevu v čase (0, t . Střední hodnota
počtu těchto jevů za časovou jednotku je konstantní a značí se λ > 0. Potom tento
homogenní markovský řetězec {Xt, t ≥ 0} s hodnotami J = {0, 1, 2...} nazýváme
Poissonův proces s intenzitou λ.
Poissonův proces dále splňuje následující vlastnosti:
• Pravděpodobnost přechodu ze stavu j do stavu j + 1 v intervalu (t, t + h se
rovná
pj,j+1(t, t + h) = λh + o(h)
a to též vyjadřuje, že nastala událost.
• Pro pravděpodobnost setrvání ve stejném stavu v čase (t, t + h platí
pj,j(t, t + h) = 1 − λh + o(h)
a to též vyjadřuje, že událost nenastala.
• Pravděpodobnost nastání více než jedné události v časovém intervalu (t, t + h
je zanedbatelná, tedy rovna o(h).
Odtud za pomoci rovnic (1.6) a (1.7) získáme intenzity přechodu qj,j+1 = λ,
qj,j = −λ, qij = 0 pro i = j, i = j + 1 a můžeme sestavit matici intenzit přechodu
Q =






−λ λ 0
−λ λ
...
...
0 −λ






.
– 14 –
Kapitola 3. Speciální markovské procesy 15
Obrázek 3.1: Přechodový diagram Poissonova procesu
Intenzity přechodu mezi stavy znázorňuje přechodový diagram 3.1.
Označme p0(t) pravděpodobnost, že v čase (0, t nenastala žádná událost a pj(t)
pravděpodobnosti, že v čase (0, t nastalo právě j událostí. Na základě výše uvedených
vlastností a počáteční podmínky p0(0) = 1 a pj(0) = 0 platí
p0(t + h) = 1 − λh + o(h) p0(t)
pj(t + h) = 1 − λh + o(h) pj(t) + λh + o(h) pj−1(t) + o(h).
Postupně upravujeme
p0(t + h) − p0(t) = −λhp0(t) + p0(t)o(h)
pj(t + h) − pj(t) = −λhpj(t) + pj(t)o(h) + λhpj−1(t) + pj−1(t)o(h)
p0(t + h) − p0(t)
h
= −λp0(t) +
p0(t)o(h)
h
pj(t + h) − pj(t)
h
= −λpj(t) +
pj(t)o(h)
h
+ λpj−1(t) +
pj−1(t)o(h)
h
a při h → 0+ získáme soustavu
p0(t) = −λp0(t)
pj(t) = −λpj(t) + λpj−1(t).
(3.1)
Tato soustava (3.1) představuje systém diferenciálních rovnic pro absolutní pravděpodobnosti
definovaný v (2.9). Aplikováním Laplaceovy transformace získáme výsledné
rovnice
p0(t) = e−λt
pj(t) = e−λt (λt)j
j!
(3.2)
Z druhé rovnice vidíme, že jsme vlastně provedli důkaz Xt ∼ P(λt). Střední
hodnota počtu událostí, které nastanou v intervalu (0, t , je rovna parametru λt.
Nyní se pokusíme modelovat Poissonův proces pomocí posloupnosti náhodných
nezávislých veličin T1, T2, . . . 3.2, kde Tj označuje dobu čekání na příchod události.
Pak platí
P(Tj > t) = p0(t) = e−λt
,
odtud
P(Tj ≤ t) = 1 − e−λt
.
Kapitola 3. Speciální markovské procesy 16
Dostáváme distribuční funkci, která se řídí exponenciálním rozložením, tedy Tj ∼
Ex(λ). Je–li rozložení počtu změn Poissonovo, pak pro stejný proces je rozložení dob
mezi změnami exponenciální (odpovídá Lemma 2).
1
2
3
4
t1 t2 t3 t4t0=0
Xt
t
T1 T2 T3 T4
Obrázek 3.2: realizace Poissonova procesu
3.2 Procesy vzniku a zániku
Mezi další významné markovské procesy patří procesy vzniku a zániku. Jedná se
o model populace v čase, ve kterém náhodně jedinci vznikají a jiní zase zanikají.
Vycházíme z předpokladů, že narození a úmrtí jsou nezávislé jevy.
Definice 8. Nechť Xt je počet jedinců, kteří se nacházejí v populaci v čase (0, t .
Máme danou intenzitu vzniku λj > 0 a intenzitu zániku µj > 0. Pak tento homogenní
markovský řetězec {Xt, t ≥ 0} s hodnotami J = {0, 1, 2...} nazýváme proces vzniku
a zániku s intenzitami λj a µj.
Dále platí pro tento proces následující vlastnosti:
• Pravděpodobnost, že v intervalu (t, t+h v j-členné populaci dojde k jednomu
narození je
pj,j+1(t, t + h) = λjh + o(h)
• Pravděpodobnost, že v intervalu (t, t+h v j-členné populaci dojde k jednomu
úmrtí je
pj,j−1(t, t + h) = µjh + o(h)
• Pravděpodobnost, že v intervalu (t, t + h v j-členné populaci nedojde k žádnému
narození ani úmrtí je
pj,j(t, t + h) = 1 − λjh − µjh + o(h)
Kapitola 3. Speciální markovské procesy 17
• Pravděpodobnost narození a úmrtí více jedinců populace v časovém intervalu
(t, t + h je zanedbatelná, tedy rovna o(h).
Stejně jako u Poissonova procesu můžeme pomocí rovnic (1.6) a (1.7) odvodit
intenzity přechodu
qj,j+1 = λj, j = 0, 1, . . .
qj,j−1 = µj, j = 1, 2, . . .
qj,j = −λj − µj, j = 1, 2, . . .
qj,k = 0, j = k
q0 = λ0.
Matice intenzit přechodu je pak definovaná takto
Q =






−λ0 λ0
µ1 −(µ1 + λ1) λ1
µ2 −(µ2 + λ2) λ2
... ... ...






