62
Integrály v pravděpodobnosti
63
Spočítejte na kalkulačce *(3). Polynom pro výpočet P (x) uspořádejte takto (Homérovo schéma):
((fax + cs)x + Oi)x + ci)x + l a postupujte zevnitř ven - začnete      a jedničku přičtete až v poslední operaci.
4.6.22. Ukažte, že má-li náhodná veličina X s normálním rozdělením střední hodnotu )i a rozptyl <72, potom náhodná veličina Y = aX + /? s libovolnými konstantami a a /3 > 0, má normální rozdělení se střední hodnotu afi + j3 a rozptylem aV2. Srovnejte se cvičením 4.6.6.
4.8.23. Ze vztahů nahoře uvedených vidíme, že pro každé kladné číslo a platí
Derivujeme podle a obě strany rovnosti, násobíme tr3 a máme
-j= I    x2e~^áx = a\
(*)
Dosadíme a = 1 a dostaneme výsledek, k němuž jsme ve 4.6.18. museli použít integraci per partes. Odvoďte vztahy pro momenty náhodné veličiny s hustotou /0,„ - normálního rozdělení s nulovou střední hodnotu    tj. spočítejte integrály
aV2ir y_oo
Řešení.   4.6.19. a) Integrand v definici funkce $ je funkce sudá. Proto integrál přes (-oo,0) je roven interálu přes (0,oo), a každý z nich se proto musí rovnat §. b) Vztah bude dokázán, jakmile se zjistí, že $(x) + = 1. V integrálu, který dává $(-x), použijeme substituce { = -y, kterou se
integrál přes interval (-00, -x) převede na integrál přes (x, co). Proto můžeme psát
•d£-
1
s/2w
-dí =
i r
7^ J-c
-dí = i.
Tím jsme vztah dokázali, d) ■
4.6.20. a) P(a < X < b) = P(X < b) - P(X < o); což je rozdíl distibuční funkce v hodnotách b a a.
4.6.21. Přibližná hodnota po zaokrouhlení na pět desetinných míst je 0.99842. Přesná hodnota zaokrouhlená na pět desetinných míst je 0.99865. Rozdíl je 0.00023, což je ve shodě se shora uvedeným odhadem přesnosti aproximace.
4.6.22. Tvrzení vyplývá z této série rovností:
a
P(Y < x) = P(aX + /3 < x) = P(X < ■
a
= #
-(a// + /3)N
4.6.23. Pro k liché integrujeme lichou funkci, proto dostaneme mk = 0. Pro sudé kladné indexy, vyjádřené ve tvaru 2ife, k kladné, se výsledek dostaneme tak, že vztah (*) postupně derivujeme podle a a násobíme o3. Pro k > 1 zjistíme, že
i  q tni,    i' -2k — ~2h
m2k = 1 - 3 • ... ■ (2i - 1)0-   - 2»X.i17 •
Výraz za posledním rovnítkem má smysl i pro k = 0 a k = 1. Dává mu - 1 a m2 = n2.
FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH
5.1. Funkce dvou proměnných; základní pojmy
5.1.1. Příklad. Definiční obor funkce dvou proměnných je podmnožina E2. Pro funkci
/(*.!/) = ■
\Jy2 -x+1
je definiční obor roven množině
D(f) = {(x,y) € E2 | y2 + 1 > x} .
Jestliže chceme množinu D(f) graficky zachytit, kreslíme obrazec v rovině. Část patřící do D(f) šrafujeme. Pokud části omezující křivky, které tvoří hranici obrazce, patří (resp. nepatří) do definičního oboru, kreslíme tyto části plnou (resp. přerušovanou) čarou.
5.1.2. Najděte a načrtněte definiční obor a zjistěte, zda funkce je na D(f) omezená shora a zdola:
a) d)
f(x,y) = ln(y + x2-l), b)
T+T
f(x, y) = \/4-x2-y, c)
/x-2 g)   f[x,y) = ln(30~4x2-
e)      f (v, V) =
■ + 1 x-2 '
f)
f{x,y) = f{x,y) =
1
x2 4- xy + y2 ' 1
s/y + 2x2 + Sx
f(*,y) = y/(x + l)3 ^~y~ + -L ,
Vy
2),   h)      f(x,y) = y/y--(x+iy,   i)       /(x,y) = \/7^+v/y', k)    /(*,») =■ \fx t vA4 - x2 - !/~.
j)
Řešení.
5.1.2. a) funkce není omezená na D(f) = {(x,y) e É2 | y > 1 - x2} ,
b) funkce je omezená zdola a není omezená shora na D(f) = {(x,y) Ě E2 | y < 4 - x2} ,
c) funkce je omezená zdola a není omezená shora na £>(/) = {(z, y) 6 £2 | (z, y)    (0,0)} ,
d) funkce je omezená zdola a není omezená shora na £>(/) = {(x,y) € E2 \ x>2 A y > -1} ,
e) funkce je omezená zdola a není omezená shora na definičním oboru (jehož zápis je poněkud nepřehledný) X>(/).-{ (x, y) € É1 j x>2 A y > -1} u {(x-,-y-)-e E?\ -z < 2-A y <-1} ,
f) funkce je omezená zdola a není omezená shora na D(f) = {(x, y) e E2 | y > 8 - 2(x + 2)2} ,
g) funkce je omezená shora a není omezená zdola na £>(/) = { (x, </) g B2 |      + ^ < l} _
h) funkce je omezená zdola a není omezená shora na £>(/) = { (x, y) 6 B2 | y > (x + l)3 } ,
i) funkce je omezená zdola a není omezená shora na D(f) = {(x, y) € E2 |  - 2 < x < 2 A 0 < y} , j) funkce je omezená zdola a není omezená shora
n&D(f) = {(x,y) e E* | x > -1 A 0<y<(x + l)3} ,
k) funkce je omezená zdola a je taky omezená shora na D(f) = {(x,y) 6 E2 \ x2 + y2 < 4 A x > 0} .
64
Funkce dvou proměnných; základni pojmv
d) f(x,y) = l-x-y, 1)   /(.*,</) = y2-*2?
5.1.3. Na přímce pi: — i, x2 — i a na přímce p2- %i = ř, #2 = ~t sledujte pro í z prstencového okolí bodu nula hodnoty funkce 2x1X2
a ukažte, že limita funkce g v bodě (0,0) neexistuje.
5.1.4. Pomocí polárních souřadnic x\ — r cos A, X2 = r sin A sledujte pro r z pravého okolí nuly hodnoty funkce 4x2 2
h{x1,x2)=   a 2
a ukažtej že limita funkce   v bodě (0,0) se rovná nule.
5.1.5. Jak vypadají plochy, které jsou grafy funkcí
a) f(x,y)=2, b) f{x,y) = l~x,        c) f(xty) = 2-yt
e) /(x,7,) = x2, f)  /(a:ty)-l-x2,       g) /(x,!/) = ya - 1,
I)  f(x,y) = x2 + y\     j)  f{xty) =-a?-9fřt k) f(x,y) = x2-y2
5.1.6. Pro funkci / s definičním oborem D(f) — 2?2 definujeme funkcí
p(ť) = /(rr0 + oř, yo + bt),
kde (xo,?/o) je libovolný bod roviny a (-a,6) je libovolný vektor délky jedna, tj, a2-\-b2 — 1. Co představuje funkce p ?
5.1.7. Ukažte, že plochy představované grafy následujících funkcí jsou rotačně symetrické vzhledem k ose z; najděte řezy ploch rovinami, které obsahují osu z\ jak vypadají množiny
pro různé hodnoty c, když
a)    /(z. y) = x2 + y2 - 4,
O, y)-^x2 - y2
b)      /(*,!/)= Ví2+ 2/2-2,    c)      /(x,ir) = ln(5-a:2-y2)?
Parciální derivace jednoduchých funkcí a jejich užití
65
fteše
šení. 5.1.3. Pro í ŕ 0 platí s(í, í) = la g(t, -i) = -1, proto limita v bodě (0,0) neexistuje. 5.1.4. Pro r > 0 platí h(r cos A, r sin A) = r2 sin2 2A . Proto |/i(rcosA,rsmA)| < r2. Odtud vyplývá, že limita funkce ň v bodě (0,0) je rovna nule. 5.1.5. k) Plocha je na obrázku. 5.1.6. Graf funkce p je' fez plochy z = f(x,y) rovinou, která prochází bodem (x0,yo,f(x0,yo)) a jejíž normála je (b,-a,0). Tato rovina je rovnoběžná s osou z.
5.2. Parciální derivace jednoduchých funkcí a jejich užití
5.2.1. Rozhodněte, zda daná funkce je na svém definičním oboru omezena zdola (resp. shora); spočítejte všechny první a druhé parciální derivace a určete otevřenou množinu O, na které jsou derivace'spočítány-potom dosaďte do diferenciálního výrazu: '
a)
b) «0
}{x, y) = -1 + x - 2y - Jčy , fxxfvy - /2 f(x,y) = ]n(x2 + y2) , /„ + /„ , f(x, y) = v'ísin- . xfx + yfy.
5.2.2. Rozhodněte, zda daná funkce je na E2 omezena zdola (resp. shora); spočítejte všechny první a druhé parciální derivace a potom najděte lokální extrémy:
a) f(x,y) = x3-y2-2xy~x, b) f(x,y) = x2 - 2xy2 + 6y2 + 2x ,
c) J{x,y)=xy(G-x-V), d) f{x,y) = 2x3-xy* + 5x2 + y3,
f(x, y) = x3 - 2y3 - Sx + 6y - 3,
f)
f(x, y) -xye
-V
5.2.3. Spočítejte všechny první a druhé parciální derivace dané funkce a určete otevřenou množinu O, na které jsou derivace spočítány; potom najděte všechny lokální extrémy dané funkce na množině O a pokuste se ukázat, že jsou vlastně globálními (absolutními) extrémy:
a) f(x,y) = 2x2 + 8x + y2-2y, b) f(x,y) = 3x2 - 2xy/y + y - Sx + 8,
c) f(x, y) = y-Jx - y2 - x + 6y, d) f(x, y) = 2xyjy - 2x2 + 2x - y.
5.2.4. Ujasněte si tvar křivky z = x4 — 2a:2 = (x% — l)2 — 1. Potom si představte plochu z = x4 — 2x2 +y2 a popište z názoru všechny její stacionární body. Závěry ověřte výpočtem.
5.2.5. Diferenciál funkce / proměnných x, y v bodě P = (xu>í/o)> v němž má funkce / spojité obě parciální derivace prvního řádu, je dán výrazem
d/= |^(x0,Sřo)dx + ~(x0,y0)dy. Jestliže chceme taká zachytit bod P a přírůstky hx, hy proměnných x, y, píšeme
df{P)(h*,lh) = 7^(xo,yo}K + ^{xo,Vo)hv ■
Diferenciál vyjadřuje lineární (v přírůstcích ft^, hy proměnných x, y) přiblížení toho, jak se změní hodnota funkce, když z bodu (xo,l/o) postoupíme do „blízkého" bodu (xo + hx,yQ + tiy). Přesně řečeno, označíme-li
R(xa,ya){hx,hy) = f(xo + hx,ya + hy) - í(x0,y0) - {^{xa,y(,)hx + |^(a:0jyo)ftB) , Piatí lim       \R(^,yo)(h„hs)\ =fí
(ft.,*,)->(o,o)
66
Parciální derivace jednoduchých funkci a jejich užiti
Najděte diferenciál funkce / v daném bodě pro
a)      /(x,y) = 2x + 3y   a obecný bod, b)      /(ar,y) = \(x' + y'1)   a obecný bod,
..... 1
c)      í(x,y) = xy , (x0,yo) = (~1>2).
d)      f{x,y) =
x2 - 2y2
(x0,y„) = (2,-l).
5.2.6. Najděte normálový vektor nľ, který svírá s kladným směrem osy z ostrý úhel, a obecnou rovnici tečné roviny v bodě P = (x0,yo,zo) plochy z = f{x,y) pro
b)      /(x,y) = x2 + y' , (x0,yo) = (0,0), d)      /(x,y) =xy + 2x-y , (x0,yo) = (1,-2) •
a)      /(x,y)=xy2, (ío,!/o) = (-2,l), c)      f(x,y) = xď2" , (xo.yo) = (-1,0),
5.2.7. Pro funkci /, která má n nezávisle proměnných a která má v bodě (xj,..., xn) všechy parciální derivace prvního řádu, je gradient Vf v bodě P = (xi,..., x„) definován výrazem
' dxn
(xu.
V/(x1,...,x„) = (^(x1,...,x, Spočítejte gradient pro
a)      /(i,j)=iV-J + l,í = (U), b) /(*,y) = e °    , P = (2,-l),
c)      /(!,»)= i(i?+a:| + il) aobecný bod P, d) f(x.,y) = cos((7r-x)(y+l)) , P = (|ir,0).
