Teorie her
Monika Kroupová
Obsah
Teorie her
Statické hry
Hra v normálním tvaru
Dominované strategie
Nashova rovnováha
Pravděpodobnostní rozšíření a Nashova věta
Dynamické hry
Zpětná indukce
Opakované hry
Modely duopolu a příklady aplikací v ekonomii
Statické (strategické) hry s úplnou informací
hráči (jednotlivci) se rozhodují ve stejný okamžik
(např. kámen, nůžky, papír)
hráči mají úplné informace, tzn. vědí, jaké mají ostatní
strategie a výplaty
statická hra se skládá z:
množiny hráčů (seznam účastníků hry)
množiny akcí (dostupných strategií) každého hráče
výplatní funkce jednotlivých hráčů pro každou kombinaci
strategií (výplata = užitek z výsledku hry)
Definice
Hra v normálním tvaru pro n hráčů je tvořena prostorem strategií
jednotlivých hráčů S1, S2, . . . , Sn a výplatními funkcemi
u1, u2, . . . , un, kde každé ui zobrazuje S1 × S2 × · · · × Sn do R.
Takovou hru ozn. H = {S1, S2, . . . , Sn; u1, u2, . . . , un}.
Vězňovo dilema
Dva zločinci jsou obviněni ze spáchání závažného trestného činu.
Odsouzeni, ale mohou být, pokud se alespoň jeden z nich přizná.
Jestliže se přizná právě jeden z nich, bude osvobozen, zatímco
druhý dostane 10 let vězení. Pokud se přiznají oba, dostanou oba 9
let vězení. Pokud se ani jeden nepřizná, půjdou každý na 1 rok do
vězení pouze za drobnější přestupek. Za výplaty budeme brát roky
strávené na svobodě v následujících 10 letech.
2P 2N
1P 1,1 10,0
1N 0,10 9,9
1P – 1. hráč se přizná, 1N – první hráč se nepřizná
na 1. místě jsou výplaty prvního, na 2. výplaty druhého hráče
Dominované strategie
Striktně dominovaná strategie je strategie, která ve všech
možných situacích dává horší výsledek („je vždy horší ), než jiná
pevně daná strategie
Definice
Nechť H = {S1, S2, . . . , Sn; u1, u2, . . . , un} je hra v normálním
tvaru. Nechť si a si jsou 2 různé strategie i-tého hráče. Řekneme,
že strategie si je striktně dominovaná strategií si , jestliže pro
každou kombinaci strategií ostatních hráčů je výplata i-tého hráče
při strategii si menší než při strategii si , tedy
ui (s1, . . . , si−1, si , si+1, . . . , sn) < ui (s1, . . . , si−1, si , si+1, . . . , sn)
pro každou volbu s1, . . . , si−1, si+1, . . . , sn z množiny
S1 × · · · × Si−1 × Si+1 × · · · × Sn.
Redukce dominovaných strategií
předpoklad racionality:
oba hráči jsou racionální
oba hráči vědí o druhém, že je racionální a vědí, že on to ví o
nich
racionální hráč nehraje striktně dominované strategie
za předpokladu racionality, striktně dominované strategie ve
statických hrách ignorujeme → postupně je eliminujeme
(škrtáme) → hra se redukuje na jednodušší
2P 2N
1P 1,1 10,0
1N 0,10 9,9
Vězňovo dilema: strategie N je striktně dominovaná strategií P
výsledek vězňova dilematu je (P,P) (přesto, že (N,N) dává
oběma lepší výsledek)
Redukce dominovaných strategií
Příklad
strategie 1. hráče: A,B
strategie 2. hráče: C,D,E
C D E
A 2,1 2,3 1,2
B 1,4 1,2 3,1
→ E je striktně dominovaná D (škrtneme E)
C D
A 2,1 2,3
B 1,4 1,2
→ B je striktně dominovaná A (škrtneme B)
C D
A 2,1 2,3
→ C je striktně dominovaná D (škrtneme C)
Výsledek hry: první hraje A a druhý hraje D.