.
Intenzity přechodu mezi stavy znázorňuje přechodový diagram 3.3.
Obrázek 3.3: Přechodový diagram obecného procesu vzniku a zániku
Nyní zde zmíníme několik speciálních případů:
• Lineární proces vzniku (Yuleův proces), kde intenzity vzniku jsou úměrné velikosti
populace, tj. λj = jλ pro j = 0, 1, 2, . . .
• Lineární proces zániku, kde intenzity zániku jsou úměrné velikosti populace, tj.
µj = jµ pro j = 1, 2, . . .
• Lineární procesu vzniku a zániku, kde intenzity přechodu jsou lineárními funkcemi
stavů, ve kterých byl systém v předešlém okamžiku, tj. λj = jλ pro
j = 0, 1, 2, . . . a µj = jµ pro j = 1, 2, . . .
• Obecný proces vzniku, kde počet jedinců populace v čase jen roste, tj. λj > 0
pro j = 0, 1, 2, . . .
• Obecný proces zániku, kde počet jedinců populace v čase jen klesá, tj. µj > 0
pro j = 1, 2, . . .
Kapitola 4
Využití MŘ v systému
bonus-malus
V pojišťovnictví, především u pojištění automobilů se používá speciální tarifní systém,
který má za úkol snížit heterogenitu pojistného kmene. Jedná se o systém
bonus-malus, kde kromě motivování pojistníků řídit opatrně, je cílem stanovení pojistného,
jehož výše odpovídá individuálním rizikům.
Systém bonus-malus je tvořen určitým počtem (bonusových) tříd, kde každá třída
má stanovenou relativní výši pojistného. Každé pojistné období (obvykle rok), je
pojištěnec zařazen do jedné bonusové třídy na základě počtu uplatněných nároků. V
případě bezeškodního průběhu postupuje pojištěný do nižší třídy, kde získává bonusy,
nebo-li slevu na pojistném. Naopak při způsobení škody se pojištěný dostává do vyšší
třídy, kde platí vyšší pojistné, což odpovídá trestu v podobě malusu (pokuty).
Určení bonusové třídy v následujícím obdobím závisí na aktuální bonusové třídě
pojištěnce a počtu škod v aktuálním pojistném období. Jinými slovy, budoucí stav
(třída v roce t + 1) závisí jen na přítomnosti (třídě a počtem škod v roce t), ne na
minulosti. Tento vztah jasně ukazuje markovskou vlastnost. Proto budeme modelovat
tento systém pomocí Markovského řetězce {Lk, k ∈ N0}, jehož stavy reprezentují
bonusové třídy.
4.1 Základní a relativní pojistné
Každá pojišťovna se snaží udržet si finanční rovnováhu. Požaduje, aby zavedení tohoto
systému nemělo vliv na roční výběr pojistného. Systém bonus-malus je v dlouhodobém
horizontu finančně stabilní díky optimálním relativním sazbám. Zde vyvstává
otázka, jakou stanovit relativní sazbu připadající k jednotlivým třídám. Touto
problematikou se budeme zabývat později.
Uvažujme pojištění automobilů. Označme si relativní sazbu v bonusové třídě l
jako rl, což představuje situaci, že pojištěný nacházející se ve třídě l, musí platit
pojistné rovné součinu základního pojistného a relativní sazby rl. Noví řidiči, když
vstoupí do systému, jsou přiřazeni do třídy l0, kde platí základní stoprocentní pojistné
(neboť relativní pojistné je 1). Avšak to neplatí pro „zkušené“ řidiče, kteří
mají zaznamenanou historii pojistných nároků, či přímo úroveň bonusové třídy od
– 18 –
Kapitola 4. Využití MŘ v systému bonus-malus 19
předchozích pojistitelů. Pro stanovení základní výše pojistného je užito ratingových
faktorů, které zahrnují cenu, váhu, typ automobilu,..., ale hlavním úkolem pojistného
matematika je najít optimální relativní výši pojistného.
4.2 Modelování bonus-malus systému
Trajektorii pojištěnce v systému modelujeme pomocí posloupnosti {L0, L1, . . . } náhodných
proměnných s hodnotami z množiny stavů S = {0, 1, . . . , s}, kde stav 0
určuje nejlepší třídu (s nejvyšším bonusem) a stav s nejhorší třídu (s nejvyšším
malusem). Hodnota Lk označuje třídu, ve které je klient během období (k, k + 1).
Dále mějme posloupnost náhodných veličin {N1, N2, . . . , }, kde Nk vyjadřuje
počet pojistných nároků během období (k − 1, k). Hodnota Lk závisí na hodnotách
Nk a Lk−1. Také ale závisí na stanovených přechodových pravidlech, které si
ukážeme v následujícím příkladě.
Příklad 1. Stanovíme si pravidla přechodu označovaná (−1/ + 2) a ukážeme, jak se
při jejich zavedení systém chová.
Mějme 5 úrovní, od 0 do 4. Výchozí úrovní je stupeň 4 (třída s nejvyšším pojistným).
Při bezeškodním roku získáváme slevu v podobě poklesu o 1 stupeň (Lk = Lk−1 −1).
V případě, že v průběhu roku byly nahlášeny škody, postoupíme o 2 stupně výš
vynásobené počtem škod (Lk = Lk−1 + 2Nk). Na závěr musíme vzít v úvahu to, že
můžeme přejít nejlépe do stavu 0 a nejhůře do stavu 4. Tyto pravidla můžeme vidět
v tabulce 4.1.
Lk−1 stupeň Lk, když
Nk = 0 Nk = 1 Nk ≥ 2
0 0 2 4
1 0 3 4
2 1 4 4
3 2 4 4
4 3 4 4
Tabulka 4.1: Přechodová pravidla pro úroveň (−1/ + 2)
Úroveň Lk můžeme také vyjádřit pomocí následující rekurzivní rovnice
Lk =



max{Lk−1 − 1, 0} pro Nk = 0
min{Lk−1 + 2Nk, 4} pro Nk ≥ 1
, (4.1)
a celkově platí
Lk = max{min{Lk−1 + (2Nk − 1 + Ik), 4}, 0},
kde
Ik =



