7 opakováni a rozšírení stredoškolské látky 1.1. Opakování 1.1.1. Výrazy zjednodušte a najdete hodnoty proměnné, pro které mají smysl: a) {z+\/^T^y1 (l+l(a2+zi)-Í2x),a>0, b) yfz ■ ^f-^- + a H- x \fa Z 5 , Z - £5 z*-l \/ž c) /a + x , a > 0, d) 3) -l((l + VS--^)(^+l)-(l-VS+^)(v^-l)). 1.1.2. Najděte všechna reálná čísla, která vyhovují nerovnici, b) ' 2x + 3 - x - 6 ' -i->-J__1, x - 1 ~ x + 2 5(a; + 6) „ x + i , x + 3 ^ 2 d) x + 2 < 3(x + 2) x-3 : 2 o:+ 2 ~ 3-x (x + 2)(3-x) ' f) x + 2 2 < x + 1 x-3 _ (z + l)(3-x) ' 1.1.3. Za základ logaritmů můžeme vzít libovolné kladné číslo a různé od jedné. Pro obecný základ logaritmů a (a tedy speciálně pro a = 10 nebo pro a = e) platí tento (definiční) vztah: a't>8. i = x (speciálně 10loE,r = x nebo eln" = x) pro každé x > 0. Použijte zmíněných relací a jejich logaritmováním dokažte, že: a) l0S* = ÍrľTÔ' X>°' » \ , log x b) lnx = -2-, x > 0, loge c) log e = ln 10 1.1.4. Najděte všechna reálná čísla, která splňují: a) log(2x+9)-log(x+l) = log(x+6)-log(x-2), b) logrx 4-5) + Jógí U ~3») = 1 + log(l - ar),-c) log(3-x) + log(x + 6) = log5 + log(|-x), d) ^(i+iog*) = 1000 x7. 1.1.5. Najděte všechna reálná čísla, která splňují: a) log|x-10| 0, e) tak—Kí, c) log(x+3) < j log(6x+25), f) 10&|±Í<1. 1 — log X 1.1.6. Najděte explicitní vyjádření těchto posloupností zadaných rekurentně: a) On+2 = a„+i + 2a„ , Oi = 1, a2 = 11, b) a„+2 = an+1 + 2an , a0 = 2, a2 = 1, c) a„+2 = | (3a„+i + 2o„) , aB =1, ai = 7, d) a„+2 = 3a„+1 — 2a„ , a3 = 8, a.i = 6. 8 Goniometrie a komplexní čísla Goniometrie a komi'lkxmí čísla 9 1.1.7. Dokažte, že pro každé reálné číslo q =ŕ 1 a každé přirozené číslo n platí 1 - q"+l Proto můžeme rovnici fe-0 1- Odtud odvoďte, že pro |g| < 1 je nekonečná geometrická řada konvergentní a pro její součet platí °° i Najděte součet těchto řad (pokud obsahují parametr, určete, pro jaké hodnoty parametru konvergují): 2 + i Ť 8 Ť 16 ^ 32 ^ i b> 1-3 + 1 d) \z2 - z+ 1) 1.2. Goniometrie a komplexní čísla 1.2.1. S pomocí identit cos(a + ß) = cosacos/3 - sin a sin jS , sin(o + ß) = sin a cos ß + cos q sin ß odvoďte vztahy a) cos3x + cosx = 2cos2xcosx, b) sin 3x + sin x = 2 sin 2x cos z. c) Najděte všechna x £ (-7T, n), pro která sin 3x + sin x = sin 2x. d) Najděte všechna x £ (-x, t), pro která sin 3z + sin 2z + sin x = cos3x + cos2x + cosx . 1.2.2. Využijte toho, že 105° = SO" + 45°, 15° = 60° - 45°, a s pomocí vztahů z předcházejícího cvičení odvoďte přesné hodnoty pro a) cos 105° b) sin 105° c) cos 15°, d) sin 15° 1.2.3. Využijte vztahů 1 - cosi = 2sin2 | , 1 + cos a; = 2cos2 f , sinx = 2sin § cos § a najděte (v prvních dvou úlohách bez použití kalkulačky) všechny body x z intervalu (-it, w) (a ty potom přepočítejte na úhly z intervalu (0°,360°)), které splňují rovnici: a) cos x + s/3 sin x = 1, b) c) cos x + S sin x = 1, d) cos x + i/3 sinx = —1, cos x - 3 sinx = —1 . 1.2.4. Jsou-li na kalkulačce nastaveny radiány, potom funkce vyvolaná stiskem Shift nasledovaným stiskem klávesy tan přiřazuje každému číslu y číslo x £ (--tt, |tt) takové, že tgx = y. Pro tuto funkci se používá označení arctg. Postupem předcházejícího cvičení vyjádřete pomocí funkce arctg řešení rovnice (A, B jsou parametry, pro něž AB jí 0): a) A cos x + B sin x — A, b) Acosx + B sinx = —A. 1.2.5. Lehko si uvědomíme, že ke každé dvojici čísel A,B takové, že A2 + B2 > 0, existuje x e (-tt.tt), pro které platí B VA^TB2' a cos x + B sin x = F (*) (po dělení V A2 + B'1 a náhradě výrazů na levé straně) přepsat do tvaru F cos x cos x + sm x sm x = VÄ^TB2' Pokud na pravé straně je výraz v absolutní hodnotě menší nebo roven jedné, přepíšeme rovnici (*) do kde x vybereme tak, že cos(x — x) = cos ž, F («) V A2 + B2 Ze vztahu (**) vyplývá, že každé řešení x rovnice (*) splňuje x = x + x + 2irk nebo x = x - x + 2irk pro nějaké ke Z. To nemusí být dvě různá řešení. Kdy? Užijte tohoto postupu a najděte (v prvních čtyřech úlohách bez použití kalkulačky) všechny body x z intervalu (-Jr,ir> (a ty potom přepočítejte na úhly z intervalu (0°,360°)), které splňují rovnici: a) cosx +v^sinx = V2, b) VŠcosx - sinx = -y/2, c) cos x + sinx = ^i, d) cosx - sinx = , e) 8cosx + 6sinx = 9, f) 4cosx + 3sinx = 2, g) 3cosx - 4sin3; = -2, h) 7cosx - 3sinx =-4. 1.2.6. Při řešení předcházející úlohy můžeme postupovat tak, že vezmeme bod S £ (-x,ir), který splňuje B . „ A Va^Tb2' F V a2 + b2 ' Potom rovnici 1.2.5.(*) můžeme zapsat ve tvaru siuxcosx -+■ cosxsinx : Pokud najdeme bod x £ (—v, ir), který splňuje V A2 + B2 ' můžeme rovnici 1.2.5.(*) dát tvar sin(x + J) = sinx. Z této rovnice odvoďte takové dva vztahy, že každý bod x, který je řešením 1.2.5.(*), vyhovuje alespoň jednomu z nich. Kdy vyhovuje oběma vztahům? 1.2.7. Hodnoty cosx a sinx můžeme vyjádřit pomoc! tg §, když postupujeme takto: Pro jaké body x platí uvedená vyjádření hodnot sinx a cosx pomocí tg f ? 10 Geometrie v E2 a E3 Geometrie v Eř a E3 11 1.2.8. Předpokládejte, že A + F ± 0, a pomocí vzorců z předcházejícího cvičení převeďte rovnici Amsx + Bsmx = F na kvadratickou rovnici pro tg f. Vyřešte ji a pomocí funkce arctg napište vyjádření všech čísel x z intervalu (-jr.jr), která rovnici vyhovují. Jak se na odvozeném vzorci pozná, že v daném intervalu má rovnice jedine řešení? Vraťte se k některé úloze cvičení 1.2.5. a řešte ji právě popsaným způsobem. 1.2.9. Hledáme komplexní čísla zu z2 v algebraickém tvaru taková, že vyhovují soustavě rovnic: a' zi - z2 = 1 + 2i, b) i Zí + Z-i - i, C) „ 3*1 + (2 + i)*J=3 + 2i, d) i^i - (2 + i)z2 = -2 + 3Í, (1 + 1)2, - Í22 = -2, (2+1)2! + 322 = j, e1 i*i + = -2, f) (2-i)zi + 3ž2 = 3-2i, *i + 3iz2 = i, (l + i)z, + 2tz2 = 4i, 321 + (2-i)22 = 1, (2- i)2j + Í22 = 2 + 3Ľ 1.3. Geometrie v E2 a E3 1.8.1. Skalární součin 5-idvou vektorů a = (ai)0j,as), 4 = (fc.fc.fc) z £3 je číslo definované vztahem a-b = a1b1 + a2b2 + a3í>3 . Délka |S| vektoru a se dá vyjádřit .pomocí skalárního součinu takto: \a\ = (a-S)i = v/oí+ol + of. Ověřte tyto vlastnosti skalárního součinu (a,/3i,p2 jsou skaláry): a) S-b = b-a, b) (a3)-6 = a(3.F), c) (a1+ä2).4 = »* = (61,62,M z E3 je číslo definované 5 x b = (a2b3 - 0362, -(oií>3 - o3&1),oi62 - o26i) , a2 «3 62 63 ai 03 61 i>3 který se dá přehledněji zapsat ve tvaru 5x6 = v němž je užito determinantu - zobrazení, které čtveřici čísel A, B, C, D přiřazuje číslo podle předpisu ■-AD-BG. I &i a2 A B C Dl Ověřte tyto vlastnosti vektorového součinu (a,/3i,/?2 jsou skaláry): a) (cm) x (/?!?! + ftfc2) = (aft) (3 x íj) + (aft) (3 x S2), b) «x 6 = -(bx 3) , c) 3x 3= (0,0,0) = 0, d) 3-(ax6) = 0, e) í-(3xí) = 0, f) |5x6p = |5p|6p-(3-&)2. Pro dva nenulové vektory 3, b užijte výsledek cvičení f) a ukažte, že platí vztah |3 x b| = \a\ \b\ smtp, v němž y je úhel svíraný vektory 5 a &. To dává vektorovému součinu geometrický význam. 