5.2.8. Najděte derivaci funkce f(x,y) = 5x2y-Ax - 2y v bodě P = (1,1) ve směru s, který jde z bodu P do bodu Q = (4,5).
5.2.9. Najděte derivaci funkce f(x,y) = x2y v obecném bodě P = (x,y) kružnice se středem v počátku O = (0,0), ve směru s, který je ke kružnici tečný a je v souhlase s kladným směrem oběhu kružnice.
5.2.10. Najděte derivaci funkce f{xuxi,x3) = \{x\ + x\ + xj)
a) v obecném bodě P = (xi,x2,x3) ve směru s, který jde z bodu P do počátku O = (0,0,0), P ?í O,
b) v obecném bodě P = (xi,x2,X3) ve směru s, tečném ke sféře, která má střed v počátku O = (0,0,0) a prochází bodem P.
5.2.11. Najděte minimum a maximum funkce / na kompaktní množině M, když
a) f(x,y) = 2x2 + y2 - 4x - 4y, M = {(x,y) |0<x<2,0<y<3},
b) f(x,y) = 3x2 - 6xy + 9y2 - 6x - 6y, M = {(x,y) |0<x<3,0<y<4}, «0      /(x,y) = x2(y2 + 1) - 2xy - 2x, M = {{x,y) |0<x<2,0<y<2}.
5.2.12. Najděte minimum a maximum funkce / na kompaktní množině M, když
a) /(x,y) = x2 + Ý - xy + x + y - 1 a M je vymezena x + y + 3 = 0,x = 0,y = 0,
b) /(x, y) = (2x + l)y a M je vymezena y = x2 -- 4 , y = 0,
c) /(x, y) = 2xy + 3x - 12y a M je vymezena x = y2, x - 4.
Řešení.
5.2.1. a) O = {(x,y) € -E2 | 0<xA0<y}U {(x,y) 6 E2 \ x < 0 A y < 0}, funkce není Sx1*'1" 2^;' 9y
,_ x   a2/     _ y
2Vxy' dx2(X'V) 4(xy)l
a2/
SxSy
(x,y) =
-i  a2/. ,
7-7=, -7Tô{x,y) -i^/xy oy2
4(xy)
;, hxfyy ~ /J„ = 0 na O,
PARCIÁLNI DERIVACE JEDNODUCHÝCH FUNKCÍ A JEJICH UŽITÍ
67
b) O = £>(/) = {{x,y) 6 JS2 I (x,y) ^ (0,0)}, funkce není omezená zdola, ani shora,
2y   a2/^ ^ _ 2(y2 - x2) a3/
x2 + y2' 5x2
ax1 x2 + y2' 3yl
t2 4- ,fl ' n-ri (*' ^ - (a2 + 2,2)2 > 9:cáy(:C' ^ :
(x2 + y2)2'
92 y 2(x2 - ji2)
W{X'V) = (x2+y2)2' f" + fs" = ° "a °>
c) O = D(f) = {(x,y) 6 £2 | 0 < x}, funkce není omezená zdola, ani shora,
|(x,y) =   '  sin l - Acos », |í(x,y) = j, cos^, f|(x,y) = ^cos »- ^! sin »,
Ôx9y
5.2.2. a) O - £>(/) = £2 , funkce není omezená zdola, ani shora, fx(x,y) = 3x2 - 2y - 1, /»(x,y) = -2(x + y), fxx(x,y) = 6x, fxy(x,y) = -2, f„y(x,y) = -2, stacionární body jsou -4 = (-1,1) - lokální maximum a B = (|, -|) - sedlo,
b) O = D(f) = E2 , funkce není omezená zdola, ani shora, fx(x,y) = 2(x + 1 - y2),
íy{x, y) = -4y(x - 3), fxx(x, y) = 2, fxy(x, y) = -4y, f,JV(x, y) = -4x + 12, stacionární body jsou A = (-1,0) - lokální minimum, B = (3,2) - sedlo a C = (3,-2) - sedlo,
c) O = £>(/) = jS2 , funkce není omezená zdola, ani shora, fx(x,y) = y(6 - 2x - y),
/»(x, y) = x(6 - x - 2y), /I3,(x, y) = -2y, /„„(x, y) = 2(3 - x - y), /„„(x, y) = -2x, stacionární body jsou A = (2,2) - lokální maximum a B = (0,0) - sedlo, C = (6,0) - sedlo, D = (0,6) - sedlo,
d) O = D(f) = E2 , funkce není omezená zdola, ani shora, fx(x,y) = 6x2 - y2 + lOx,
fy(x,y) = -2y(x - 1), /„(x,y) = 2(6x + 5), fsy(x,y) = -2y, /„„(x,y) = -2(x - 1), stacionárni body jsou A = (0,0) - lokálni minimum, B = (1,4) - sedlo, C = (1, -4) - sedlo, D = (—1,0) - sedlo,
e) O = £)(/) = B2 , funkce není omezená zdola, ani shora, fx(x,y) = 3(x2 - 1), fv(x,y) = -6(y2 - 1), fxx{x,y) = 6x, fxv(x,y) = 0, fvs(x,y) = -12y, stacionárni body jsou A = (1,-1) - lokálni minimum, B = (-1,1) - lokálni maximum, C = (1,1) - sedlo a D = (-1, -1) - sedlo,
v2
í) O = D(f) = E2 , funkce není omezená zdola, ani shora, fx(x,y) = (x + tfye"'^, fv(x,y) = -x(y2 - l)e    3 ,/«(x,y) =(x + 2)yeI  s , /Iä,(x,y) = -(x + l)(y2 - 1) e* 2,
x— ^
/j/!/(x, y) = xy(y2 - 3) e    2 , stacionární body jsou .1 = (-1,1)- lokální minimum, B = (-1, -1) - lokálni maximum a C = (0,0) - sedlo.
5.2.3. a) O = £>(/) = S2 , funkce není omezená shora, fx(x:y) = 4(x + 2), fv(x,y) = 2(y - 1), f*t{x,y) = 4, fxy{x,y) = 0, fyv(x,y) = 2, stacionárním bodem je A = (-2,1) - globální (absolutní)
b) O = {(x,y) € £2 I 0 < y} , funkce není omezená shora, /,(x,y) = 2(3x -Vy"-4),
-1 x
-p, íyy{x,y) = —j , stacionárním bodem je Vy 2ya
/»(i,íř) = v/^3:, fxx(x,y) = 6, /^(x,:
^ = (2,4) - globálm (absolutní) minimum,
c) O = {(x.y) e £2 j 0 < x} , funkce není omezená zdola, }x(x,y) =
y-2v/i 2-\/x '
/j,(x,y) = v^-2y + 6,
fxx(x,y) = j-j, fxy(x,y) = fy9(x,y) = -2, stacionármm bodem je a = (4,4) - globální (absolutní) maximum,
d) O = {(x,y) € £2 | 0 < y} , funkce není omezená zdola, fx(x,y) = 2(^/y - 2x + 1),
/y(x,y) = — - 1, fxx(x,y) = -4, /iS(x,y) =       fyy(x,y) -        stacionárním bodem je
V' </!/ 2ya
.4 = (1,1) - globální (absolutní) maximum.
68
Parciální derivace složených funkcí
5.2.4. Dvě globální minima v bodech A = (-1,0) ai = (1,0), sedlo v bodě C = (0,0).
5.2.5. a) d/ = 2dx + 3dy, b) d/ = xdx + ydy, c) d/ = 2dl - dy, d) d/ = -dx - dy.
5.2.6. a) P = (-2,1, -2), nP = (-1,4,1), x - 4y - z + 4 = 0, b) P = (0,0,0), ÄP = (0,0,1), z = 0, c) P = (-1,0, -1), ňP = (-1,1,1), x - y - z = 0, d) P = (1,-2,2), Äp = (0,0,1), z = 0.
5.2.7. a) V/(P) = (3,1), b) V/(P) = (-1,2), c) V/(xi,x2,x3) = (xi,x2,x3), d) V/(P) = (1,-|»)
df d/,    , x{x2-2y2)
5.2.8. 2I(P = 6. 5.2.9. ~(x,y) = - g ■ dsv                  ds ^/x2+y2
5.2.10. a) ^(xi,x2,x3) = -^x\+x2+x\, b) ^(x1,x2,x3) = 0.
5.2.11. a)   min    /(x,y) = /(l, 2) = -6    max   /(x, v) = /(0,0) = /(2,0) = 0 ,
b) min    /(x,y) = /(2,l) = -9,   max/(x,y) =/(0,4) = 120,
c) min    /(x,y) = /(1,1) = -2, , max   /(x,y) =/(2,2) = 8.
5.2.12. a)   min    /(x,y) =/(-l,-1) =-2 ,  max    f(x,y) = /(—3,0) = /(0, —3) = 5, b),min, /(i,ff) = /(l,-3) = -9,(magií /(x,y) = /(-§,-f) = f> ,
c)   min    /(x,y) = /(l,l) = -7,  max   /(x,y) = /(4,-2) = 20.
5.3. Parciální derivace složených funkcí
5.3.1. Spočítejte všechny první a druhé parciální derivace dané funkce a určete otevřenou množinu O, na které jsou derivace spočítány; zjistěte, zda na množině O jsou funkce omezeny zdola (resp. shora):
a)      /(x,y) = ln(5-x2-s/2
d) f(x,y)~e g)     f(z,y) = ln
b) e)
g(x,y) = e" ,
s.
f(x,y) = xy3e"
j)      /(x,y) = arctg
m)     /(«,!/) = V /(z, 2/) =
(x - i)2y ^ x - y
h)      /(x,y)=ln(^ + l),
c)       }{x,y) = ln(x2-2x-y), p1 —
i)       /(x, y) = arctg ^,
P)
1 + X)/ ' x ln y,
1
k)
f (x, v) =
\/x2 + 2xy + 3y2 '
1
t/x'j + y
1
7l -~e2^''
q) /(x, y)
1)     f(x,y) =
i
o)
1
Vx + y2
5.3.2. Funkce g jedné proměnné má derivaci ve všech bodech intervalu (-oo, oo), A je libovolná konstanta. Ukažte, že funkce u(x,ť) = Ae~stg(3t- 2x) vyhovuje rovnici
2—(x,í) + 3^(x,í) = -10u(x,í) ve vSech bodech   (x,í) £ J52. dt ax
Parciální derivace složených funkcí
69
5.3.3. Funkce g jedné proměnné má dvě derivace ve všech bodech intervalu (-00,00), A,B,a jsou libovolné konstanty. Ukažte, že funkce u(x, t) — Ag(x - at) + B g(x + at) vyhovuje rovnici
82u cřu
■^j-(x,í)-a2—(x,í) = 0 ve všech bodech (x,í)e£2.
5.3.4. Funkce / dvou proměnných n, x2 má v otevřené množině G C E2 derivace druhého řádu a každá z dvojice funkcí yi, y2 jedné proměnné i má dvě derivace na otevřeném intervalu /. Přitom pro každý bod t e I je (yi(ŕ),y2.(*)) e G. Vyjádřete první a druhou derivaci funkce h(t) = /(yi(*),y2(*)) podle i; při zápisu výsledků nevypisujte argument ŕ a vnitřní funkce derivací funkce /. Použijte také indexů pro označení derivací, neboť takový zápis je jednodušší.
5.3.5. Funkce g závisí na dvou proměnných (u,v) e E2 a má parciální derivace druhého řádu ve všech bodech. Na místa proměnných (u, ti) dosadíme funkce, které jsou pojmenovány ve shodě s proměnnými, na jejichž místa budou dosazeny. Tyto funkce jsou « = 3x + 2ya« = x- y.
a) Napište výrazy, kterými jsou dány první dvě derivace funkce z(x, y) = p(3x + 2y,x - y).
b) Spočítejte hodnoty prvních a druhých derivací funkce z v bodě P - (2, -1), když znáte tyto hodnoty derivací funkce g v bodě Q — (4,3):
BuíQ) = 3, S„(Q) = -2, guu{Q) = 1, gm{Q) = -2, gm(Q) = 3.
5.3.6. Funkce g má stejné vlastnosti jako v předcházející úloze. Na místa argumentů («, v) jsou dosazovány funkce u = 3r-j/at) = 22.
a) Napište výrazy, kterými jsou dány první dvě derivace funkce z(x, y) = y(3x - y, x2).
b) Spočítejte hodnoty prvních a druhých derivací funkce z v bodě P = (3,5), když znáte tyto hodnoty derivací funkce g v bodě Q = (4,9):
flu(O) = -1, SÁQ) = 1, 9uÁQ) = 1, S«»W) = -1, S».(Q) = 3.
