17.2.2015
1
Metody prostorové interpolace
(deterministické metody)
vytváření izolinií na základě spojování míst s obdobnými
hodnotami jevu založené na expertním odhadu
využívají empirie, obecné teorie a znalosti místních zvláštností
expertní systémy
Základní omezení (s ohledem na počítačové zpracování):
problém zpracování velkého množství bodů
problém subjektivního přístupu
problém časové náročnosti
Metody analogové interpolace
Globální interpolátory využívající analýzy trendu
Princip - mnohonásobná regrese hodnot atributu vs. geografické
souřadnice.
Metodou nejmenších čtverců jsou nalezeny nejvhodnější koeficienty
pro daný polynom n-tého řádu.
Předpokládá se normální rozdělení.
lineární trend:
z = b0 +b1x + b2y
kvadratický trend:
z = b0 + b1x+ b2y + b3x2 + b4xy + b5y2
b – koeficienty, x, y – souřadnice bodů
Globální interpolátory
využívající analýzy
trendu
n
xzxZ
RMSE
n
i
ii∑=
−
= 1
2
))()(ˆ(
Interpolace trendové složky polynomy 1 až 5 stupně
Globální interpolátory využívající regresní analýzy
Princip - existuje vazba mezi hodnotami interpolované veličiny a
vybranými jinými atributy studovaného prostoru (např. teplota a
nadmořská výška,koncentrace znečištění a vzdálenost od zdroje).
Forma - empirický model závislosti interpolované veličiny na
hodnotách jedné či několika veličinách nezávislých:
z(x) = b0 + b1P1 + b2P2 + ε
b0 ...bn - regresní koeficienty
P1 ... Pn - nezávisle proměnné
Sestavení regresní závislosti je založeno na metodě nejmenších
čtverců.
Výsledný model může být lineární i nelineární.
Jako nezávisle proměnné lze kombinovat geografické souřadnice
s jinými atributy.
17.2.2015
2
Regresní model závislosti teplotních sum na nadmořské výšce, zápis modelu
v prostředí ArcView Map Calculator a vytvořená mapa teplotních sum pro ČR
Hodnocení vhodnosti modelu: R2, Hodnocení přesnosti interpolace: RMSE
Metody lokální interpolace (lokální interpolátory)
Globální interpolátory - lokální efekty = náhodný šum
Lokální interpolátory - hledaná hodnota je určena z určitého
počtu měření z předem definovaného okolí počítaného bodu.
1. definování velikosti a tvaru zájmového okolí
2. nalezení měřených bodů v tomto okolí
3. nalezení matematické funkce vystihující kolísání hodnot nacházejících
se v okolí daného bodu
4. výpočet hodnoty pro uzly regulérní sítě (grid)
i
n
i
ij zZ ∑=
=
1
ˆ λ
Obecný postup se sestává z následujících kroků:
Pro lokální interpolace jsou důležité následující skutečnosti:
druh použité interpolační funkce
velikost, tvar a orientace okolí
počet bodů v okolí zahrnutých do výpočtu
rozložení uvažovaných bodů (regulérní či nepravidelné)
možné začlenění externí informace např. o obecném trendu
Metoda nejbližšího souseda (thiessenovy polygony)
Princip - hodnoty atributů v neměřených místech jsou určeny z hodnot
nejbližšího místa měřeného.
1. Plocha je rozdělena na nepravidelné trojúhelníky (Delaunay
triangulace)
2. Z trojúhelníkové sítě jsou definovány tzv. thiessenovy polygony.
Příklad interpolace množiny nepravidelně rozmístěných bodů
v ploše metodou thiessenových polygonů
Metody konstrukce nepravidelných trojúhelníků (TIN)
Hodnoty v bodech na počátku a konci linií jsou známy, lze použít
jednoduchou lineární závislost k interpolaci bodů mezi dvěma body na
linie.
TIN je metoda interpolace i způsob vizualizace spojitých povrchů.
Metoda vhodná pro povrchy vyznačující se náhlými změnami spádu
(fluviálně erodované povrchy).
Exaktní metoda vhodná pro
nepravidelně rozmístěné body měření.
Body jsou spojeny liniemi a vytváří
síť nepravidelných trojúhelníků.
