UNIVERZITA OBRANY Fakulta vojenských technologií Základy matematické kartografie (Skripta) Verze 2016 Autor: plukovník doc. Ing. Václav TALHOFER, CSc. BRNO 2007 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Oponenti: prof. Ing. Bohuslav VEVERKA, DrSc, katedra mapování a kartografie, Fakulta stavební, ČVUT Praha Ing. Petr BUCHAR, CSc, katedra mapování a kartografie, Fakulta stavební, ČVUT Praha Skripta byla schválena na zasedání katedry dne 12. října 2007 ISBN: 978-80-7231-297-9 2 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obsah 1. Referenční plochy a souřadnicové soustavy..............................................................................................8 1.1 Referenční plochy.....................................................................................................................................8 1.1.1 Referenční elipsoid..........................................................................................................................8 1.1.2 Referenční koule..............................................................................................................................9 1.1.3 Referenční rovina..........................................................................................................................10 1.2 Souřadnicové soustavy............................................................................................................................10 1.2.1 Souřadnicové soustavy na referenčním elipsoidu.........................................................................11 1.2.1. a Výpočet délky poledníkového a rovnoběžkového oblouku......................................................................12 1.2.1 .b Izometrické souřadnice.............................................................................................................................14 7.2.2 Souřadnicové soustavy na kouli....................................................................................................75 1.2.2. a Určení polohy kartografického pólu........................................................................................................18 1.2.3 Souřadnicové soustavy v zobrazovací rovině................................................................................20 2. Dělení a klasifikace zobrazení..................................................................................................................22 2.7 Základní transformace mezi referenčními plochami a rovinnými souřadnicovými systémy...................22 2.2 Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení..........................................................................................23 2.3 Základní vlastnosti nepravých zobrazení................................................................................................25 2.4 Základní charakteristiky obecných zobrazení.........................................................................................26 2.5 Klasifikace zobrazení podle zkreslení.....................................................................................................26 3. Zákony zkreslení........................................................................................................................................28 3.1 Délkové zkreslení....................................................................................................................................28 3.1.1 Délkové zkreslení na referenční kouli...........................................................................................30 3.1.2 Extrémní délkové zkreslení............................................................................................................31 3.1.3 Extrémní délkové zkreslení na referenční kouli.............................................................................33 3.2 Uhlové zkreslení......................................................................................................................................33 3.2.1 Uhlové zkreslení na referenční kouli.............................................................................................36 3.2.2 Extrémní úhlové zkreslení.............................................................................................................36 3.3 Plošné zkreslení......................................................................................................................................38 3.4 Zákony zkreslení při užití polárních rovinných souřadnic......................................................................39 3.5 Vizualizace průběhu zkreslení................................................................................................................41 4. Teorie zobrazení........................................................................................................................................44 4.1 Ekvidistantní zobrazení...........................................................................................................................44 4.2 Ekvivalentní zobrazení............................................................................................................................45 4.3 Konformní zobrazení..............................................................................................................................46 4.4 Konformní zobrazení geodetické