1.3.4. V trojúhelníku ABC s vrcholy .4 = (3, -2), B = (-5,2), C = (-4, -1), najděte obecné rovnice přímek pa, Pb, Po na nichž leží strany trojúhelníku, a obecné rovnice přímek va, vt, vc, na nichž leží výšky Dále najděte souřadnice bodu V, který je průsečíkem výšek, souřadnice těžiště T a obsah S zadaného trojúhelníku. 1.3.5. Výpočtem najděte souřadnice bodu B. který odpovídá bodu A = (5, —3) v osové symetrii vzhledem k přímce s rovnicí 2y = 3x + 5. 1.3.6. Najděte obsah trojúhelníku ABC s vrcholem C, pro jehož souřadnice platí C = (—2, 3), a s vrcholy A a B, které leží ve vzdálenosti 4 délkových jednotek na přímce s rovnicí 3y ~ 4x + 2. 1.3.7. Napište obecnou rovnici přímky p, která prochází bodem P = (6,5) a průsečíkem přímek, jejichž obecné rovnice jsou qi : x + y — 4 = 0 a q2 : 3x — 5y + 4 = 0. 1.3.8. Napište středovou rovnici kružnice, na které leží body A = (5,3) a B — (-2,2) a jejíž střed leží na přímce x — 2y — 4 = 0. 1.3.9. Úhel a je odchylkou přímek s rovnicemi y — 1x -f 3 a \ ~x + 1. Kolik je tg q a cos a? 1.3.10. Na přímce zadané parametricky vektorovým vztahem X = P + tS, re (—00,00), vezmeme dva body Xi a X2, které odpovídají hodnotám parametru íi a lj. Jaká je vzdálenost d(Xi:X2) bodů X\ a X2, když směrový vektor e má jednotkovou délku. 1.3.11. Najděte obecnou rovnici roviny p, ve které leží bod P = (1,-1,2) a která je kolmá na dvě roviny, jejichž rovnice jsou x + y — z — 3 — 0 a. z — 2y. 1.3.12. Najděte obecnou rovnici roviny p. ve které leží bod.P ~. (-2,.3,-2)-.a Jcterá obsahuje přímku-s parametrickými rovnicemi x = l + í, y = 5 + t, z = — 2 + t, ř€ (—00,00). 1.3.13. Najděte obsah trojúhelníku ABC a obecnou rovnici roviny p, ve které trojúhelník leží, když A = (1,2,3), B = (4,3, —1), C = (2,4,5). 1.3.14. V rovnoběžnostěnu ABCDEFGH jsou souřadnice vrcholu A a tří sousedních vrcholů B, D, E dány takto: A = (-1,2,3), B = (3, -1,1), D = (2,0,1), E = (0,2, -3). Spočítejte objem rovnoběžnostěnu, obsah jeho stěny ležící v rovině p určené body A, B, D a obecnou rovnici roviny p. 1.3.15. Najděte vzdálenost vrcholu krychle o hraně a od roviny proložené sousedními třemi vrcholy. 1.3.18. Najděte obecné rovnice rovin, které jsou rovnoběžné s rovinou 2x — 2y + z — 0 a dotýkají se kulové plochy x2 — ix + jp + Sy + z2 — Sz = 0. 12 Geometrie v E2 a Bs 13 1.3.17. Trojúhelník má vrcholy v bodech, v nichž rovina 6x + 3y + 2z — 6 protíná souřadnicové osy. Jaký je jeho obsah? 1.3.18. Najděte vzdálenost bodu A od přímky p v Bs, když a) A = (2,-2,S),p:x = & + ót,y = t, z = 4 + 3t, í e (-oo.co), b) A = (i,-3,4),p:z = 8 + 2í,í, = -7-2r,x = -i-í)t6(-oo,oo). JEDNODUCHÉ FUNKCE A JEDNODUCHÉ LIMITY z pro x € (-co, oo), b) 2yfi pro z € (0,1) U (l,oo), c) 2Va2 + x2 Řešení. 1.1.1. a) pro x € {-o,0) U (O, o), d) — pro v G (0,1) U (l,oo), e) 2# pro x G (0,oo). 1.1.2. a) i G (-8,-|) U (5,oo), b) x € (-co,-2) U (1, oo), c) x S (—6, —3) U (2, oo), d) x E (-oo, -2) U (3,6), e) x E (-3, -2) U (1,3), f) z e (-2, -1) U (1,3). 1.1.4. a) x = 6, b) x = -3, c) x = -3, d) xx = 103, x2 = 10"i = . 1.1.5. a) x e (0,10) U (10,20), b) x e (-5,-3) U (3,5), c) x 6 (-3,4), d) x € (i, 10), e) x € (-oo,0) U (2, oo), f) x € (-oo,-1) U (2, oo). 1.1.6. a) a„ = 2™+1 +3(-l)", b) an = 2" + (-1)", c) an = 3 ■ 2" + (-1)"+1 • 21"", d) an = 10 - 2"~2. 1.1.7. a) 1, b) |, c) pro z € (-l,oo) konverguje k součtu |(z + 2), d) pro z ^ í konverguje k součtu -~— . Z -h 1 1.2.1. c) x e {-|7r,-|7r,0,Í7r, ijr.Tr} d) x € {-f?r, -fw, -|ir, §7r, |ít, |jt} . 1.2.2. a) cos 105° = -l(V5- 1)V2, b) sin-185° = i(V3 + l)v/5, c) cos 15° = |(V5+ ľ)v^, d) sin 15° = \{s/3-l)J2. 1.2.3. a) xx = 0, x2 = |ir (xi =0°, x2 = 120°), b) Xl = -|ir, x2 = n (xi = 300°, x2 = 180°), c) xi = 0, x2 = 2.746802 (xj = 0°, x2 = 157°22'48"), d) xi = 0.643501, x2 = jr (xi = 36°52'12", x2 = 180°). 1.2.4. a) u = Q, x2 = 2arctgf, b) xi = tt, x2 = -2arctg|. 1.2.5. a) Xi = ítt, x2 = ^tt (x, = 15°, x2 = 105°), b) a, = -IAtt, x2 = ijr (xj = 195°, x2 = 105"), c) xi = Jjjr, x2 = ^ir (xi = 15°, x2 = 75°), d) xj = -i*, x2 = ijr (xj = 255°, x2 = 15°), e) xj = 0.192474, x2 = 1.094528 (x, = 11°1'41", x2 = 62°42'43"), f) Xi = -0.515778, x2 = 1.802781 (X! = 330°26'53", x2 = 103°17'30"), g) Xi = -2.909608, x2 = 1.055018 (xi = 193°17'30", x2 = 60°26'53"), h) x, = -2.528668, x2 = 1.718885 (xt i 215°7'5", x2 i 98°29'5"). 1-2.6. Každý bod, který vyhovuje rovnici 1.2.5.(*), splňuje x = í - x + 2-Trfc nebo x = tt -1 - š + 2nk pro nejaké k e Z. 1.2.7. Pro každé x takové, že cos f ý- 0, tj. x ý- n + 2irk, k € Z. 1.2.8. Jediné řešení je pro \F\ -■ \/A2 + B2, což je ve shodě se vztahem xa,2 B ± V.42 + B2 - F2 = 0, va : x - 3y - 9 = 0, -|), S = 10 plošných jednotek. A + F 1.2.9. a) 2; = 2 + i, z% - 1 - i, b) zi = 3 + i, z2 = i, c) zx = i, z2 = 1 - i, d) zi = 1 + i, z2 = - i e) 2] = 1 + i, z2 = -i, f) 2t = i, 22 = 1 - i . 1.3.4. pa : 3x + y + 13 = 0, pb : x + 7y + 11 = 0, pc : x + 2y + 1 vt : 7x - y + 37 = 0, vc : 2x - y + 7 = 0, V = (-6, -5), T = (-2, 1.8.5. B = (-7,5). 1.3.8. Obsah trojúhelníku je 8 plošných jednotek. 1.3.7. 3*-4j/ + 2 = 0. 1.3.8. (x - 2f + (y + l)2 = 25. 1.3.9. tga = 7, cosa = iv5. 1.3.10. d{XuX2) = |ŕi - ŕ2|. 1.3.11. Obecná rovnice roviny p je x + j/ + 2z-4 = 0. 1.3.12. Obecná rovnice roviny p je 2x-j/-2 + l = 0. 1.3.13. Obsah trojúhelníku je f- ploäné jednotky a obecná rovnice roviny p je 2x - 2y + z - 1 = 0. 1.3.14. Objem je roven 4 objemovým jednotkám, obsah stěny jsou 3 plošné jednotky a obecná rovnice roviny p je 2x + 2y + z - 5 = 0. 1.3.15. Vzdálenost je \\/Ža délkových jednotek. 1.3.16. Rovnice rovin jsou 2x - 2y + z - 34 = 0 a 2x - 2y + z + 2 = 0. 1.3.17. Obsah trojúhelníku je | plošných jednotek. 1.3.18. a) Vzdálenost je S délkových jednotek; souřadnice bodu přímky p, který je nejblíže bodu A, jsou (3, -1,1). b) Vzdálenost je 3 délkové jednotky; souřadnice bodu přímky p, který je nejblíže bodu A, jsou (2, —1,2). 