0 pro Nk = 0
1 pro Nk ≥ 1.
Kapitola 4. Využití MŘ v systému bonus-malus 20
Poznámka. Všechny příklady v této práci budeme řešit na základě pravidel označovaných
jako (−1/ + 2).
Formálněji můžeme zavést tato pravidla (přechod z jedné třídy do jiné) pomocí
matice T (k) velikosti s × s, když známe počet (k) nahlášených škod během roku.
Pro každý prvek matice T (k) a pro každé i, j ∈ S platí
tij(k) =



1 když přejdeme z třídy i do třídy j
0 jinak
4.3 Pravděpodobnosti přechodu mezi třídami
Předpokládejme, že počty pojistných událostí N1, N2, . . . jsou nezávislé a řídí se Poissonovým
rozložením s parametrem λ, který představuje roční očekávanou frekvenci
škod. Pak i rozdělení veličin L1, L2, . . . závisí na parametru λ, který představuje
individuální riziko klienta.
Nechť pij(λ) je pravděpodobnost přechodu mezi bonusovými třídy i a j s parametrem
λ. Pak pro každé i, j ∈ S platí
pij(λ) = P(Lk+1(λ) = j|Lk(λ) = i)
=
∞
n=0
P(Lk+1(λ) = j|Lk(λ) = i, Nk+1 = n)P(Nk+1 = n|Lk(λ) = i).
Nyní využijeme faktu, že Nk+1 a Lk(λ) jsou nezávislé, neboť víme, že Lk(λ) závisí
jen na Nk a Nk ∼ Po(λ), takže
P(Nk+1 = n|Lk(λ) = i) = P(Nk+1 = n) =
λn
n!
e−λ
(4.2)
a dosazením do předešlé rovnice získáme
pij(λ) =
∞
n=0
(λ)n
n!
e−λ
tij(n). (4.3)
Všechny vyjádřené pravděpodobnosti z (4.3) uspořádáme do matice P (λ) velikosti
s×s, která je stochastickou maticí s kladnými pravděpodobnostmi pij pro každé
i, j ∈ S. Platí tedy
P (λ) =
∞
k=0
(λ)k
k!
e−λ
T (k).
Tato matice obsahuje pravděpodobnosti přechodu mezi jednotlivými stavy během
jednoho pojistného roku. V další kapitole si ukážeme, jak vypadá matice P za více
pojistných let.
Kapitola 4. Využití MŘ v systému bonus-malus 21
Příklad 2. (−1/ + 2 úrovně)
Pro náš modelovaný bonus-malus systém z Příkladu 1. vyjádříme matici pravděpodobnosti
přechodu P (λ) podle rovnice (4.3) následovně:
P (λ) =








e−λ
0 λe−λ
0 1 − e−λ
(1 + λ)
e−λ
0 0 λe−λ
1 − e−λ
(1 + λ)
0 e−λ
0 0 1 − e−λ
0 0 e−λ
0 1 − e−λ
0 0 0 e−λ
1 − e−λ








.
4.4 Bonus-malus v dlouhém období
Pro pojišťovnu je zásadní to, jak se chová systém v dlouhém období. Proto začneme
zkoumat co se stane po n krocích a posléze pro n → ∞.
Pro každé k, n ∈ N uvažme pravděpodobnosti přechodu mezi lety k a n + k mezi
třídami i, j ∈ S
p
(n)
ij (λ) = P(Lk+n(λ) = j|Lk(λ) = i)
Tyto pravděpodobnosti lze zapsat do matice P (n)
(λ), která je též stochastickou
maticí a má následující vlastnosti:
(i) P (n)
(λ) = P n
(λ) ,
(ii) P (n+m)
(λ) = P (n)
(λ)P (m)
(λ).
Důkaz. Uveden v [3, strana 174].
Očekáváme, že se v dlouhodobém horizontu systém stabilizuje. To znamená, že
se rozdělení pojištěných do jednotlivých tříd ustálí. Tento rovnovážný stav, kolem
kterého pojistník bude oscilovat, závisí na roční očekávané frekvenci nehodovosti λ.
Nyní si stabilizovaný systém definujeme pomocí stacionárního rozložení následovně:
Definice 9. Nechť {Lk, k ∈ N0} je HMŘ s množinou stavů S a maticí pravděpodobnosti
přechodu P (λ). Dále mějme vektor π(λ) = (πj(λ), j ∈ S) s rizikovým
parametrem λ, který se nazývá stacionární, jestliže platí:
• πj(λ) > 0,
• πj(λ) je stochastický vektor, tj.
j∈S
πj(λ) = 1, (4.4)
• πj(λ) = i∈S πi(λ)pij(λ), tj.
π(λ) = π(λ)P (λ). (4.5)
Kapitola 4. Využití MŘ v systému bonus-malus 22
Pak stacionární rozdělení existuje právě jedno a platí
πj(λ) = lim
n→∞
p
(n)
ij (λ). (4.6)
Pravděpodobnost πj(λ) vyjadřuje, že pojištěný je ve třídě j po ustálení systému.
Stacionární rozdělení nezávisí na počátečním rozdělení tříd, to znamená, že matice
P (n)
(λ) vytvořená z matice P (λ) konverguje k matici Π(λ), která má všechny řádky
shodné a rovné π(λ). Můžeme tedy psát
Π(λ) =




π(λ)
...
π(λ)



 = limn→∞
P (n)
(λ),
π(λ) = limn→∞
p(n, λ).
Příklad 3. (−1/ + 2 úrovně)
Nejdříve si vyjádříme matici pravděpodobnosti přechodu P (λ) za jeden rok pro
škodní frekvenci λ = 0, 15198
P (0, 15198) =








0, 859 0 0, 13055 0 0, 01044
0, 859 0 0 0, 13055 0, 01044
0 0, 859 0 0 0, 14099
0 0 0, 859 0 0, 14099
0 0 0 0, 859 0, 14099








.
Matici po dvou letech P (2)
(λ) získáme pomocí vlastnosti (i)
P 2
(0, 15198) =








0, 7379 0, 1121 0, 1121 0, 0090 0, 0288
0, 7379 0 0, 2243 0, 0090 0, 0288
0, 7379 0 0 0, 2333 0, 0288
0 0, 7379 0 0, 1211 0, 1410
0 0 0, 7379 0, 1211 0, 1410