čáry....................................................................................................47 4.4.1 Průběh obrazu geodetické čáry v rovině konformního zobrazení.................................................48 4.4.2 Směrová korekce geodetické čáry.................................................................................................49 4.4.1 Délková korekce geodetické čáry..................................................................................................56 5. Zobrazení referenčního elipsoidu na kouli..............................................................................................58 5.7 Základní vztahy a vzorce.........................................................................................................................58 5.2 Zobrazení se zachovanými zeměpisnými souřadnicemi..........................................................................59 5.3 Konformní zobrazení elipsoidu na kouli.................................................................................................60 6. Jednoduchá válcová zobrazení.................................................................................................................63 6.7 Základní vztahy a vzorce.........................................................................................................................63 6.2 Ekvidistantní válcové zobrazení..............................................................................................................64 6.3 Ekvivalentní válcové zobrazení...............................................................................................................66 6.4 Konformní válcové zobrazeni.................................................................................................................67 6.4.7 Konformní válcové zobrazení ve webových mapových službách...................................................69 6.5 Šikmá poloha válcového zobrazení......................................................................................................... 70 7. Jednoduchá kuželová zobrazení...............................................................................................................71 7.7 Základní vztahy a vzorce......................................................................................................................... 77 7.2 Ekvidistantní kuželové zobrazení............................................................................................................ 73 7.2.1 Ekvidistantní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou......................................... 74 7.2.2 Ekvidistantní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami..................................... 77 7.3 Ekvivalentní kuželové zobrazení.............................................................................................................80 7.3.1 Ekvivalentní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou..........................................81 7.3.2 Ekvivalentní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami......................................82 7.4 Konformní kuželové zobrazení................................................................................................................83 7.4.1 Konformní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou.............................................84 3 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 7.4.2 Konformní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami.........................................85 7.5 Šikmá poloha kuželového zobrazení.......................................................................................................86 8. Jednoduchá azimutální zobrazení............................................................................................................87 8.1 Základní vztahy a vzorce.........................................................................................................................87 8.2 Ekvidistantní azimutální zobrazení.........................................................................................................88 8.3 Ekvivalentní azimutální zobrazení.......................................................................................................... 97 8.4 Konformní azimutální zobrazení.............................................................................................................93 8.5 Azimutální projekce................................................................................................................................95 8.5.1 Gnomonická projekce....................................................................................................................96 8.5.2 Stereografická projekce.................................................................................................................97 8.5.3 Ortografická projekce...................................................................................................................98 9. Nepravá zobrazení.....................................................................................................................................98 9.1 Nepravá válcová zobrazení.....................................................................................................................99 9.1.1 Nepravá válcová sinusoidální zobrazení.....................................................................................100 9.1.1.a Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) zobrazení.....................................................................................100 9.1.1.b Eckertovo sinusoidální zobrazení...........................................................................................................102 9.7.2 Nepravá válcová eliptická zobrazení........................................................................................... 