2.1. Jednoduché funkce 2.1.1. Určete definiční obor a načrtněte grafy funkcí: a) x -> (x + 2)2 , b) x -> ln(x - 2), 1 „ x + 2 x + 1 ' d) g) x -> 2 - |x), j) x -» %/2x — x2 — 1, e) b) k) x->2|x + l], x -> \x - 1| + |x|, c) f) i) 1) x -> ln \x - 2| |x| — X 2.1.2. Najděte definiční obor a určete, zdaje funkce / lichá nebo sudá, když x sin x b) /(*) = -r c) /(x) = ln(4x - x2 - 4). (x4 — x2) cos2x x2 + 1 ' ' x1 + 2x2 + 1 ' sin2 x + 2 cos2 x ' 1.3. Najděte definiční obor £>(/) funkce / a určete, zda funkce / je na něm rostoucí či klesající, když /(x) = 3x3 + 2x , b) f{x) ' x2 + 1: c) f(x) = e 2.1.4. Najděte největší interval / obsahující bod xo, na kterém je zadaná funkce g monotónní. Označte / funkci s definičním oborem £>(/) = /, pro kterou /(x) = g{x). Rozhodněte, zdaje funkce / v intervalu / klesající či rostoucí, najděte inverzní funkci /_1 a její definiční obor D(/_1) = H(f), když a) g{x) = x2 +4x + 1 ,x0 =0, b) g(x) = \x\ + 1 ,x0 = -2, c) j(x) = 2|x- 1| + |x -3| ,x0 = -1, , , x + 3 ' = 'X° 2.1.5. Najděte obor hodnot H{f) funkce / dané vztahem (x e (-00,00)) 1 x2 + 1 b) /(x) = 3x2-3x + l, c) f (x) = ln(l + x2). a) /(x) fteäení. 2.1.1. a) (-00,00), b) (2,00), c) (-00,00), d) (-00,00), e) (—00, —1) U (—1,00), f) (-00,2) U (2,00), g) (-00,00), h) (-00,00), i) (-oo,0) U (0,oo), j) definiční obor D obsahuje jediný bod, číslo 1, proto D = {1}, k) (-00,00), I) definiční obor D neobsahuje žádný bod, je to prázdna množina, proto D = 0. 2.1.2. a) D(f) = (-00,00), funkce / je lichá, b) D{f) = (-00,00), funkce / je sudá, c) D(f) = (-00,00), funkce / je sudá. 2.1.3. a) £>(/) = (-00,00), funkce / je na něm rostoucí, b) D(f) = (-00,00), funkce / je na něm rostoucí, c) D(f) = (—00,00), funkce / je na něm klesající. 2.1.4. a) J = (-2, 00), /->(y) = -2 + v^+3, £>(/"») = (-3,00), b) I = (-00,0), /"'(!/) = 1 - », Dif-i) = (l,oo), c) I = (-oo,l), f-l(y) = |(5 - y), DiJ'1) = (2,00), d) / = (-00,2), r1(rí = ^T,^(r1)-(-oo,l). 2.1.5. a) H (f) = (0,1), b) H(f) = <|,oo), c) H(f) = (0,oo). 14 Jednoduché funkce j ednoduché LIMITY 15 2.1.6. Ukažte, že funkce g definovaná vztahem 9(x) = ÍTT splňuje g(g(x)) = x pro všechna x z definičního oboru. Najděte definiční obor D(g) funkce g, obor hodnot H(g) a vyjádření inverzní funkce p-1. 2.1.7. Ukažte, že funkce h definovaná vztahem h(x) -. ax + c bx — a 5 v němž a, b, c jsou parametry, které vyhovují podmínkám b ^ 0, o2 + bc ^ 0, splňuje h(/»(i)) = s pro všechna x z definičního oboru. 2.1.8. Funkce inverzní k funkci /tg definované vztahem Ag(x) = tg a; pro ty hodnoty proměnné x, které patří do definičního oboru D(ftg) = (-§Jr, §tt), je funkce aretg. Funkce inverzní k funkci /CQtg definované vztahem /Cot6M = cotg x pro ty hodnoty promčnné a;, které patří do definičního oboru D(/cotB) = (0, ir), je funkce arccotg. a) Vyjádřete pomocí aretg inverzní funkci k funkci g, která má definiční obor D(g) = (|ir, |jr), na němž pro hodnoty funkce g platí g[x) = 3 tg x. b) Vyjádřete pomocí arccotg inverzní funkci k funkci h, která má definiční obor D(h) = (4jr, 57r), na němž pro hodnoty funkce h platí h(x) ~ 2 cotgx. c) Ukažte, že pro všechna x € (-co, co) je arctgx + arccotgx = |jr . d) Ukažte, že pro všechna reálná x ^ 0 je 1 ľ íir pro x > 0. aretg z + aretg — = < X l — \" pros<0. ftešení. 2.1.6. D{g) = H(g) = (—oo, 1) U (1, co), jr'CO = h a(x)- 2.1.8. a) D(j_1) = (-00,00), g~l(y) = x + aretg\y. b) ^(/t"1) - (-00,00), hTr(y) = 4jr + arccotg |t/. c) Hodnotu aretg a; označíme ip, tj. aretg 2: = (p . Potom je tp € (-jtt, j7r) a tgtp = x. Protože j7r - tp é (0,ir) a cotg(5?r - ip) = tgtp = x, je arccotg x= --K — ip . Sečtením (*) a (**) dostaneme výsledek. d) Hodnotu aretg ar označíme tp, tj. aretg x = ip. Probereme případ x > 0. Potom je ip e (0, j7r) a tgp = x. Protože \it: - tp g ((), Ijr), je 1 1 tg(§7r -ip) = cotgv =--= - . Máme tedy aretg — = |jr — . (*) (*) (**) Sečtením (*) a (**) dostaneme výsledek. V případě x < 0 je ip € (-§tt,0). Poněvadž pro takové < platí-ijr - tp e (-§)r, 0) a také w 1 \ i /i , \ sin(lir + ) = -tg^Tr + p) =--)ž-Ti = = cotg^ =-= i , cos(jjr + ^) sraji tgp a: je odtud možné učinit závčr l V tomto vztahu místo ^ napíšeme arctgx, tím je výsledek dokázán i pro x < 0. 2.2. Jednoduché limity 2.2.1. Spočítejte tyto limity: a) lim (2a;2-5), d) ,. cos x lun -, g) x4 - 2x3 - x lim —=——-x—-r— , i-»o 2x3 + 3x2 + 2a: j) 2a:3 - 3x + 2 lim —--—5— , x-řco 7 — 4a:0 m) 5 - 3a;4 rTU 2a; - 3a:2 + 4xl P) 2*-2 _ 3*+i ») lim a: cos — , i~+o a: b) e) h) k) n) q) t) lim ■ lim 6 - 2x ~ 2a;2 z-»-2 3a;2 + 4a; - 3 ' 3x2 + 2a: - 1 lim x—: lim i 2a;2 + 3a; + 1 ' 2a;4 - 3a;3 + 5 3a;5 + 4a; + 1 3a;i - 2z íc^+oo 2a;2 + 4 lim lim e^cosa;, i—— oo c) f) i) 1) o) ') u) lim 2"x lim lim 3 - 7 cos x 2x2 - 2a; - 4 2 a;2 4- íc — 6 2 - 5a;4 lim lim 5a;5 - 2a: - 1 lim lim a/s2 + x 2.2.2. Použijte těchto dvou limit sin x lim-= 1 lim - a fipočítfijte: . sin 3a; a) lirxi —-— , lim lim sin 2a; b) e) h) lim —'-—-, z-ta tg 5a: lim d-»0 lim - z-ř0 cos2 X — 1 c) f) i) sin 3a; hm-5— , i->o a:^ »33 _ i lim - x-*0 »-►0 sin2 3x' 2.2.3. Jestliže limita neexistuje, spočítejte limity jednostranné (pokud existují): lim (7T — x) cotg x. 3-3 lira--, x->2 2 — a; lim e • , lim x +1 lim sin •ix2 +ix + 4' 1 b) e) h) k) a; -3 lim , , (x - l)4 lim ln (1 + -) , z->0 \ x/ lim - l-2x »^3 x2 - 2x - 3 ' r i 1 hm e * cos — , z->o x c) f) i) D lim a:+ 11 . 5 (x + 5)3 ' lim e1-2 , oo -.t-2 lim i x2 + 2a; + 1 ' lim-. ar-*0 Sin X a) d) 8) j) lešení. 2.2.1. a) 3, b) 0, c) 0, d) i, e) 2, f) 0, g) -|, h) 4, i) |, j) -|, k) 0, 1) co, m) -f, n) 0, o) co, P) -9, q) 1, r) -1, s) 0, t) 0, u) -1. 2.2.2. a) f, b) |, c) 9, d) 1, e) ď, f) 3, g) |, h) -1, i) -1. 2.2.3. a) limita zleva je -oo, zprava oo, b) -co, c) limita zleva je -oo, zprava oo, d) limita zleva je 0, zprava co, e) limita zprava je oo, funkce není definována v levém okolí bodu 0, f) e, g) limita je -oo, h) limita zleva je oo, zprava -co, i) limita zleva je oo, zprava -oo, j) neexistuje limita zleva, ani limita zprava, k) limita zleva je 0, limita zprava neexistuje, 1) limita zleva je -1, zprava 1. 