Nashova rovnováha
Nashova rovnováha nastává, pokud se nikomu nevyplatí odchýlit
od jeho strategie při daných strategiích ostatních hráčů.
(jinak: zafixuji strategie ostatních a ptám se, jestli si polepším,
když se odchýlím od své strategie)
Definice
Nechť H = {S1, S2, . . . , Sn; u1, u2, . . . , un} je hra v normálním
tvaru. Pak n-tice strategií s∗
1 , s∗
2 , . . . , s∗
n dává Nashovu rovnováhu,
jestliže pro každého hráče je s∗
i nejlepší odpověď (příp. jednou z
nejlepších odpovědí, pokud je jich více) na strategii určenou pro
ostatních n − 1 hráčů s∗
1 , . . . , s∗
i−1, s∗
i+1, . . . , s∗
n . Tedy
ui (s∗
1 , . . . , s∗
i−1, s∗
i , s∗
i+1, . . . , s∗
n ) ≥ ui (s∗
1 , . . . , s∗
i−1, si , s∗
i+1, . . . , s∗
n )
pro každé si ∈ Si . Jinými slovy, si je řešením maximalizační úlohy
max
si ∈Si
ui (s∗
1 , . . . , s∗
i−1, si , s∗
i+1, . . . , s∗
n )
Využití Nashovy rovnováhy
všechny hry nemají striktně dominované strategie → některé
hry nemůžeme analyzovat redukcí striktně dominovaných
strategií a musíme použít Nashovu rovnováhu
Příklad
Souboj pohlaví – dva hráči (1. muž,2. žena) se rozhodují, co
budou odpoledne dělat, jestli půjdou na koncert (K), nebo na
fotbal (F), raději by oba byli spolu než sami, muž preferuje F a
žena K.
2K 2F
1K 2,3 0,0
1F 0,0 3,2
Postup hledání NR: pro každý řádek hledáme nejlepší odpověď
ženy (2. hráče) a příslušnou výplatu podtrhneme, potom pro každý
sloupec hledáme nejlepší odpověď muže (1. hráče) a výplatu opět
podtrhneme. NR je ta kombinace, ve které jsou podtrženy obě
výplaty. V našem případě (K,K) a (F,F)
Vztah Nash. rovnováhy a redukce dominovaných strategií
pokud redukce dominovaných strategií vede k jednoznačnému
výsledku hry (s∗
1 , s∗
2 . . . , s∗
n ) → pak tato kombinace je jedinou
Nashovou rovnováhou této hry
Pravděpodobnostní rozšíření a Nashova věta
Smíšené strategie
hráči volí své akce podle určitého pstního rozdělení
někdy se hráč snaží zabránit tomu, aby protivník byl schopen
odhadnout jeho strategii, a proto volí strategii náhodně
Definice
Nechť H = {S1, S2, . . . , Sn; u1, u2, . . . , un} je hra v normálním
tvaru, kde Si = (si1, . . . , sik). Pak smíšenou strategií i-tého hráče
rozumíme pravděpodobnostní rozdělení na Si ,
pi = (pi1, . . . , pik),
kde pij udává s jakou pravděpodobností bude i-tý hráč hrát j-tou
strategii. Ryzí strategie můžeme zřejmě chápat jako speciální
případ smíšených strategií, kde pravděpodobnostní funkce
degeneruje a přiřazuje pravděpodobnost jedna této strategii a
pravděpodobnost nula všem ostatním strategiím.
Definice
Uvažujme hru 2 hráčů a jejich strategie S1 = (s11, . . . , s1J) a
S2 = (s21, . . . , s2K ). Jejich smíšené strategie jsou dány
pravděpodobnostními rozděleními p1 = (p11, . . . , p1J) a
p2 = (p21, . . . , p2K ). Pak očekávané výplaty hráčů při použití
těchto strategií budou
v1(p1, p2) =
J
j=1
p1j
K
i=1
p2i u1(s1j , s2i )
v2(p1, p2) =
K
i=1
p2i
J
i=1
p1j u2(s1j , s2i ).