104 9.1.2 ,a Mollweidovo zobrazení..........................................................................................................................104 9.2 Nepravá kuželová zobrazení.................................................................................................................705 9.2.7 Bonneovo nepravé kuželové zobrazení........................................................................................707 9.3 Nepravá azimutální zobrazení.............................................................................................................. 708 9.3.1 Wemer-Stabovo nepravé azimutální zobrazení........................................................................... 709 9.3.2 Ginzburgovo zobrazení............................................................................................................... 770 9.3.3 Modifikovaná azimutální zobrazení...................................... .......................................................777 9.3.3.a Aitovovo nepravé azimutální zobrazení.................................................................................................111 9.3.3.b Hammerovo zobrazení............................................................................................................................112 9.3.3.C Wagnerovo zobrazení.............................................................................................................................113 9.4 P olykónická zobrazení..........................................................................................................................114 10. Gaussovo zobrazení.................................................................................................................................118 70.7 Základní charakteristiky zobrazení..................................................................................................778 70.2 Zobrazovací rovnice.........................................................................................................................121 10.2.1 Zobrazovací rovnice UTM...................................................................................................... 724 10.3 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím........................................................................................ 725 10.3.1 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím UTM.....................................................................728 70.4 Meridiánová konvergence................................................................................................................728 70.4.7 Meridiánová konvergence v UTM..........................................................................................131 10.5 Zákony zkreslení............................................................................................................................... 131 10.5.1 Zákony zkreslení v UTM......................................................................................................... 734 70.6 Směrová a délková korekce geodetické čáry.................................................................................... 135 10.6.1 Směrová korekce v zobrazeni UTM........................................................................................738 70.7 Délková korekce geodetické čáry.....................................................................................................139 10.8 Mezipásmové transformace..............................................................................................................139 11. Křovákovo zobrazení..............................................................................................................................140 77.7 Základní charakteristiky zobrazení.................................................................................................. 740 77.2 Zobrazovací rovnice.........................................................................................................................141 11.2.1 Zobrazení rejěrenčního elipsoidu na referenční kouli............................................................747 11.2.2 Transformace zeměpisných souřadnic na referenční kouli na kartografické souřadnice......747 11.2.3 Transformace do zobrazovací roviny..................................................................................... 143 11.2.4 Převod rovinných polárních souřadnic na pravoúhlé............................................................ 