Finanční Matematika - 8. přednáška Martin Panák 11. dubna 2016 □ rS1 Příklad Dva střelci vystřelí každý dvě rány na terč. První má pravděpodobnost zásahu 80%, druhý 60%. V terči se našly dvě rány Jaká je pravděpodobnost, že obě patří prvnímu střelci? Pravděpodobnost zásahu prvního střelce jsou tedy 4/5, druhého 3/5. Uvažme dva jevy: □ s Pravděpodobnost zásahu prvního střelce jsou tedy 4/5, druhého 3/5. Uvažme dva jevy: A... v terči se našly dva zásahy patřící prvnímu střelci, □ s Pravděpodobnost zásahu prvního střelce jsou tedy 4/5, druhého 3/5. Uvažme dva jevy: A. .. v terči se našly dva zásahy patřící prvnímu střelci, B. .. v terči se našly dva zásahy. Pravděpodobnost zásahu prvního střelce jsou tedy 4/5, druhého 3/5. Uvažme dva jevy: A. .. v terči se našly dva zásahy patřící prvnímu střelci, B. .. v terči se našly dva zásahy. Dle zadání úlohy máme zjistit P(A\B). Rozdělme jev B na šest disjunktních jevů podle toho, který střelec a který svůj výstřel do terče umístil. Jevy uvedeme v tabulce a u každého navíc spočítáme pravděpodobnost toho, že nastane. Uvědomíme si při tom, že každá uvažovaná střelba se skládá ze čtyř nezávislých jevů: výsledek střelby hráče A či B v prvním či druhém výstřelu. V tabulce značíme zásah jedničkou, minutí terče nulou. 1. střelec 2.střelec pst nastoupení jevu Bi 0 1 0 1 14 2 3 5 " 5 " 5 " 5 B2 0 1 1 0 24 252 B3 1 0 1 0 24 252 B4 1 0 0 1 24 252 B5 1 1 0 0 64 252 B6 0 0 1 1 9 252 1. střelec 2.střelec pst nastoupení jevu Bi 0 1 0 1 14 2 3 5 " 5 " 5 " 5 B2 0 1 1 0 24 252 B3 1 0 1 0 24 252 B4 1 0 0 1 24 252 B5 1 1 0 0 64 252 B6 0 0 1 1 9 252 Sečtením pravděpodobnosti těchto disjunktních jevů dostáváme 6 P(B) = ^P(6/) = 169/625. 1. střelec 2.střelec pst nastoupení jevu Bi 0 1 0 1 14 2 3 5 " 5 " 5 " 5 B2 0 1 1 0 24 252 B3 1 0 1 0 24 252 B4 1 0 0 1 24 252 B5 1 1 0 0 64 252 B6 0 0 1 1 9 252 Sečtením pravděpodobnosti těchto disjunktních jevů dostáváme: 6 P(B) = ^P(6/) = 169/625. i=i Nyní můžeme přistoupit k výpočtu podmíněné pravděpodobnosti P(A\B) = P(A n B) = P{B5) P(B) P(B) 64 625 169 625 64 169 = 0,38. Příklad Mirek má čtyři sáčky, v každém jsou bílé a černé kuličky a to v těchto počtech: čtyři bílé; tři bílé a jedna černá; dvě bílé a dvě černé; jedna bílá a tři černé. Mirek náhodně jeden sáček vybral a náhodně z něj vytáhl jednu kouli. Byla černá. Mirek tento sáček zahodil a náhodně vybral jeden ze zbylých tří sáčků a z něj náhodně jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že bude bílá? Jako A označíme jev, že Mirek náhodně vybral sáček a z něj náhodně černou kouli. Tento jev disjunktním sjednocením jevů A\, i — 2, 3,4, k de A; je jev, že Mirek vybral /-tý sáček a z něj potom černou kouli. Jako A označíme jev, že Mirek náhodně vybral sáček a z něj náhodně černou kouli. Tento jev disjunktním sjednocením jevů A\, i — 2, 3,4, k de A; je jev, že Mirek vybral /-tý sáček a z něj potom černou kouli. Pravděpodobnost vytažení libovolné (černé) koule stejná a tedy P(A2\A) = l P(A3\A) = | = | a P(A4\A) = § = §. Jako A označíme jev, že Mirek náhodně vybral sáček a z něj náhodně černou kouli. Tento jev disjunktním sjednocením jevů A\, i = 2, 3,4, k de A\ je jev, že Mirek vybral /-tý sáček a z něj potom černou kouli. Pravděpodobnost vytažení libovolné (černé) koule stejná a tedy P(A2\A) = l P(A3\A) = | = | a P(A4\A) = § = §. Nechť B je jev, že Mirek po zahození jednoho ze sáčků vybral ze zbylých bílou kouli. Pokud vyhodil druhý sáček, tak ve zbylých sáčcích je dohromady 7 bílých koulí a pravděpodobnost, že vytáhne jednu z nich je P(B\A2) — ^ (opět můžeme použít klasickou pravděpodobnost, protože v každém sáčku je stejný počet koulí a tedy má každá stejnou pravděpodobnost, že bude vytažena). Jako A označíme jev, že Mirek