ooooooooooooooooooo
Finanční Matematika - 4. přednáška
Martin Panák 15. března 2016
ooooooooooooooooooo
Odhady parametrů negativního binomického rozložení
Příklad Předpokládejme, že máme n řidičů, každý má smlouvu na dobu d\, za kterou nahlásil k\ škod nich událostí. Zkusme modelovat počet nehod daného řidiče pomocí negativního binomického rozložení, jehož parametry a a A(= \d; pro i-tého řidiče) odvodíme.
Logaritmická věrohodnostní funkce je
n ki-1
i=l j=0
n n
Pro parametry a a A pak dostáváme rovnice.
ooooooooooooooooooo
d_
da
n k-1
n
L{a, A) =
f=l 7=0 n
3+J
: + n In a + n -     ln(a + Ac//)
;=i
E
1 = 1
n
a + kj a + Xd;
= 0
L(a, A) = - £ d>
;'=1
a + ft; 1 a + Xd; + X
n
= 0
;=i
ooooooooooooooooooo
Klasifikace rizika
apriorní, aposteriorní proměnné
Klasifikace rizika
ooooooooooooooooooo
apriorní, aposteriorní proměnné Poissonovská regrese
Klasifikace rizika
ooooooooooooooooooo
apriorní, aposteriorní proměnné Poissonovská regrese N; pojistné události
N; ~ Poiidie^+^U^)
Klasifikace rizika
ooooooooooooooooooo
apriorní, aposteriorní proměnné Poissonovská regrese N; pojistné události
N; ~ Poiidie^+^U^)
Skóre:
Po + J2 CM)
7=1
ooooooooooooooooooo
Bayesovská analýza dat
Mějme Bernoulliův proces definovaný náhodnou veličinou X ~ Bi(r?,#) s binomickým rozdělením pravděpodobnosti a předpokládejme, že parametr 9 je přitom náhodnou veličinou s rovnoměrným rozdělením pravděpodobnosti na intervalu (0,1). Definujme šanci na úspěch v našem procesu jako veličinu 7 = ^ Jakou hustotu rozdělení má veličina 7?
Intuitivně asi cítíme, že nepůjde o rovnoměrné rozdělení. Označíme hledanou hustotu pravděpodobnosti ŕ(s) a ze vztahu mezi 9 a 7 spočteme 9 —        Také okamžitě vidíme, že hustota pravděpodobnosti veličiny 7 bude nenulová pouze pro kladné hodnoty proměnné. Zadání můžeme nyní zformulovat tak, že požadujeme
0 = p{9 < 0) = P (7 <
O0OOOOOOOOOOOOOOOOO
Na pravé straně máme ovšem v horní mezi právě měnící se ohraničení 7 a dostáváme tedy definiční vztah pro r(s)
Hledaná hustota skutečně dává daleko větší pravděpodobnost malým hodnotám šance než velkým.
00*0000000000000000
Jestliže pracujeme v bayesovském přístupu s binomickým modelem rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X ~ Bi(r?,#), bude nás zajímat její pravděpodobnostní funkce
fx(k) = ("k)9k(l - 0)n~k. Na tuto funkci se ale můžeme také dívat jako na podmíněnou pravděpodobnost P(9\X — k) při apriorním rovnoměrném rozdělení pravděpodobnosti veličiny 9 na intervalu (0,1). Je to tedy právě aposteriorní rozdělení pravděpodobnosti veličiny 9 odpovídající výsledku pokusu X — k. Následující příklad se týká obecné třídy takovýchto rozdělení pravděpodobnosti.
OOOÄOOOOOOOOOOOOOOO
Najděte základní charakteristiky tzv. Beta rozdělení /3(a, b) s hustotou pravděpodobnosti tvaru
fY =
Cya-l(1_y)b-l    y e (0,1)
0 jinak.
OOOÄOOOOOOOOOOOOOOO
Najděte základní charakteristiky tzv. Beta rozdělení /3(a, b) s hustotou pravděpodobnosti tvaru
fY=Uya-1(l-y)b-1   y G (0,1) (0 jinak.