16 bolzanova věta 17 2.2.4. Spočítejte tuto limitu (která se nazývá derivace funkce /) h~+o h pro funkci / danou takto: a) f(x) = x2 , 1 b) /(x) = x3 c) f (x) = x4 , f) f(x) = ^/x,x>0. d) f (x) = ^, e) /(r) = ?, 2.2.5. Dvě funkce f a g splňují lim f (x) = A , lim g (x) = B , přičemž A, B e (-00,00) , A < B . a) Ukažte, že potom existuje číslo a takové, že x 6 (a, cc) /(x) < #(x). b) Ukažte, že potom pro každé číslo D, které splňuje D < B - A, existuje číslo b takové, že x e (6,00) f (x) + D < g{x). c) Ukažte, že pro dosti velká čísla x platí 3x2 + xy/x_+ (óx + 3)sin7x ix2 -x - 19e~5!c 2x2 - x - 2 x2 + 5x + 3\x + 50| ' 2.3. Bolzanova věta 2.3.1. Bolzanova věta. Bud' / spojitá funkce na intervalu (a,b), -00 < o < b < 00. Pro každý bod ji ležící v intervalu, jehož krajními body jsou hodnoty f (a), f (b), existuje bod x e (a,ři) takový, že f (x) = y. Ukažte, že funkce / má v daném intervalu (a, b) aspoň jeden bod x takový, že platí f (x) = y, když a) f (x) = (x - 2)e~x + x2,a = Q,b = 2,y = l, b) /(x) = x — 2 srn x, a = |jr, & = 7r, t/ = 2, c) /(x) = x5 - 3x2 + 1, o = 0, b = 1, y = 0, d) f (x) =x4 -3x2 - x + 1, a = 0, 6 = 2, y = 0. x2 2.3.2. Spočítejte a potom vysvětlete, proč pro funkci f (x) = -—- neexistuje v intervalu (0,2) bod x takový, že f (x) = y, kde y je libovolný bod z intervalu (0,4), i když v krajních bodech intervalu platí /(O) = 0 a f (2) = 4. Řešení. 2.2.4. a) 2x, b) 3x2, c) 4x3, d) e) f) 5^=. 2.2.5. a) Označíme e = \(B - A). Z definice limity funkce / vyplýva, žc existuje číslo af takové, že pro každé x £ (af, 00) je f (x) < A + e. Z definice limity funkce g vyplýva, že existuje číslo a, takové, že pro každé x e (a0,oo) je f (x) > B - e. Jestliže označíme a větší v, hodnot aj, ag je (vzhledem k tomu, že A + e = B - e) splněna nerovnost f (x) < g(x) pro všechna x g (o, 00). b) Úvaha je stejná jako při řešení předcházející úlohy, pouze volíme e = \(B - A - D). c) Limita funkce stojící na levé straně nerovnosti v nevlastním bodě 00 je §, limita funkce vpravo je 4; proto pro velká x nerovnost platí. 2.3.1. a) /(O) = -2, f (2) = 4, proto existuje bod x S (0,2) takový, že f(x) = 1, b) f(ív) = |ir - 1, /M = t> Proto existuje bod x 6 (jír.jr) takový, že f(x) = 2, c) /(0) = 1, /(l) = -1, proto existuje x € (0,1) takový, že f(x) = 0, d) /(0) = 1, /(2) = 3, musíme zkusit další body uvnitř intervalu (0,2): /(l) = -2, proto existuje xt € (0,1) a x2 € (1,2) tak, že f(Xl) = /(Xä) = 0. 2.3.2. Funkce není spojitá v intervalu (0,2). Později si nakreslete graf funkce /. derivace 3.1. Výpoíet derivací, diferenciál 3.1.1. Spočítejte derivaci, uveďte největší otevřený interval, na kterém je derivace spočítána, a zjistěte hodnoty funkce a derivace v bodé x = 1: a) /(x) = 3(x2-2x + l)-51nx + 2Vx, b) g(x) = sin 2x + cos 2x, 4 c) h(x) = te= + y/x Xyfx ' d) j(x) = \jx ví*, e) ife(x) = 2*, f) /(z)=logx = log10x. 3.1.2. Spočítejte derivaci a uveďte největší otevřené intervaly, na kterých vztahy platí: b) f(x) = (x2 -4x + 24) Vx + 3, d) f(x) = - a) f(x) =sin(cos(e1-2j;)) , c) /(x) = (x + l)3(x2-l)2, ' 4(x4 +4) ' e) f(x) = e~3:ccos2x, 1- f) /(x) = x arctgx — ln \/l + x2 , í) /(x) ^ j) m) m(x) = e2«+" , P) f (x) = x1, q) /(í) 3 + súr x 1 + cos2 x ' i) /(x) /(x) = tg2 2x, 1) /(x) . x + 2 = aresm —-— , 0) s(x) /(x) = cos2 v 1 4- x2 , r) 9(x) 1 aretg — , x 3-x 5x + 2 ' x2 + l ' x + 2 °2x-l 3.1.3. Při úprave výrazu vzniklého derivováním je třeba včas vytknout vše, co vytknout lze. Například _d_ (x2 - 5f 4(x2 - 3)32x(x2 + 2)3 - (x2 - 3)"3(x2 + 2)22x dx (x2 + 2f ~ (x2 + 2)6 _ 2x(x2 - 3)3(x2 + 2)2 (4(x2 + 2) - 3(x2 - 3)) (x2 + 2)« _ 2x(x2 - 3)3(x2 + 17) (x2 + 2)4 ' Podobně postupujte u těchto funkcí: a) f (x) = ^ b, /M = feg, c) /W = g±^. (x-2)4' (x + 3)5' 3.1.4. Funkci zapište pomocí záporného exponentu; potom dvakrát derivujte: a) f (x) = — c) /(x) x2(x2 + l) ' 1 b) f (x) = (x + If x2 + 2 + sin x ' d) f (x) - x2 + 3x + 2 s/x^+l 18 výpočet derivací, diferenciál výpočet derivací, diferenciál 19 3.1.5. Spočítejte první a druhou derivaci funkce: a) /M = j ('xVx2 + a2 + o2 ln(z + \J x2 + o2)) , o > 0, b) /(x) = - 2b)\/ax + b , a > 0 , 3.1.6. Spočítejte první a druhou derivaci funkce: /(*) = c) f(x) -- 2(x + 1)2 a) Postupujte přímým výpočtem. b) Povšimnete si, že f(x) = g{x)g'(x), kde pro stručnost je použito označení g(x) = arcsinx. Potom ukažte, že platí (pro zkrácení proměnnou x nevypisujeme) f'=ga" + (g'f, /" = S9"' + 3g'9". Poněvadž se snadno odvodí, že 9"(x) = l + 2x* (l-x2)§ ' " (l~x2)§ ' dostaneme výsledek pouhým dosazováním do předcházejících vztahů. 3.1.7. Funkce /, g a h mají na otevřeném intervalu I potřebné derivace, funkce / je na tomto intervalu nenulová. Spočítejte b) «0 (/sA)', d) 3.1.8. Funkce / aj mají na (-oo, oo) potřebné derivace, a je pevná konstanta. Spočítejte a) ^/(3-2^),fc = l-.2,..., b) ^(/Ws(«-i)),t = u, C) ------~ , A = 1,...,«, dx* n! d) d* 1 dar* (a: — a)3 ' >>■■•! e)---— ' dxl + P' f) 3.1.9. Pro všechna z platí tg(arctgz) = x. Derivujeme jako složenou funkci a dostaneme vztah 1 cos2(arctga;) dx — arctgx = 1. 1 Označíme-li tp = arctga;, je

y (x) (nazývané implicitně zadaná funkce) v určeném bodě x: a) x?+y2 =R?,R>Ú,x£(-R,R), b) xlny+2y = x2-2 v bodě x = 2(kde y(2) = 1). 3.1.10. Vše, co bude řečeno, se týká funkce /, která má derivaci na otevřeném intervalu i. Pro takovou funkcí označuje d/ = /'(x)dx diferenciál funkce / v bodě x e I, přičemž dx označuje velikost přírůstku nezávisle proměnné x diferenciál nezávisle proměnné x. Někdy je třeba pro označení diferenciálu psát áf(x,dx), abychom zachytili jak bod x, v němž se diferenciál bere, tak i velikost přírůstku dx. Proto například d/(x0,/i) = /'(x0)A znamená diferenciál v bodě x0 s přírůstkem nezávisle proměnné vyjádřeným veličinou h. Naproti tomu přírůstkem A/(x, h) se rozumí přesný přírůstek hodnot funkce /, proto se definuje Af(x,h)=f(x + h)~f(x). ... . v .. A/(x,A)-d/(x,ň) , a) Ukažte, že lim ,—2-i-i—i = 0. 1 h-*o h b) Nová veličina y (závisle proměnná y) je zavedena vztahem y — f (x). Jak definujeme diferenciál proměnné y? Co takový vztah vyjadřuje? 3.1.11. Porovnejte Ag(xo,A) a dg(x0,h) tím, že spočítáte Ag(x0,h) — dg(xo,h) pro obecnou hodnotu přírůstku h nezávisle proměnné; ověřte, že tento výraz (i po dělení přírůstkem h nezávisle proměnné) konverguje k nule, když h -)• 0: a) t(x) = x2 v bodě x0 = 3 , b) g(x) = x3 v bodě x0 = 2, ) g(x) = — v bodě Xo — 2, d) g(x) = y/x v bodě xq — 1. 