Metody není možné použít
k extrapolaci
17.2.2015
3
Proces vytváření spojitého povrchu metodou TIN zahrnuje:
výběr charakteristických bodů (ne z jakékoliv množiny
nepravidelně rozmístěných bodů lze vytvořit TIN)
způsob propojení bodů do trojúhelníkové sítě
způsob modelování povrchu uvnitř trojúhelníků
Výběr bodů a algoritmy pro výběr bodů:
algoritmus Fowler and Little
VIP algoritmus
Drop heuristic algoritmus
http://www.ncgia.ucsb.edu/giscc/units/u056/
Způsob propojení bodů do TIN - Delaunay triangulace:
TIN je model vhodný k následné
konstrukci izolinií.
Metoda inverzní vzdálenosti
Princip - hodnota atributu v určitém bodě je váženým aritmetickým
průměrem hodnot okolních měřených bodů.
Váhy jsou určeny pro každý bod jako inverzní vzdálenost měřeného
bodu od bodu interpolovaného.
Obecný vzorec pro odhad hodnoty Z:
∑
∑
=
=
= n
i
i
n
i
ii
w
zw
Z
1
1ˆ
Váhy se určují ze vztahu:
k
d
w
1
=
Hodnoty vah wi představují funkci vzdálenosti d. Hodnota exponentu
k se nejčastěji volí 1 či 2.
nebo
kd
ew −
=
Odhad hodnoty v bodě metodou inverzní vzdálenosti
Metoda inverzní vzdálenosti efekt „průměrování“potlačení
lokálních extrémů
Problém generování koncentrických struktur kolem interpolovaných bodů
(tzv. „bulls eyes“)
Způsob definování okolí
izotropní povrch - kruhové okolí interpolovaného bodu, pro odhad
hodnoty bereme všechny body bez ohledu na směr
anizotropie - body v jistém směru mohou mít na interpolovanou
hodnotu jinou váhu než ve směru jiném - okolí tvaru elipsy
minimální a maximální počet bodů pro výpočet nové hodnoty
rozmístění bodů v rámci definovaného okolí (kvadranty, oktanty)
IDW je senzitivní na shluky měřených bodů a také na odlehlé hodnoty
Příklad interpolace spojité veličiny
metodou inverzní vzdálenosti
17.2.2015
4
Příklad interpolace spojité veličiny metodou inverzní
vzdálenost - DEM
Prostorové klouzavé průměry
Modifikace metody IDW
Nová hodnota může být prostým průměrem, váženým průměrem,
modální hodnotou.
Definování velikosti, tvaru a charakteru okolí.
Počet bodů v okolí (min, max) - 4 až 12 bodů, optimum 6 až 8 bodů.
Metody je vhodné použít za těchto podmínek:
existuje nejistota s ohledem na reprodukovatelnost výsledků
opakovaných měření v daném bodě (vlastní proměnlivost pole
hodnot měření)
samotná technická stránka měření je zatížena jistou chybou
je známo, že skutečné prostorové pole daného jevu vykazuje
kromě obecného trendu také lokální variabilitu.
Interpolace metodou prostorových klouzavých průměrů
Interpolace metodou lokálních polynomů
Lokální interpolátory využívající regresní analýzy
Vazba mezi hodnotami interpolované veličiny a jinými vybranými
atributy studovaného prostoru je vyjádřena regresní závislostí pouze
pro část interpolovaného povrchu.
Tato část povrchu má podobu okolí interpolovaného bodu předem
definovaného tvaru a velikosti.
Body jsou interpolovány s pravidelným krokem a okolí se „posouvá“
stejně jako v případě klouzavých průměrů (viz. metoda IDW)
Interpolace metodou lokálních polynomů
Natural nearest neighbour
Plocha příslušející bodu P
Váhy definované jako podíly
ploch přirozených sousedů
Odhad hodnoty v bodě P
(průměr vážený plochami,
které si daný bod „půjčil“ z
původních bodů měření)
17.2.2015
5
Natural nearest neighbour
(princip určení vah)
Natural nearest neighbour
Splinové funkce
Matematicky definované křivky, které po částech a exaktně interpolují
jednotlivé body povrchu, jsou lokálním interpolátorem
Zajišťují kontinuální spojení jednotlivých částí interpolovaného povrchu.
Lze modifikovat část povrchu bez přepočtu celého povrchu (toto
neumožňují trendy).