5.3.7. Napište diferenciál funkce f(x,y) = <p(2x2y) v bodě (x0,yo) = (-1,2), když víte, že 45'(4) = -|.
5.3.8. Spočítejte tyto derivace vyšších řádů
dxdydz
Ö4    a: - 2y
b) d)
dxmdyn d3
x y   pro přirozená m, n,
sin(xy ).
'       dx2dxf x + y ' dxdy2
5.3.9. Funkce g má dvě derivace na (—00,00). Spočítejte všechny první a druhé parciální derivace funkce /(x,y) = Dokažte, že platí x2 fxx + 2xy fxy +y2 fyy = 0 ve všech bodech (x,y), y ^ 0.
5.3.10. Funkce g proměnných ti, v má dvě derivace na E2. Spočítejte všechny první a druhé parciální derivace funkce dané předpisem /(x, y) = g(x + y,x2 + y2).
5.3.11. Funkce / má v bodě (x0,yo) derivace všech řádů.
a) Pro dvě reálné hodnoty hx, hs definujeme funkci g jedné reálné proměnné i vztahem
g(i) = /(xo + hxt,yo + hyi). Spočítejte derivace všech řádů funkce g v bodě ř = 0.
b) Známe všechny hodnoty všech derivací funkce g v bodě t = 0, proto formální Taylorova řada dává toto vyjádření: g(l) = £^L0 ''ffi . Poněvadž ale 3(1) = f(x0 + hx,y0 + hy), můžeme pro obecný bod (x, y) z „malého" okolí bodu (xo.yo) získat aproximaci hodnoty /(x,y) tak, že vezmeme hx = x — x0 a hy = y — y0. Potom je g(l) = /(x, y), a zmíněná řada vlastně odpovídá hodnotě /(x, y). Proveďte pro funkci P(x, y) = 2x2 + 3y2 + xy a bod (x0, yo) = (1, -1). Přečtěte ■i odvozeného vyjádření rovnici tečné roviny plochy z = P(x,y) v bodě (1,-1,4).
70
Parciální derivace složených funkcí
Parciální derivace složených funkcí
71
ítešem=
5 3 1 a) O = D(f) = {(x,y) € E2 | x2 + y2 < 5} , funkce je omezená shora hodnotou /(O,0) = In5, df,\        -Z*      df.    , '■!//      d2f      -    -2(5 + 22-y2) ----^ = 5-x2-y2' fe?^ _ 75-x2-y2)2 '
zdola není omezená, ^(z.y) - 5 _ 3,2 _ yi' gy
^^=(5-x2-y2r Š^'^  (6-*■-»»)»'
b) O = £>(y) = {(2,2/) £ B2 j y    0} . funkce je omezená zdola nulou, shora není omezená, dg, \   ,    [dg,    ,    -2* S2S,    ,     1.,.. .,   S2S        _ -2(x + y2)
(x,y) = ■
a(x,y),
aj-(»,») = ?í(*,»), 5^.») =
a2fi, , 2x(2x + 3{/2) , . ^§(2,y) = -^-„(*,„),
c) O = D(f) = {(x,y) £ E2 I y < (2 - l)2 - 1} , funkce není omezená zdola, ani shora, Qt 2(^-1)     9/ -1        S2/, -2(a;2 - 2x + y + 2)
Qi(x'V) = 22 - 22 - y' &i(X'V) =     - 2x - y' dx2 [X'V) ~     (x2~2x-yf ' S'f .    ,        2(2-1)      ff2f,    . ^1
dxTy{x'y) - (x* -2x-„r' df    ~ {*> -2x-yy
d) O = D(f) = {{x,y) e E2 j x 4- 0} , funkce je omezená zdola hodnotou nula, shora není omezená,
dx
02/
ty
(2x + y2 + l)(y2 + l)
f[x,y),
(x,y) =
-2y(x + y'2 + 1)
a2/.
2(2 + 2y2)
f(x,y),
dxdyy"'°' x3 " dy2
e) O = D(y) = ě £J I y jí 0} , funkce není omezená zdola, ani shora,
dí-(x,y) = y2(2 + y)e", ~(x,y) = xy(-x + 3y)e", i4{^v) = 3/(* + 2y)e",
<922^
2(22 - ixy + 6y2) v
dx
S2 f ~  ô2 f
ô/.     , 2eI+!'
f) O = £>(/) = B2 , funkce je omezená zdola hodnotou -la shora hodnotou 1, 7^(2, y) = ^ + e^3 gf _2ex+»    ffif      ^     ~2eI+"(eI - e»)   S2/ . 2eI+"(ea; - e»)
= (e» + e»)2' ä^(X,!/) "     (e» + e»)3    ' axôy1^ ~    (e- '
52j _ -2ex+"(eI - e»)
V (e* + e!03 '
g) O = £>(/) = {(2,1/) €£2 I i>0 A i/l A !/>0}u\{x,y) e£! | i<0 A j<0) , funkce df, í+iä/,,,lUl ,     -22-22 + l
"y' dx'{
2(2 — 1)'
22(X-1)2
dx
a2/ a2/ -1
h) O = D{f) = {(x,y) e E2 j 2/ > 0} U {(2,y) e E2 j y < -22} , funkce není omezená zdola, ani
df,   x    22   df,   ,     -22    a2/,   .   2(-22 + j/) a2/ -22
22 -i - í/ ' dy
y (x2 + y)' dx2
(x2 + y)2 ' dxdy
(x2 + y)2
dy2Í'y> y2(x2+y)2'
t) O = D(f) = {(2, y) € E2 I y 5í 0} , funkce je omezená zdola hodnotou — |t a shora hodnotou -tt,
df,    s        y      df/ \
22 + y2' 822
a2/,  , -22y
x, y) =
(x2 + y2)2' aiôy
{x, y)
x" - y
(22 + y2)2'
a2/
22y
(22+y2)2i
j) O — £>(/) = {(2, y) 6 lí2 j xy jí -1} , funkce je omezená zdola hodnotou —|tt a shora
hodnotou       ^(2,y) = ^(2 y) = _=L ^Zŕx v) = _Z?Í_    .flL(x v) _ n
2'a2k,í/;     1 + 22' äy(-"V>     l + v2' dx*['y>     (1 + x2)2'fíxŕ),,(X'V>-°'
_ 2y
VlI,í)= (i + y2)2'
k) O - £>(/) = {(2, y) S B2 I y > -23} , funkce je omezená zdola hodnotou nula, shora
d f — 3x2 d f
omezená není, -(x,y) = = -|^/3(2,y), JL(x,y) =
d2 f,    s     3x(5xs-4y))     , ,   . r a2 f
(*•») =       , .   ,í   = f^(5^3 - 4y)/5(2,y), fffej) =
-1
922
a2/
4(23 + y) i
4(xs + y) ä
2(xä + y) a
4(2d+y)a
1) O - D(f) = {(2, y) e B2 I  - y2 < 2} , funkce je omezená zdola hodnotou nula, shora
df,
není omezená, ^J-(x,y) — -—
a» 2(2 + y:
- f/6^,.), ÍÍ-(x,y) =
cP£     . _ 3 ôx2^ " 4(2 + y2) §
oy (2 +y2) 2
J(*,y),
3y
2(2 +y2) i
|y/5(a;,y),
m) O = {(2,y) €S2|0<2AKy}u {(x, y) e ŕ j K 0 A 0<9< 1} , funkce
je omezená zdola hodnotou nula, shora není omezená, tt(x, y) = —y'.-— = I ln y /~!(2 y)
82 2-^rlny 2
9/
(2, y) = -T__
V 2yvOTy 2y
ôxay ^' ^    4yvílny 4y
4(xlny)í
f-Hx.V), ^(x,y).
1 ,  d2/,.        -22(l + 21nž<) _ -22(l + 21ny) .
J   (x, y),
4y2(xlny)í 4y2 n) O = D(f) = {(2,y) 6 B2 | 2 > 0 A y < 0} U {(s,y) 6B2|x<0Ay>0}, funkce je omezena zdola hodnotou 0 a shora není omezená, ^-(x, y) = —--w = ye2xyf3(x, y),
df
{x, y) ■■
(1-
^ , *e-A„y), g(2,y) = S^lgp B y2(2 + ^, W(.,ř)>
a2/        _ ((2sy + 1) + (xy - l)e2x«)e2xv _ (x, y) —--
dxdy
d2f
(l-e2^)S
= ((2iy + 1) + (xy - l)e2:tvyyf(x,y),
(*<y) = *Tl-e2*Ijľ s ^(2 + e2-)e2-/5(,,y), o) O = {(«, y) 6 B2 | x2 < y} , funkce je omezená zdola hodnotou nula, shora není omezená,
a/^ _ -xcvg-"
ax y'y" — x2
a2/ ax2
\/y-x-
x      41      \ 9f',
f(x,y), yríx,:
(x,y) = (^yg-^-yJeV"-'3 = (xVF^-y)
ž-v/j/ - x2     2-/y - 22
f(x,y),
(y - 22)a
(y - 22)t
f(x,y),
i!L(2,y) = ^(i-Vy-^)ev^ = 2(1 - VžT^)
dxdy
2(y-x2)S
2(y-22)f
í(x,y),
v(x,s,)--i^)i— = l^yr^'^-
72
Parciální derivace složených funkcí
Regresní přímka
73
p) O = D(f) = {(x,y) e E' | (x,y) # (0,0)} , funkce je omezená zdola
-(* + y)
(s + !/)r(a;,Iř),
- 0/, x
hodnotou 0 a shora není omezena,     (x, y) = ——--7r~iTí
Ox (x2 + 2xy + 3y2)i
=       -(» + 3»)   f = -(x + 3y)f(x,y), 9yy (x2 + 2xy + 3y2)§
+ »'t-^l» + W/'l.,».
OX2 (x2 + 211/ + 3)/2) 3
(x2 + 2xy + 3y2) a %f{XiV) = + y     s 6y(2x + 3y)/*(x,y),
V (x2 + 2xy + 3jf2) a
q) O = £>(/) = {(x,y) € £2 | x2 < í/2 + 1} , funkce je omezená zdola hodnotou nula, shora není omezena, g^(x<V) :
d/i    df   ,    df   ,   ,,    ,    , , , ,
d2ň   e2/ř,,2 d2f   , .df ,.df „
(l-x2 + y2)i
-vf3(x,y),
3xyf(x,y),
h" =        (yl)2 + /«« tó)2 + 2/x,« S/1 l/í +     y[' + fX2 y'i -
5.3.5. a) zx = 3ff„ + g„, zy = 2gu - y„, z„ = 93,lu + 6g„„ + y„„, zxy = 6fl„„ - ff„„ - p„„,
b)   *.(/>)  = 7,  Zy(P)  = 8, = 0,  ZXy(P)   = 5,   Zyy(P)  = 15 .
5.3.6. a) zx = 3y„ + 2xgv, zv = -g„, 2„ = %,lu + 12xguv + 4x2g„„ + 2g„, z,,v = -3guu - 2xgu, zyv = gm ■ b) *,(P) = 3, zy(P) = 1, z„(P) = 83, *„(P) = 3, zvv(P) = 1.
d) 2(1 - 2x2y4) cos(xy2) - 10xy2 sin(xy2).
c, n t _ s' í _ -xa' t _9" f _ -W+vg') , _ <x9" + 2yg")
5.J.H.    - — , fy - -jj2-< J*" -       J*v -        y3        >Jyy- yi
5.3.10. fx = gu + 2xg„, fy = gu + 2yffv , !** = Sou + ixguv + ix2gvv + 2gv , fxt = 9uu + 2(x + y)gu„ + 4xygvv , /í9 = guu + iyg*v + iy2gw + 2p„ .
36(x - y) (x + y)5 '
5.3.11. a) Pro derivace platí
b) Pro hodnotu f (x,y) máme
„(»)
(0)
\^ (A d"f(xD,yo) k k '4" W 9xk9y"-'s       ' "
.*/ dxkdy«-
Pro každý polynom jde o přesné vyjádření; proto platí vztah
P(x, s) = 4 + 3(i - 1) - 5(;/ + 1) + 2(a: - l)2 + (x -       + 1) + 3(s/ + l)2 pro všechny body (x, y). Rovnice tečné roviny je z = 4 + 3(ai - 1) - 5(y + 1).