náhodně vybral sáček a z něj náhodně černou kouli. Tento jev disjunktním sjednocením jevů A\, i — 2, 3,4, k de A; je jev, že Mirek vybral /-tý sáček a z něj potom černou kouli. Pravděpodobnost vytažení libovolné (černé) koule stejná a tedy P(A2\A) = l P(A3\A) = | = | a P(A4\A) = § = §. Nechť B je jev, že Mirek po zahození jednoho ze sáčků vybral ze zbylých bílou kouli. Pokud vyhodil druhý sáček, tak ve zbylých sáčcích je dohromady 7 bílých koulí a pravděpodobnost, že vytáhne jednu z nich je P(B\A2) — ^ (opět můžeme použít klasickou pravděpodobnost, protože v každém sáčku je stejný počet koulí a tedy má každá stejnou pravděpodobnost, že bude vytažena). Obdobně P(B\A3) = ^ a P(B\A4) = ^. Hledaná pravděpodobnost je P(B\A2)P(A2\A) + P(B\A3)P(A3\A) + P(B\A4)P(A4\A) 7 1 8 1 9 1 Příklad Mirek má čtyři sáčky, v každém jsou bílé a černé kuličky a to v těchto počtech: jedna bílá a jedna černá; tri bílé a jedna černá; jedna bílá a dvě černé; jedna bílá a tri černé. Mirek náhodně jeden sáček vybral a náhodně z něj vytáhl jednu kouli. Byla bílá. Mirek tento sáček zahodil a náhodně vybral jeden ze zbylých tri sáčků a z něj náhodně jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že bude bílá? Podobně jako v předchozím příkladě uvážíme jev A, totiž že Mirek vybral náhodně sáček a z něj náhodně bílou kouli jako sjednocení čtyř disjunktních jevů A±, A2, A3 a A4. Mirek vytáhl bílou kouli a před tím zahodil první, resp. druhý, resp. třetí, resp. čtvrtý sáček. Pravděpodobnost vytažení bílé koule z prvního sáčku je P(Ai) = \ ' \ (Jev Ai je dán tím, že současně nastaly dva nezávislé jevy a to, že vytáhl první sáček a že z prvního sáčku vytáhl bílou kouli), podobně P(A2) = 5-5, P{A3) = 5-3, P(Aa) = \ • Í P{A) = P(Aľ) + P(A2) + P(A3) + P(A4) = g. Podobně jako v předchozím příkladě uvážíme jev A, totiž že Mirek vybral náhodně sáček a z něj náhodně bílou kouli jako sjednocení čtyř disjunktních jevů A±, A2, A3 a A4. Mirek vytáhl bílou kouli a před tím zahodil první, resp. druhý, resp. třetí, resp. čtvrtý sáček. Pravděpodobnost vytažení bílé koule z prvního sáčku je P(Ai) = \ ' \ (Jev Ai je dán tím, že současně nastaly dva nezávislé jevy a to, že vytáhl první sáček a že z prvního sáčku vytáhl bílou kouli), podobně P(A2) = 5-5, P{A3) = 5-3, P(Aa) = \ • Í P{A) = P(Aľ) + P(A2) + P(A3) + P(A4) = g. Všimněme si, že pravděpodobnost P {A) nemůžeme počítat klasickou pravděpodobností, tedy prostým podělením počtu bílých koulí ku počtu všech koulí, protože například pravděpodobnost vytažení dané koule v prvním sáčku je dvojnásobná oproti vytažení dané koule ze čtvrtého sáčku. Pro podmíněné pravděpodobnosti pak platí P{A!\A) = P(A1)/P(A) = P(A2\A) = ± P{A3\A) = ± P{AA\A) = ± Označíme ještě písmenem Sjev, že Mirek po zahození jednoho ze sáčků vytáhne bílou kouli. Zbývá ještě dopočítat P(B\A;), i = 1,...4. Jev P(B\A\) rozdělíme na tři disjunktní jevy B2, 63, 64, totiž že druhá vytažená koule byla z druhého, resp. třetího, resp. čtvrtého sáčku. Celkem P(B\Ai.) = P{B2\A1) + P(ß3|/\i) + P(BA\A{) = 13 11 114 ~3-4 + 3"3 + 3'4~9' P(B\A!) = P{B2\A1) + P(63|/\i) + P(S4|/\i) 13 11 114 ~3-4 + 3"3 + 3'4~9' Obdobně P(B\A2) P(B\A3) P(B\A4) 1 1 1 1 1 1 13 _ - • — + — • — + — • - _ 3 2 3 3 3 4 36 1 1 1 3 1 1 1 _ - • — + — • — + — • - _ _ • 3 2 3 4 3 4 2' 1 1 1 3 1 1 19 _ - • — + — • — + — • - _ 3 2 3 4 3 3 36 Celkem pak p(e|/\i) = p{b2\a1) + p(e3|/\i) + p(s4|/\i) = 13 11 114 ~3-4 + 3"3 + 3'4~9' Obdobně 1 1 1 1 1 1 13 — • — + — • — + — • - _ 3 2 3 3 3 4 36 1 1 1 3 1 1 1 — • — + — • — + — • - _ _ • 3 2 3 4 3 4 2' 1 1 1 3 1 1 19 — • — + — • — + — • - _ 3 2 3 4 3 3 36 Celkem pak p{b\a) = P(P|4i)P(/\i|4) + p(b\a2)p(a2\a)+ + p(b\a3)p(a3\a) + p(b\a4)p(a4\a) = 4 3 13 9 1 2 19 3 _ 19 "9'íl 36'22 2'lí 36'22"44'