Pravděpodobnostní rozšíření a Nashova věta
Nashova rovnováha ve smíšených hrách
Uvažujme hru 2 hráčů v normálním tvaru H = {S1, S2, u1, u2}.
Dvojice smíšených strategií (p∗
1, p∗
2) je Nashova rovnováha, jestliže
platí
v1(p∗
1, p∗
2) ≥ v1(p1, p∗
2) pro ∀ smíšené strategie 1. hráče p1
v2(p∗
1, p∗
2) ≥ v2(p∗
1, p2) pro ∀ smíšené strategie 2. hráče p2 .
Analogicky pro více hráčů.
Nashova věta
Nechť H = {S1, S2, . . . , Sn; u1, u2, . . . , un} je hra v normálním
tvaru pro konečný počet hráčů s konečným počtem strategií. Pak
existuje alespoň jedna Nashova rovnováha v prostoru smíšených
strategií.
Nashova věta zaručuje existenci NR ve smíšených strategiích
pro libovolně konečnou hru.
Důkaz je založen na větách o pevném bodu.
Hlava nebo orel
Smíšené strategie - příklad
oba zvolí to samé → vyhrává 1. hráč
oba zvolí různě → vyhrává 2. hráč
2 Orel 2 Hlava
1 Orel 1, −1 −1, 1
1 Hlava −1, 1 1, −1
Hra nemá NR v čistých (ryzích) strategiích. Zkusíme ji najít ve
smíšených strategiích.
Hlava nebo orel
Řešení příkladu
2 Orel (p) 2 Hlava (1 − p)
1 Orel (q) 1, −1 −1, 1
1 Hlava(1 − q) −1, 1 1, −1
„užitek z orla = užitek z hlavy pro oba hráče
u1(O) = u1(H)
1 · p + (−1) · (1 − p) = −1 · p + 1 · (1 − p) → p =
1
2
u2(O) = u2(H)
−1 · q + 1 · (1 − q) = 1 · q + (−1) · (1 − q) → q =
1
2
NR (p∗, q∗) = 1
2, 1
2 , tzn. oba volí orla s pstí 0,5 a hlava s
pstí 0,5
Dynamické (extenzivní) hry s úplnou informací
hráči se rozhodují jeden po druhém (např. piškvorky)
hru je lepší zapsat v extenzivním tvaru místo normálního
tvaru, v normálním tvaru se zadávají celkové strategie hráčů, v
extenzivním tvaru se zadávají jednotlivé tahy
hra se skládá:
seznam hráčů
kdy je kdo na tahu, možnosti hráče na tahu, informace hráče
na tahu
výplata každého hráče při všech možných kombinacích tahů,
které mohli hráči zvolit
extenzivní hru většinou znázorňujeme pomocí herního stromu
hlavní metoda řešení – zpětná indukce
je nutné určit i akce v iracionálních situacích
Dynamické (extenzivní) hry s úplnou informací
Strategie hráče je úplný plán jeho akcí, který určuje, kterou z
možných akcí hráč zvolí v každé situaci, která může ve hře
nastat a v níž je tento hráč na tahu.
Informační množina = soubor rozhodovacích bodů s
následujícími vlastnostmi:
1. hráč je na tahu v každém bodě dané informační množiny
2. když se hra dostane do některého bodu informační
množiny, hráč neví, ve kterém jejím bodě se hra nachází.
Podhra = hra, která začíná v rozhodovacím bodu B, který
má následující vlastnosti. Je jednoprvkovou informační
množinou, obsahuje všechny rozhodovací body, které v herním
schématu následují za B, a nerozděluje žádnou informační
množinu. Každou podhru tedy můžeme analyzovat jako
samostatnou hru.