.
Postupným umocňováním matice P (λ) dojdeme k závěru, že po 24 letech (při zaokrouhlení
na čtyři desetinná místa) se systém ustálí, neboť všechny řádky matice
jsou stejné, tj.
P 24
(0, 15198) =








0, 6744 0, 1107 0, 1289 0, 0475 0, 0385
0, 6744 0, 1107 0, 1289 0, 0475 0, 0385
0, 6744 0, 1107 0, 1289 0, 0475 0, 0385
0, 6744 0, 1107 0, 1289 0, 0475 0, 0385
0, 6744 0, 1107 0, 1289 0, 0475 0, 0385








.
Stacionární rozložení pak vypadá následovně
π(0, 15198) = 0, 6744 0, 1107 0, 1289 0, 0475 0, 0385 . (4.7)
Složky tohoto vektoru vyjadřují pravděpodobnosti výskytu v jednotlivých třídách
náhodně vybraného řidiče. Vidíme, že s největší pravděpodobností (67, 44 %) se řidič
ustálí ve třídě 0 s nejvyšším bonusem. Lze také výsledné hodnoty chápat jako podíly
pojištěnců v jednotlivých třídách v dlouhodobém časovém horizontu a v takovémto
zastoupení už systém zůstane.
Kapitola 4. Využití MŘ v systému bonus-malus 23
Příklad 4. (−1/ + 2 úrovně)
Pro další výpočty budeme potřebovat vyjádřit stacionární rozložení obecně pro
nějaké λ. Na základě rovnic (4.4) a (4.5) vytvoříme rozšířenou matici soustavy










1 1 1 1 1 1
e−λ
− 1 e−λ
0 0 0 0
0 −1 e−λ
0 0 0
λe−λ
0 −1 e−λ
0 0
0 λe−λ
0 −1 e−λ
0
1 − e−λ
+ λe−λ
1 − e−λ
+ λe−λ
1 − e−λ
1 − e−λ
−e−λ
0










,
z které pomocí rutinního, ale zdlouhavého výpočtu získáme stacionární vektor
π(λ) =

e−2λ λe−5λ
− λe−4λ
− e−2λ
−2λ2e−6λ + 2λ2e−5λ + 3λe−3λ − λe−2λ − 1
;
(e−λ
− e−2λ
)
λe−5λ
− λe−4λ
− e−2λ
−2λ2e−6λ + 2λ2e−5λ + 3λe−3λ − λe−2λ − 1
;
(1 − e−λ
)
λe−5λ
− λe−4λ
− e−2λ
−2λ2e−6λ + 2λ2e−5λ + 3λe−3λ − λe−2λ − 1
;
e−λ
2
+
−λe−5λ
+ 1, 5λe−4λ
− 0, 5λe−3λ
+ e−2λ
− 0, 5e−λ
−2λ2e−6λ + 2λ2e−5λ + 3λe−3λ − λe−2λ − 1
;
λe−4λ
− 2λe−3λ
− e−λ
+ 1
1 − 2λe−3λ

