Matematika pro kartografy — cvičná druhá písemka, JS 2016
1. Řešte goniometrickou rovnici cos x +
√
3 sin x = 1.
[2
3
π + 2kπ]
2. Obecný člen posloupnosti je dán vztahem an = 1
2
n
+ 4. Určete, zda je tato
posloupnost rostoucí nebo klesající.
[klesající]
3. Vypočítejte limitu posloupnosti lim
n→∞
1 + an
2n
, je-li posloupnost {an}∞
n=0 zadána
rekurentně vztahy a0 = 2, an+1 = an + 3.
[3
2
]
4. Vypočítejte limitu funkce lim
x→0
1 − e−x2
cos
1
x
.
[0]
5. Uvažujte funkci danou předpisem f(x) = 1
6
(2x3
− 3x2
− 12x − 7). Určete intervaly,
na kterých je funkce rostoucí a na kterých klesající, najděte lokální
extrémy funkce a načrtněte její graf.
[rostoucí na (−∞, −1 a 2, ∞), klesající na −1, 2 ,
fmax = f(−1) = 0, fmin = f(2) = −9
2
]
Vzorce pro goniometrické funkce:
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β, sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β,
1 − cos α = 2 sin
α
2
2
, 1 + cos α = 2 cos
α
2
2
, sin α = 2 sin
α
2
cos
α
2
.
Vzorce pro derivaci
(1) pro každé c ∈ R je c′
= 0 (11) (arcsin x)′
=
1
√
1 − x2
(2) (xa
)′
= axa−1
(12) (arccos x)′
= −
1
√
1 − x2
(3) (ex
)′
= ex
(13) (arctg x)′
=
1
1 + x2
(4) (ax
)′
= ax
ln a (14) (arccotg x)′
= −
1
1 + x2
(5) (ln x)′
=
1
x
(15) (cu)′
= cu′
(6) (loga x)′
=
1
x ln a
(16) (u ± v)′
= u′
± v′
(7) (sin x)′
= cos x (17) (uv)′
= u′
v + uv′
(8) (cos x)′
= − sin x (18)
u
v
′
=
u′
v − uv′
v2
(9) (tg x)′
=
1
cos2 x
(19) (uv
)′
= uv
v′
ln u + v
u′
u
(10) (cotg x)′
= −
1
sin2
x
(20) (f(ϕ(x))′
= f′
(ϕ(x))ϕ′
(x)