Dynamické (extenzivní) hry s úplnou informací
extenzivní tvar (herní strom)
Uzly – kdo je na tahu (kdo hraje)
Hrany – akce
normální tvar
(C,E) (C,F) (D,E) (D,F)
A 5,1 5,1 1,2 1,2
B 2,1 0,0 2,1 0,0
Zpětná indukce
Hru v extenzivním tvaru neřešíme běžným způsobem od počátku
stromu (kořene) ke koncovým uzlům, ale naopak. Vycházíme z
koncového uzlu a snažíme se najít optimální řešení podhry. Když
jej nalezneme, stává se koncovým uzlem toto řešení a přecházíme
do další podhry, kde porovnáváme toto řešení s dalšími koncovými
uzly. Tímto způsobem projdeme všechny podhry, nalezneme jejich
nejlepší řešení a postupně se dostaneme až k výchozímu uzlu –
kořenu stromu. Tím nalezneme řešení celé hry.
Vycházíme z předpokladu, že racionální hráč volí při svém
rozhodování pro něj nejlepší možnou strategii. Při hledání
optimálního řešení podhry hledáme tzv. dokonalou rovnováhu
podhry pro všechny rozhodovací situace. Výsledek nalezený
pomocí zpětné indukce je dokonalá Nashova rovnováha vzhledem k
podhrám.
Definice
Nashova rovnováha je dokonalá (perfektní) vzhledem k podhrám,
jestliže strategie hráčů dávají Nashovu rovnováhu v každé podhře.
Zpětná indukce
hru rozdělíme na podhry a postupujeme od konce, tzn.
nejdříve řešíme, co bude hrát hráč 2 a potom hráč 1
1 pokud 1 hraje A, pak 2 hraje D (dostane lepší výplatu než z C)
pokud 1 hraje B, pak 2 hraje E (dostane lepší výplatu než z F)
2 1 hraje B, protože ví, že 2 zahraje E (má výplatu 2),
kdyby 1 hrál A, 2 by hrál D a 1 by měl výplatu 1, tzn. horší
Výsledek hry: (B,(D,E)) → dokonalá NR vzhledem k podhrám
Normální tvar a hledání NR
(C,E) (C,F) (D,E) (D,F)
A 5,1 5,1 1,2 1,2
B 2,1 0,0 2,1 0,0
1 pokud 1 hraje A, nejlepší odpověď 2 je hrát (D,E) nebo (D,F)
2 pokud 1 hraje B, nejlepší odpověď 2 je hrát (C,E) nebo (D,E)
3 pokud 2 hraje (C,E), nejlepší odpověď 1 je hrát A
4 pokud 2 hraje (C,F), nejlepší odpověď 1 je hrát A
5 pokud 2 hraje (D,E), nejlepší odpověď 1 je hrát B
6 pokud 2 hraje (D,F), nejlepší odpověď 1 je hrát A
Výsledek hry: (B,(D,E)),(A,(D,F))→ 2 (klasické) NR
Opakované hry
1 základní hra se opakuje konečně nebo nekonečně mnohokrát
1) Konečně opakované hry
Definice
Nechť je daná základní statická hra H. Pak H(T) bude označovat
hru, ve které se základní hra hraje T-krát. Přitom hráči pozorují
výsledky všech předchozích her před tím, než začne další hra.
Výplaty v opakované hře jsou součtem výplat v jednotlivých kolech
základní hry.
Věta
Pokud základní hra má jedinou NR, pak opakovaná hra H(T) má
jedinou rovnováhu perfektní vzhledem k podhrám. Tou je
opakování NR v každém kole hry.