5.4. Regresní přímka
5.4.1. Je dáno n dvojic (zi,I/i),..., (a;„,ž/„) reálných čísel. Těmito dvojicemi jsou určeny dva vektory x = (x-i,..., xn) a y = (yx,..., j/„). Budeme předpokládat, že ani jeden z vektorů x a, y nemá všechny složky stejné. Hledáme takové konstanty a, b, že hodnota funkce
F(a,b) = 53(irt - as* -6)2
je minimální. Přímka j/ = az + b, v níž a, 6 jsou čísla, pro která funkce F nabývá minima, se nazývá regresní přímka. Rovnice pro stacionární body funkce F na F2 jsou
n n
^(yk-axt - li)xk = 0 , -ox*-6) = 0. (1)
k=l k=l
Označíme x (resp. 5) aritmetické průměry n-tic xi,...,x„ (resp. yi,..., yn); pro ně platí
n n
n-x = 2^Xt ' "ľ ^ ž- "* ■ t=i *=i
Druhý vztah v (1) je ekvivalentní se vztahem J^k=i y* - a E*=i xk-nb = 0, který užitím aritmetických průměrů přejde do tvaru
b = y-ax. (2) Jestliže druhý vztah v (1) násobíme x, dostáváme
^(yt -~axk -b)x = 0.
Když poslední vztah odečteme od prvního vztahu v (1), získáme
][](.</* - axk - b){xk-x) = 0.
k=l
Jestliže sem ze vztahu (2) dosadíme za fe, dostaneme ihned
n
Yll'-v* - y)- a(xk - s)) (x* - s) = o,
i=I
odkud pro hodnotu a dostaneme konečně relaci
n n
a^(xt-x)2 = ^(yí,-y)(xji-x). (3)
Zavedeme ještě dva vektory
X = (xi - x,..., xn - x) , ? = (j/i - y,..., yn - y) , s jejichž pomocí lze vztah pro a zapsat ve tvaru
a\X\2 = X-Ý, .......--------------.......-----------í4-)--
kde \X\ označuje délku vektoru X v E" a X ■ Ý skalární součin vektorů X, Ý v E". Abychom odtud mohli vypočítat a, je třeba zajistit, aby \X\ ^ 0. To je ekvivalentní s tím, že X ^ Ó*, a tento předpoklad je splněn vzhledem k tomu, že předpokládáme, že v posloupnosti xi,...,xn nejsou všechna čísla stejná. Ze stejného důvodu je také Y / 0, a proto můžeme definovat číslo
- X'Y = TXV~ \X\\Ý\~
.       - y)2
74
Regresní přímka
které nazveme korelačním koeficientem zadané posloupnosti dvojic (xi,yi), {Xn,Vn) ■ Poněvadž pro skalární součin dvou nenulových vektorů X, Ý platí X - Ý = \X\ \Ý\ ccsy), kde f je úhel, který v E" svírají vektory X a Ý, vidíme, že rxy = cos ip. Proto \rxy\ < 1. Koeficient a se najde ze vztahu (4), který lze přepsat pomocí korelačního koeficientu do podoby
1*1
(5)
Koeficient b se potom určí ze vztahu (2). Spočítejte rxy, a, b a rovnici regresní přímky pro dvojice bodů a)    (7,6), (3,2), (6,8), (4,0),     b)   (3,4), (4,1), (6,-5), (7,-8), c)    (3,5), (1,2), (7,1), (9,4). 5.4.2. Ukažte, že pro a platí
n
_  ^     Y] Zita/* -nxy _X-Y _ tí
5.4.3. Sledujte postup části 5.4.1 a pro dvojice (si,síi),..., (xn,y„) odvoďte vztahy pro ty veličiny ô a 6, pro které nabývá funkce
n
F(ä,b) = TJ(** - ôi/i - 6)
svého minima. Vzdálenost bodu (x*,y*) od přímky s = % + š, je tedy měřena „ve směru" osy x - na rozdíl od funkce F, v níž vystupuje vzdálenost bodu (xk,yk) od přímky y = ax + b měřená ve směru osy y. Potvrďte, že obě přímky procházejí bodem (x,y). Potvrďte, že pro rxy = ±1 jsou přímky totožné.
5.4.4. Při určení regresní přímky jsme vzali stacionární bod (dvojici (a, b) splňující vztahy (1)) a nestarali jsme se, zda se jedná opravdu o bod, v němž funkce F nabývá svého minima. Za předpokladu, že mezi čísly xi,...,xn jsou alespoň dvě různá, ke ukázat, že
lim mm{F(a,b)\r2 < a2 + 62} = co. (*)
Důkaz tohoto tvrzení je poněkud komplikovaný, a proto jej vynecháme.
a) S jeho pomoc! však vysvětlete, proč hodnoty a, b, které splňují (1), reprezentují bod, v němž funkce F nabývá svého ostrého globálního minima.
b) Dovedete si představit hladkou funkci dvou proměnných na É2, která má pouze jediný stacionární bod, který je bodem lokálního minima, přičemž funkce není omezena zdola?
5.4.5. Poznámka. Vektor X může být také definován vztahem X = x - x f, v němž 1 je vektor, jehož všechny složky se rovnají 1.
5.4.6. Funkce u (resp. v) je lineární v proměnné i (resp. y), tj. u = fcix + qi (resp. v = k2y + ?2)- Ke dvojicím (x],t/i),..., (xn,yn) přiřadíme pomocí zmíněných funkcí hodnoty u} = kiXj + qi (resp. vj = k2y} + q2). Odvoďte, jak souvisí korelační koeficient dvojic (ult t)i),..., (u«, t>„) s korelačním koeficientem
dvojic (ll, i/l),..., (Sni y*) ■
5.4.7. Napište systém rovnic analogický k (1) pro koeficienty kvadratické regresní křivky y = ax2+0x+j. Minimalizuje se funkce
G(a,/3,7) = - ax\ - 0xh - 7)2.
k=l
Jak vypadají soustavy rovnic pro koeficienty polynomiální regresní křivky stupně tři a vyššího?
Řešení. 5.4.1. a) rxy = 0.8, a = 1.6, b = -4, y = f x - 4, b) rxy = -1, a = -3, 6 = 13, y = -3x + 13, c) rxy = 0, a = 0, b = 3, y = 3. 5.4.3. Pro hodnoty ä, b máme vztahy ó|ř|2 — X - Ý . b — x - äy. 5.4.6. Pro střední hodnoty platí u = k{x + qi s,v = k2y + q2-
Proto, když píšeme u = (ult...,un), v = (vu .., ,v„), je U = u- uí = h (x - ží) = kx X a V' = v - F 1    k2 (y - y Ti - A-a V . Proto rxy = r„„ sign(*i) sign(*j). 5.4.7. Koeficienty a, jfl, 7 musí vyhovovat, soustavě lineárních rovnic
X>* - ax\ - 0xk - -y)x\ = 0 , yjíj,, - ax\ - 0xt - 7)xt = 0 , ^fe -
*=' *=1 4=1
3xk - 7) = 0 .
5.5. Dvojný integrál
5.5.1. příklad. Na „rozumné" omezené souvislé otevřené množině Cl (ohraničené konečným počtem úseček a jednoduchých oblouků) máme integrovat funkci /, která je spojitá na uzávěru množiny Cl. Ukážeme, co se rozumí hodnotou dvojného integrálu, pro který se používá označení
}{x,y) áxáy.
Množinu íž promítneme na osu x; dostaneme interval (a, b), jak je znázorněno na obrázku. Pro každé číslo x £ (a, b) označíme íl* množinu těch y, pro které je (x, y) 6 Cl. (To je kolmý průmět na osu y průniku množiny Cl a přímky rovnoběžné s osou y, která je vedena bodem x.) Na obrázku je množina Clx tvořena intervalem {d(x), h(x)). To je nejjednodušší případ, neboť tato množina může být složitější, než je interval. (Kdyby šlo o rovnoběžky s osou x, obrázek nám poskytuje příklad, v němž společná část takové rovnoběžky a množiny Cl může být tvořena dvěma intervaly.) Obrázek však předkládá velmi jednoduchý případ (a jinými se zabývat nebudeme), v němž pro každé x e (o, b) je množina Clx intervalem. Každému falcovému x přiřadíme hodnotu
J f(x,y)dy. Clx
Tím je definována funkce proměnné x na intervalu (a, b). Její integrací vzhledem k x dostaneme hodnotu dvojného integrálu. Platí tedy
J j f(x,y)dxdy = J ( j f(x,y)dyyx.
Ú ° nx
Při opačném pořadí proměnných je
J J f(x,y)dxdy = J ( J f(x, y) dx ) dy,
kde c a d jsou krajní body intervalu na ose y, který je kolmým průmětem množiny O na osu y. Hodnota integrálu je výsledkem limitního procesu, který popíšeme, abychom získali představu, čemu hodnota integrálu odpovídá. Vezmeme dvě kladná (malá) čísla Ax a A„. Soustava přímek x = jAx, j £ Z, (rovnoběžných s osou y) spolu se soustavou přímek y = kAy, k e Z, (rovnoběžných s osou x) rozdělí rovinu na obdélníky
Os,k    {(x,y) € E'2 I jAx <x<(j + 1)A„ A kAv<y<{k + 1)A„}
s obsahem AXA„. V každém obdélníku který je částí množiny íl, vybereme libovolný bod Phk se souřadnicemi (íj,k,Vj,!i) a vytvoříme číslo
I(Ax,Ay)=  Y. A,A, .
76
Dvojný integrál
77
Pokud je funkce / kladná na fi, toto číslo aproximuje objem télesa
{{x,y,z)EE3 | (i,j)EÍl a 0 < z < f{x,y)} ,
přičemž se objemu přiblížíme tím lépe, čím jsou čísla Aj. a A„ menší. Pro běžné oblasti se dá ukázat, že existuje číslo / takové, že
V£ 3Í : (A. < S) a (A„ <<$)=*■ \I{AX, Ay) - I\ < £ .
A toto číslo / je výše popsaný integrál.
Například pro oblast fi tvaru půlkruhu poloměru r, tj.
n= {(x,y) €E2 I x2 + y2 <r2 /\y>0}, a funkci f{x,y) = y postupně dostáváme:
// ydxdv = ßj^ydy)dx = lß
iy=G
dar :
Je však možné postupovat i takto:
Jf yáxdy = [(j^Lvte) dy = zfv^-rty = -í[^-y'Ý]r0 = V ■ fi
5.5.2. Pro G = {(x,y) | a < x < b, c < y < d} zapisujeme
7 = JJ f(x,y)dxäy = J [J f (x, y) dy)dx = J       /(x,!/)dx)dI/=
o
= /   /  /(x,y)dydx = I   I /(x,y)dxdy =
Ja  J c J c Ja
= ľdx ľ f(x,y)dy = í dy f f{x,y)dx.
Ja        J c Jc Ja
Pokud lze funkci / zapsat ve tvaru /(x,y) = fi{x)f2(y), pro integrál platí
/= / h(x)dx I h{y)áy.
J a Je
5.5.3. Najděte hodnoty integrálů a nakreslete oblasti, přes které se integruje:
h = f dx f  xy2dy = f   f  xy2dydx , h = f dx f  xydy= f   f xydydx.
Jo       Jx* Jo   Jz2 JO       Jx4 JO Jx*
5.5.4. Spočítejte JJ"(x - y f dx dy, kde G je obdélník {(x,y) | 0<x<o,0<jf<6} .
o
5.5.5. Spočítejte objem tělesa omezeného plochami
a)      x = 0, y = 0, 2x4- y = 2, z = 0, z = x, b) x = 0, y = 0, x + y = 1, z = 0, z = z2 + y2,
c)      y2 = x, x = 1, z = 0, z = x, d) y = (x + l)3, y = 0, x = 1, z = 0, z = x,
e)      x = 0, x + y2 = 4, x = 0, z = 1 + y2, í) y = x, y = x2 - 2x, z = 0, 2z = x,
g)      x = 0, y = 0, z = 0, 3x + 12y + 4z = 12, h) x = 4, y = 0, y = ,/x, z = 0, 2 = y,
i)       x = 4, j; = 0, y = y/x, z = 0, z = x, j) x = 3, y = 0, 3y = x, z = 0, z = xy.
ftešení.    5.5.3. Ij = i, I2 = A. 5.5.4. \ab(2a2 - 3aŕ> + 2b2). 5.5.5. a) §, b) i , c) f, d) f ,
LINEÁRNÍ ALGEBRA
6.1. Gaussova eliminace, vektory a matice
6.1.1. Gaussovou eliminací spočítejte řešení soustav lineárních rovnic, řešení zapište ve vektorovém tvaru a udělejte zkoušku:
a)	3xi	- 2x2	-	X3	=	1,	b)	2x -		y	+	z =   4, c)	% 4- 2y2 +   jo =	5,
	2x,	+ x2	+	2x3		o,			x +	y	-	z = -1,	2jři 4- 3ty2 +   S/3 =	1,
	4xi	- x2	—	2x3	=	6,		2x + 3y			-	z = 2,	2j/i +   j/2 4- 3j/3 =	U,
d)	3xi -	• 2x2	4-	2x3		3,	e)	2xi	+	4x2		4x3 =    2 , f)	2xi - X2 4- 2x3 =	3,
	2ii 4	- 3x2		3x3	=	2,		5xi	+ 18x2		-	14x3 = 9,	Xl   — X2  +    X3 =	1,
	3xi -	■ 15x2	+	15x3		3,		3xi	-	2x2	-	2x3 = -1,		
g)	Xl	+ 2x2	+	3x3			=	5,			h)	3xi + 5x2 +	4x3 — 3x4 = 0,	
	2xj	- x2	+	X3	■	X4	-	4,				Xl   -h 2x2 ~"	3x3 4- 3x4 — 0,	
	Xi	+ 2x2	+	X3		2x4	= -	■1,				Xl + 4x2 -	5x3 4- 3x4 = 0,	
	Xl	+ 3x2	+	3x3	-	Xi	=	5,				3xi + 5x2 +	2x3 -   x4 = 0,	
i)	2X!	+ x2	+	*a	+	X4	+ x5	=	1,		j)	2xi - 3x2 +	6x3 - 6x4 4- 4x5 = -	-5,
	Xl	+ 2x2	+	X3	+	X4	+ x5	=	0,			Xi 4- 2x2 +	3x3 4- 4x4 4- 2x5 =	1.