Konstantu C je třeba volit jako reciprokou hodnotu integrálu Jq1 ya_1(l — y)b~ľdy, což je funkce B(a, b), v matematické analýze (ale také technických vědách či fyzice) známá pod názvem Beta funkce. Když už známe funkci Gama, která zobecňuje diskrétní hodnoty faktoriálů, vyskočí na nás např. při následujícím výpočtu:
oooo«oooooooooooooo
ŕOO ŕOO
r(x)r(y) = /    e"ŕ ť-ľdt • /    e"s sy-ľds =
Jo Jo
'oo roo
e_ŕ_s tx-lsy-ldtds =
0 JO
(substituce t = rq, s = r(l — q))
ŕOO ŕl
/     /    e-'írq)*-1 (r(l - q))y"V c/q c/r =
,/r=0 Jq=0
r=0
= r(x + y)B(x,y). dostávame tedy obecný vztah
e-rŕ+y-idrm ľ1  qx-i(i-qy-idq =
Jt=0
B(a, b) = ^ +
r(a)r(fc)
oooo«oooooooooooooo
ŕOO
r(x)r(y) = /
'OO
e"ř ť-1 dt ■
e-ssy-1ds =
o
'OO ŕOO
e_t_s tx-lsy-ldtds =
0 JO
r=0
= r(x + y)B(x,y). dostávame tedy obecný vztah
e-rŕ+y-idrm ľ1  qx-i(i-qy-idq =
Jt=0
B(a, b) = ^ +
r(a)r(fc)
oooo«oooooooooooooo
ŕOO
r(x)r(y) = /
'OO
e-ssy"1c/s =
o
'OO ŕOO
e_r_s t*-isy-idtds =
o Jo
= r(x + y)B(x,y). dostáváme tedy obecný vztah
B(a, b) = ^ +
r(a)r(fc)
oooo«oooooooooooooo
ŕOO ŕOO
r(x)r(y) = /    e"ŕ ť-ľdt • /    e"s sy-ľds =
Jo Jo
'oo roo
e_ŕ_s tx-lsy-ldtds =
0 JO
(substituce t = rq, s = r(l — q))
ŕOO ŕl
/     /    e-'írq)*-1 (r(l - q))y"V c/q c/r =
,/r=0 Jq=0
r=0
= r(x + y)B(x,y). dostávame tedy obecný vztah
e-rŕ+y-idrm ľ1  qx-i(i-qy-idq =
Jt=0
B(a, b) = ^ +
r(a)r(fc)
OOOOO0OOOOOOOOOOOOO
a z vlastností Gamma funkce již snadno plyne, že pro přirozená kladná a, b bude platit
,    , ,    ,x    k\(n-k)\       1 /n\_1 B(n- k + l,k + 1) = -V-rr- =- . •
oooooo«oooooooooooo
Přímým výpočtem vidíme, že střední hodnota veličiny X ~ /3(a, b) s beta rozdělením je (využíváme vztah l~(z + 1) = zl~(z))
_B(a + l,Ď) a
B(a,b)       a + b
Je-li a — b vyjde střední hodnota i medián |. Přímo se také spočte rozptyl
varX = E(X- EX)2 = 3b
(a + b)2(a + b+l)'
Pro a — b tedy dostáváme varX = 3^4, což ukazuje, že pro rostoucí a — b klesá rozptyl. V případě a — b — 1 dostáváme obyčejné rovnoměrné rozdělení na intervalu (0,1).
ooooooo«ooooooooooo
Předpokládejme, že v Bernoulliho procesu je šance zdaru 9 náhodná veličina s rozdělením pravděpodobnosti /9(a, b). Jak bude vypadat rozdělení pravděpodobnosti veličiny 7 = t^ä?