2-krát opakované vězňovo dilema
Konečně opakované hry
řešíme od zadu (zpětná indukce)
ve 2. hře hledáme NR → víme, že NR je (P,P) s výplatou (1,1)
2P 2N
1P 1,1 10,0
1N 0,10 9,9
v 1. hře - ke každému prvku přičteme výsledek druhé hry
(tzn. +1 pro oba hráče) a hledáme NR
2P 2N
1P 2,2 11,1
1N 1,11 10,10
→ NR je opět (P,P)
Diskontování výplat
Konečně i nekonečně opakované hry
při celkové výplatě jednotlivých hráčů ze všech her obvykle
diskontujeme výplaty diskontním faktorem δ ∈ 0, 1 , protože
hráči preferují výplatu v současnosti před stejně velkou
výplatou v budoucnosti
důvody:
časová hodnota peněz (pokud jsou výplaty v penězích, δ
představuje bezrizikovou úrok. míru)
pst, že hra bude v následujícím kole ukončena (př. smrt hráče)
psychologická netrpělivost hráčů
označme pi příjem (výplata) z i-té hry, potom současná
hodnota příjmu ze všech her je
pro konečně opakované hry:
PV (p, δ) = p1 + δp2 + · · · + δT
pT =
T
t=1 δt−1
pt
pro nekonečně opakované hry:
PV (p, δ) = p1 + δp2 + · · · + δt
pt + · · · =
∞
t=1 δt−1
pt
2) Nekonečně opakované hry
používáme průměrnou hodnotu výplat → (1 − δ) · PV (p, δ)
– pokud jsou výplaty shodné a všechny rovny p, pak je průměrná
hodnota přímo rovna výplatě z jedné základní hry.
(1 − δ) · PV (p, δ) = (1 − δ) ·
∞
t=1
δt−1
p = (1 − δ) ·
p
1 − δ
= p
Strategie v nekonečně opakovaných hrách
1 Grim trigger strategie (spouštěcí strategie) – „neodpouštět
2 Tit for tat strategie – „zub za zub
„udělej to, co udělal hráč v předchozím období
Grim trigger strategie
Vězňovo dilema
hráči v prvním kole spolupracují (tzn. hrají N – nepřiznají se)
hráč spolupracuje tak dlouho, dokud ho druhý nepodrazí
po podražení už nikdy nespolupracuje (tzn. hraje do
nekonečna P – přiznat se)
pro jaké δ mají motivaci hráči spolupracovat? Kdy se jim
vyplatí zradit?
2P 2N
1P 1,1 10,0
1N 0,10 9,9
Grim trigger strategie
Vězňovo dilema
výplata, když oba celou dobu spolupracují
9 + 9δ + 9δ2
+ · · · =
9
1 − δ
výplata (druhého hráče), když druhý zradí hned v prvním kole
10 + 1δ + 1δ2
+ · · · = 10 +
δ
1 − δ
spolupráce bude optimální (NR) při této strategii, pokud:
9
1 − δ
≥ 10 +
δ
1 − δ
tzn. hráči se vyplatí spolupracovat pokud δ ≥ 1
9
Modely duopolu
1 Cournotův duopol
2 Bertrandův duopol
budeme modelovat situaci, kdy na trhu jsou dvě firmy (→ duopol),
pokud bychom uvažovali
1 firmu → monopol
n firem → oligopol
n → ∞ firem → dok. konkurence
Cournotův duopol
dvě firmy vyrábí stejný výrobek
firmy se rozhodují současně, jaké množství vyrobí (q1 a q2)
→ prostor strategií hráčů je tvořen vyráběným množstvím
firmy prodávají za stejnou cenu, která je dána průsečíkem
poptávky a celkové tržní nabídky
předpokládáme lineární poptávku P(Q) = α − Q, kde