143 11.3 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím........................................................................................744 77.4 Meridiánová konvergence................................................................................................................745 77.5 Zákony zkreslení...............................................................................................................................146 12. Používaná zobrazení v Armádě České republiky a v NATO...............................................................147 72.7 Zobrazení UTM................................................................................................................................ 147 12.2 Zobrazení UPS................................................................................................................................. 147 12.2.1 Zobrazovací rovnice zobrazení UPS......................................................................................748 12.2.2 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím...............................................................................749 12.3 Lambertovo konformní kuželové zobrazení...................................................................................... 750 13. Transformace zobrazení.........................................................................................................................152 73.7 Prostorové transformace.................................................................................................................. 753 13.1.1 Prostorové pravoúhlé souřadnice..........................................................................................753 4 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 13.1.2 Tříprvková prostorová transformace......................................................................................155 13.1.3 Sedmiprvková prostorová transformace.................................................................................156 13.1.4 Moloděnského transformace...................................................................................................157 13.1.5 Zjednodušená Moloděnského transformace........................................................................... 158 13.2 Rovinné transformace......................................................................................................................158 13.2.1 Shodnostní transformace........................................................................................................158 13.2.2 Podobnostní transformace......................................................................................................159 13.2.3 Afinní transformace................................................................................................................159 13.2.4 Interpolační metody................................................................................................................ 159 14. Aplikace zobrazení v nástrojích GIS.....................................................................................................161 74.7 Volba geodetického referenčního systému.......................................................................................767 74.2 Transformace mezi geodetickými referenčními systémy..................................................................762 74. J Volba zobrazení...............................................................................................................................163 14.4 Vizualizace matematických prvků.................................................................................................... 764 5 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Úvod Základním úkolem geoinformatiky j e vytváření a správa modelů krajinné sféry, jejích objektů a jevů. Zabývá se vztahem skutečnosti a jejím modelem ve všech aspektech, které s touto činností souvisí a je zároveň chápána jako vědní obor i praktická činnost. Geoinformatika je široký obor, který vychází z řady vědních oborů a má na ně silné vazby. Z hlediska klasické kartografie se geoinformatiky zabývá: • naukou o mapách, která zahrnuje historii kartografie, tříděním a dokumentací map a atlasů, jejich povšechným studiem; • kartografickou vizualizací, která řeší otázky kartografického jazyka a generalizace obsahu; • kartografickou tvorbou - vlastním zpracováváním obsahu map; • kartografickou polygrafii a reprografii, tedy způsoby rozmnožování map; • kartometrii a kartografickým výzkumem - způsoby analýzy obsahu map a syntézy zjištěných výsledků. Digitální geoinformatika vychází z obecné informatiky a zabývá se zejména: • definováním objektů a jevů a jejich vztahů v geografické realitě; • aplikacemi databázových přístupů k tvorbě digitálních geodatabází; • datovou analýzou; • prezentací dat a způsoby jejich zobrazování; Klasická i digitální geoinformatika se zabývá i řízením celého procesu modelováním včetně zjišťování a objektivizací uživatelských potřeb na vytvářené modely. Všechny modelované objekty a jevy je nutné mít lokalizovány na povrchu Země či v jejím blízkém okolí. Základní lokalizace je především otázkou topografického nebo tematického mapování zpravidla ve výchozím referenčním rámci, který je dán zvolených geodetickým referenčním systémem. Při jejich vizualizaci (zpravidla grafické trvalé nebo virtuální) je však nutné zvolit jeho rovinné zobrazení. Metodami zobrazování geodetických systémů do roviny se zabývá matematická kartografie. Matematická kartografie je tedy částí kartografie a obecně geoinformatiky zabývající se matematickými a geometrickými základy kartografických děl v obecném slova smyslu. Matematická kartografie studuje proces transformace prostorových souřadnic objektů a jevů na referenčních plochách do roviny. Zkoumá jeho zákonitosti, zkreslení, která při transformacích