	Xl	+ x2	+	2x3	+	X4	+ x5	= -	-1,					
6.1.2. Najděte všechny vektory z £* kolmé na vektory
a)    S, = (1,2,1,2,1), «2 = (3,1,4,1,1), b)   5i = (1,-1,1,-1,1), S2 = (-3,3,-3,3, -3),
c)    «i = (3,-1,7,0,-1), 52 = (3,-2,5,-3,1), Ss = (1,-1,1,-2,1).
6.1.3. Najděte hodnotu parametru f tak, aby poslední z uvedených vektorů byl lineární kombinací předcházejících, když
a)      S =(1,2,3), i? =(1,1,2), w = ({,2,l),       b)      S = (5,2, -3), S= (2,3, -4), S= (4, -5,í), c)      3 = (1,-1,2,1), b= (2,1,-1,-1), c= (4,-1,3,1), d = (l,-4,£,5).
6.1.4. Vyšetříme, zda vektory
« = (1,2,2,0), 4 = (1,2,1,-3), c= (2,3,4,-3), ď*= (1,3,-1,-6) jsou lineárně závislé. Tak tomu bude v případě, že existují koeficienty íi, r2, í3, í4 takové, že
tia + t2b + t3c + tiď=6 (*) a přitom se mezi nimi najde aspoň jeden nenulový. Rozepíšeme-li ..ystah .(*) .po -složkách, dostaneme homogenní soustavu lineárních rovnic pro koeficienty tlt t2,t3,U.
a) Řešením této soustavy rovnic ověřte, že takové netriviální řešení je fi = 0, ť2 = -3, í3 = 1, í4 = 1. To ukazuje, že 36 - c - d = 0, a proto vektory jsou lineárně závislé.
b) Ukažte, že pokud se rozhodneme vyjádřit vektor S jako lineární kombinaci vektorů 6, c a d, tj. hledat čísla u, v a w tak, aby platilo
ub + vS+ wd = o,
nebude mít soustava nehomogenních lineárních rovnic pro koeficienty u,v,w řešení. Tento výpočet problém lineární závislosti vektorů nevyřeší. Postup, který v každém případě dává odpověď, je ten, který vychází ze vztahu (*) a který vede k homogenní soustavě lineárních rovnic pro koeficienty íi,íj,*3,Í4 lineární kombinace zadaných vektorů.
78
Gaussova eliminace, vektory a matice
6.1.5. Rozhodněte, zda uvedené vektory tvoří skupinu vektorů lineárně závislých; pokud ano, vyjádřete jeden z vektorů jako lineární kombinaci ostatních (a ověřte, že odvozený vztah zadané vektory opravdu splňují), když
a) a = (1,2, -3,1), b = (-2,1, -1,2), c = (4,2, -3,5), d = (-4,3, -4, -1),
b) a = (2, -2,2,1), 6= (1,-1,1,1), č" = (1,2,0,2), d= (2,1,1,2),
c) a= (3,5,-2,4), b = (5,2,1,3), c= (1,1,3,-2), d = (-1,2,-2,1),
d) a = (2,1, -1,2), b = (1, -1,1, -1), o= (3, -1,1,1), d= (2,-1,1,-2).
6.1.6. Ukažte, že vektory 5, b, c, <i v každé z těchto skupin jsou lineárně závislé, ať vektory úi, u2, ís, iZi bereme jakkoliv, třeba z prostoru R" pro libovolné přirozené n:
a) ô = 2ííi - 3ú2 + 2u3 + 5u4, ř> = «i + u3. c = m2 + u4, d = 114,
b) 3 = 28, + 3S2 + 4«3 + 5«4, £=3ifi + 2m2 + «3, č*= % + «4, d = «, + @s.
6.1.7. Najděte hodnost matice
a)
b)
6.1.8. Čtvercovou matici Y nazýváme antisymetrickou, když platí Y = -YT.
a) Ukažte, že pro libovolnou čtvercovou matici A je matice X = A + AT matice symetrická a matice Y = A — AT je matice antisymetrická.
b) Ukažte, že každá čtvercová matice A je součtem matice symetrické a antisymetrické.
c) Ukažte, že diagonální elementy antisymetrické matice jsou rovny nule.
d) Rozložte tyto dvě matice na součet matice symetrické a antisymetrické:
/1     1   1\ /9   -1 2N
Aí =    1     2   1     ,   A-i =    3 8-5 \1   -1   0/ V6    13     1)
6.1.9. Označíme F zobrazení, které vektoru 5 = (01,03,0,3) přiřazuje antisymetrickou matici typu (3,3) Předpisem ,    „   _0s     0j v
F(a) =0.1      0 -ai \-a2     ai 0
Cemu je roven součin F(a) b matice F(3) a vektoru b £ S3, když vektor 6 chápeme jako vektor sloupcový, tj. považujeme ho za matici typu (3,1)?
6.1.10. Procvičte si násobení matic tím, žc ověříte správnost vztahů
/  2   2 -1\
6 2 2 -6
12 -7 -4
-15 10 7 10
9 2 2
= (-3)
6.1.11. Čtvercová matice B má v prvním řádku a na diagonále jedničky, ostatní elementy jsou rovny nule. Popište výsledek BA násobení matice B a matice A slovy. Matice A je libovolná matice, pro kterou je násobení definováno. Jaký je výsledek násobení CA, když C má na diagonále jedničky a jediný další nenulový prvek je 1 na místě (j, k),k ^ p. Jak vypadá matice D, pro níž D A je matice, kterou dostaneme z ,4 vzájemnou výměnou řádků i a j? Jakým maticovým násobením manipulujeme se sloupci matice A?
79
6.1.12. Jsou dána čísla Ai = -1, A2 = 2, A3 = 1 a šest vektorů zapsaných jako matice typu (3,1):
Vi =
,v2 =
, V3 = j -1
a) Spočítejte matice Pi, P2 a P3 definované takto: Pj = V, W'{, P2 = ViWj, P3 = V3Wg.
b) Spočítejte matice Pi + P2 + P3, Pí, P|, P| a PjPk pro j, k = 1,2,3, j Ý k.
c) Spočítejte matici A, která je dána předpisem .4 = A,P, + A2P2 + A3P3.
d) Ověřte, že AVj = XjVj a W/A = XjWf pro každé j = 1,2,3 .
e) Spočítejte V/W* a W/V* pro j,k = 1,2,3.
6.1.13. Jestliže vektory x £ En zapisujeme jako sloupcové vektory, tj. matice typu (n, 1), lze skalární součin vektorů S a y zapsat pomocí násobení matic x-ý = xr y. Pro matici M a vektory /J, /j spočítejte matici Q, když
_   « = Á^/^M,kde /i = (-),/l=g),M=(« ») a vektory /,,    jsou dva kolmé vektory s délkou 1, tj. f[íj = (1) pro 7 = l,2a/7/i = (0).
6.1.14. Spočítejte k-té mocniny těchto matic:
a)
A =
fd a 0 0\
0 0 a 0
0 0 0 a
^0 0 0 0/
b)
6.2. Determinanty, inverzní matice 6.2.1. Spočítejte determinanty a)
»)
i)
m)
q)
6.2.2. Spočítejte determinanty
12004 2006			b)	2005	2004 i			c)	a	b\			d)	2;	i I
12005 2007				2010	20091 '				-b	a 1 '				i	x 1 '
3 -2	-1			4	2		-2		5	4		2		4	3
5 -4	1		f)	1 -	-1		4	, S)	-6	0		5	, h)	5	6
7 2	3			-2	0		3		6	-3		4		-7	-2
3 5		2		6 a	2				1		y			c	b 2
6 3		9	. J)	1 2	3			k)	1	x2 y2			1)	2a	2 3
-4 -2				a 6	4				1	x3 ys				6	a 5
3 2	-	2		3 \	5				3	2 2				1 -6-	i 1 3 2
-2 -f		3	. n)	5 !	4			0)	7 4	3 3	,		P)	2	I 3
3 5		6		5 f	3				3 Š	5 6				5 6	1 3 6 2
a   0 a				a b		c			1	a 6				0	a
a   b b			r)	a2 b2				s)	a	1 c			t)	—a	0
a   b c				a3 63	c3				b	c 1				-b	—c
-2 3 10
		0	0	0		1	2	5	7		2	-1	2	3		9	8	7	2
a)	0 0	0	0 0	0 s	. b)	-5 -3	5 5	5 2	16 7	. «0	1 5	0 3	2 0	1 1	. d)	6 4	3 7	6 4	5 9
	0	0	7	0		2	1	4	3		7	2	4	-5		6	5	6	7
80
Determinanty, inverzní matice
Vlastní vektory
	1	a	b	1		c a	d	b		0	1	1	1		o	b	0	1
«0	o b	1 c	c 1	1 1	, f)	a c a c	d b	b d	, g)	1 1	0 a	a 0	b c	h)	b 0	a 1	1 b	0 a
	1	1	1	1		c a	b	d		1	b	c	0		1	0	a	b
0.2.3. Hodnotu determinantu nepočítejte; vhodnými úpravami převeďte jeden determinant na druhý:
X2X3	Xl	r2		1	x\	r3 xl
«1x3	X2	x\	=	1	Xi	x2
X\X1	x3	x3		1	r2	x§
6.2.4. Spočítejte determinanty a)
x - y - z       2x 1x 2y       y-z-x 2y
2z 2z z-x-y
b)
l+o     1       1 1
1 1 + 6     1 1
1        1 1+c 1
1       1       1 1+d
6.2.5. Ukažte, že pro determinant, který je složený ze tří vektorů S = (xi,3:2,3:3), a - (oj b = (bi,b2,63), platí
Xl    x2 x3
oi   02 03 = £■ (3 x b). 61   62 63
02,03)
3 -2 -1 5-4 1 7     2 3
8.2.6. Pro dané matice spočítejte matice inverzní:
a)   {   0   2   -lV      b)   [   4   1   -6 | , c)
\  0   0     i) \  6   5 -9/
6.2.7. Určete takové hodnoty parametrů, aby matice byla regulární, a potom spočítejte inverzní a)        A=(_*ft  a%),      b)        B=[-l   o   1|,      c) C
matici:
1   1 -1
0 1 1
1 0 o
6.2.8. Matice A, B jsou dány vztahy
o -1 -r
,1= I -1   -2   -1 I ,B.
1 0 u 0   -1 u
111/ V -1     1 to
s parametry ti, «, tu. Lze tyto parametry volit tak, aby matice B byla inverzní k matici Ä!
6.2.9. Tyto soustavy řešte Gaussovou eliminací, Cramerovým pravidlem a také pomocí inverzní k matici soustavy:
a)     2xi + 2x2 -   x3 = -1, b)    2x, + 3x2 + x3 =    1, c) -xi +   x2 - 2x3 =   0, xi + 2x2 + x3 = -1,
xi - 2x2 + 4x3 =   1. X! +   x2 - x3 = 4,
3xi - 2x2 + 4x3 -5xi + 7x2 - 8x3 5xi - 6x2 + 7x3
matice = 5,
_. n
— ů ,
= -3.