Q = q1 + q2 (pro Q ≥ α je P(Q) = 0)
mezní náklady c jsou konstantní → nákladová funkce
Ci (qi ) = cqi
zisky firem jsou π1 a π2 (zisk=tržby-náklady)
π1(q1, q2) = q1 · (α − q1 − q2) − cq1
π2(q1, q2) = q2 · (α − q1 − q2) − cq2
řešíme maximalizační úlohy (z definice NR)
max
0≤q1<∞
π1(q1, q∗
2) a max
0≤q2<∞
π2(q∗
1, q2)
Cournotův duopol
jinak řečeno firmy chtějí maximalizovat zisk
∂π1(q1, q∗
2)
∂q1
= α − 2q1 − q∗
2 − c = 0 → q∗
1 =
1
2
(α − c − q∗
2)
∂π2(q∗
1, q2)
∂q2
= α − 2q2 − q∗
1 − c = 0 → q∗
2 =
1
2
(α − c − q∗
1)
řešíme soustavu 2 rovnic o 2 neznámých q∗
1 a q∗
2:
α − 2q∗
1 − q∗
2 − c = 0
α − 2q∗
2 − q∗
1 − c = 0
řešením je NR: q∗
1 = q∗
2 = α−c
3
celkové vyrobené množství: Q = q∗
1 + q∗
2 = 2
3(α − c)
cena: P(Q) = α − Q = 1
3(α + 2c)
zisky: π1 = π2 = α−c
3 · (α − α−c
3 − α−c
3 ) − c α−c
3 = (α−c)2
9
Bertrandův duopol
firmy vyrábějí podobné, ne úplně stejné výrobky
firmy určují cenu p1 a p2 → prostor strategií je tvořen
možnými cenami výrobků
poptávková funkce je funkcí cen
q1(p1, p2) = α − p1 + b · p2
q2(p1, p2) = α − p2 + b · p1
kde b > 0 je míra s jakou je výrobek firmy 1 náhražkou za
výrobek firmy 2
zisky firem (tržby-náklady)
π1(p1, p2) = q1(p1, p2) · p1 − cq1(p1, p2)
π1(p1, p2) = (α − p1 + bp2) · p1 − c(α − p1 + bp2)
π2(p1, p2) = q2(p1, p2) · p2 − cq2(p1, p2)
π2(p1, p2) = (α − p2 + bp1) · p2 − c(α − p2 + bp1)
Bertrandův duopol
firmy chtějí maximalizovat zisk
∂π1(p1, p∗
2)
∂p1
= α − 2p1 + bp∗
2 + c = 0 → p∗
1 =
1
2
(α + bp∗
2 + c)
∂π2(p∗
1, p2)
∂p2
= α − 2p2 + bp∗
1 + c = 0 → p∗
2 =
1
2
(α + bp∗
1 + c)
řešíme soustavu 2 rovnic o 2 neznámých p1 a p2:
α − 2p∗
1 + bp∗
2 + c = 0
α − 2p∗
2 + bp∗
1 + c = 0
řešením je NR: p∗
1 = p∗
2 = α+c
2−b
smysl jen pro b < 2 (jinak p < 0)
čím bližší substituty jsou výrobky (↑ b), tím poroste jejich cena
rovnovážné množství je q∗
1 = q∗
2 = α+c(b−1)
2−b
Příklady aplikací v ekonomii
1 Problém volební kampaně
2 Kupování hlasů
3 Vstup do monopolního odvětví
4 Teorie obecní pastviny
Problém volební kampaně
zvolení ideální kampaně vedoucí k vítězství ve volbách
strana vybírá, kam se zařadí na pravolevém politickém spektru
a jejím cílem je přilákat více voličů než 2. strana a vyhrát tak
volby (x = 0 je levice a x = 1 je pravice )
x1 . . . pozice 1. strany, x2 . . . pozice 2. strany,
kandidáti nezávisle na sobě zvolí kampaň xi ∈ [0, 1]
volič zvolí tu stranu, která je nejblíž jeho preferencím
volby vyhraje ten, kdo má nejvíc hlasů (v případě remízy je
vítěz vybrán náhodně)
předp., že kandidátům jde jen o vítězství (nerespektují vlastní
přesvědčení)
NR budeme hledat pomocí optimálních odpovědí
Problém volební kampaně
Jak bude reagovat 1 na pozici strany 2?