vznikají, jejich prostorové závislosti a poskytuje i metodiku výběru vhodných transformací pro modelovaná území. Matematická kartografie se zabývá i speciálními úkoly, jako je rovinné zobrazování bodů, čar a ploch, které se uplatňují například při zobrazování stran trigonometrických sítí, drah letadel, raket a kosmických těles, drah šíření elektromagnetických signálů radiotechnických prostředků apod. Výsledkem matematické kartografie jsou kartografická zobrazení (krátce zobrazení) jako matematický aparát pro výše uvedené transformace. Součástí kartografických zobrazení j sou i charakteristiky zkreslení, které při transformaci prostorových souřadnic do roviny vznikají. Tyto studijní texty jsou určeny ke studiu základů matematické kartografie studované v rámci předmětu kartografie v bakalářském studijním programu vojenské technologie v oboru vojenská geografie a meteorologie. Mohou být však využity i pro jiné obory, které se zabývají teorií a praxí kartografických zobrazení. 6 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Texty jsou členěny do 14 kapitol včetně úvodní kapitoly. Ve první kapitole jsou souhrnně definovány používané referenční plochy a jsou zde definovány základní souřadnicové soustavy na těchto referenčních plochách a v zobrazovacích rovinách. Druhá kapitola je věnována základních vlastnostem jednotlivých zobrazení a klasifikaci těchto zobrazení. Tato kapitola je zde zařazena i z terminologických důvodů, protože v cizojazyčné literatuře se lze setkat i s jinými názvy uváděných zobrazení a projekcí. Stěžejní kapitolou pro pochopení celé matematické kartografie je třetí kapitola, věnovaná zákonům zkreslení. Jsou zde vysvětleny příčiny zkreslení daných transformacemi prostorových těles (elipsoidu, koule) do roviny. Na tuto kapitolu navazuje kapitola vysvětlující princip odvozování zobrazovacích rovnic jednotlivých druhů a typů zobrazení. V páté až deváté kapitole jsou uvedeny jednotlivé druhy zobrazení, které jsou používány především v praxi při tvorbě map menších měřítek, zpravidla nástěnných a atlasových, kdy se jako výchozí referenční plocha většinou používá koule. Desátá a jedenáctá kapitola jsou věnovány zobrazením používaným při tvorbě státního mapového díla v České republice, závazných geoinformačích systémů (GIS) a v geodetické praxi. Jsou uváděny jak celosvětový systém WGS84 a jeho zobrazení UTM, tak i systém S-JTSK a Křovákovo zobrazení. Tyto kapitoly navazují na předmět geodézie. Dvanáctá kapitola je věnována používaným zobrazením v Armádě České republiky a v NATO. Předposlední kapitola je zaměřena na transformaci zobrazení mezi sebou. Poslední kapitola se zabývá některými aplikace matematické kartografie v programových prostředcích geografických informačních systémech se zaměřením na systém ArcGIS® firmy ESRI. Ve studijních textech nejsou vzhledem kjejich zaměření uvedeny podrobnější informace týkající se zejména zobrazování křivek a čar v konformních zobrazeních s aplikací na Gaussovo zobarzení a zobrazení UTM. Stejně tak řada použitých vzorců není plně odvozena. Kjejich bližšímu studiu je možné využít některé materiály uvedené v seznamu literatury. V textu jsou některé vybrané termíny uváděny i v anglické verzi (kurzívou v závorce za českým termínem). Důvodem bylo jak obecná znalost anglické terminologie z oblasti matematické kartografie, tak i jejich používání v programových nástrojích GIS. plk. doc. Ing. Václav Talhofer, CSc. 7 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1. Referenční plochy a souřadnicové soustavy Fyzický povrch zemského tělesa je velice složitý a členitý a v modelech krajinné sféry je těžko zobrazitelný. Proto je pro vytváření těchto modelů nahrazován topografickou plochou, která je spojitou plochou vyhlazující mikrostrukturu a ty terénní tvary, které jsou z hlediska rozlišovací úrovně modelu bezvýznamné. Topografická plocha je však stále poměrně složitá pro přímé zobrazování do map nebo pro definování digitálních modelů. Pro účely mapování a tvorby modelů terénu se tato plocha nahrazuje referenčními plochami, které jsou jednodušší a jsou matematicky nebo fyzikálně přesně definované. Tyto referenční plochy jsou potom součástí definovaného geodetického referenčního systému (Datum, Geographic Coordinate System). 1.1 Referenční plochy Referenční plochou pro výšková měření je geoid. Geoid je definován jako plocha, na které všechny body mají stejný geopotenciál a která nejlépe odpovídá nerušené střední hladině světových moří, protažené i pod kontinenty. Tato plocha je ve všech bodech kolmá na směr tíže. Protože geoid je definován jako fyzikální těleso, jeho matematické vyjádření je značně složité. Pro potřeby praktické geodézie, mapování, kartografie i celé geoinformatiky je proto nahrazován referenčním elipsoidem (spheroid), referenční koulí (sphere) nebo i referenční rovinou. Vztahy mezi fyzickým povrchem Země, geoidem, resp. kvazigeoidem a elipsoidem jsou znázorněny na následujícím obrázku (Obr. 1-1). Obr. 1-1 Vztahy mezi fyzickým povrchem Země, geoidem, resp. kvazigeoidem a elipsoidem 1.1.1 Referenční elipsoid Výchozí referenční plochou v matematické kartografii je rotační elipsoid. Parametry rotačního elipsoidu jsou voleny tak, aby v maximální míře nahrazoval geoid v zájmové části Země nebo aby nahrazoval celý geoid. Elipsoid je plně definován dvěma parametry, kterými mohou být: • a, b - velikost hlavní a vedlejší poloosy (semimajor axis, semiminor axis), • a, e - velikost hlavní poloosy a numerická výstřednost (excentricita, eccentricity), • a, e' - velikost hlavní poloosy a druhá excentricita, • a, f- velikost hlavní poloosy a zploštění (flattening). Mezi jednotlivými parametry platí vztahy ( 1-1 ): 8 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 2 a2-b2 e =-~ a f = a-b a Referenční elipsoidy jsou jako výchozí referenční plocha používány zejména tehdy, pokud je nutné definovat zobrazení s minimálními hodnotami zkreslení rovinného obrazu. Tento způsob se volí u kartografických zobrazení používaných při definici státních souřadnicových systémů nebo mezinárodních systémů. Současně se používá i při tvorbě státních mapových děl. Do současné doby byla odvozena řada referenčních elipsoidů. Na území České republiky se používá pro civilní státní mapová díla Besselův elipsoid, pro bývalé vojenské topografické mapy v souřadnicovém systému S-1942/83 (používané do roku 2005) elipsoid Krasovského a pro současné vojenské mapové dílo a pro celosvětový systém WGS84 elipsoid WGS84.. Parametry uvedených elipsoidů jsou uvedeny v následující tabulce (Tabulka 1-1): Tabulka 1-1 Parametry referenčních elipsoidů používaných na území České republiky Elipsoid Besselův Krasovského WGS84 (GRS80) Velká poloosa a [m] 6 377 397,1550 6 378 245 6 378 137 Malá poloosa b [m] 6 356 078,9629 6 356 863,0188 6 356 752,3142 Druhá mocnina excentricity -e2 0,006 674 372 2 0,006 693 421 6 0,006 694 380 Druhá mocnina druhé excentricity - e'2 0,006 719 218 8 0,006 738 525 4 0,006 739 496 7 Reciproká hodnota zploštění M f 299,152 812 853 298,300 003 2 298,257 223 6 Poznámka: Elipsoid GRS80 je součástí geodetického referenčního systému ETRS-89, který se též používá v rezortu Českého úřadu zeměměřického a katastrálního. Jeho parametry jsou v rámci v tabulce uváděné přesnosti prakticky shodné s elipsoidem WGS84. 1.1.2 Referenční koule Není-li vyžadována vysoká přesnost prostorové lokalizace modelovaných objektů a jevů, je často používána jako referenční plocha koule. Uplatňuje se zejména při tvorbě map malých měřítek, při vizualizaci digitálních dat s menšími nároky na minimalizaci zkreslení a při řešení jednodušších navigačních úloh. Zvláštním případem je použití referenční koule při tzv. dvojitém zobrazení, kdy je referenční elipsoid nejprve zobrazen na kouli, která se poté zobrazuje do roviny. Tento postup je používán zejména při obecné poloze konstrukční osy zobrazení. Poloměr referenční koule je možné volit na základě různých hledisek. Je-li zobrazované území rozloženo podél rovnoběžky o zeměpisné šířce (po, je vhodné zvolit poloměr koule rovný příčnému poloměru křivosti elipsoidu (1-2 ): R = Nn (1-2) 9 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Při tomto řešení zůstává zachována původní délka rovnoběžky <^na elipsoidu (Obr. 1-2). Pro území kruhového tvaru se volí poloměr koule rovný střednímu poloměru křivosti rovnoběžky (po procházející jeho těžištěm ( 1-3 ): R = ^M0No ^ Obě tělesa se poté v okolí těžiště velmi těsně ve všech směrech přimykají (Obr. 1-3). F Ps Po ^S^* Po \ \ / \ R=No // q>° \ ' l \ ' l \ i \ \ i \ \. \\ \\ \\ rovník \ \ - \ \ \ j i / 1 / \ R=MoNo / cpo/ \ \ X \ \ \ \ \ \ \^ \ rovník \ \ i \ i \ \ \ \ \ \ X. \ \ 1 \ \ \ n s / i / í / / / / / / 1--' / / / s * / / / / / / -- Obr. 1-2 Náhradní koule s poloměrem R=N0 Obr. 1-3 Náhradní koule s poloměrem R1=M0N0 Poloměr koule pro mapy velmi malých měřítek zobrazujících rozsáhlé části Země či celou planetu nebo pro vizualizaci digitálních dat ve velmi malých měřítcích je možné odvodit z požadavku přibližné rovnosti objemu a povrchu elipsoidu koule. Tento poloměr potom je: R = 6371 km. 1.1.3 Referenční rovina Při tvorbě map a plánů z velmi malého území o poloměru zhruba do 20 km je možné pro polohová data uvažovat zakřivený povrch Země jako rovinu a pro zobrazování používat referenční rovinu. V tomto případě vodorovné úhly ne zakřivené ploše jsou téměř stejné jako v rovině, stejně tak zkreslení délek, ploch a úhlů je minimální a zanedbatelné. Pro výšková měření je ale nutné zakřivení Země uvažovat. 1.2 Souřadnicové soustavy Všechny objekty a jevy na zemském povrchu modelované v modelech terénu je nutné lokalizovat. K tomu slouží souřadnicové soustavy, ve kterých je lokalizace uvedených objektů dána dvojicí nebo trojicí prostorových či rovinných souřadnic. Geodetická měření často jako výchozí prostorové souřadnice používá souřadnice geocentrické. Geocentrický souřadnicový systém (geocentric coordinate systém) má počátek ve středu Země a souřadnicové osy X, Y, Z. Osa X leží v rovině rovníku a prochází greenwichským poledníkem (prime meridian), osa Y leží též v rovině rovníku a prochází poledníkem 90° východní zeměpisné délky a osa Z leží v ose rotace Země. Pro kartografické účely a pro lokalizaci objektů digitálních modelů jsou však i tyto souřadnice transformovány do prostorových souřadnic na daném elipsoidu. Proto v dalším textu bude pojednáváno pouze o souřadnicových soustavách, které mají vztah k matematické kartografii. 