ooooooo«ooooooooooo
Předpokládejme, že v Bernoulliho procesu je šance zdaru 9 náhodná veličina s rozdělením pravděpodobnosti /3(a, b). Jak bude vypadat rozdělení pravděpodobnosti veličiny 7 = yz^? V již řešeném příkladě jsme měli speciální případ s rovnoměrným rozdělením /3(1,1). Můžeme tedy pokračovat v řešení v rovnosti |1||, kdy jsme tvar tohoto rozdělení použili. Dostáváme nyní na levé straně místo 0 výraz
•0
.3-1
(1 - tf^dt
B(a, b) J0
a při derivování musíme použít pravidlo pro derivování integrálu s proměnnou horní mezí. Dostáváme proto pro hledanou hustotu
a-l
b-l
B(a, b)f(s) =
s + 1
1 -
s + 1
(s+iy
sa-l \ a+b s+1
>0 0,0
OOOOOOOO0OOOOOOOOOO
Na obrázku jsou vyneseny hustoty pro hodnoty a = b = p = = 2, 5, 15.
0 12 3-
OOOOOOOOO0OOOOOOOOO
V případě Bernoulliho procesu popsaného náhodnou veličinou X ~ Bi(r?,#) a apriorní pravděpodobnosti náhodné veličiny 9 s beta rozdělením, má i aposteriorní pravděpodobnost opět beta rozdělení s vhodnými parametry závislými na výsledku pokusu. Jaká bude aposteriorní střední hodnota veličiny 9 (tj. bayesovský bodový odhad této náhodné veličiny)?
OOOOOOOOOO0OOOOOOOO
Jak je zdůvodněno v odstavci ?? teoretického sloupce, bude aposteriorní hustota pravděpodobnosti, až na násobek vhodnou konstantou, dána jako součin apriorní hustoty pravděpodobnosti
g{0) =
9a~\l-9)
B(a, b)
b-l
a pravděpodobnosti sledované veličiny X za podmínky, že nastala hodnota 9. Dostáváme tedy za předpokladu, že v Bernoulliho procesu nastalo k zdarů, aposteriorní hustotu (použitý znak místo rovnosti značí „proporcionální")
g(9\X = k) oc P(X = k\9)g{9) oc
oc9k(l-9)n-k9a-\l-9)b-1 = = 9a+k-1{l-9)b+n-k~1.
Dostali jsme tedy, až na konstantu, kterou nemusíme vůbec vyčíslovat, skutečně hustotu aposteriorního rozdělení pro veličinu 9 s rozdělením B(a + /c, b + n - k). n    fl ► , t ► , t > t
OOOOOOOOOOO0OOOOOOO
Její aposteriorní střední hodnota je
§= a\k .
a + b+ n
Pro n a k jdoucí do nekonečna, tak aby k j n —> p, bude i pro náš aposteriorní odhad platit 9 —>> p. Je tedy vidět, že při velkých hodnotách n a k bude převažovat pozorovaný podíl úspěšných pokusů nad apriorním předpokladem. Nicméně pro menší hodnoty je apriorní předpoklad naopak velice významný.
Příklad odhadu nehodovosti
oooooooooooo«oooooo
Máme data o nehodovosti N = 20 řidičů za posledních n = 10 let (/c-tá položka označuje počet roků, ve kterých došlo k nehodě u /c-tého řidiče):
0,0, 2,0,0,2,2,0,6,4,3,1,1,1,0,0, 5,1,1,0.
Předpokládáme, že pravděpodobnosti nehod u jednotlivých řidičů jsou konstanty pj, j = 1,..., N.
Odhadněte pro každého řidiče pravděpodobnost, že bude mít nehodu v následujícím roce (např. pro určení jeho individuálního pojistného). 1
Tento příklad je převzat z příspěvku M. Friesl, Bayesovské odhady v některých modelech, publikováno v: Analýza dat 2004/11 (K. Kupka, ed.), Trilobyte Statistical Software, Pardubice, 2005, pp. 21-33.
ooooooooooooo«ooooo
Zavedeme si náhodné veličiny X;j s hodnotami 0, když /-tý řidič v j-tém roce neměl žádnou nehodu, a hodnotami 1 pokud nehodu měl. Jednotlivé roky považujeme za nezávislé, můžeme proto předpokládat, že náhodné veličiny Sj = Yľ!=i^ji udávající počet nehod za všech n = 10 let mají rozdělení Bi(r?,py).