Pokud:
x2 < 1
2, pak kandidát 1 zvolí x2 < x1 < 1 − x2, aby získal
nadpoloviční většinu hlasů a vyhrál tak volby
x2 = 1
2, pak kandidát 1 zvolí x1 = 1
2, bude to remíza a tedy
má 50 % šanci na vítězství
x2 > 1
2, pak kandidát 1 zvolí 1 − x2 < x1 < x2, aby získal
nadpoloviční většinu hlasů a vyhrál tak volby
stejně bude uvažovat i 2. kandidát (dostaneme to samé jen s
opačnými indexy) a průnikem nejlepších odpovědí bude NR
→ (x1, x2) = 1
2, 1
2
Kupování hlasů
2 lobbistické skupiny (X, Y ) uplácí k zákonodárců (k je liché)
každá skupina lobuje za jiný protichůdný zákon a může dát
každému z k zákonodárců určitou částku (xi a yi )
každý zákonodárce volí návrh, za který dostal víc peněz
ocenění skupiny X svého zákonu je Vx a pro Y je ocenění Vy
hru budeme řešit jako extenzivní (první se rozhodne X a
potom Y ) → zpětná indukce
ozn. seznam plateb skupiny X zákonodárcům x = (x1, . . . , xk)
seznam plateb skupiny Y zákonodárcům y = (y1, . . . , yk)
zákon skupiny Y je přijat, pokud yi ≥ xi alespoň v 1
2(k + 1)
zákonodárců
užitková funkce skupiny X (skupina Y analogicky)
ux (x, y) =
Vx − (x1 + · · · + xn) pokud je přijat zákon X
−(x1 + · · · + xn) pokud je přijat zákon Y
Kupování hlasů
Řešení - zpětná indukce
postupujeme od konce, tzn. hledáme nejlepší odpověď skupiny
Y na jakoukoliv strategii skupiny X
většinu zákonodárců označíme jako µ → µ = 1
2(k + 1)
mx bude součet µ nejmenších složek vektoru x → mx je
nejmenší částka, kterou skupina X vyplatila nadpoloviční
většině zákonodárcům
aby sk. Y vyhrála, musí u µ zákonodárců vyrovnat částku,
kterou dostali od sk.X (tzn. musí zaplatit celkově aspoň mx )
nejlepší odpověď Y :
mx < Vy → vyrovná platbu sk. X u µ zákonodárců
mx > Vy → neplatí nic
mx = Vy → vyrovná platbu sk. X u µ zákonodárců, nebo
neplatí nic
Kupování hlasů
Řešení - zpětná indukce
sk. X chce dosáhnout toho, aby se sk. Y nevyplatilo
zákonodárce přeplatit (tzn. mx ≥ Vy ) → musí každému
zákonodárci zaplatit alespoň
Vy
µ
sk. X zaplatí k ·
Vy
µ jen pokud nakonec dostane kladnou
výplatu, tzn. pokud Vx > k
Vy
µ
optimální odpověď sk. X:
x = (0, . . . , 0), pokud Vx < k
Vy
µ
x = (
Vy
µ , . . . ,
Vy
µ ), pokud Vx > k
Vy
µ
Vstup do monopolního odvětví
máme odvětví, ve kterém je 1 firma (monopolista - 1) a druhá
firma (vyzyvatel - 2) zvažuje vstup, který je spojen s náklady f
pokud vyzyvatel nevstoupí, pak je jeho zisk 0
pokud vyzyvatel vstoupí, firmy se současně rozhodují
o q1 a q2 (tzn. hrají Cournotův duopol)