3.1.12. Porovnejte Am(i, A) a dm(x, h) tím, že spočítáte 4m(i,l) - dm(x,h) pro vybrané hodnoty přírůstku h nezávisle proměnné pro funkci: a) m(x) = e2x v bodě x = 0 a pro tyto hodnoty přírůstku h: 1,0.5,1CT1,10~2,10~3,10-4. b) m(x) = cosx v bodě x = |(/t) = (-00,00), fc(l) = 2, fe'(l) = 21n2 = 1.4, 1 _ loge 3.1.2. a) /'(x) = 2e1-2ltcos(cos(e1-2l;)) sinte1-2*) na (-00,00), b) /'(x) = 2Vx + 3 na (-3,co), c) /'(x) = (x + l)4(x- l)(7x-3) na (-00,00), d) /'(x) = 7x^2 na í-00'00). \X -h 4) e) /'(x) = -e~3l(3cos2x + 2 sin 2a;) na (-00,00), f) f (x) = arctgx na (-00,00), I f (x) (1 + VxPVí na (0,co), h) f (x) 10 sin x cos x 5 sin 2x (1 + cos2 x)2 (1 4- cos2 x)2 na (—00, co), ,> , _ 4sin2x . . K) J {x) — — _a n na (— jir, j7r) a na intervalech, které se dostanou posunutím o j7rfc, k celé číslo, 1) /'(x) = cosd 2x -17 (5x + 2)2 na (-00, -1) U (-|, 00), (2x + l)26 ^(2x + l)2P01' 2'n"^' ^—X2 — ix na (-4,0), 20 výpočet derivací, diferenciál užití derivací 21 /„ í \ ,t, s -xsin2vT+"ä? , . . ,. , —1 p) /'(x) = x*(l +lnx) na (0,oo), q) / (x) =--na (-00,00), r) g (x) = -j— VI t" X J, -f L na (-00, |) U (j, 00). 3.1.3. a) f (x) = ~{X+Sts+W) P™ x « (-°°.2) U (2,°°) b) f'(x) = c) /'(x) = 3.1.4. a) f (x) = (x - 2)5 (x - 2)4(2x + 21) (x + 3)4 r(x3 + 2)2(5x3 + 9x-S) (x1 + l)3 -2(2x2 + l) ,„. , 2(10x4 + 9x2 + 3) . .,,,.„ , pro x 6 (-00, -3) U (-3,00), pro x € (—00,00). „ . *ir . -(x + l)(x + 3) ,„. . 2(x2 + 61 + 6) , „,,,,„ . b) f [x) = -±-j-- , f (x) = --g-i pro x e (-00,0) U (0,00). c) /'(x) -<2x + cosx) ,„, . (6 + 8inx)x2 + 8xcosx + cos2x - 3 , . (i! + Hsmi)! (x2 + 2 + sinx)3 x3 +3 „,, . 3x(x - 3) (x2 + l) = (X* + 1)5 3.1.5. a) /'(x) = Vx2 + o2, /"(x) : \/x2 + a: = pro x S (—00,00); b) /'(x) = -,=£==,/"(x) = ^4rr p™ 31 e ("i.«). \faz + b 2(ax + í)) 3x ! (x + 1)4 pro, x. 6 (—00, —1) U (—1,00) . .. xarcsinx 1 3.1.6. a) /'(x) =--— + 3x pro x e (—1,1). (1 - x2)2 -,c) ľgh + fg'h + fgtí, „ (2x2 + 1) arcsinx (l-x2)! ' i-x2l/ (x) (TT^l + 3.1.7. a) (£)' = tíl^T, b) (£)• = /y^/pjce d) íí!l+fíg - ľah 3-1.g. a) (_2)VW(3 - 2x), b) ± (/(x)S(a - x)) = d2 /'(it)g(a - x) - f(x)g'(a - x), ^(/(x)s(a - x)) = /"(x)9(a - x) - 2{'(x)g'(a - x) + f(x)g"(a - x), (x - g)-* (-!)'(*+ 2)1 (I-/2)/' n2f5„3/of,fl + 2f„n C) („-*)! ' d) 2!(x-a)*+3 >e) (1 + /2)2 'f)2/ 9 (3/S + 2/9)- 3.1.9. a) y'(x) = , ,»(*) = , b) y'{2) = 1, y'(2) = f. 3.1.10. b) Vztah má tvar dy = /'(x) dx a vyjadřuje, jak veliká je změna nové proměnné y, když se původní proměnná x mění o „malé hodnoty" dx. 3.1.11. a) />2 , b) (6 + h)/.2 , c) —^ , d) Íi-Z^M . ' 4(2 +A; 2(1 + VTT/Í) 3.1.12. a) b) A= 1 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001 Am(0, h) = 6.389056 1.718282 0.221403 0.020201 0.002002 0.00020002 dm(0,/í)= 2 1 0.2 0.02 0.002 0.0002 h= 1 0.5 0.1 0.01 0.001 0.0001 Am(Í7r, /i) = -0.818845 -0.345729 -0.054243 - 0.005043 -0.0005004 -0.000050004 dm(|jr, h) = -0.5 -0.25 -0.05 -0.005 -0.0005 -0.00005 3.2. Ušití derivací Definice a význam derivace 3.2.1. Příklad. Pravděpodobnost dožití se věku x je pro narozeného jedince popsána funkcí p(x). Jak interpretovat funkci fi, která je definována výrazem 1 dp(x)? p(x) dx Podle definice derivace pro malé kladné h uvedený vztah přibližně vyjadřuje (tím „přesněji", čím je ň „menší") ^ 1 p(x + Ji) - p(x) l(X'~ p(x) h Násobíme h, a zlomek vpravo rozšíříme číslem ÍVq, které vyjadřuje počet narozených; dostaneme jiix) h = iVop(x) - JV0p(x + h) N0p(x) V posledním výrazu Nop(x) představuje počet jedinců, kteří dosáhli věku x, a Nop(x + h) je počet jedinců, kteří dosáhli věku x + h. Rozdíl A'op(x) — Nap(x + h) udává tedy počet zemřelých ve věku, který je větší než x a je menší než x + h. Tedy podíl stojící na pravé straně poslední rovnosti vyjadřuje pravděpodobnost, že jedinec, který se dožil věku x, zemře před dosažením věku x + h. Funkce ;í se nazývá intenzita úmrtnosti a veličina ;i(x) h pro „malá" h odpovídá pravděpodobnosti úmrtí ve věku z intervalu (x,x + h). 3.2.2. Poloha bodu při oscilačním pohybu na přímce je popsána funkcí xit) — Acoswř, kde A,uj jsou kladné konstanty. Najděte výraz pro rychlost v(t) pohybu a najděte místa, kde je rychlost největší. Dále najděte výraz pro zrychlení a(t) pohybu a najděte místa, kde je zrychlení oscilačního pohybu největší. 3.2.3. Veličinou P(t) je vyjádřena velikost populace v závislosti na čase í. Vysvětlete, proč výrazy dP(t) 1 dP(t) dt ' P(t) dt je rozumné nazývat rychlost růstu populace a relativní rychlost růstu populace. Spočítejte, že pokud populace je popsána funkcí P(ť) = Poe"1, v níž Po a a jsou konstanty, potom relativní rychlost růstu populace je a. Tečna 3.2.4. Napište obecnou rovnici tečny ke křivce y = 8 - 2x — x2 v bodech (-1, ?), (0, ?) a (3, ?). 3.2.5. Napište vektor, který má směr tečny ke křivce y = /(x) v bodě x — a, v němž existuje derivace funkce /. Napište pro tento bod vektor normály ke křivce, jenž směřuje do míst Jižnějších", než je bod (a, /(a)). Jaký je vektor normály směřující do „severnějších" míst? 3.2.6. Je dána funkce /, která má na otevřeném intervalu I derivaci. Najděte vyjádření pro funkci která popisuje y-ovou souřadnici bodu, v němž tečna v bodě x ke křivce y = f (x) protíná osu y. .>.2.y. Je dána funkce /, která má na otevřeném intervalu / nenulovou derivaci. Najděte vyjádření pro funkci p, která popisuje x-ovou souřadnici bodu, v němž tečna v bodě x ke křivce y = /(x) protíná OSU X. 3.2.8. Funkce / je lichá funkce na (-00,00) a y = kx + q je tečna v bodě se souřadnicí x = a. Jakou rovnici má tečna v bodě se souřadnicí x = -a? 3.2.9. Funkce / je sudá funkce na (—00,00) a y = kx + q je tečna v bodě se souřadnicí x = a. Jakou rovnici má tečna v bodě se souřadnicí x = —a'ľ 3.2.10. Rovnice tečny ke křivce y — f (x) v jistém bodě se souřadnicí x — a je. y = kx + q. Jaká je rovnice tečny v bodě se souřadnicí x = a ke křivce y = a/(x), kde a je libovolná konstanta? 22 užití derivací 23 3.2.11. Funkce / je libovolná funkce, která má na otevřeném intervalu / derivaci. Pro libovolný nenulový reálný parametr a sestrojíme funkci fa předpisem fa(x) = af(x) pro ifi. V bodě se souřadnicí » = o 6 /, v němž derivace funkce / není rovna nule, sestrojíme tečnu ke grafu funkce / a označíme b bod, v němž tečna protíná osu x. V bodě se stejnou souřadnicí x = a sestrojíme ta.ké tečnu ke grafu funkce fa a označíme ba bod, v němž tato tečna protíná osu x. a) Odvoďte vztah mezi b a ba pouhou úvahou, bez počítání. b) Napište rovnice tečen a průsečíky b, ba s osou x spočítejte. Tayiorův vzorec 3.2.12. Pro každou funkci /, která má na otevřeném intervalu I derivace (pro jednoduchost) všech řádů, můžeme pro každý bod x 6 I a pro libovolné přirozené číslo n a libovolný bod Xo € I psát m = f m + - -o) + ^2l(x - xo)2 +...