ooooooooooooo«ooooo
Zavedeme si náhodné veličiny Xjj s hodnotami 0, když /-tý řidič v j-tém roce neměl žádnou nehodu, a hodnotami 1 pokud nehodu měl. Jednotlivé roky považujeme za nezávislé, můžeme proto předpokládat, že náhodné veličiny Sj = Yľ!=i^ji udávající počet nehod za všech n = 10 let mají rozdělení Bi(r?,py). Samozřejmě bychom mohli odhadnout pravděpodobnosti pro všechny řidiče společně, tj. pomocí aritmetického průměru
P =
1 n 1 N ^ Jn
7=1
1 29
n     20 10
= 0,145.
Když ale uvážíme homogennost rozdělení veličin Xj, těžko je lze považovat za shodné, proto bude takovýto odhad jistě zavádějící.
ooooooooooooo«ooooo
Zavedeme si náhodné veličiny Xjj s hodnotami 0, když /-tý řidič v j-tém roce neměl žádnou nehodu, a hodnotami 1 pokud nehodu měl. Jednotlivé roky považujeme za nezávislé, můžeme proto předpokládat, že náhodné veličiny Sj = Yľ!=i^ji udávající počet nehod za všech n = 10 let mají rozdělení Bi(r?,py). Samozřejmě bychom mohli odhadnout pravděpodobnosti pro všechny řidiče společně, tj. pomocí aritmetického průměru
P =
1 n 1 N ^ Jn
7=1
1 29
n     20 10
= 0,145.
Když ale uvážíme homogennost rozdělení veličin Xj, těžko je lze považovat za shodné, proto bude takovýto odhad jistě zavádějící. Opačný extrém, tj. zcela nezávislý a individuální odhad
n
7
je samozřejmě také nevhodný, protože jistě nechceme předepisovat nulové pojistné, dokud nedojde k první nehodě.,    fl > < t „ 41 t
OOOOOOOOOOOOOO0OOOO
Jako realistický se jeví postup, ve kterém využijeme stejný předpoklad apriorního rozdělení pravděpodobnosti pj nehodovosti u jednotlivých řidičů. V praxi se zpravidla používá model s Poissonovým rozdělením Po(Ay) u j-tého řidiče s dalšími předpoklady o rozdělení parametru A mezi řidiči. Docela dobře (a hlavně jednoduše) můžeme také předpokládat, že v našem případě půjde o rozdělení
OOOOOOOOOOOOOO0OOOO
Jako realistický se jeví postup, ve kterém využijeme stejný předpoklad apriorního rozdělení pravděpodobnosti pj nehodovosti u jednotlivých řidičů. V praxi se zpravidla používá model s Poissonovým rozdělením Po(Ay) u j-tého řidiče s dalšími předpoklady o rozdělení parametru A mezi řidiči. Docela dobře (a hlavně jednoduše) můžeme také předpokládat, že v našem případě půjde o rozdělení pj ~ /3(a, b) s vhodnými parametry a, b, které by měly odrážet kumulované výsledky všech řidičů. Pojďme tedy touto cestou.
OOOOOOOOOOOOOOO0OOO
Víme, že aposteriorní rozdělení pravděpodobností bude
(pj\Sj — k) — ß(a + k, b + n — k), takže příslušná střední hodnota
bude
~b =    3 + k J     a + b + n'
OOOOOOOOOOOOOOO0OOO
Víme, že aposteriorní rozdělení pravděpodobností bude
(pj\Sj — k) — (3(a + k, b + n — k), takže příslušná střední hodnota
bude
~b =    3 + k J     a + b + n'
Srovnejme si tento odhad s výše uvedeným společným odhadem p a individuálním pj. Zaveďme si k tomu hodnoty po = tj. střední hodnotu apriorního společného rozdělení pro všechny řidiče, a r?o = 3 + b. Dostáváme
~b =        (a + b)a nk        =    n0 n
Pj     (a + b + n)(a + b)    (a + b+n)n     n0 + nP0    n0 + nPj'
což je lineární kombinace střední hodnoty po a individuálního odhadu pj.