hru budeme řešit zpětnou indukcí
2
nevstup vstup
1 1,2
q1
q1
q2
π 1 = q1⋅P (q1) − cq1 π 1 = q1⋅P (q1, q2) − cq1
π 2 = q2⋅P (q1, q2) − cq2 − f
Vstup do monopolního odvětví
Řešení
1 Rovnováha podhry po VSTUP
firmy se rozhodují o q1 a q2 → Cournotův duopol (řešili jsme
dříve) → q1 = q2 = α−c
3
zisk monopolu π1 = (α−c)2
9
zisk vyzyvatele π2 = (α−c)2
9 − f
2 Rovnováha podhry po NEVSTUP
monopol se rozhoduje, kolik vyrobí
monopol chce maximalizovat zisk π1 = q1 · (α − q1) − cq1
∂π
∂q1
= α − 2q1 − c = 0 → q1 = α−c
2
zisk monopolu π1 = α−c
2 · (α − α−c
2 ) − c α−c
2 = (α−c)2
4
3 Jak se rozhodne vyzyvatel na začátku?
když vstoupí π2 = (α−c)2
9 − f , když ne tak π2 = 0
to bude záviset na f (chce mít kladný zisk)
(α−c)2
9
> f – vstoupí a oba budou vyrábět α−c
3
(α−c)2
9
< f – nevstoupí a v odvětví bude jen 1 firma
(α−c)2
9
= f – vstoupí nebo ne (obojí je dokonalá rovnováha
vzhledem k podhrám)
Tragédie obecní pastviny
společný zdroj
není vylučitelný (nemůžeme někomu zakázat ho využívat)
je rivalitní (spotřeba jedním subjektem snižuje spotřebu jiného)
je dostupný zdarma
ponechání společného zdroje k volnému užívání povede k
nadměrnému, neefektivnímu využívání
může dojít k vyčerpání
příklad pastevectví koz
Tragédie obecní pastviny
Pastevectví koz
je n farmářů, kteří se nezávisle na sobě rozhodují, kolik koz ki
budou chovat (celkový počet koz je pak K = k1 + · · · + kn)
na společné pastvině → statická hra s úplnou informací
náklady na nákup a chov kozy c nezávisí na počtu chovaných
koz - jsou tedy konstantní (pastvina je zdarma, platíme jen za
kozu při nákupu)
hodnota h(K), kterou farmáři přinese 1 koza závisí na
celkovém počtu koz a platí h (K) < 0 a h (K) < 0 → funkce
h(K) je klesající a konkávní → s rostoucím počtem koz bude
na každou kozu připadat méně trávy
maximální počet, koz které by na daném pozemku dokázaly
přežít je pak Kmax přičemž h(Kmax ) = 0
předp., že kozy jsou libovolně dělitelné → prostor strategií
můžeme označit Si = [0; Kmax )
Tragédie obecní pastviny
Pastevectví koz - soukromá rovnováha
výplatní funkce i-tého farmáře ki h(k1 + · · · + kn) − cki
každý farmář bude chtít svoji výplatní funkci maximalizovat
max
ki
ki h(ki + k∗
−i ) − cki
kde k∗
−i = k∗
1 + · · · + k∗
i−1 + k∗
i−1 + · · · + k∗
n
dostaneme tak soustavu n rovnic:
h(ki + k∗
−i ) + ki h (ki + k∗
−i ) − c = 0
ki nahradíme k∗
i , rovnice sečteme a vydělíme n:
h(K∗
) +
K∗
n
h (K∗
) − c = 0
vyřešením dostaneme K∗ = k∗
1 + · · · + k∗
n , tzn. celkový počet
koz v rovnovážné situaci
Tragédie obecní pastviny
Pastevectví koz - společenská rovnováha
pokud budeme hledat společensky optimální počet koz K∗∗
(maximalizujeme celkový užitek)
max
K
[Kh(K) − cK]
dostaneme rovnici
h(K∗∗
) + K∗∗
h (K∗∗
) − c = 0
Tragédie obecní pastviny
Pastevectví koz - porovnání rovnováh
z předpokladů h (K) < 0 a h (K) < 0 a porovnání rovnic
h(K∗
) +
K∗
n
h (K∗
) − c = 0
h(K∗∗
) + K∗∗
h (K∗∗
) − c = 0
vyplývá, že
K∗
> K∗∗
,
tedy pokud budou na společné pastvině kozy chovány
soukromými farmáři, pak bude pozemek využit nad
společenské optimum. To je způsobeno tím, že každý sedlák
bude zvyšovat počet koz tak dlouho, dokud přírůstek hodnoty
jeho stáda zvýšením počtu koz o jednu se přesně vyrovná se
ztrátou, která je způsobena snížením produkce všech jeho koz
naopak u společenského optima je přírůstek produkce
poměřován snížením produkce všech koz
Literatura
1 STANĚK, Rostislav. Základy teorie her. ESF MU, 2013.
2 BIL, Jaroslav. Modely trhu v teorii her [online]. 2008 [cit.
2015-03-30]. Bakalářská práce. Masarykova univerzita,
Přírodovědecká fakulta. Vedoucí práce Martin Kolář.
Dostupné z: http://is.muni.cz/th/175203/prif_b.
3 výukový materiál od doc. Koláře (zájemcům pošlu na mail)