+- z,)* + iu»(x) Jt=0 kde pro veličinu Rn+1(x), kterou nazýváme zbytek, platí vztah v němž bod £ je nějaký bod z intervalu s krajními body x a xo. Řadu k=í) nazýváme formální Taylorovou řadou se středem v bodě x0. Často se pomoc! této řady dá vyjádřit hodnota funkce /(x). a) Napište Taylorovu řadu se středem v bodě x0 = 2 pro funkci /(x) = x3 - 7x2 + 15x - 8. Vypište všechny nenulové členy řady. Přesvědčte se, že zadaný polynom je roven odvozené Tayiorově řadě. b) Stejně jako v předcházející úloze: střed v bodě x0 = -1, funkce /(x) = x5 - 2x + 1. c) Napište formální Taylorovy řady pro funkce /i(x) = ex, /2(x) = cos x a f3(x) = sin x se středem v bodě x0 = 0. Tyto řady vyjadřují hodnoty funkcí pro každé x - dokonce i komplexní. d) Najděte přibližné hodnoty pro e a e_1 sečtením prvních pěti členů odvozené řady. Srovnejte s hodnotou, kterou najdete na kalkulačce. e) Najděte přibližné hodnoty sin 6° a cos 10° sečtením prvních dvou členů odvozených řad. Velikost úhlu vyjádříme v radiánech a pak dosadíme. Porovnejte s údajem kalkulačky. Funkce rostoucí, klesající, minimum, maximum 3.2.13. Pomocí Rolieovy věty určete bez počítání disjunktní (bez společných bodů) otevřené intervaly délky jedna, v nichž leží kořeny derivace polynomu p(x) = x(x~ — l)(x3 — 4). x -f- 1 3.2.14. Příklad. Funkce /(x) = —-— má zápornou derivaci v každém bodě svého definičního oboru (-oo, 1) U (1, co). Proto je funkce klesající na intervalu (-oo, 1) a také na intervalu (1, oo). Nelze říci, že funkce klesá na svém definičním oboru, neboť 0 < 2 a přitom /(O) = — 1 < f (2) = 3 , (x2 +1)2 3.2.15. Najděte intervaly, na nichž je funkce h{x) = -'— monotónní. (x2 + 2y 3.2.16. Na kterých intervalech je funkce f(x) - 3x2-l x(x2 - 1) klesající? 3.2.17. Buď !(x) = x3(4 - x). Ukažte, že pro každé číslo A < 27 existuje jediná dvojice bodů (a,b) taková, že a < 3 < b a /(o) = /(&) = A. 3.2.18. Dokažte, že funkce g je na svém definičním obom kladná, když g(x) = - + ln x. 3.2.19. Najděte maximum a minimum funkce /(z) = x3 - 3x2 - 3 na intervalu I = (-1,4). 3.2.20. Najděte maximum a. minimum funkce g(x) = x - 2arctgx na intervalu I = (0,oo). 3.2.21. Najděte minimum a maximum funkce h(x) = x2 - 2x - 4|x - 2| + 1 na intervalu / = (-2,3). 3.2.22. Najděte minimum a maximum funkce f(x,y) = 5x2 + 4xji + 2i/ na množině M bodů (x,y) v rovině, když M = {(x, y) |x2+j/2 = 3}. Množina M se dá zachytit (parametrizovat) jedinou proměnnou, například t; můžeme psát x = \/3cosí, y = V^sini, i 6 (0,2ir). 3.2.23. Jako v předcházející úloze pro funkci g(x, y) = 10x2 + &xy + 2y2 a M = {(x, y) | x2 + y2 = 1}. 3.2.24. Najděte mezi kladnými čísly takové, že je pro něj součet druhé a třetí mocniny zmenšený o přirozený logaritmus jeho páté mocniny nejmenší. 3.2.25. Najděte rozměry obdélníka s obvodem L > 0, který má největší obsah. 3.2.26. Najděte poloměr základny r a výšku v válce největšího objemu, který se vejde do koule poloměru R. Objem vyjádřete jako funkci výšky v G (0,2R). 3.2.27. Jako v předcházející úloze pro kužel s poloměrem základny r a výškou v. 3.2.28. Náklady na provoz jisté lodi se dají rozdělit na paušální a ty, které jsou svázány s rychlostí pohybu lodě. Tyto náklady rostou se třetí mocninou rychlosti a při rychlosti 10 kin/h jsou 40 Kč/h. Paušální náklady jsou 640 Kč/h. Při jaké rychlosti jsou náklady najeden kilometr plavby nejnižší? 3.2.29. Cena C(x) komodity klesá se vzdáleností x od města podle vztahu C(x) = -—-— , kde co 1 + ax a q jsou kladné konstanty. Dopravní náklady D(x) rostou lineárně se vzdáleností od města x podle vztahu D(x) — ax + b, kde a, b jsou kladné konstanty. Za jakých podmínek na parametry c0, a, a, b jsou celkové náklady N(x) — C(x) + D(x) nejmenší pro nějakou vzdálenost xo > 07 Podmínku interpretujte graficky. 3.2.30. Aritmetický průměr. Jsou dána reálná čísla x\.....x„. Najděte bod absolutního (globálního) minima funkce n Ía(x) = J2(x-xí')2- 2.2.31. Geometrický průměr. Jsou dána kladná čísla xi,... ,x„. Najděte bod absolutního (globálního) minima funkce /G(x) = ^(lnx-lnxJ02 = Žln2-?:. j=i j=i '> 3.2.32. Harmonický průměr. Jsou dána kladná čísla xi,... ,xn. a) Najděte bod xh absolutního (globálního) minima funkce //í(x) — Y^í- ——) . z—''Vx XiJ , . 3=1 J °> Proč stačí hledat minimum mezi kladnými čísly? c) Spočítejte }"(xn). 24 užití derivací 25 3.2.33. Vyšetřujte minimum vzdálenosti bodu Q a bodů křivky. Odvoďte podmínku, pro x-ovou souřadnici bodu P na křivce y = x2, který je nejblíže bodu Q = (1,0). Ukažte, že spojnice bodu P s bodem Q je normálou křivky v bodé P. 3.2.34. Dokažte využitím konkávnosti, že funkce g(ip) - 2ip + ttcosip - w je nezáporná pro

0+ k proměnné y = j, máme y -» co, a proto lim —=- = lim y5e " = lim — a:->0+ xa y->oc y-*co Pokud nezačneme úpravou, každé užití 1'Hospitalova pravidla vede ke stále složitějším výrazům. ľllospitalovo pravidlo 3.2.35. Poznámka. Výrazy, které se mají derivovat při aplikaci 1'Hospitalova pravidla, jsou někdy složité a lze je zjednodušit tím, že z nich vypreparujeme části, které mají nenulovou a konečnou limitu. Například (x-sinx)(5-cosx) x - siní* x-sinx hni-r-3-= lim —^— hm (5 - cos x) = 4 lim-*- sin X "-K> sin X x-*0 z~>0 sjn £ ... 1-cosx 4,. 1-cosx , 1 = 4 ""i, TT~r-i-= ô llm-5- "m- I->° 3 sm xcosx í«« sin x a,-»ocosx 4 1 - cosx 4 ,. sinx 2 1 2 = í "m-s-= - hm-= - lim-= - . o z-»o sm x 3 i->o 2smxcosx 3x-+ocosx 3 Někdy je třeba výraz pro použití 1'Hospitalova pravidla připravit. Pak stačí pouze trocha trpělivosti, abychom z úprav, které se nabízejí, vybrali tu správnou. Například, pro výpočet limity lim x3lnx ar->0+ vybereme poslední vyraz z těchto: lim x3 ln x = lim -—r—r _ um -2->o+ z->(]+ (Inx)"1 !-)0+i lim lnx poněvadž prostřední výraz se užitím 1'Hospitalova pravidla komplikuje. Zkuste to. 3.2.36. Pomocí 1'Hospitalova pravidla spočítejte: a) lim 2x2 4- x — 6 4x2 - 8x 4- 3 d) lim ar-í-0 1 — COS X X2 ' g) lim 3ľ-íOO m3x X j) lim s-í-0 2X - 1 3* - 1 ' m) lim sin 7x — sin x tgSx b) lim e) lim 2x3 - 5x2 - 4x + 3 x3 + 2x2 — x — 2 x - sin x a:-*Ô X3 ' X3 , c) lim 3x2 - 4x + 1 6x3 + 7x2 - 1 h) lim a;—>co e' k) lim ď -bx f) hra tgx-mn,^ z->0 X2 tg X .v ,. lnx i) lim —= , x->oo ^/x arcsin x n) lim :-+o x (4x - tg ix) sin x a > 0 , b > 0, I) lim »-+o arctg x o) lim :->2 X - 2 v těchto úlohách označuje p(x) polynom libovolného stupnč v proměnné x: P) J™, P(x)e-"x ,a>0, q) Jirn^ p(x)e~a'', r) ^ lim p(x)e-"'. 