6.2.10. Najděte matici X, která splňuje rovnici
a) AX + 2B = 2X + C , když A= ~^,.B=(_j , C = ^
b) A'.4 + 2C = 2A' + ii,když .4= ~o),B= (_i > ^ = (-2     l) '
'3 1
.1 3
81
6.2.11. Matice G má navzájem kolmé sloupce, matice H řádky. Využijte toho a bez počítání napište inverzní matice (násobte matici a matici k ní transponovanou v taliovém pořadí, že výsledek je matice diagonální):
a)
G :
-2 4
1 4
2 2
b)
-2 2 4 2 V   3 6
6.2.12. Matice A je dána jako součin matic A = l'Dľ~', v němž matice V & D jsou dány.
a) Zjednodušte fc-tou mocninu matice A} tj. matici Ak, k přirozené číslo.
b) Najděte vyjádření mocniny Ak v případě, že D je diagonální matice s elementy Ai,..., A„ na diagonále, kterou označujeme diag(Ai,..., A„).
6.3. Vlastní vektory
6.3.1. Poznámka. Pokud vektor t? vydáváme za pravý vlastní vektor matice A řádu n, který přísluší vlastnímu číslu A, vždy se přesvědčíme, že platí A0 = Xv. Součinem Afí rozumíme součin matice A a sloupcového vektoru ff, který ztotožňujeme s maticí typu (», 1). Samozřejmě, je-li vektor tf vlastním vektorem matice A, je také jeho každý nenulový násobek vlastním vektorem matice A, speciálně vektor opačný —v.
6.3.2. Najděte vlastní čísla a pravé vlastní vektory matic (poslední úloha ukazuje, že matice s reálnými prvky nemusí mít vlastní čísla reálná):
b)
6.3.3. Vlastní čísla symetrických matic s reálnými prvky jsou čísla reálná. Dokažte to pro matici v níž parametry o, h, c jsou reálná čísla.
6.3.4. Najděte vlastní čísla (jedno z nich je nulové) a příslušné pravé vlastní vektory matic:
a)
0-11 -1 0 1 -1     1 0
b)
3-3 7 -2 2 -5 -2     2 -5
c)
-2 -3 3 -6 -8 8 -6   -9 9
d)
2 7-9 1 -4 3 1   -1 0
6.3.5. Najděte hodnotu parametru ŕ tak, že nula je vlastním číslem dané matice; potom spočítejte i ostatní vlastní čísla a ke každému určete příslušný pravý vlastní- vektor: - ---------
/-l   -1   l\ /-3   -2   -5\ I 1   -4     2\ /  4   2   -10 N
a)   j -5     í   1    ,      b)       1     0     1   ,   c)       2     ŕ   -2   ,    d)     -2   0 4 V-7  -5  3/ V   '     2     V \ 21   36-6/ \  1   1 t,
6.3.6. Všechna vlastní čísla matic v tomto cvičení jsou nenulová. Dojdete-li při jejich hledání k polynomu třetího stupně, budete muset jedno vlastní číslo uhodnout. To půjde lehko, neboť všechna jsou celá čísla blízká nule. Najděte vlastní čísla a příslušné pravé vlastní vektory matic:
a)
-2 2 1 3 -1 2
b)
-5 4 2 -3 2 2 -3  3 1
3 2 c)   j -2 1 1 2
d)
1   -3 1 -1   -1 1 3   -3 -1
■Á x
82
Vlastní vektory
Vlastní vektory
83
6.3.7. Pro matici A řádu n je det(AI-A) polynom stupně n. Proto musí mít každá matice tolik vlastních čísel, kolik je její řád. Některá vlastní čísla mohou být vícenásobná. Jaké jsou vlastní vektory a příslušná vlastní čísla
a)      matice jednotkové řádu n, b)      matice nulové řádu rí!
6.3.8. Dosud jsme se kromě matice jednotkové a nulové setkávali pouze s maticemi, jejichž vlastní čísla byla navzájem různá. Platí toto důležité tvrzení:
Jestliže čtvercová matice má n navzájem různých vlastních čísel Ai,..., A„, pak příslušné vlastní vektory ui,... ,«T„ jsou lineárně nezávislé.
V případě, kdy se několik vlastních čísel shoduje, může být situace komplikovaná a nemůžeme ji rozebírat. Jaká jsou vlastní čísla a kolik příslušných vlastních vektorů najdeme pro matice
/5   0   ON (2   1 ON
a) 0   2   1, b) 0   2 1
\0   0   2/ \0   0 2,
6.3.9. Jaký význam mají vlastní čísla a příslušné vlastní vektory, uvidíme v tomto posledním cvičení. Je dána matice
/  8     3 6N A =    -2   -3 -2 \-8   -2 -&/
Spočítejte vlastní čísla A3- a příslušné pravé vlastní vektory Vj pro j = 1,2,3. Sestavte matici V tak, že jej! j-tý sloupec bude tvořit sloupcový pravý vlastní vektor Vj. Poněvadž vlastní čísla jsou různá, matice V je regulární, a proto můžete spočítat matici V-1. Konečně sestavíme diagonální matici diag(Ai, A2, A3), v níž na místě (j,j) je vlastní číslo Aj. Spočítejte matici B = V diag(Ai, A2, A3) V-1. Poněvadž se při správném výpočtu ukáže, že tato matice B se rovná maticí A, dostáváme pro matici A vyjádření ve tvaru
A = VáiaS(Xl,h,X-J)V-1.
To je podle cvičení 6.2.12 výhodný tvar pro počítání mocnin matice A. To by ovšem nebyla velká výhra, protože vyjádřit matici v tomto tvaru je pracné; tento tvar je důležitý proto, že ukazuje najednou charakter všech mocnin Ak matice A pro libovolné k = 1,2,3, —
Řešení.
6.1.1. a) (u.n.ij) = (1,2,-2), b) (z,y,z) = (1,1,3), c) (yuy2,y3) = (2,-2,3), d) řešení může být zapsáno například ve tvaru (xi, x2, x3) = (1,0,0) + (0,1,1) ŕ, kde t je parametr, e) např. (xltx2,x3) = (1,1,1) + (2,1,2)í, f) např. (xux2,x3) = (2,1,0) + (1,0,-1)i,
g) (x1,X2,x3,xi) = (1, -1,2,-1), h) např. (xi,x2,x3,x4) = (-2,1,1,1) í, i) např. (xux2,x3,xt,x5) = (1,0,-1,0,0) + (1,1,1,-4,0)« + (1,1,1,0, -4)í, s, ŕ parametry, j) např. (£1,2:2,213,3:4,£5) = (-1,1,0,0,0) + (3,0, -1,0,0) r + (0,2,0,-1,0) s + (2,0,0,0, -l)í, r,s,t parametry.
6.1.2. a) najdeme tři lineárně nezávislé vektory, jejichž lineární kombinací se dá každý kolmý vektor vyjádřit, např. (1,2,0,0, -5), (0,1,0, -1,0), (7, -1, -5,0,0); proto libovolný kolmý vektor x splňuje (xi,X3,X3,xt,xn) = ti (1,2,0,0,-5) +12 (0,1,0,-1,0) + ť3 (7,-1,-5,0,0), t j jsou parametry,
b) najdeme čtyři lineárně nezávislé vektory, jejichž lineární kombinací se dá každý kolmý vektor vyjádřit, např. (1,1,0,0,0), (1,0,-1,0,0), (1,0,0,1,0), (1,0,0,0,-1), c) najdeme tři lineárně nezávislé vektory, jejichž lineární kombinací se dá každý kolmý vektor vyjádřit, např. (1,2,0,0,1), (1,3,0,-1,0), (3,2,-1,0,0); (zadané tři vektory splňují Si = 2a2 — 3S3, a jsou proto lineárně závislé).
6.1.3. a) Pro £ = -1 platí w = 35 - 4v, b) pro f = 6 platí c = 23 - 36, c) taková hodnota f neexistuje. 6.1.5. a) Ano, 25+ 6- <?- <í= 0, b) ano, S-b + c-d = 0, c) ne, d) ano, a + $b-c-á = Ó.
6.1.6. a) 3= 2b- 3c + SoT, b) 5 + 6 = S(c + ď). 6.1.7. a) Pro d ^ 0 je hodnost 4, pro á = 0 je 3, b) hodnost je 3, c) hodnost je 3. 6.1.8. a) XT = {A + A7)T = AT + {AT)T = AT + A = A +AT = X, YT = (.4 - AT)T = AT - (AT)T = AT - A = -(A - AT) = -Y. b) Matice X = A + AT je symetrická a matice Y - A - AT je antisymetrická. Přitom A = ~(X + Y).
d) Al
1 1 1
1   2 0
1   0 0
0 o o 1 -1 o
A2 =
9 1 4 1 8 4 4  4 7
0 -2 -2\ 2 0 -9 1 2
0/
6.1.9. F[a) b = a x 6, kde vektorový součin 3x6 chápeme jako sloupcový vektor, tj. matici typu (3,1). 6.1.11. První řádek matice ii.4 je součtem všech řádků matice A, pro j > 1 je ;'-tý řádek matice BA roven j-tému řádku matice A. V případě matice CA je její j-tý řádek součtem řádku j-tého a *-tého matice A, ostatní řádky matice CA se shodují s příslušnými řádky matice A.
6.1.12. a) ľ, =
b) P1+P2 + P3
c) ,1     j -2
-1 1 -3 1 -1 3 1   -1 3
P-2 =
2   0 2 P3 = I -1   0 -1 -1   0 -1
= /, i?
3 7 5 -8 3 -6
: Pi, Pf = P2, P3 = Ps, pro j f- k jsou matice PjPk nulové.
e) Pro každé j je VjWj = WfVj = (1). To je matice typu (1,1),
tedy skalár. Pro j # k je VjWk = WjVk = (0). 6.1.13. Vzhledem k předpokladům na vektory /j a /2 platí, že složky ft, p2 vektoru f2 se dají vyjádřit pomocí složek cti, ot2 vektoru f\
takto: (ft,02) = n(a2, -ai), kde n = ±1, proto Q = (a + d). 6.1.14. a) A2
A3 =
, Ak je nulová matice pro k > 3, b) Bk —.
í1
0
0
Vo
6.2.1. a) -2, b) 5, c) ra2 + 62, d) x1 + 1, e) -64, f) -30, g) -63, h) -13, i) 0, j) 3o2 - 362 - 8a + 106,
k) xy(x - l)(y - l)(y - x), 1) a2 + 362 - 10a&+ 10a - 46, m) f, n)        o) 1, p)
q) 0(0 -b)(b~ c), r) -abc(a - b)(a - c) (b - c), s) 2a6c - a2 - b2 - c2 + 1, t) 0. 6.2.2. a) -0,87í, b) 60,
c) 146, d) 16, e) 2(a&c - 06 - ac - bc + o + 6 + c - 1), f) 0, g) o2 + 62 + c2 - 2a6 - 2ac - 26c,
h) (1 - (a + 6)2) (1 + (o - 6)2) = -(a4 + 64 - 2a262 + 4a6 - 1). 6.2.3. Násobte j-tý řádek Xj a
převrácenou hodnotu x j napište před determinant pro každé j = 1,2,3. Potom se zaměřte na první
sloupec. 6.2.4. a) (x + y + z)3, b) abcd + ábc + abd + acd + bcd.
6.2.6. a)
d)
/-21
-47 -3 -33
22 \ 2 15
i       4-8 4Í \-19   10 1/
6.2.7. a) Pro a2 + b2 - ab =t 0, tj. pro (a, 6) # (0,0), je
l/
j4~i = a2 + 62-tó(a6 &   "~a6).b)PiW0je 5"' = ^
i2 - 1 -a 1 o a2 -a -1     -a  a2 + l
84
Vlastní vektory
85
c) pro a =r —2 je C
1
a + 2
-1
a + 1
1
1
6.2.8. Pro hodnoty ti = l,i> = —l,tu = l jsou
matice inverzní. Při řešení je nejlepší vyjít ze vztahu BA = I.
6.2.9. a) (xux2,x3) = (-1,1,1), b) (xux2,x3) = (3,-1,-2), c) {xi,x2,x3) = (-3,5,6).
6.2.10. a) 4),b)Jf=(-J
6.2.11. a) Pro součin GTG platí GT<? dělíme 81, druhý 9 a třetí 36. Inverzní matice má tedy tvar G~l =
81 0 0 0 9 0 0   0 36
Proto první řádek transponované matice
0 0
b) Pro součin HHT platí HHT = j 0   36 0
lO    0 81
. Proto první sloupec transponované matice
dělíme 9, druhý 36 a třetí 81. Inverzní matice má tedy tvar H 1 ;
6.2.12. a) A" = YDk V~l .b)Ak = Vdiag(Af,..., A*) V'1.
6.3.2. a) A, = 1, i?i = (3,1), A2 = -1, v2 = (1,1), b) Ai = 1,'fli = (1,1), A2 = -3, v2 = (1,3). c) A! = 1, tři = (1, -1), A2 = -2, v2 = (2, -3), d) A! = i, ^ = (1, -i), A2 = -i, v2 = (1, i).
