Finanční Matematika - 12. přednáška
Systém bonus malus
Martin Panák 9. května 2016
□ rS1
Uvažme bonus-malus systém, kde máme řidiče rozděleny do pěti tříd (/ = 0,1,... 4). Při způsobení nehody se řidič na konci pozorovaného období pousouvá do třídy 4, při bezeškodním průběhu o jednu třídu níže. Uvažme tento systém jako Markovův řetězec. Jeho matice přechodu je
e~A 0
0 e"A
0 0
0 0
1 - e"A 1 - e"
0 0
0 \
P
0 0
o
o o
\l-e
1
Při volbě A = 0.1 postupně dostaneme pro j > 4:
PJ =
/0.670319 0.070498 0.077913 0.086107 \0.095163
0.670319 0.070498 0.077913 0.086107 0.095163
0.670319 0.070498 0.077913 0.086107 0.095163
0.670319 0.070498 0.077913 0.086107 0.095163
0.670319\ 0.070498 0.077913 0.086107 0.095163/
□ r3>
Buď L náhodná veličina popisující bonus-malus třídu náhodně vybraného pojistníka,     je váha rizikové třídy s (k = 0 ... počet tříd), 7r(A) stacionární vektor Markovova procesu daného bonus-malus systémem pro parametr A. Potom je
P\L = l] = YJuk / n,{\ke)dFe{9)
Buď L náhodná veličina popisující bonus-malus třídu náhodně vybraného pojistníka,     je váha rizikové třídy s \k (k = 0 ... počet tříd), 7r(A) stacionární vektor Markovova procesu daného bonus-malus systémem pro parametr A. Potom je
ŕOO
P[L = l] = J2ujk / 7ri(Xk9)dFQ(9)
k Jo
Pro každou bonus-malus třídu / se snažíme určit její tzv. „relativní sazbu" (dále též relativitu), tj. procentní podíl vůči základní sazbě (může být stejná pro všechny řidiče - relativity bez apriorní klasifikace, nebo může být závislá na rizikové třídě - relativity s apriorní klasifikací)
Ve třídách volíme relativity tak, abychom se „co nejvíce přibliž skutečné nehodovosti (dané koeficientem 0A):
E[(e-rL)2]=J2E{(Q-n)2\L = i}P[L = i]
1=0
E /   (0-n)2P[L = l\Q = 9]dFe9
1=0 Jo
0
- n)27r,(\k9)dFQ(6)
1=0
Ve třídách volíme relativity tak, abychom se „co nejvíce přibliž skutečné nehodovosti (dané koeficientem 0A):
E[(0 - rLf] = J2 E[(0 - nf\L = l]P[L = I] =
1=0
í-OO J
= J2Uk ~ n)2^i{\kô)dF@{e)
Ve třídách volíme relativity tak, abychom se „co nejvíce přibliž skutečné nehodovosti (dané koeficientem 0A):
E[(e-rL)2]=J2E{(Q-n)2\L = i}P[L = i]
1=0
E /   (0-n)2P[L = l\Q = 9]dFe9
1=0 Jo
0
- n)27r,(\k9)dFQ(6)
1=0
■v
Řešením je
r, = E[e\L = l] = =      E[®\L = /, A = X]Pr[A = Xk\L = I] =
E
00 gP[/. = /|e = g,A = Afc]a;fc P[A = Xk, L
= 1}
o
P[L=l,A = Xk]
P[L = I]
Y.k"kj™Kl{Xke)dFQ{6)
■v
Řešením je
r, = E[e\L = l] =
P[L = l\Q = O, A = \k]uk P[A = Xk,L = I]
Řešením je
n = E[e\L = i] =
ZkUkfŠ°ôm{\ke)dFe{e)
■v
Řešením je
r, = E[e\L = l] = =      E[®\L = /, A = X]Pr[A = Xk\L = I] =
E
00 gP[/. = /|e = g,A = Afc]a;fc P[A = Xk,L
= 1}
o
P[L=/,A = A/f]
P[L = /]
Efektivita systému bonus-malus
Loimairantova efektivita
Měří, jak rychle se změna ve vstupních datech systému projeví v relativitách jednotlivých tříd.
Efektivita systému bonus-malus
Loimairantova efektivita
Měří, jak rychle se změna ve vstupních datech systému projeví v relativitách jednotlivých tříd. Označme ř(A) průměrnou relativní sazbu pojistníka s očekávanou škodní frekvencí danou rozložením Po/(A). Je to tedy vážený průměr
s
ř(A) =
/=0
Loimarantova efektivita je elasticitou této sazby jakožto funkce A.
Fff    (\\ dlnríX)
£rrLoi{Á) = =
r(A)        a In A
Globální efektivitu pak definujeme váženým průměrem přes všechny třídy
EffLoi = E[EffLoi(AQ)].
=
De Prilova efektivita
Nechť v < 1 je diskontní faktor, b\ je sazba, kterou platí pojištěnec se škodní frekvencí v v bonus-malusové třídě /.
De Prilova efektivita
Nechť v < 1 je diskontní faktor, b\ je sazba, kterou platí pojištěnec
se škodní frekvencí v v bonus-malusové třídě /. Dále nechť V^n\v) je průměrná současná cena pojistného, kterou zaplatí pojištěnec s frekvencí v ve třídě / v následujících n letech.
De Prilova efektivita
Nechť v < 1 je diskontní faktor, b\ je sazba, kterou platí pojištěnec
se škodní frekvencí v v bonus-malusové třídě /. Dále nechť V^n\v) je průměrná současná cena pojistného, kterou zaplatí pojištěnec s frekvencí v ve třídě / v následujících n letech. Pak
oo
l/0(n)(z/) = b, + vJ2 P[N = k\\e = u]V^\u),
De Prilova efektivita
Nechť v < 1 je diskontní faktor, b\ je sazba, kterou platí pojištěnec
se škodní frekvencí v v bonus-malusové třídě /. Dále nechť V^n\v) je průměrná současná cena pojistného, kterou zaplatí pojištěnec s frekvencí v ve třídě / v následujících n letech. Pak
oo
l/0(n)(z/) = b, + vJ2 P[N = k\\e = u]V^\u),
k=0
Potom definujeme
(")
/7—>00
V,{y) = lim V^"\v)
De Prilova efektivita
Nechť v < 1 je diskontní faktor, b\ je sazba, kterou platí pojištěnec
se škodní frekvencí v v bonus-malusové třídě /. Dále nechť V^n\v) je průměrná současná cena pojistného, kterou zaplatí pojištěnec s frekvencí v ve třídě / v následujících n letech. Pak
oo
l/0(n)(z/) = b, + vJ2 P[N = k\\e = u]V^\u),
k=0
Potom definujeme
(")
/7—>00
V,{y) = lim V^"\v)
OO
V,{u) = bl + vY,P[N = k\XO = u]VTk{l)(u)
De Prilova efektivita
Nechť v < 1 je diskontní faktor, b\ je sazba, kterou platí pojištěnec
se škodní frekvencí v v bonus-malusové třídě /. Dále nechť V^n\v) je průměrná současná cena pojistného, kterou zaplatí pojištěnec s frekvencí v ve třídě / v následujících n letech. Pak
oo
l/0(n)(z/) = b, + vJ2 P[N = k\\e = u]V^\u),
k=0
Potom definujeme
(")
/7—>00
V,{y) = lim V^"\v)
OO
V,{u) = bl + vY,P[N = k\XO = u]VTk{l)(u)
Konečně
EffDeP(l,v) = ^-.