OOOOOOOOOOOOOOOOÄOO
Zbývá nám tedy už jen smysluplně odhadnout neznáme parametry a, b. Víme přitom
EX77 = EE(X» = Ep = po
Evar(X»     E(p(l - p))
-c/v i \ =-= a + b = n0
varE(X/v|pj var p
a přitom veličiny na levých stranách můžeme přímo odhadnout.
OOOOOOOOOOOOOOOOÄOO
Zbývá nám tedy už jen smysluplně odhadnout neznáme parametry a, b. Víme přitom
EX77 = EE(X» = Ep = po
Evar(X»     E(p(l - p))
-c/v i \ =-= a + b = n0
varE(A/v|pj var p
a přitom veličiny na levých stranách můžeme přímo odhadnout.
ooooooooooooooooo«o
1 N
EX^EE^p)--^
N
j'=i
1 N
Evar(Xy/|p)^-J](^py(l-py))
7=1
var E(X» - s% - — E (^M1 "
kde s? označuje výběrový rozptyl mezi individuálními odhady
(čtenář si může promyslet, že odečtením posledního výrazu vpravo zajišťujeme, aby i poslední odhad byl nestranný). Protože pro uvedená data takto dostáváme r?o — 3,8643 a Po ~ 0,1450, vyjde nám bayesovský odhad individuální pravděpodobnosti nehod
pj5 = 0,154 • 0,145 + 0,846 • pj.
ooooooooooooooooo«o
EXíj = E
1 N
Evar(Xy/|p)^-J](^py(l-py))
7=1
var E(X» - s| - — £(^3,(1 "
kde s? označuje výběrový rozptyl mezi individuálními odhady
(čtenář si může promyslet, že odečtením posledního výrazu vpravo zajišťujeme, aby i poslední odhad byl nestranný). Protože pro uvedená data takto dostáváme r?o — 3,8643 a Po ~ 0,1450, vyjde nám bayesovský odhad individuální pravděpodobnosti nehod
pj5 = 0,154 • 0,145 + 0,846 • pj.
ooooooooooooooooo«o
EXíj = E
1 N
var E(X» * s% - — E (^M1 " Ä0),
7=1
kde s? označuje výběrový rozptyl mezi individuálními odhady
(čtenář si může promyslet, že odečtením posledního výrazu vpravo zajišťujeme, aby i poslední odhad byl nestranný). Protože pro uvedená data takto dostáváme r?o — 3,8643 a Po ~ 0,1450, vyjde nám bayesovský odhad individuální pravděpodobnosti nehod
pj> = 0,154 • 0,145 + 0,846 • pj.
ooooooooooooooooo«o
EX0 = EE(Xy/|p)~ÍX>
j'=i
j'=i
var E(X,7|p) c s? - — £(^,-(1 "
j'=i
ooooooooooooooooo«o
1 N
EX^EE^p)--^
N
7=1
1 N
EvarCXy/IpJ^-X;^^!-^))
7=1
var E(X» - s% - — £(^3,(1 " Ä0),
kde s? označuje výběrový rozptyl mezi individuálními odhady
(čtenář si může promyslet, že odečtením posledního výrazu vpravo zajišťujeme, aby i poslední odhad byl nestranný). Protože pro uvedená data takto dostáváme r?o — 3,8643 a Po ~ 0,1450, vyjde nám bayesovský odhad individuální pravděpodobnosti nehod
pj5 = 0,154 • 0,145 + 0,846 • pj.
oooooooooooooooooo*
Jde tedy o kombinaci spolehlivého odhadu p = 0,145 kolektivní pravděpodobnosti po s individuálním (frekvenčním) odhadem pj, který je pořízen z malého počtu pozorování n = 10 u jediného ridice.