Pro interpolování linií se používá tzv. kubických splinů, pro
interpolování povrchů se využívá jejich 2D analogie označované jako
„thin plate splines“
Nahrazují části povrchů interpolované přesným splinem lokálně
shlazenou průměrnou hodnotou.
Povrch je interpolován tak, aby procházel co nejblíže měřeným bodům
a také aby zachoval podmínku minimální křivosti.
Interpolované povrchy jsou často značně shlazené, jsou vhodné pro
interpolaci jevů, které se mění spojitě.
Splinové funkce
Splinové funkce
Izolinie vytvořené interpolací gridových hodnot přízemního pole
tlaku vzduchu splinovými funkcemi
17.2.2015
6
„Radial basis functions“
Exaktní interpolátory využívající splinové funkce a umělé neuronové
sítě
Analogie „přetažení“ gumové membrány přes body v prostoru.
Porovnání výsledků interpolace metodou inverzní vzdálenosti
(IDW) a metodou splinových funkcí (RBF)
„Radial basis functions“
Princip interpolace metodou
multiquadric RBF
Hodnotu každé RBF v predikovaném
bodě můžeme odečíst z grafu jako
φ1, φ2, φ3 .
Prediktor má podobu váženého
průměru, tedy neznámou hodnotu z
v bodě p najdeme jako :
Váhy w1,w2,w3 jsou vypočteny z
hodnot interpolované veličiny v
bodech měření a jsou nalezeny na
základě podmínky, že pokud je
odhadován bod v bodě měření, je
interpolován přesně.
...)( 332211 +++= φφφ wwwpz
„Radial basis functions“ Multiquadric RBF
22
),(),( RyxdyxB ii +=
Bi(x,y) – radiální funkce vzdálenosti di(x,y)
di(x,y) – relativní vzdálenost měřeného bodu v místě xi, yi od místa
odhadu x, y
R2 – vyhlazovací parametr
Pro funkce Bi(x,y) jsou během výpočtu v každém interpolovaném
bodě stanovovány váhy řešením soustavy lineárních rovnic.
Čím větší je hodnota R, tím více je shlazený je výsledný
interpolovaný povrch.
„Radial basis functions“
Parametry konkrétní interpolující funkce jsou optimalizovány výpočtem
chyby RMSPE.
RBF jsou exaktní metodou a jsou vhodné pro hladké povrchy
generované z velkého počtu bodů (např. modely terénu).
Nehodí se pro interpolaci jevů, které se výrazně mění v prostoru a dále
pro interpolaci jevů, u nichž existuje jistá míra nejistoty ohledně
přesnosti měřených bodů.
RBF a splinové funkce
„terracing and ringing“ efekt
Topogrid/Topo to raster (metoda ANUDEM)
- hydrologicky „korektní“ DEM z vrstevnic
http://fennerschool.anu.edu.au/publications/software/anudem.php
17.2.2015
7
Metody prostorové interpolace ploch
Mnoho jevů se vztahuje k plošným jednotkám spíše než k bodům
(hustota obyvatelstva, kvalita pitné vody…).
Metody řeší způsob, jakým lze odhadnout hodnoty jistého jevu na
základě hodnot jiného jevu vázaných na plošné jednotky.
• plošné jednotky se shodují
• zdrojové jednotky jsou podmnožinou jednotek výstupních
• metody zachovávající objem studovaného jevu
(volume preserving)
• metody nezachovávající objem studovaného jevu
(non-volume preserving)
Metody nezachovávající objem studovaného jevu
1. výpočet hustoty
obyvatelstva pro každou
plochu
2. určení centroidu každé
plochy
3. interpolace hustoty
obyvatelstva výše
popsanými metodami
4. Suma počtu obyvatelstva
za všechny plochy v dané
zóně
Jaký je počet
obyvatelstva uvnitř
záplavové zóny?
Metody zachovávající objem studovaného jevu
1. Provede se překrytí cílových
zón (oblastí) přes oblasti
zdrojové.
2. Určí se poměrná část cílové
zóny, která spadá do zóny
zdrojové.
3. Celková hodnota atributu
v cílové zóně je určena
v závislosti na plošném
zastoupení zón zdrojových.
„pycnophylactic method“
• metoda zachovává sumu studovaného
prvku
• dovoluje kontinuální změnu směrem
k hranicím každé třídy.
• výrazně mění min a max hodnoty