. (4.8)
Správnost vyjádření (4.8) snadno ověříme dosazením hodnoty λ = 0, 15198 a získáme
stacionární vektor (4.7).
Kapitola 5
Optimální relativní sazby
Hlavním úkolem pojistného matematika je stanovit relativní sazbu rl, která je a priori
přiřazena pojistitelem ke každé bonusové třídě. Chceme, aby řidiči platili takové
pojistné, které je nejblíže jejich rizikovému profilu. V této kapitole představíme jeden
ze způsobů nalezení optimální relativní sazby rl, a to pomocí Baysovského přístupu.
5.1 Bayesovké sazby
Každý řidič má svoji očekávanou škodní frekvenci a rizikový parametr (ten zahrnuje
např. zkušenosti a rychlost reakce řidiče), ale oba ukazatele nám jsou neznámé. Proto
zavedeme dvě náhodné a na sobě nezávislé veličiny:
• Λ - očekávaná škodní frekvence
• Θ - rizikový parametr (představuje relativní výši pojistného).
Každý klient má tedy neznámou úroveň rizika ΛΘ. Výpočty optimální relativní
sazby jsou založeny na stacionárním rozložení. Nechť L představuje bonusovou třídu,
ve které se řidič ustálí v nekonečném časovém horizontu. Pak pravděpodobnost, že
řidič s tímto rizikovým profilem ΛΘ bude po nekonečně dlouhém období zařazen do
l–té bonusové třídy, je
P[L = l|Λ = λk, Θ = θ] = πl(λkθ). (5.1)
Dále si zavedeme wk, jako váhu k-té rizikové třídy s očekávanou škodní frekvencí
λk, tedy pravděpodobnost, že náhodná veličina Λ nabývající hodnoty λk se rovná
P[Λ = λk] = wk.
Poznámka. Ukázali jsme si v (4.2), že počet pojistných událostí se řídí Poissonovým
rozložením. Pokud nyní uvažujeme rizikový faktor Θ, rozložení počtu škod je
definováno pravděpodobnosti
P(N = n|L(λ), Θ = θ) =
(λθ)n
n!
e−λθ
. (5.2)
– 24 –
Kapitola 5. Optimální relativní sazby 25
Základní model pro hodnocení rizikového faktoru je založen na gama rozdělení,
proto předpokládejme že náhodná veličina Θ ∼ Γ(a, a), střední hodnota E[Θ] = 1 a
pravděpodobnostní hustota Θ se rovná
fΘ(θ) =
1
Γ(a)
aa
θa−1
e−θa
. (5.3)
Označme si
• fΘ(θ) jako apriorní hustotu relativní sazby Θ
• g(θ|L = l, Λ = λk) jako aposteriorní hustotu relativní sazby Θ
Potom aposteriorní hustota veličiny Θ vyjádřená pomocí apriorní hustoty veličiny
Θ, známá jako Bayesův vzorec vypadá následovně
g(θ|L = l, Λ = λk) =
P[L = l, Λ = λk|Θ = θ]fΘ(θ)
P[L = l, Λ = λk]
(5.4)
a pro další výpočty si výraz (5.4) upravíme na tvar
=
P[L = l|Θ = θ, Λ = λk]P[Λ = λk]fΘ(θ)
P[L = l, Λ = λk]
=
πl(λkθ)wkfΘ(θ)
P[L = l, Λ = λk]
(5.5)
Nepodmíněná pravděpodobnost výskytu řidiče ve třídě l může být zapsána jako
P[L = l] =
k
P[L = l|Λ = λk]P[Λ = λk]
=
k
wk
∞
0
P[L = l|Λ = λk, Θ = θ]fΘ(θ)
=
k
wk
∞
0
πl(λkθ)fΘ(θ) dθ . (5.6)
Střední kvadratická chyba
Naším úkolem je minimalizovat ztrátovou funkci, za kterou jsem si zvolili střední
kvadratickou chybu MSE. Chceme, aby průměrný čtvercový rozdíl mezi pravdivou
sazbou Θ a pojistníkem odhadnutou sazbou rl byl minimální. MSE(rl) má tedy tvar
E[(Θ − rl)2
] =
s
l=0
E[(Θ − rl)2
|L = l]P[L = l]
=
s
l=0
∞
0
(Θ − rl)2
P[L = l|Θ = θ]fΘ(θ) dθ
=
s
l=0
∞
0
(Θ − rl)2
k
P[L = l|Θ = θ, Λ = λk]P[Λ = λk]fΘ(θ) dθ
=
k
wk
∞
0
s
l=0
(Θ − rl)2
πl(λkθ)fΘ(θ) dθ . (5.7)
Kapitola 5. Optimální relativní sazby 26
Optimální relativní sazba
Minimalizováním ztrátové funkce (5.7) získáme pro každou bonusovou třídu l optimální
relativní sazbu rl. Ta je rovna střední hodnotě rizikového parametru Θ ze
podmínky, ze řidič bude v této třídě, tj. bayesovský odhad neznámého parametru Θ.
S použitím (5.5) a (5.6) tak získáme optimální sazbu
rl = E[Θ|L = l]
= E[E[Θ|L = l, Λ]|L = l]
=
k
E[Θ|L = l, Λ = λk]P|Λ = λk|L = l]
=
k
∞
0
θg(θ|L = l, Λ = λk) dθ P[Λ = λk|L = l]
=
k
wk
∞
0
πl(λkθ)
P[L = l, Λ = λk]
fΘ(θ)
P[Λ = λ, L = l]
P[L = l]
= k wk
∞
0 θπl(λkθ)fΘ(θ)
k wk
∞
0 πl(λkθ)fΘ(θ)
(5.8)
Nyní už jen zbývá vyjádřit střední hodnotu relativní sazby rl, abychom zjistili,
jestli nastane finanční rovnováha, takže
E[rl] = E[E[Θ|L]] = E[Θ] = 1.
Jasně vidíme, že střední hodnota relativní sazby je 100 %, což znamená, že pojišťovna
je v ustáleném stavu ve finanční rovnováze a tudíž v součtu vybere od klientů stejnou
částku jako bez zavedení systému bonus–malus.
Poznámka. Pokud pojišťovna nepožaduje apriorní stanovení relativních sazeb rl,
všechny λk jsou rovny E[Λ] = λ a rovnice (5.8) se pak upraví na tvar
rl =
∞
0 θπl(λθ)fΘ(θ)
∞
0 πl(λθ)fΘ(θ)
(5.9)
Příklad 5. (−1/ + 2 úrovně)
Pro stanovení optimální relativní sazby si vytvoříme vlastní portfolio s 10.000 uzavřenými
pojistnými smlouvami. Zvolíme si 6 segmentačních tříd (odvíjející se od
pohlaví a věku), ke každé třídě přiřadíme odhadnutou očekávanou škodní frekvenci
škod λk (vybrané hodnoty převzaté z literatury [3, strana 91]) a počet smluv, podle
kterých můžeme dopočítat váhy jednotlivých tříd wk. Vše shrneme v tabulce 5.1
pohlaví věk počet smluv wk λk
žena 18-24 800 0,08 0,165