10 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1.2.1 Souřadnicové soustavy na referenčním elipsoidu Základní souřadnicovou soustavou na referenčním elipsoidu jsou zeměpisné souřadnice, označované též geodetické zeměpisné souřadnice nebo pouze geodetické souřadnice (geographic coordinate system). Souřadnice tvoří zeměpisná (geodetická) šířka cp (latitude) a zeměpisná (geodetická) délka A (longitude) (Obr. 1-4). Zeměpisná šířka dosahuje hodnot v rozsahu <-90°, 90°>, často jsou tyto hodnoty označovány i jako jižní zeměpisná šířka (pro hodnoty <-90°, 0°>) a severní zeměpisná šířka (pro hodnoty <0°, 90°>). Zeměpisná délka používaná v běžném životě nabývá hodnot <0°, 360°> s počátkem na základním poledníku s přírůstkem ve směru východním. Cáry s konstantní hodnotou A, resp. tp jsou nazývány zeměpisné poledníky (meridian), resp. zeměpisné rovnoběžky (parallel). Zeměpisné poledníky a rovnoběžky vytvářejí na povrchu referenčním elipsoidu zeměpisnou síť (graticule), která je při klasické tvorbě map důležitým konstrukčním prvkem při zobrazování povrchu elipsoidu do roviny. Zeměpisná síť umožňuje základní orientaci v obsahu map. Zvláštní význam mají rovník (equator), tedy rovnoběžka s maximálním průměrem, a základní (Greenwichský, nultý) poledník procházející observatoří v Greenwich v Londýně. V některých státech je v praktické geodézii používán jako základní poledník i poledník Ferra (např. v ČR, SR, Německu a Rakousku). Zeměpisná délka tohoto poledníku je 17°40' západně Greenwiche. Při konstrukci map má specifický význam i základní konstrukční poledník, kterým zpravidla bývá poledník procházející těžištěm zobrazovaného nebo modelovaného území. Obr. 1-4 Zeměpisné souřadnice na elipsoidu Elementy poledníku dsp a rovnoběžky dsr se podle Obr. 1-5 a Obr. 1-6 vypočítají podle vztahů (l-4)a(l-5 ): dsp = Mdq) dsr = N cos (pdA ( 1-4) (1-5 ) M a N jsou meridiánový a příčný poloměr křivosti počítané pro zeměpisnou šířku tp podle vztahů ( 1-6) a( 1-7): M N a(l-e2) (1-e2 sin>)3/2 a (1-e2 sin>)1/2 ( 1-6) ( 1-7) 11 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1.2.1.a Výpočet délky poledníkového a rovnoběžkového oblouku V některých aplikacích matematické kartografie je nutné znát délku poledníkového oblouku (například v Gaussovo zobrazení), případně i délku oblouku rovnoběžky. Podle obrázku (Obr. 1-5) as uvážením rovnice ( 1-4 ) lze délku poledníkového oblouku sp do bodu P o zeměpisné šířce vypočítat z rovnice: sp =^Mdcp o kterou lze upravit:

+ ... 2 8 16 128 ze které se po úpravě získá rovnice: (1 - e2 sin2 (pYm = A-Bsia 2cp + C srn Acp - Dsin 6(p + Esm -... (1-9) kde A = l + -e2 h 4 3 2 B = -e 45 4 __/) _L 175 < i'1 11025 C \ 64 256 16384 15 4 + — e 16 525 6 +-e -512 2205 2048 15 4 = —e 64 ^105 6 h--e -256 2205 4096 D 35 6 =-e -512 315 2048 E = 315 16384 4 16 512 2048 ( 1-10) C 12 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Koeficienty A, B, C, D a E jsou funkcemi pouze excentricky e a jsou tedy pro konkrétní elipsoid konstantní. Pokud se dosadí výraz ( 1-9 ) do rovnice ( 1-8 ), bude

! = £* ( 1-12) je možné rovnici ( 1-11 ) psát ve tvaru: sp = A*(p° - B* sin 2cp + C* sin Acp - D* sin 6(p + E* sin 8

= 90°), vypočítá se délka zemského kvadrantu. Ta bude pro: • Besselův elipsoid 10 000 855,764 metrů, • Krasovského elipsoid 10 002 137,497 metrů, • elipsoid WGS84 10 001 965,729 metrů. Poznámka: Pro určení délky metru jako desetimiliónté části zemského kvadrantu stanovil Delambre koncem 18. století rozměry elipsoidu, jehož délka kvadrantu byla 10 000 000 metrů. Méně často je nutné stanovit i délku oblouku rovnoběžky. Poloměr rovnoběžky v zeměpisné šířce (p je r = Ncoscp. Délka jejího oblouku sr mezi dvěma body o zeměpisné délce X\ a A2 (vyjádřené v radiánech) je: jr =iVcos^-^) O-14) 13 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 1.2.1.b Izometrické souřadnice Pro účely definice některých zobrazení, zejména konformních, se na referenčním elipsoidu definuje další soustava souřadnic, tzv. izometrických souřadnic. Podle matematické definice jsou izometrické souřadnice takové, kde čtverec délkového elementu lze vyjádřit jako součet čtverců délkových elementů v jednotlivých souřadnicových osách, případně ještě vynásobený vhodnou funkcí obou souřadnic. Zeměpisné souřadnice na referenčním elipsoidu symetrické nejsou, poněvadž pro délkový element ds platí vztah: ds2 =M2d)cos<£> (l-e2 sin2 cp)d(p-e2 cos2 cpdcp (l-e2 sin2 <£>)cos<£>

q = latg — + 45° 1" ^ ^ = ln v2 -ln 2 1 - e sin cp , případně také tg (P + 45c 1-esin

° q (fad) q° 0 0,00000 0,00 10 0,17426 9,98 20 0,35409 20,29 30 0,54596 31,28 40 0,75860 43,46 50 1,00555 57,61 60 1,31115 75,12 70 1,72911 99,07 80 2,42964 139,21 90 oo oo 1.2.2 Souřadnicové soustavy na kouli Na referenční kouli jsou též základní souřadnicovou soustavou zeměpisné souřadnice. Na rozdíl od souřadnic na elipsoidu jsou často nazývány zeměpisnými souřadnicemi sférickými nebo kulovými a jsou označovány zeměpisná šířka U (také označovaná jako „na kouli", sférická, kulová) a zeměpisná délka V („na kouli", sférická, kulová). Pokud se zobrazují oblasti blízké pólům, často se používá i zenitový úhel Z počítaný podle vztahu Z = 90°- U 15 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (Obr. 1-7). Rozsahy hodnot zeměpisných souřadnic na kouli a jejich použití v praxi je obdobné jako u zeměpisných souřadnic na elipsoidu. Obr. 1-7 Zeměpisné souřadnice na kouli Elementy poledníků a rovnoběžek jsou počítány podle vztahů ( 1-20 ) a ( 1-21 ). Pokud se používá zenitová vzdálenost, potom podle vztahů (1-22 ): dsp = RdU dsr =RcosUdV dsp = RdZ dsr = i? sin ZdV (1-20) ( 1-21 ) (1-22) Obr. 1-8 Elementy poledníku na kouli Obr. 1-9 Elementy rovnoběžky na kouli Obdobně jako na referenčním elipsoidu i na referenční kouli lze definovat soustavu izometrických souřadnic, zde označených jako Q, V. Izometrická šířka Q se počítá podle vzorce: Ô = In ŕ/y+ 45° ( 1-23) odvozeného podobně jako u referenčního elipsoidu. 