6.3.4. a) A] =0, v, =(1,1,1), A2 = 1, íT2 = (0,1,1), A3 = -1, v3 = (1,1,0),
b) Ai =0, v! = (1,1,0), A2 = 1, «2 = (2,-1,-1), A3 = -1, t?3 = (1,-1,-1),
c) Ai = 0, Si = (0,1,1), A2 = 1, ih = (1,2,3), A3 = -2, v3 = (1,3,3),
d) Ai = 0, vi = (1,1,1), A2 = 1, v2 = (2,1,1), A3 = -3, u3 = (1, -2, -1).
6.3.5. a) t = -3, A, = 0, Wi = (1, -2, -1), A2 = 1, «2 = (1,-1,1), Xs = -2, i?3 = (0,1,1),
b) t = 2, Ai =0, ui = (1,1,-1), A2 = 2, v2 = (1,0,-1), A3 = -1, v3 = (1,-1,0),
c) i = 7, Aj =0, 0i =(2,-2,-5), A2 =3, v2 = (3,-2,-1), A3 = -1, t?3 = (1,-1,-3),
d) t = -3, X1 = 0, ffi = (2,1,1), A2 = 2, v2 = (1,-1,0), A3 = -1, v3 = (2,0,1).
6.3.6. a) Xi =-1, «i = (2,0,1), A2 = 1, v2 = (2,1,2), A3 = 2, S3 = (1,1,1),
b) Ai = -2, ví = (2,1,1), A2 = -l,-?2 = (1,1,0), A3 = 1, v3 = (1,1,1),
c) Ai = -1, «! = (1,0,1), A2 = 1, v2 = (1,1,1), A3 = 2, v3 = (0,2,1),
d) Ai = -2, CL = (1,1,0), A2 = -1, či = (1,1,1), A3 = 2, <?3 = (1,0,1).
6.3.7. a) Ai = ... = A„ = 1, každý nenulový vektor je vlastním vektorem, b) Ai = ... = nenulový vektor je vlastním vektorem.
6.3.8. a) A! = 5 s vlastním vektorem í?i = (1,0,0); pro zbývajíc! dvojnásobné vlastní
číslo A2 = A3 = 2 se najde pouze jeden vlastní vektor v2 — v3 — (0,1,0), b) pro trojnásobné vlastní číslo Ai = A2 = A3 = 2 je k dispozici pouze jeden vlastní vektor Si = v2 = «3 = (1,0,0).
6.3.9. Vlastní čísla jsou Xi = 2, A2 = -1, Aj = -2. Matice V, diagfAi, A2,A3) a V"1 mají tvar
0, každý
(O 1 -2 J \-l   -2 l)
diag(Ai,A2,A3) :
3 -2 -1
GEOGRAFICKÉ APLIKACE
7.1. Sférické" souřadnice a vzdálenost bodů na kulové ploše
7.1.1. V E3 je dána kartézská (pravotočivá) souřadná soustava s počátkem O a osami xi,x2,x3. Bod X je obecný bod z E3 se souřadnicemi (xitx2,x3). Kolmý průmět bodu X do roviny obsahující osy xi & x2 označíme XP, souřadnice tohoto bodu jsou {xi,x2,0). Úhly tp a A chápeme jako orientované; kladná orientace je vyznačena na obrázku 1.
Obr. 1.
Úhly tp a A budeme brát takové, že
■■p e       \x) , A e (-*•,*■) . (i)
Označíme R vzdálenost bodu X od počátku O souřadné soustavy, tj. R = sjx'{ + x\ + x|. Trojici čísel (R,tp,X) nazýváme sférickými souřadnicemi bodu X. Kartézské souřadnice (xltx2,x3) lze vyjádřit pomocí sférických souřadnic (R, tp, A) těmito vztahy:
Xi = R cos tp cos A,
x2 = R cos tp sinA, (2) x3 = R sin tp.
Pro které body X jsou trojice souřadnic (R, tp, A) splňující (1) určeny jednoznačně?
7.1.2. Sféru s poloměrem R a se středem O označíme aR. O bodech Ps = (0,0, R) a Pj = (0,0, -R) na sféře crR mluvíme jako o pólech. Na sféře aR vezmeme dále dva libovolné body B a C různé od pólů. Ty jsou určeny dvojicemi souřadnic (<pb,Xb) a (tpc, Ac). Pro souřadnice vektorů OĚ a OÍ platí
xf = R cos tpB cos AB , = Jí COS <ft7 cos Ac ,
x% = R cos yB sin Ab , x% = li cos i^c sin Ac , (3)
x3 = Rsm.ípB , zf^iJsin^c. Situace je ilustrována na obrázku 2. Vyznačte příslušné úhly tpB, XB, tpc, Xc.
7.1.3. Zajímáme se o velikost úhlu w, který svírají vektory OÉ a OŮ. Úhel leží v intervalu (0, jr) a jeho kosinus splňuje vztah
B
m
86
Sférické souřadnice a vzdálenost bodů na kulové ploJľ_
Dosadíme za vektory jejich vyjadrení ze (3) a po snadné úpravě získame
cos u — sin ipB sin pc+cos ipb cos pc cos( Ab - Ac) . Proveďte detailně úpravy vedoucí k (5).
(5)
Obr. 2.
7.1.4. Povšimněte si, že výraz na pravé straně vztahu (5) se záměnou bodů B a C - tedy vzájemnou výměnou úhlu tpB s úhlem ipc a Aj? s Ac - nemění.
7.1.5. Poznámka. Jakmile B jé C a O není středem úsečky BC.je body BCO určena rovina t. Průnik roviny r a sféry <th je kružnice poloměru Ŕ, která se nazývá hlavní kružnicí. Body B a. C rozdělí tuto hlavní kružnici na dva oblouky. Kratší oblouk označíme BÔ. Jeho délka je rovna Rw, pokud úhel w je vyjádřen v radiánech (v obloukové úhlové míře).
7.1.6. V jakém intervalu se pohybují veličiny ipB + Vc, VB - Ve a \Vb - Vel i pokud se body B a C pohybují po sféře <tr včetně pólů?
7.1.7. Jaký interval vyplňují hodnoty As - Xc a \XB-XC\, když body B a C probíhají sféru <tr?
7.1.8. Vezmeme bod B s Xb = - a Vb = 0 a bod C s Ac = i a ipc = 0- Kolik je AB - Xc a kolik je \Xn - Ac|? Kolik je cosw? Cemu se rovná w? Srovnejte s výsledkem následující úlohy.
7.1.9. Vezmeme bod B s <pB = 0 a bod C s Vc = 0- Kolik je cosw? Vyjádřete u pomocí XB a Xc.
7.1.10. Najděte u výpočtem ze vztahu (5) v těchto případech (a potom objasněte geometricky): a)      AB=AC, b)      |Ab-Ac| = ít.
7.1.11. Dokažte, že pokud body B a C mají stejnou zeměpisnou šířku ip, splňuje úhel w vztah
sin — = cos i/? sin
Řešení.    7.1.1. Pro každý bod X = (xu x2,xs), pro který platí x\ + x\ > 0. 7.1.6. {-7r,7r), (-ír,7r> a (0,jr). 7.1.7. (-2jr,2ir) a (0,2jt). 7.1.8. Xb — Xc = — |7r, |Ab - Ac| = §tt, cosw = 0, w = ~tt. 7.1.9. Poněvadž cosw = cos(Aä - Ac) = cos|Ab - Ac| = cos(2?r - \XB - Ac|), dostáváme odsud vztahy pro o>, které závisí na velikosti |AB - Ac|- Pro |Ab - Ac| < ir je w = |AB - Ac|, pro |AB - Ac| > ir je u = 2tt - |AB - Ac|. 7.1.10. a) u = \<pB ~ <Pc\, neboť potom cosw = cos(<rB - Vc) = cos \<pb ~ <Pc\ a přitom 0 < \ipB - fc\ < t, b) w = ir - |<rB + vcl> neboť nyní cosu = - cos(<pB + <pc) = - cosIvb + <pc| = c°9(» - |vs + Vol) a přitom 0 < s - |<pB + <rel <
EULEPJJv SFÉRICKÝ TROJÚHELNÍK, KOSINOVÁ
PRÁNU A ťRO UHlil,
87
7.1.11. Použije se vztahu cosw = 1 - 2sin2 f a vztahu cos(AB - Ac) = 1 - 2sin2 io^s. pro úpravu příslušných výrazů v relaci cos u = sin2 ip + cos2 ip cos(Ab - Ac), kterou dostaneme, když v (5) budeme místo ipB a ipc psát tp. Jednoduchou úpravou dostaneme výraz, jehož odmocněním získáme hledaný vztah.
7.2. Eulerův sférický trojúhelník, kosinová věta pro stranu a pro úhel
7.2.1. Poznámka. Trojúhelník na kulové ploše (sféře) nazýváme sférickým, jestliže jeho strany jsou tvořeny oblouky hlavních kružnic. Pokud délky těchto oblouků jsou menší než ttR, kde R je poloměr sféry, mluvíme o Eulerově sférickém trojúhelníku.
Aby úvahy nebyly závislé na poloměru sféry, která je z hlediska obecných úvah pouze parametrem, za délku strany v Eulerově sférickém trojúhelníku se označuje příslušný úhel průvodičů koncových bodů oblouku tvořícího stranu. Je to totéž, jako bychom pracovali na sféře s poloměrem jedna. Důsledkem toho, že strana sférického trojúhelníku je měřena velikostí úhlu v radiánech, je, že strany Eulerova sférického trojúhelníku jsou menší než ic.
7.2.2. Poznámka. Co rozumíme úhlem, který svírají dvě strany Eulerova sférického trojúhelníku? Každé dvě strany (jakožto oblouky hlavních kružnic) leží v rovinách, jejichž průniky se sférou vytvářejí příslušné hlavní kružnice. Právě úhel těchto dvou rovin považujeme za úhel svíraný dvěma stranami Eulerova sférického trojúhelníku. O tomto úhlu se pro zdůraznění mluví jako o vnitřním úhlu sférického trojúhelníku. V Eulerově sférickém trojúhelníku je každý vnitřní úhel menší než jr.
7.2.3. Jak vypadá sférický trojúhelník, který není Eulerův?
7.2.4. Pro popis polohy bodu na sféře lze místo dvojice (ip,X) použít dvojice (á,A), kde úhel ó je tzv. doplňkový úhel, který je definován vztahem
<5 — -
(6)
Poněvadž ip e (-±tt, 1jt), úhel 5 splňuje i 6 <0, ir). Na obrázku 2 vyznačte úhly SB a Sc a s pomocí (2) odvoďte, že souřadnice (xi, x2,xs) a (R, S, A) bodli sféry jsou svázány vztahy
xi = R sin S cos A, %2 — Rsinô sin A, 13 = R cos í.
(7)
7.2.5. poznámka. Pro úvahy o obecném Eulerově sférickém trojúhelníku ABC je výhodné trojúhelník speciálně usadit na sféru. V terminologii geografické přesuneme bod A do severního pólu a bod B se souřadnicemi (<Sb,Ab) na oblouk, který tvoří greenwichský poledník. Potom souřadnice XB bude splňovat AB = 0. Můžeme dokonce předpokládat, že Ac > 0 prostě proto, že bychom v případě Ac < 0 označení bodů B a, C vzájemně vyměnili. Je zřejmé, že při popsaném umístění bodů .A, B, C platí pro kartézské souřadnice vektorů UĚ a UÔ tyto relace
xf=RsinSB, xf = Rsinóc cosAc ,
xf — 0, ~ Rämocv'm Xc,(8)
xf = RcosäB, x$ = RcosSC-
Úhel w, který svírají vektory ÔÉ a OÔ (a který je v terminologii sférické trigonometrie považován za stranu a Eulerova sférického trojúhelníku), splňuje (vzorec (4))
UŠ-UÔ
cosuj = - .
|ÔB||ÔČ7|
Ukažte, že po výměně uj za a a po dosazení z (8) dostaneme vztah
cos a — cos 5b cosác+sinía sin ác cos Ac- (9)
88
EULBRŮV SFÉRICKÝ TROJÚHELNÍK, KOSINOVÁ VĚTA PRO STRANU A PRO úhel
7.2.6. Na obrázku 3 a obrázku 2 doplněném o označení úhlů, vidíme, že oblouku AS, který představuje stranu c, přísluší úhel Sb a oblouku AC, který je stranou i>, přísluší úhel Sc. Úhel a u vrcholu A je za našich předpokladů na umístění bodu B roven úhlu Xc- Je to úhel svíraný rovinami, na kterých leží strany bac. Nyní můžeme zapsat vztah (9) pomocí veličin a, b, c a a popisujících Eulerův sférický trojúhelník ABC. Odvoďte, že platí
cos a ~ cos b cos c 4- sin b sin c cos a .
