Statistické metody II, cvičení č. 5
Analýza trendu
(odhad lineárního trendu a klouzavé
průměry)
Brno, 11.4.2016
Klára Ambrožová
Motivační příklad
Úvod
• Rodina Mráčkova by si ráda postavila rodinný domek.
• Velmi se jim zalíbily Dluhonice, část města Přerov.
• Tímto územím však protéká řeka Bečva a rodina se
obává výskytu povodní.
• Řeší tedy otázku: Jak často se v Dluhonicích vyskytují
povodně v současné době a co lze očekávat do
budoucna?
Data
• Dosažení 2. či vyššího SPA na stanici Dluhonice podle
Hydrologických ročenek ČHMÚ (http://voda.chmi.cz/roc/index.html)
• Průměrný počet dosažení v období 1999–2015: 0,82
Pozn. Data byla z didaktických důvodů upravena, nejde o reálné hodnoty
Mění se počet povodní?
• Nalézt funkci závislosti počtu
dosažení 2. SPA na čase
yt … počet dosažení
t … čas v letech
• Možnosti:
– Model konstanty
yt = b0 (~ průměr)
– Lineární model
yt = b0 + b1*t
– Exponenciální model
yt = b0 * b1
t
…
yt = f (t)
1) Grafické znázornění
• Subjektivně pohledem zhodnotit, který trend by byl vhodný
• Trend je obtížné odhadnout → nejlépe začít s nejjednoduším
Pozn. Tento krok je při vypracování cvičení vynechán.
2) Proložení lineárním trendem
• Nalezení vhodné lineární funkce metodou nejmenších čtverců
• Interpretace: Získali jsme rovnici lineárního trendu, kde koeficient
b1 je kladný (0,0637), v Dluhonicích tedy dochází k nárůstu počtu
dosažení a překročení 2. SPA
yt = 0,25 + 0,0637*x
3) Je lineární model vhodný?
1. Informativní test: 1. diference přibližně konstantní
Interpretace: 1. diference nejsou konstantní, ale není patrný ani
zřetelný nárůst či pokles → nelze vyloučit vhodnost modelu
Rozdíl mezi
hodnotou v
daném a
předchozím
roce
yt – yt-1
Pozn. Tento krok je při vypracování cvičení vynechán.
3) Je lineární model vhodný?
2. Hodnocení pomocí objektivních kritérií
Vydělíme-li počtem
hodnot (n), vznikne
střední čtvercová
chyba odhadu
Koeficient determinace
(rxy
2; uvádí, jak velkou část
rozptylu vysvětluje model)
Koeficient korelace –
těsnost lineárního
vztahu (ve vzorci x
odpovídá t a y
odpovídá yt)
Interpretace: Model vysvětluje pouze 15,8 % celkového rozptylu; střední
čtvercová chyba odhadu (8,81/17=0,51) je relativně nízká; pro daný počet stupňů
volnosti (n – 2=15) na hladině významnosti α = 0,05 platí kritická hodnota rkrit =
0,44 > 0,398 → vztah je tedy statisticky nevýznamný.
3. Analýza rozptylu – aproximuje lineární model data lépe než
model konstanty (~ průměr)?
H0: Model konstanty je dostačující
3) Je lineární model vhodný?
Testová
statistika F:
Interpretace: Hodnota
testovacího kritéria je 11,22,
čemuž odpovídá p-hodnota
0,001 → zamítáme hypotézu,
že dostačující je model
konstanty.
4. Testování významnosti regresních parametrů – jsou v rovnici
potřeba všechny členy (neboli nestačil by model yt=a nebo yt=b*t)?
3) Je lineární model vhodný?
Testovací kritérium t-testu pro
absolutní člen (a) a směrnici (b)
vč. odpovídající p-hodnoty
Odhad
absolutního
členu Odhad
směrnice
Interpretace: Výsledná rovnice by měla tvar yt = 0,25 + 0,064*t. V daném případě
však není ani jeden z regresních parametrů statisticky významný (p-hodnoty jsou
větší než 0,05), takže by bylo třeba zvolit jiný model.
ZÁVĚR: Počet dosažených a překročených 2. SPA se s časem mění, nikoliv však
lineárně – lineární model proto v tomto případě není vhodný.
Analýza reziduí
• Následně se provádí ještě analýza reziduí
• Rezidua by měla mít následující vlastnosti:
– normálně rozložená
(karta Rezidua – Normál.pravd.graf reziduí – body by měly ležet na
přímce)
– mít konstantní rozptyl
(karta Rezidua – Rezidua vs. Předpovědi – rozmístění kolem nuly by
mělo být náhodné)
– mít nulovou střední hodnotu
(lze určit pomocí t-testu pro samostatný vzorek – testujeme hypotézu,
že se rezidua stat. Významně neliší od nuly)
– být nezávislá
(provádí se přes modul Vícenásobná regrese pomocí DurbinWatsonovy
statistiky, která by měla být přibližně v intervalu od
1,4 do 2,6)
ZÁVĚR: Pokud rezidua splňují výše uvedená kritéria, je model vhodný.
Motivační příklad – pokračování
• Lineární trend nevhodný pro aproximaci počtu dosažení
a překročení 2. SPA na stanici Dluhonice
x počet není v čase konstantní!
• Zjištění období nárůstu a poklesu počtu hodnot =
metoda klouzavých průměrů
– prosté
– vážené
Metoda klouzavých průměrů
Pozn. Ve cvičení se používá 11-letý klouzavý průměr.
Od r. 2006
docházelo k
nárůstu počtu
dosažení a
2010–2013
bylo období
nejvyšších
dosažených
hodnot za dobu
sledování
V období 2005–
2006 docházelo
k poklesu počtu
dosažení
ZÁVĚR: Přestože lineární trend nebyl vhodným modelem pro danou
problematiku, z analýzy klouzavých průměrů lze zjistit, že v poslední době
(od r. 2006) se počet dosažení 2. SPA v Dluhonicích zvyšuje.
Zdroje:
• BUDÍKOVÁ, Marie. Jednoduchá lineární regrese (přednáška). Brno:
Masarykova univerzita,8.4. 2016.
• DOBROVOLNÝ, Petr. Z2069 Statistické metody a zpracování dat II: Analýza
časových řad (přednáška) Brno: Masarykova univerzita,8.4. 2016.
Poznámka:
• Pro problém z motivačního
příkladu by bylo vhodnější se
podívat na záplavová oblastí
města Přerov a hodnotit riziko
pro konkrétní lokalitu
(http://www.prerov.eu/cs/
magistrat/mapove-centrum-gis/
mapy-zaplavovych-oblasti.html)
Poznámka ke cvičení
• Cvičení bude obsahovat:
1) Graf časové řady s lineárním trendem vč. rovnice,
2) Tabulku s koeficienty rovnice (a, b), F-hodnotu analýzy rozptylu,
střední čtvercovou chybou odhadu, koeficienty korelace
a determinace – vč. p-hodnot tam, kde jsou k dispozici,
3) NP-graf pro rezidua a obrázek Rezidua vs. Předpovědi,
4) Graf časové řady s lineárním trendem a 11-letým klouzavým
průměrem
• Závěr bude obsahovat:
– Hodnocení vhodnosti proložení časové řady lineárním trendem
– Interpretace lineárního trendu – růst či pokles hodnot v studovaném
období?
– Hodnocení klouzavých průměrů – období výskytu minimálních resp.
maximálních teplot a také období největšího růstu (resp. poklesu) teplot
ve studovaném období
• Všechny kroky v programu Statistica nutné k vypracování jsou
uvedeny v popisu cvičení