žena 25-30 1200 0,12 0,14
žena 31-60 1400 0,14 0,13
muž 18-24 1600 0,16 0,238
muž 25-30 1900 0,19 0,15
muž 31-60 3100 0,31 0,12
Tabulka 5.1: Apriorní segmentace řidičů a jejich odhadnuté počty škod
Kapitola 5. Optimální relativní sazby 27
K dalším výpočtům potřebujeme znát odhadnutý parametr a funkce (5.3), zvolíme
si a = 0, 82 (podle literatury [3, strana 45]). Na základě údajů z tabulky 5.1, odhadnutého
parametru a a odvozených vzorců v této kapitole můžeme získat numerické
charakteristiky systému (−1/ + 2) a nakonec i optimální relativní sazbu.
1. Chceme spočítat pravděpodobnost, že náhodně vybraný řidič s neznámou
střední hodnotou počtu škod ΛΘ skončí v l–té bonus-malus třídě, kterou jsme si
označili jako P[L = l] danou vzorcem (5.6).
Začneme výpočtem pravděpodobnosti, že řidič bude v 0–té bonusové třídě. Rozdělíme
sumu na součet k tříd a pomocí stacionárního rozložení (4.7) dostaneme
P[L = 0] =
6
k=1
wk
∞
0
π0(λkθ)fΘ(θ) dθ
=w0
∞
0
e−2 ˆλ0θ λ0θe−5 ˆλ0θ
− λ0θe−4 ˆλ0θ
− e−2 ˆλ0θ
−2λ2
0θ2e−6 ˆλ0θ + 2λ2
0θ2e−5 ˆλ0θ + 3λ0θe−3 ˆλ0θ − λ0θe−2 ˆλ0θ − 1
fΘ(θ) dθ + · · · +
+w6
∞
0
λ6θe−4 ˆλ6θ
− 2λ6θe−3 ˆλ6θ
− e− ˆλ6θ
+ 1
1 − 2λ6θe−3 ˆλ6θ
fΘ(θ) dθ . (5.10)
Dosadíme parametr a do hustoty veličiny Θ
fΘ(θ) =
1
Γ(a)
aˆa
θˆa−1
e−θˆa
=
1
Γ(0, 82)
0, 820,82
θ0,82−1
e−0,82θ
=
1
1, 14249
0, 84982 θ−0,18
e−0,82θ
= 0, 74383 θ−0,18
e−0,82θ
kde
Γ(a) =
∞
0
xa−1
e−x
dx .
Zbývá už jen dosadit hodnoty a můžeme získat
P[L = 0] = 0, 08 · 0, 74383 · 0, 80782+
+ 0, 12 · 0, 74383 · 0, 88589+
+ 0, 14 · 0, 74383 · 0, 92049+
+ 0, 16 · 0, 74383 · 0, 61072+
+ 0, 19 · 0, 74383 · 0, 85406+
+ 0, 31 · 0, 74383 · 0, 967037 = 0, 63937.
S pravděpodobností 63, 9 % se řidič s neznámou střední hodnotou počtu škod ΛΘ
ustálí v třídě 0. Analogickým postupem dopočítáme pravděpodobnosti pro všechny
bonusové třídy l.
2. Nyní už máme všechny předpoklady pro to, abychom určili optimální relativní
sazby pro 5 bonus-malus tříd. Sazby určíme s ohledem na apriorní segmentaci řidičů
Kapitola 5. Optimální relativní sazby 28
dle (5.8), ale také stanovíme sazby bez apriorního rozdělení řidičů do tříd dle (5.9),
které si pro odlišení označíme rl . Víme, že
rl = E[Θ|L = l] = k wk
∞
0 θπl(λkθ)fΘ(θ)
k wk
∞
0 πl(λkθ)fΘ(θ)
Výpočet provádíme obdobně, jako v (5.10). Polovinu práce máme ušetřené, neboť
víme, že jmenovatel je rovný hodnotě P[L = l] a tedy dopočítáme čitatel. Ukážeme
si hodnotu r0 pro třídu 0.
r0 =
0, 62166
P[L = 0]
=
0, 62166
0, 63937
= 0, 9723
V bonusové třídě 0 budou řidiči platit 97, 2 % ze základního pojistného. Pro stanovení
rl potřebujeme dopočítat průměrnou očekávanou frekvenci škod λ. Tu získáme
snadným výpočtem
E[Λ] =
6
k=1
λkP[Λ = λk] =
6
k=1
λkwk = 0, 15198 = λ, (5.11)
Hodnota
r0 =
0, 88992
0, 84787
= 1, 04959
Zbývá nám ještě ověřit, jestli nastane finanční rovnováha. Použitím vzorce
E[rl] =
4
l=0
rlP[L = l]
.
= 1
se snadno přesvědčíme, že hodnota je (po zaokrouhlení) rovna 1. Od bezeškodních
řidičů pojišťovna vybere méně, než od řidičů, které způsobují nehody, ale celkově od
všech řidičů vybere stejnou částku, jako v situaci bez použití systému bonus–malus.
Poznámka. Všechny hodnoty jsou pouze přibližné, neboť jsou pro zjednodušení výpočtu
zaokrouhlené na 5 desetinných míst.
Numerické výsledky si shrneme v tabulce 5.2
třída l π(λ) P[L = l] rl rl
0 67, 4 % 63, 9 % 97, 2 % 105 %
1 11, 1 % 8, 6 % 175, 9 % 175, 5 %
2 12, 9 % 11, 6 % 198, 1 % 202, 8 %
3 4, 7 % 10, 2 % 212, 1 % 235, 2 %
4 3, 9 % 5, 7 % 243, 5 % 282, 7 %
Tabulka 5.2: Numerické charakteristiky systému (−1/ + 2)
Z tabulky 5.2 vidíme rostoucí průběh funkce rl i rl, což potvrzuje náš předpoklad,
že směrem k vyšším (horším) třídám l klient zaplatí vyšší násobek základního pojistného.
Z prvních dvou sloupců vyčteme, že většina řidičů bude zařazena do bonusové
třídy 0 a nejmenší procento řidičů zastává nejhorší třída 4.
Kapitola 5. Optimální relativní sazby 29
Pravděpodobnost P[L = l] reprezentuje podíl řidičů ve třídě l a rl představuje
relativní sazbu přiřazenou ke každé třídě l. Zhruba 63, 9 % řidičů zaplatí ze základního
pojistného 97, 2 %, obdrží tedy jen 2, 8% slevu. V dalších třídách už relativní
sazba přesahuje 100 %, v nejhorší třídě 4 dokonce dosahuje 243, 5 %.
Hodnoty sloupce π(λ) spočtené v (4.6) nám udávají stacionární rozložení všech
řidičů s jednotnou průměrnou frekvencí škodovosti λ, tudíž je pro náš rozbor méně
podstatný, a slouží jen k porovnání s druhým sloupcem. Poslední rl sloupec též bere
v úvahu průměr frekvencí škodovosti všech řidičů λ a stanovuje tak relativní sazbu
bez zahrnutí apriorní segmentace řidičů do rizikových tříd. V porovnání s předchozím
sloupcem začíná až na 105% sazbě, ale se zvyšující se třídou roste pomaleji, než když
bychom uvažovali systém, který apriorně segmentuje řidiče.