3.2.37. Nejprve upravte, pak pomocí 1'Hospitalova pravidla spočítejte: H) Jim^-ln^), b) lim (e™-5x3-3x2-l), c) lim (-±=+mxV g) imig-cotgx), h) Bjn^-^), i) Hm _ I) . ftešení. 3.2.2. Pro rychlost platí u(i) = -Aj sinají, největší v bodech, kde je x (i) = 0. Pro zrychlení platí a(t) = —Au2 cos u;r = —0J2x(ř), největší je v bodech, kde je x(t) extremální. 3.2.4. y — 9 — 0, 2x + !/ - 8 = 0, 8x + y — 17 = 0. 3.2.5. Tečný vektor: (l, /'(a)); normálový vektor mířící severněji: (-/'(a),l), normálový vektor mířící jižněji: (/'(o), -l). 3.2.6. 1 pro každé x e (0, oo). 3.2.19. Minimum na intervalu / je /(-l) = /(2) = -7, maximum je f (i) = 13. 3.2.20. Minimum na intervalu / je g(l) = 1 — |ir, maximum neexistuje, funkce není shora omezená. 3.2.21. Minimum na intervalu / je h(—1) = —8, maximum je h(2) — 1. Derivace funkce h v bodě x = 2 neexistuje. 3.2.22. Minimum na množině M je 3, maximum je 18. 3.2.23. Minimum na množině M je 1, maximum je 11. 3.2.24. x = 1. 3.2.25. Čtverec o straně li, 3,2,26. r = = 3.2.27, r.= *&J{,_u = fií..3,2,2.8,Me o minimum.. funkce F(v) = ásátíáffiä. Nejnižší náklady jsou při rychlosti 20 km/h. 3.2.29. Derivace funkce N{x) je rovna nule v bodě x > 0, když o(l + ax)2 = oico. To je možné pouze za podmínky ^p- > 1, což je totéž jako podmínka JV'(0) < 0. 3.2.30. Funkce f a je definována na (—oo, oo). Limity v nevlastních bodech ±co jsou oo. Poněvadž je derivace funkce f a rovna nule pouze v bodě z a, pro který platí 1 n xx = — 23 Xj (aritmetický průměr čísel xi,..., xn je tento bod absolutním minimem funkce f a na (—00,00). 26 užití derivací Průběh funkce 27 3.2.31. Funkce- jo je definována na (0,oo). Limity v nule zprava a v nevlastním bodě co jsou co. Poněvadž je derivace funkce fa rovna nule pouze v bodě xa, pro který platí %G = \/xi '■'!„ = {xi ■ ■ ■ x„) " (geometrický průměr čísel x\,..., xn), je tento bod absolutním minimem funkce f c na (0, co). 3.2.32. a) Funkce f h budeme vyšetřovat na (0,oo). Pro limitu zprava v nule a pro limitu v +oo platí " 1 lim fn(x) = +oc , lim fH(x) = v] . j=\ I Jakmile je x větší než největší z čísel xi,..., x„, je ™ 1 Proto existuje bod, ve kterém funkce fH nabývá minima na intervalu (0,oo). Tento bod musí být bodem xh, bodem v němž derivace funkce f h je rovna nule. Takový bod x h je jenom jeden a splňuje relaci n — — — — [x-h je harmonický průměr čísel x\,..., xn). T.rs TI. .T. c) 2n 3.2.33. Souřadnice x nejbližšího bodu splňuje 2x3 + x — 1 = 0. Vektor tp, který je tečným vektorem ke křivce y = x2 v bodě P = (x, x'2), má tvar tp — (l,2x). Poněvadž Qp = (x — l,x2), je jejich skalární součin t p ■ Q~P = 2x3 + x - 1 = 0. Proto je Qp normálou. 3.2.34. Funkce má hodnotu nula v krajních bodech intervalu (0, |tt) . Poněvadž g"{x] = — 7rcos^, funkce je konkávni na (0, |-7r), a graf leží nad osou x pro hodnoty z vnitřku vyšetřovaného intervalu. Poněvadž g'(0) = 2>0a g'i^) = 2 — ir < 0. interval nejde rozšířit. 3.2.36. a) l b) -6, c) d) |, e) |, f) f, g) 0, h) 0, i) 0, j) £§, k) ln f, 1) 1, m) -2, n) -f, o) e2, p) 0, q) 0, r) 0. 3.2.37. a) oo, píšeme x — In x = x(l — ~), výsledek je důsledkem ^ -» 0 pro x -> co, b) co, píšeme e* - 5x3 - 3x'2 - 1 = x3 •-5- podle ľflospitalova pravidla je limita prvního výrazu v závorce nekonečno, c) oo, píšeme 4 , 1 ,, In x , —= +lnx= —= (4+-j-) ; podle í'Hospitalova pravidla je limita druhého výrazu v závorce nula, d) 1, píšeme x1 = ellnx a výsledek je důsledkem xhix -i 0 pro x -> 0+, e) e, f) e-2, g) 0, h) -|, i) -|. 3.3. Průběh funkce 3.3.I. Vyšetřete průběh funkce, v inflexních bodech - pokud souřadnice bodu, v němž má funkce inflexi, je snadno vyjádřitelná - spočítejte obecnou rovnici tečny (grafy jsou na konci sekce): a) d) g) j) /(x) = (x + 3)2(x-3), (x + l)2 /(*) (x - l)2 ' , a > 0, m) f (x) = e' p) m = In. x b) e) h) k) n) q) 4x x2 + ľ _ f x — 1\2 ~ \x + l) ' /(x) = (x-3)%/í, 1 m(x) : f(x) = 1 - e* ' x — a f (x) = 5x2lnx, , a £ R, c) í) i) 1) o) r) /(X) = f (X): /(*) = p(l) = 6x2 x2 4- 1 ' 2x - 1 (x- l)2 x - -2 Vx2 + 1 e1 + 1 V -1' /(x) — ax — ln x , a > 0, h(x) =ln(l-íj),a > 0. 3.3.2. Použijte pouze první derivaci a načrtněte graf funkce /(x) = 2 sin x + cos 2x. Využijte periodicity funkce. V tištěném grafu odhadněte polohu inflexních bodů a jejich x~ových souřadnic. Potom tyto hodnoty spočtěte a výsledky porovnejte. (Graf je na konci sekce.) 3.3.3. Ukažte, že funkce / a g v úlohách 3.3.l.d a 3.3.l.e splňuji g(x) — f(-x) pro x S D(g). Odvoďte graf a vlastnosti funkce g z grafu a vlastností funkce /. 3.3.4. Ukažte, že funkce m a p v úlohách 3.3.l.k a 3.3.1.1 splňují ;>(x) = 1 — 2m(x) pro x 6 D(p). Odvoďte vlastnosti funkce p z vlastností funkce m. 3.3.5. Na obrázku je část grafu funkce x2 + 2x + 3 /(x) = : x2 + 3 pro hodnoty proměnné x vzaté z jistého (vám zatajeného) okolí bodu x = 0. Na ose x je vzdálenost bodu x = 1 od počátku Xm milimetrů a na ose y je vzdálenost bodu y = 1 od počátku Ym milimetrů. Kolik je poměr Xm/Y,n, když víte, že je vyjádřitelný jako poměr dvou malých celých čísel? ftešení. 3.3.1. a) D(f) = (—co, oo), funkce se rovná nule v bodech x = —3 a x = 3, je záporná na (-oo, -3) U (-3,3), kladná na (3, oo), limM±„ /(x) = ±oo, /'(x) = 3(x + 3)(x - 1), funkce roste na (-oo, —3) a na (1, co), klesá na (—3,1), f"(x) = 6(x + 1), funkce je konkávni na (—co, -1), konvexní na {—l,oo), funkce má inflexi v bedč x — —1, rovnice tečny v-inflexním bodě (—1, -16) je 12x + y + 28 = 0, k) D(f) = (—oo, oo), lichá funkce, funkce je záporná (resp. kladná) na (—oo, 0) (resp. (0, co)), 4(1-x2) umss-+±<» /(x) = 0, f'{x) = ——funkce klesá na (-oo, —1) a na (1, oo), roste na (—1,1), ^ (x + 1) ^ ^ = ~TY—T^> íun'£Ce Je konkávni na (—oo, —■(/) = (—00, co), nezáporná sudá funkce, která se rovná nule pouze v bodě z = 0 lim,_,±00 f{x) = 6, f(x) = 12x 12(1 — 3x ■y—z—rrx, funkce klesá na (—oo,0), roste na (0,oo), f"(x) — —r^— (x2 + l)2 (x2 + l)3 funkce je konkávni na (—oo, — |V-Š) a na (|i/3, oo), konvexní na (—fv'Š, f V^Š), funkce má inflexi v bodech z = — |\/3 a x = |\/3, rovnice tečny v příslušných inflexních bodech jsou 9\/3x + 4y + 3 = 0 a 9V3x - 4i/ - 3 = 0, d) D(f) = (—co, 1) U (l,oo), nezáporná funkce, která se rovná nule pouze v bodě x = —1, ( _4(x + 1) lim^^^oo f(x) = 1, lim^i /(ar) — oo, / (x) — ■—:-TyT~> mn^ce klesá na (—co, —1) a na (1, oo), roste ■{x + 2) (x-iy , funkce je konkávni na (—oo, —2), konvexní na (—2,1) a na (1, oo), funkce na (-1,1), f"(x)= (a._1)4 má inflexi v bodě x -• -2 a rovnice tečny v bodě (-2, |) má rovnici 4z + 2Ty + 5 = 0, e) D(g) — (—oo, —1) U (—1, oo), nezáporná funkce, která se rovná nule pouze v bodě x = 1 l(z - 2) 4(x — 1) Mm^ioo g(x) = 1, lima,-*-! g(x) = co, _a+ /(x) = oo, lim^o- f(x) = -oo, limI_>0+ /(x) = oo, přímka y = x je asymptotou v obou z2(z2-3a2) nevlastních bodech ±oo, /'(x) ■ , funkce roste na (—oo, — \/Ša) a na {VŠa, oo), klesá 2a2x(x2 + 3a2) (x2 - o2)2 na (-víia,-a), na (~a,a) a na (a,VSa), f(VŠa) = -f(-VŠa) = %VŠa, /"(x) = -. „ ,,, , * (z2 — o2)'* funkce je konkávni na (-co, -a) a na (0, o), konvexní na (-«, 0) a na (a, oo), funkce má inflexi v bodě x = 0 a tečnou v inflexním bodě (0,0) je osa x. h) D(/) = (0, oo), funkce se rovná nule pouze v bodech x = 0 a x = 3, je záporná na (0,3) a kladná na (3, oo), lirn^oo /(z) = oo, pro x £ (0, oo) je /'(x) = , funkce klesá na (0,1), roste na (1, oo), rrúnimum je /(i) = -2, pro x 6 (0, oo) je /"(x) = ■ funkce je konvexní na (0, oo), i) £>(/) = (-oo, co), funkce má hodnotu nula pouze pro x = 2, je kladná na (2, oo) a záporná na (—co,2), lim^ioo f (x) = ±1, /'(x) ■ 2x + l (x2 + 1) y, funkce klesá na (—oo, —|), roste na 2 — 3x — 4x2 (-i, co), minimum je /(-i) = -\/5, /"(x) =---g—, funkce má inflexi ve dvou bodech: (x2 + l)s xl = |(—3 - VÍl) = —1.2, sa = f (—3 + V41) — 0.4, je konkávni na (-oo,zi) a na (x2, oo) a konvexní na (xi,x2), j) D(f) — (—oo, oo), nezáporná funkce, která se rovná nule pouze v bodě x = 0, lim^-oo /(x) = oo, lirriz-ioo f(x) — 0, /'(x) = x(2 - x)e~x, funkce klesá na (-oo,0) a na (2,oo), roste na (0,2), f"(x) = {x2 ~4x + 2)e~', funkce má inflexi ve dvou bodech: xx = (2 - \/2) = 0.6, z2 = (2 + \/2) = 3.4, je konvexní na (—oo.Xi) a na (x2,oo) a konkávni na (x!,z2), k) D(m) — (—oo, 0) U (0, oo), v žádném bodě není funkce rovna nule, funkce je kladná na (—co, 0) - je ovšem hned vidět, že na tomto intervalu je větší než 1 -, funkce je záporná na (0, co), limn-oomfx) = 1, X\mx^,xm{x) = 0, limno- mix) = oo, limI_>o+ mix) = -co, m'(x) = 6 , [ex — 1) funkce roste na (—oo,0) a na (0, oo), m"(x) = —;-rr— = -y--rr-, v žádném bodě funkce nemá v ' v ' w (ex - l)3 (1 ~ex)3 inflexi, je konvexní na (—oo, 0) a konkávni na (0, oo), křivka y = m(x) je středově symetrická vzhledem k bodu (0,1), 1) D(p) — (—oo, 0) U (0, oo), lichá funkce, záporná na (-oo, 0), kladná na (0, co) - je vidět, že v absolutní hodnotě jsou hodnoty funkce větší než 1 -, v žádném bodě definičního oboru není funkce —26^ rovna nule, limx^t±cop(x) = +1, lim^-^o-p(x) - —oo, lim3:-ío+ p{x) — oo, p'(z) = —-rj, funkce (e — 1) klesá na (—oo, 0) a na (0, oo), p"(x) — —~—7^—, funkce je konkávni na (—00,0), konvexní na (0, 00), funkce v žádném bodě nemá inflexi, (e1 - l)3 m) D(f) --- (—oo,0) U (0,co), funkce kladná ve všech bodech definičního oboru, lima, —e - —f(x) lim^^o- /(z) = 0, limJ_>0+ f(x) = co, /'(x) = ^ = ^ , lima,_,o- f'(x) = 0, funkce 11 • / „, ,n ^ „1, , (2x + l)eírt (2x + l)/(x) . , , klesá na (-00,0) a na (0,00), / (z) =--Ý- = -. , funkce je konkávni x4 x4 na (—oo, — i), konvexní na (—5,0) a na (0,00), funkce má inflexi bodě x = — \ a rovnice tečny v bodě (—5,e_1) ks (—|, 0.4) je 4x + ey + 1 = 0, poněvadž /(z) = e • e«, lze s funkcí zadanou pracovat jako s násobkem funkce h, h(x) — ei, n) = (—oo.") U (a, 00), funkce je záporná na (—00, a), kladná na (o, co), v žádném bodě definičního oboru není funkce rovna nule, lim^-j—o;, /(x) = 0, lim^-xx, /(x) = 00, iima;-^- /(x) = —00, lhn^a^ /(x) = 00, fix) = ^X ^ a—^G , funkce klesá na (—00, a) a na (a, o + 1), roste na (a + 1,00), ((z — a — l)2 + l)e* /(o+ 1) = en+1, fix) =---—-—, funkce je konkávni na (—00,a), konvexní na (a,00), (x — a)á funkce v žádném bodě nemá inflexi, °) DU) = (0,00), lima,_ío+ /(z) = 00, limz-joo /(x) = 00, /'(z) : ax — 1 funkce klesá na (0, ^), roste na (iioo), minimum funkce je /(-) = I + lna, /"(z) = —.7, funkce je konvexní na (0,00), funkce x2 v žádném bodě nemá inflexi, 30 Průběh funkce rilUBEH FUNKCE 31 p) D(f) — (0, oo), funkce má hodnotu nula pouze pro x ~ 1, je záporná na (0,1) a kladná na (1, oo), limI_»0+ /(x) = -oo, linij-^oo J(x) = 0, f'(x) = --—funkce roste na (0, e), klesá na (e, oo), Schematické grafy funkcí ze cvičení 3.3.1. a 3.3.2. -oo, íiníz maximum funkce je /(e) = i = o.4, n*) = ^ ( funkce je konkávni na (0,e2), konvexní na (ei, oo), funkce má inflexi v bodě x — ei, rovnice tečny v infiexním bodě (e*, |e *) « (4.5,0.3) je x + 2ezy — 4e* = 0, q) D(í) = (0, oo), funkce má hodnotu nula pouze pro x = 1, je záporná na (0,1) a kladná na (1, oo), limj_,o+ f{x) = 0, liniz-too }(x) = oo, f'(x) = 5x(21nx + 1), funkce klesá na (0,e~s) » (0,0.6), roste na (e~2 ,oo), minimum funkce je /(e~a) = ~ = -0.9, ttmx^o+ f'(x) = 0, /"(x) = 5(2 lnx + 3), funkce je konkávni na (0, e~~$), konvexní na (e-i, oo), funkce má inflexi v bodě x = e~f, rovnice tečny v infiexním bodě (e~S, -^e~3) ss (0.2,0.4) je 20elx + 2e3j/ -5 = 0, r) D(h) = (-a, o), sudá a nekladná funkce, která se rovná nule pouze v bodě x = 0, 2x —2x limn^aj. h(x) = -oo, lim^,,^ /í(x) = -oo, h'(x) = —z-r- = -r-5-, funkce roste na (~a,0), klesá xĹ — aĹ a* — x* —2(x2 + o2) na (0, a), h"(x) = -j-j—-^y > funkce je konkávni na (—a, a), v žádném bodě nemá inflexi. 3.3.2. Funkce x —* 2 sin x 4- cos2x je definována pro všechna reálná čísla a je periodická s periodou 2 a na (|ir, 2-rr), klesá na (jir, **) a na (|jr, |tt). Pro začátek a konec grafu na (0, 2t) využijeme hodnoty /'(O) = f'(2ir) = 2. Poněvadž }"(x) = -2(sinx + 2cos2x) = 2(4sin2x - sinx - 2), body iuflexe splňují sinx = |(1 ± \/33), odtud se získají tyto body inflexe z intervalu (0, 2tt): X\ = 1, Xi = 2.1, xs = 3.8, Xi = 5.6. Křivka y — 2sinx 4- cos 2x, x € (—00,00), je symetrická vzhledem k osám představovaným přímkami x = |7r a x = |?r. -2m'(x), p"(x) = -2m"(x). 3.3.3. g'(x) = -/'(-x), g"(x) = /"(-x). 3.3.4. p'(x) = 3 3.3,5. --r^ = -. Zjistíme, že /'(O) — |. Proto nakreslíme do obrázku tečnu v bodě (0,1) a na tečně ¥ m " odměříme přírůstek Ay, který odpovídá přírůstku Ax. Poněvadž musí platit Ay Ax _ 2 3 máme vztah pro výpočet Xm/Ym. z-+(í+3)2(*-3) (_S,0) (1,2) ^f-3,-1.2) / (.4-1)2 1 /c-2.3) «-KSf)2 ——J V__— (-1.0) (1,0) (-3. f >\ 1 (0,0) Průběh funkce 33 integrál funkci jedné proměnné 4.1. Neurčitý integrál, část I 4,1.1. poznámka. Úkolem je pro zadanou spojitou reálnou funkci / na otevřeném intervalu (a, b), a