(10)
Tento vztah se nazývá kosinová věta pro stranu a Eulerova sférického trojúhelníku. Vztah (10) jsme odvodili pro případ, kdy sférický trojúhelník je umístěn jako na obrázku 3, kde bod A byl posazen do severního pólu. Samotný vztah (10) však už nenese žádné stopy po souřadném systému, který jsme použili k jeho odvození. Platí tedy i v obecné situaci, kdy bod A už nemusí být situován do severního pólu, ale je - stejně jako celý sférický trojúhelník - umístěn na sféře libovolně.
Obr. 3.
Obr. 4.
Obecným umístěním míníme případ, který může vypadat jako na obrázku 4. Tam jsou body a úhly trojúhelníku ABC označeny tak, jak jsme zvyklí z rovinné geometrie.
7.2.7. Cyklickou záměnou ve formuli (10) napište tvar kosinové věty sférické trigonometrie pro strany b a c.
7.2.8. Polární zobrazení Eulerova sférického trojúhelníku. Eulerův sférický trojúhelník je dán svými vrcholy. Budeme nyní definovat zobrazení, které danému trojúhelníku ABC přiřadí jiný trojúhelník ABC, o kterém se mluví jako o polárním trojúhelníku.
Strana c trojúhelníku ABC - kratší z oblouků hlavní kružnice s koncovými body A, B - leží v rovině rc, která prochází středem sféry. Rovina rc rozdělí prostor na dva poloprostory. Označíme T~ ten z poloprostorů, který neobsahuje bod C. Polopřímka vycházející kolmo k rovině re ze středu sféry do poloprostoru T~ protne sféru v bodě, který označíme C. Podobně, když vyjdeme ze strany b (resp. a), definujeme body B (resp. .4). Tím je trojúhelníku ABC přiřazen trojúhelník ABC. Jeho strany jsou označovány ä, b, č a úhly ä, 0, 7.
7.2.9. Eulerův sférický trojúhelník ABC umístíme „osvědčeným" způsobem tak, že bod A bude v severním pólu. Rozmyslete si, že vrcholy B, Č trojúhelníku ABČ leží na rovníku a bod A leží na „jižní" polosféře. Ukažte, že pro stranu ä trojúhelníku ABC platí ä = -k — a. Závěr této úvahy platí obecně: strany polárního trojúhelníku ABC splňují
6 = 71-/3,
(H)
I.BRŮV SFĚMCKÝ 'CTpjáBELKftc, KOSINOVÁ VfrrA PBO straku a PRO úhel
7.2.10. Stejně jako jsme vytvořili polární trojúhleník ke sférickému trojúhelníku ABC, můžeme pokračovat a přiřadit polární trojúhelník ke trojúhelníku ÄBČ. Ten je určen vrcholy Ä,BaÔ. Jeho stranv označme ä, b, č a úhly ä, 0, 7. Podle (11), pouze s jednou vlnkou navíc, dostáváme
ä — K — á, l} — jr — 0, c = 7T — 7.
(12)
7.2.11. Uvažujme opět o situaci, kdy bod A je v severním pólu. Viděli jsme v 7.2.9, že body Š a Č trojúhelníku ABC (tedy strana ô tohoto trojúhelníku) leží na rovníku. A poněvadž bod Ä leží na „jižní" polosféře, lehko nahlédneme, že bodA musí být totožný s bodem A. Tento závěr platí pro všechny strany trojúhelníku ABČ, nejen pro stranu ô. Proto je sférický trojúhelník ABC, který je polárním trojúhelníkem k ABČ, vlastně původním trojúhelníkem ABC. Tím vztahy (12) mezi elementy trojúhelníku a trojúhelníku k němu polárního získávají tuto podobu:
a = n-ä, b = it-0, c = rr — 7. (13)
Nyní napíšeme kosinovou větu pro polární trojúhelník ABČ
cos ä — cos b cos c 4- sin b sin č cos á
a použijeme vztahů (11) a prvního vztahu ve (13) k náhradě vlnkovaných veličin. Ukažte, že se tím předcházející formule změní na
cos o = — cos 0 cos 7 + sin 0 sin 7 cos a.
(14)
Tento vztah se nazývá kosinová věta pro úhel a. Napište další dva vztahy, které se dostanou ze (14) cyklickou záměnou.
7.2.12. Najděte velikosti všech stran a úhlů těchto Eulerových sférických trojúhelníků: a)      6 = 120°, c = 60°, a = 30°, b)      a = 20°, 6 = 30°, c = 40° ,
c)      a = 50°, 0 = 100°, 7 = 110°, d)      a = 70°,/3 = 50°, 7 = 80°.
ítešení.
7.2.7. Kosinová věta pro strany b a c má tvar:
cos b — cos a cos c 4- sin c sine cos 0 , cos c = cos a cos b + sin a sin b cos 7.
7.2.11. Při odvozování vztahu (14) použijeme identit cosfir - x) = — cosx a sin(jr — x) = smx. Kosinová věta pro zbývající dva úhly 0 a 7 má tvar:
cos 0 = — cos a cos 7 4- sin a sin 7 cos b,
cos 7 = — cos o: cos 0 + ski o. sm-0 cos c............. —
7.2.12. a) (3 = 151°48'48", 7 = 28<:11'12", a = 66"27'7",
b) a = 30°43'31", 0 = 48°19'27", 7 = 106°12'54",
c) a = 57°37'31", 6 = 116°42'56", c = 121°32'3",
d) a = 53°2'8", b = 40°38'39", c = 56°51'48".
90
MĽRCAľOROVO zobrazení, loxodroma
7.3, Mercatorovo zobrazení, loxodroma
7.3.1. Začneme jednoduchým zobrazením sféry or do roviny. Jestliže si nevšímame pólů, je každému bodu na sféře jednoznačně přiřazena dvojice tp € (- jir, a A 6 (-ir, ir). Vezmeme libovolnou funkci ě spojitou a rostoucí na intervalu (-jít, |ir). S její pomocí přiřadíme každému bodu (tp, A) sféry bod v rovině se souřadnicemi (y, A) tím, že položíme y = $(tp). Osy y, A umístíme tak, že tvoří levotočivou souřadnou soustavu - na rozdíl od obvyklého systému os x,y, které v tomto pořadí tvoří soustavu pravotočivou. Obraz rovníku (bodů s <p = 0) je v našem zobrazení rovnoběžný s osou A. Jaké vlastnosti musí mít funkce $, aby obraz rovníku padl na osu A a aby se dvojice bodů na sféře symetricky umístěných vzhledem k rovníku zobrazila do takových bodů v rovině, které jsou symetricky umístěny vzhledem k ose A?
7.3.2. Ted' odpovíme na otázku, jaké vlastnosti musí mít funkce $, aby popsané zobrazení bylo konformní. Z bodu P, který odpovídá (ip, A), vyrazíme na sféře pod azimutem a do bodu P', jehož souřadnice (v', A') jsou „blízké" souřadnicím (tp,\). To zachytíme zápisem
tp = tp + Atp, A' = A + AA, kde přírůstky souřadnic Atp a AA jsou „velmi malé" a jsou svázány vztahem
R cos (p AA R Atp
AA
: cosw -- ,
Atp
(15)
v němž a označuje azimut. Veličina tg a je uvedeným vztahem aproximována tím přesněji, čím je bod P' blíže bodu P. Později využijeme také vzdálenosti \PP'\ těchto blízkých bodů, pro kterou lehko odvodíme vyjádření
\PP'\2 = P2(Atpf + R2cos2tp(AX)2 = R2(l + coS2<ŕ»(~)2) (A<r)2..................
Když s pomocí (15) poslední výraz zjednodušíme, dostaneme
|PP'|2 = /c2(l+tg2a)(AV)2:
-(Atp)2
(16)
Při zobrazení do roviny je obrazem bodu P = (tp, A) bod se souřadnicemi (y,X) a obrazem blízkého bodu P' = (tp1, A') je bod se souřadnicemi (s/',A'). Označíme-li
Ay = y' - y,
můžeme pro azimut a' směru určeného v rovině body (y, A) a (y', A') psát
AA
tg a =
Ay '
(17)
Mají-li se při zobrazení zachovávat úhly, musí platit a = a'. To znamená tg a = tg a'. Srovnáním vztahů (15) a (17) dostaneme
Krátíme AA a upravíme na tvar
AA . AA
cos tp-— ~ -ľ— .
vAtp Ay
Ay
Atp '
který - jak jsme se zmínili - platí tím přesněji, čím je Atp blíže k nule. Proto necháme Atp konvergovat k nule, čímž poslední přibližný vztah přejde na přesnou relaci
dip
1
COS tp '
Z úlohy 4.2.6 víme, že
Mbrcatcrovc zobrazení, loxc
Pokud chceme, aby se rovník tp = 0 zobrazil na osu y — 0, volíme c — 0. Dostaneme funkci
«(¥>) = In tg(§y? + i»), která se nazývá isometrická šířka. Zobrazení sféry do roviny dané vztahem
(tp,\)->(y,\) = (q(tp),\)
nazveme Mercatorovo zobrazení. Toto zobrazení - jak jsme viděli - zachovává úhly. Dokažte, že q je lichá funkce na intervalu (-\k, |ir), a spočítejte lim^^i^ q(ip), limf,_)_i,+ q(tp).
7.3.3. Rovnice ioxodromy. Loxodroma - křivka, která protíná poledníky stále pod stejným úhlem -se Mercatorovým zobrazením zobrazí na přímku v rovině (jí, A), která svírá s osou y úhel a. Proto rovnice obrazu Ioxodromy v souřadnicích (y,\), která prochází bodem (j/0, Ao), má rovnici
A - A0 = (ií - yo) tg a. Dosazením zjistíme, že v geografických souřadnicích (tp, A) má loxodroma rovnici
A-A0 = (lntg(iíí>+ ijr) - Intg^o + H)
kde tp0 a yo jsou svázány vztahem y0 = o(ipo) ■ Jestliže z posledního vztahu vypočítáme proměnnou A jako funkci tp S (-jTľ, |jt), zjistíme s pomocí výsledku předcházejícího cvičení, že jakmile se tp dostatečně vzdálí od po, hodnota A opustí interval (~jr,7r), který jsme pro hodnoty A vyhradili. Vadí to?
7.3.4. Pro a € (0, |;r) se pro tp -> |ít_ pohybujeme po loxodromě k severnímu pólu. Kolikrát je severní pól oběhnut při tomto pohybu po loxodromě?
7.3.5. Napište rovnici Ioxodromy s azimutem a e (0, |ff), která protíná rovník v bodě s A = A0.
7.3.6. Délka Ioxodromy. Odmocněním (16) získáme výraz pro vzdálenost dvou blízkých bodů PP' Ioxodromy s azimutem a ve tvaru
\PP'\ =
R
\Atp\.
Proto vzdálenost bodů P\ = (tp\,Xi) a P2 = (tp2, A2) ležících na loxodromě s azimutem a je rovna
R
- \tp-2 ~tpi\.
cos Ot
7.3.7. Jaká je délka Ioxodromy s azimutem a mezi rovníkem a pólem?
7.3.8. Na sféře poloměru 7? spočítejte a a délku Ioxodromy, která prochází body Ai) a (<f>2,h), když tpi = 8°, Ai = -80" a tp? = 50°, A2 = 0°. Nyní se vraťte na začátek a pomocí vztahu (5) ze 7.1.3 spočítejte také délku ortodromy mezi danými body.
Řešení.    7.3.1. Funkce $ musí být lichá. Pak se rovník dostane na osu y = 0 a body symetricky umístěné na sféře vzhledem k rovníku jsou zobrazeny do bodů symetricky umístěných podle osy A. 7.3.2. Lichost vyplývá z toho, že součin tg(A(f + frr) a tg(-\tp + -|tt)- je-roven-jedné Limity jsou oo, -oo. 7.3.3. Bod na sféře je určen jednoznačně, ať A má jakoukoliv hodnotu. Pouze k bodu na sféře není A určeno jednoznačně, pokud neurčíme interval, z něhož se A bere. Proto jsme požadovali A € (-jr,7r). 7.3.4. Počet oběhů je nekonečný, přesto, jak uvidíme, je délka Ioxodromy konečná. 7.3.5. Rovnice je A - A0 = (tg a) ln tg(|v> + {") ■ 7.3.7. Délka je rovna ^ttR/ cosa. 7.3.8. a = 58°3'20", délka Ioxodromy je přibližně rovna 1.395452 R a přibližná délka ortodromy je 1.351907 ň.
y(<p) = lntg(|v+ i?r) +c.