Došli jsme k závěru, že tento náš modelovaný systém s 10.000 řidiči je složen
pouze z jedné bonusové třídy, kde můžou řidiči obdržet bonus (slevu), a zbylé čtyři
jsou „malusové“, ve kterých platí přirážku k pojistnému. Toto přísné ohodnocení
je nejspíše způsobeno tím, že jsem si vybrala řidiče s poměrně vysokou frekvencí
nehodovosti.
5.2 Efektivnost bonus-malus systému
Cílem bonus–malus systému je nastavit takové pojistné, které odpovídá ročnímu
očekávanému počtu škod každého pojištěnce. Tuto závislost vybraného pojistného
na škodní frekvenci λ budeme zkoumat pomocí Loimarantovy efektivity a De Prilovy
efektivity.
5.2.1 Loimarantova efektivnost
Průměrná výše vybraného (relativního) pojistného po stabilizování systému s očekávanou
škodní frekvencí λ se rovná
r(λ) =
s
l=0
πl(λ)rl. (5.12)
Potom můžeme definovat Loimarantovu efektivitu EL(λ), danou jako podíl relativní
změny průměrného pojistného a relativní změny škodní frekvence
EL(λ) =
d¯r(λ)
¯r(λ)
dλ
λ
=
d ln r(λ)
d ln λ
. (5.13)
Tato efektivnost je elasticitou nabývající hodnot EL(λ) ∈ (0, 1 . Pokud chceme
dosáhnout dokonale efektivního systému, musí platit EL(λ) = 1 (to znamená, že růst
λ je přímo úměrný růstu pojistného), tedy platí
d¯r(λ)
¯r(λ)
=
dλ
λ
.
Kapitola 5. Optimální relativní sazby 30
K výpočtu potřebujeme stanovit derivaci r(λ), kterou získáme derivací vztahu
(5.12)
dr(λ)
dλ
=
s
l=0
dπl(λ)
dλ
rl, (5.14)
přičemž výraz dπl(λ)
dλ
získáme derivací vztahu (4.4) a (4.5), tedy řešením soustavy
lineárních rovnic
dπ(λ)
dλ
=
dπ(λ)
dλ
P (λ) + π(λ)
dP (λ)
dλ
s
l=0
dπl(λ)
dλ
= 0.
(5.15)
Příklad 6. (−1/ + 2 úrovně)
Zde budeme uvažovat pro všechny řidiče jednotnou (průměrnou) škodní frekvenci
λ, vypočtenou v (5.11). Průměrnou výši pojistného všech řidičů získáme dosazením
stacionárního vektoru (4.6) a rl do vzorce (5.12)
r(λ) =
4
l=0
πl(0, 15198)rl = 1, 384914
Vidíme, že od všech řidičů s očekávanou frekvencí škodovosti λ pojišťovna vybere v
průměru 1, 38 násobek základního pojistného.
Do systému rovnic (5.15) dosadíme hodnotu λ = 0, 15198 a získáme vektor
dπ(λ)
dλ
= −2, 12148 0, 43682 0, 63741 0, 54018 0, 50707 , (5.16)
jehož součet složek dává hodnotu 0. Skalárním součinem vektoru relativních sazeb
rl a vektoru (5.16) získáme řešení vztahu (5.14)
dr(λ)
dλ
=
4
l=0
dπl(λ)
dλ
rl = 2, 53572
Loimarantovu efektivitu získáme jako
EL(λ) =
dr(λ)
dλ
λ
r(λ)
= 2, 53572 ·
0, 15198
1, 38491
= 0, 27827. (5.17)
Výsledek můžeme interpretovat tak, že nárůst frekvence nehodovosti λ o 10 % odpovídá
2, 7 % nárůstu pojistného.
5.2.2 De Prilova efektivnost
Oproti Loimarantově efektivitě De Prilova efektivita závisí na startující třídě l a bere
v úvahu hodnotu peněz v čase. Označme si
• Vl(λ) jako průměrnou současnou hodnotu zaplaceného pojistného pojistníkem
obsazující třídu l s očekávanou roční škodní frekvencí λ
Kapitola 5. Optimální relativní sazby 31
• bl jako výši pojistného (součin základního a relativního pojistného) ve třídě l
• v jako diskontní faktor.
Jak systém reaguje na změnu celkového očekávaného počtu škod měří De Prilova
efektivita ED(l, λ)
ED(l, λ) =
dVl(λ)
Vl(λ)
dλ
λ
=
d ln Vl(λ)
d ln(λ)
. (5.18)
Výpočet Vl(λ) pro třídy l = 0, 1, . . . , s je dán systémem rovnic
Vl(λ) = bl + v
∞
k=0
λk
k!
e−λ
VTk(l)(λ) (5.19)
a derivace Vl(λ) mohou být získány řešením systému
dVl(λ)
dλ
= v
∞
k=0
λk
k!
e−λ k
λ
− 1 VTk(l)(λ) +
dVTk(l)(λ)
dλ
. (5.20)
Příklad 7. (−1/ + 2 úrovně)
V tomto příkladě také uvažujeme pro všechny řidiče jednotou škodní frekvenci nehodovosti
λ = 0, 15198. Diskontní faktor si zvolíme v = 0, 96. Pro zjednodušení si ve
výrazu bl za základní pojistné zvolíme hodnotu 1, tedy v našem případě se bl = rl.
Pro vysvětlení výraz Vl(λ) závisí na startující třídě l oproti tomu VTk(l)(λ) se vztahuje
k obsazené třídě l, do které se řidič přesunul na základě k nehod řidiče podle
pravidel (−1/ + 2) v (4.1). Oba představují neznámou proměnnou s indexem l.
Ve výpočtu se omezíme na počet škod k = 0, . . . , 5, neboť pravděpodobnosti více
škod jsou podle (4.2) zanedbatelné. A vyjádříme je
P(N = 0) = 0, 859
P(N = 1) = 0, 13055
P(N = 2) = 0, 00992
P(N = 3) = 5, 02 · 10−4
P(N = 4) = 1, 91 · 10−5
P(N = 5) = 5, 8 · 10−7
.
Nyní se můžeme pustit do výpočtu systému 5 rovnic o 5 neznámých podle (5.19)
(pro přehlednost vypustíme u označení Vl(λ) podmínku λ)
V0 = r0 + v(0, 859 · V0 + 0, 13055 · V2 + 0, 01044 · V4)
V1 = r1 + v(0, 859 · V0 + 0, 13055 · V3 + 0, 01044 · V4)
V2 = r2 + v(0, 859 · V1 + 0, 14099 · V4) (5.21)
V3 = r3 + v(0, 859 · V2 + 0, 14099 · V4)
V4 = r4 + v(0, 859 · V3 + 0, 14099 · V4),
Závěr 32
kam dosadíme v a rl a získáme vektor hodnot
Vl(λ) = 33, 8403 34, 7085 35, 8919 37, 1917 38, 738 . (5.22)
Vyjádříme druhý systém rovnic, tentokrát soustavu derivací Vl (λ) podle (5.20)
V0 = v 0, 859(−V0 + V0) + 0, 13055(5, 5798 · V2 + V2)+
+ 0, 00992(12, 1596 · V4 + V4) + 0, 000502(18, 739 · V4 + V4)+ (5.23)
+ 0, 0000191(25, 3192 · V4 + V4) + 5, 8 · 10−7
(31, 899 · V4 + V4)
Pro další třídy Vl (λ) se postupuje analogicky. Nebudeme čtenáře unavovat zdlouhavým
výpočtem, do systému rovnic (5.23) dosadíme vypočtené Vl(λ) v (5.22) a
dostaneme
Vl (λ) = 49, 0741 49, 9577 50, 9577 50, 6951 49, 4559 . (5.24)
Už nám zbývá jen dosadit vypočtené hodnoty do (5.18) a získáme De Prilovu efektivnost
pro každou třídu l
ED(0, λ) =
dV0(λ)
dλ
λ
V0(λ)
= 0, 2204
ED(1, λ) =
dV1(λ)
dλ
λ
V1(λ)
= 0, 2187
ED(2, λ) =
dV2(λ)
dλ
λ
V2(λ)
= 0, 2155
ED(3, λ) =
dV3(λ)
dλ
λ
V3(λ)
= 0, 2071
ED(4, λ) =
dV4(λ)
dλ
λ
V4(λ)
= 0, 1940
Globální De Prilova efektivita se určuje jako největší hodnota z výše vypočtených
efektivit pro každou třídu. V našem případě ED(l, λ) = 0, 2204, což je o něco nižší
hodnota, než Loimarantova efektivita, která vyšla EL(λ) = 0, 27827.
Závěr
V této práci jsme se zabývali jedním náhodným procesem v čase, a to spojitým Markovským
řetězcem. Popsali jsme jeho vlastnosti a chování, definovali si pravděpodobnosti
přechodu a intenzity přechodu mezi jednotlivými stavy. Charakteristickou
vlastností Markovova řetězce je jeho „bezpaměťovost“, to znamená, že budoucí hodnoty
závisí jen na současných hodnotách tohoto řetězce, ne na minulých.
Popsanou teorii jsme aplikovali v praktické části, kde jsme zaměřili na systémy
bonus–malus užívanými pojišťovnami. Pomocí Markovova řetězce jsem modelovali
pohyb řidiče v systému v závislosti na počtu škod uplatněných v předešlém roce.
Speciální tarifní systém bonus–malus se skládá z určitého počtu tříd a pravidel přechodu
mezi nimi. Každé třídě odpovídá určitá relativní sazba, která vynásobením se
základním pojistným udává hodnotu výsledného pojistného, které klient musí hradit.
Při způsobení nehody řidič klesá do horší třídy, kde získává malusy (přirážku)
k pojistnému, naopak při jízdě bez nehod, řidič postupuje do lepší třídy, kde obdrží
bonusy (slevu) na pojistném. Naším úkolem bylo najít optimální relativní sazby ke
každé třídě, které jsme určili minimalizováním střední kvadratické chyby. Na závěr
jsme posoudili efektivnost našeho modelu.
Náš zvolený model obsahoval 5 tříd s pravidly označovanými (−1/ + 2). Vybrala
jsem si náhodně portfolio s 10.000 řidiči s různými frekvencemi nehodovosti λk. Výpočty
jsou založeny na stacionárním rozložení, které ukazuje, jak se bude systém
chovat v dlouhodobém horizontu. Relativní sazbu jsme vypočítali s ohledem na apriorní
segmentaci řidičů do rizikových tříd, ale pro porovnání i bez tohoto počátečního
rozdělení. Podle našich výsledků vyšlo, že většina řidičů bude obsazovat nejlepší třídu
0, kde také obdrží největší slevu na pojistném. Došli k závěru, že náš model je složen
pouze z jedné bonusové třídy, kde můžou řidiči obdržet bonus (slevu), a zbylé čtyři
jsou „malusové“, ve kterých platí přirážku k pojistnému. Toto přísné ohodnocení
naznačuje, že je v systému mnoho řidičů s vysokou frekvencí škodovosti. Efektivnost
modelu jsem určila na základě Loimarantovy a De-Prilovy efektivity, které nám ukazují,
že zvýšení frekvence nehodovosti je několikanásobně větší než nárůst pojistného.
– 33 –
Seznam použité literatury
[1] BROUHNS, N., Guillén, M., Denuit, M. a Pinquet, J. (2003). Bonus-Malus Scales
in Segmented Tariffs With Stochastic Migration Between Segments. Journal
of Risk and Insurance, vol. 70, no. 4, s. 577–599. ISSN: 0022-4367.
[2] BUDÍKOVÁ, Marie. Přednášky k předmětu Markovské řetězce, 2012.
[3] DENUIT, Michel. Actuarial modelling of claim counts: risk classification, credibility
and bonus-malus systems. Hoboken, N.J.: John Wiley and Sons, c2007,
xxvii, 356 s. ISBN 9780470026779.
[4] DICKSON, D., Mary HARDY a H WATERS. Actuarial mathematics for life
contingent risks. 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press, 2013, xxi,
597 s. International series on actuarial science. ISBN 9781107044074.
[5] KAAS, R. Modern actuarial risk theory: using R. 2nd ed. Berlin: Springer, c2009,
xviii, 381 s. ISBN 9783642034077.
[6] KOŘENÁŘ, Václav. Stochastické procesy. 2. přeprac. vyd. Praha: Vysoká škola
ekonomická v Praze, 2010, 227 s. ISBN 9788024516462.
[7] NORRIS, J. Markov chains. 1st pbk. ed. New York: Cambridge University Press,
1998, xvi, 237 p. ISBN 0521633966.
[8] PEŠKO, Štefan. Stochastické modely (Prednášky pre Slovenskú Poľnohospodársku
Univerzitu v Nitre), 2003.
[9] PRÁŠKOVÁ, Zuzana a Petr LACHOUT. Základy náhodných procesů. 1. vyd.
Praha: Karolinum, 2001, 146 s. Učební texty (Univerzita Karlova). ISBN
8071846880.
[10] STROUKALOVÁ, M. Modelování systémů bonus-malus. Praha, 2013. Diplomová
práce. Univerzita Karlova v Praze, Matematicko–fyzikání fakulta.
– 34 –