16 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie V následující tabulce (Tabulka 1-4) jsou pro porovnání uvedeny některé hodnoty zeměpisné a izometrické šířky pro referenční kouli. Tabulka 1-4 Porovnání hodnot zeměpisné a izometrické šířky pro referenční kouli u° Q (rad) Q° 0 0,00000 0,00 10 0,17543 10,05 20 0,35638 20,42 30 0,54931 31,47 40 0,76291 43,71 50 1,01068 57,91 60 1,31696 75,46 70 1,73542 99,43 80 2,43625 139,59 90 oo oo Na referenční kouli je možno definovat soustavu kartografických souřadnic vztaženou ke kartografickému pólu K. Kartografické souřadnice se zpravidla používají při šikmém zobrazení (oblique projection) a poloha kartografického pólu se volí podle specifiky konkrétního zobrazení referenční koule do roviny. Kartografické souřadnice tvoří kartografická šířka S a kartografická délka D. Tyto souřadnice jsou ve vztahu ke kartografickému pólu definovány obdobně jako zeměpisné souřadnice ve vztahu k zemskému pólu. Rovněž kartografické poledníky a rovnoběžky mají obdobný průběh jako poledníky a rovnoběžky zeměpisné. Kartografické poledníky jsou tzv. hlavní kružnice (ortodromy) a jejich rovina vždy prochází středem referenční koule. Zeměpisný poledník procházející kartografickým pólem je jediným poledníkem, který je současně i kartografickým. Zpravidla bývá používán jako základní kartografický poledník kartografické soustavy souřadnic. Vzaty mezi zeměpisnými a kartografickými souřadnicemi obecného bodu P se odvozují ze sférické trigonometrie, používají se věty kosinová pro strany a sinová. Podle obrázku (Obr. 1-10) platí vztahy ( 1-24 ), ( 1-25 ) : sin Š = sin U sin Uk +cosč7 cos ČT\ cos(V -Vk) (1-24) sinfl—siníV-^) d-25) cos*? 17 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 1-10 Vztahy mezi zeměpisnými a kartografickými souřadnicemi na referenční kouli Rovněž stejně jako u zeměpisné šířky na kouli i kartografickou šířku Š je možné nahradit v oblastech kolem kartografického pólu zenitovým úhlem Z = 90°- Š. 1.2.2.a Určení polohy kartografického pólu Polohu kartografického pólu je možné určit nejméně ze dvou bodů ležících na budoucím kartografickém rovníku (ortodromě procházející zpravidla osou zobrazovaného území) nebo nejméně ze tří bodů, pokud osa zobrazovaného území leží na budoucí kartografické rovnoběžce .Těmito body lze proložit rovinu, která protne povrch referenční koule v kružnici. V případě, že body leží na ortodromě, rovina prochází středem referenční koule. Pokud se vztyčí kolmice k dané rovině ve středu kružnice, tato kolmice protne povrch referenční koule v kartografickém pólu (viz. Obr. 1-11 a Obr. 1-12)._ p, p, A.---- X kartografický pól / yv- kartografický pól ^■^-^s^ zemský rovník y \ zemský rovník \ / Pi p Obr. 1 -11 Poloha kartografického pólu vůči ortodromě Obr. 1 -12 Poloha kartografického pólu vůči kartografické rovnoběžce Polohu kartografického pólu je možné vypočítat s využitím řešení sférických trojúhelníků. Dále jsou uvedeny postupy výpočtu polohy kartografického pólu v obou uvedených případech. 18 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Výpočet polohy kartografického pólu ze dvou bodů Mějme dva body na ortodromě, jejichž zeměpisné souřadnice budou P\ (U\, V\) a P2 (U2, V2). Poloha kartografického pólu se potom vypočítá pomocí sinuscosinové věty ze dvou sférických trojúhelníků Pu K, Ps a P2, K, Ps (Obr. 1-13): cos90° = sin Ul sin Uk + cosUl cosUk cos^ - VK) cos90° = sin U2 sin Uk +cosf/2 cosUk cos(F2 - VK) Řešení těchto rovnic se obdrží rovnice pro výpočet polohy kartografického pólu: Obr. 1-13 Určení polohy kartografického pólu ze dvou bodů na kartografickém rovníku Výpočet polohy kartografického pólu ze tří bodů Mějme tři body na kartografické rovnoběžce, jejichž souřadnice budou P\ (U\, V\), P2 (U2, V2) a P3 (U3, V3). Poloha kartografického pólu se potom vypočítá pomocí sinuscosinové věty ze tří sférických trojúhelníků Pu K, Ps, P2, K, Ps a P3, K, Ps (Obr. 1-14): 19 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie kartografická rovnoběžka kartografický rovník Si - Š2 - S3 zemský rovník tgvk tguk Obr. 1-14 Určení polohy kartografického pólu ze tří bodů na kartografické rovnoběžce (cosL^cosV, -cosL^cosV^Xsinř/, -sinř/2)-(cosř/,cosV1 -cosř/2cosVr2)(sinř/1 -sinř/3) (cosi/, sinVí -cos^sinV^Xsinř/, - sinř/3)-(cosi/, cosV, -cosL^cosV^Xsinř/, -sinř/2) cosř/2cos^j, - Vr2)-cosř/1 cos^j, - V,) _ cosř/jCos^ - V3)-cosUí cos^j, - V,) (1-27) siní/, - sinř/2 siní/, - sinř/3 1.2.3 Souřadnicové soustavy v zobrazovací rovině V zobrazovací rovině se převážně používá pravoúhlá souřadnicová soustava (Cartesian coordinate systém) definovaná počátkem O a osami X a Y. V této soustavě mohou být řešené i všechny úlohy praktické geodézie a kartografie za použití vzorců analytické geometrie v rovině. Z charakteru některých zobrazení ale plyne, že při transformaci referenční plochy do roviny je výhodnější nejprve použít polárních souřadnic (polar coordinates) v rovině. Počátek polární soustavy se volí vždy na ose X soustavy pravoúhlé. V praxi se používají dvě základní řešení -s různými a totožnými počátky obou soustav (Obr. 1-15, Obr. 1-16). V prvním případě budou pro transformaci polárních souřadnic do rovinných pravoúhlých platit vztahy ( 1-28 ): kde: x = xv - pcoss y = psin s p je průvodič zobrazovaného bodu P' od počátku V, s je polární úhel měřený od záporného směru osy X. ( 1-28 ) Hodnoty s bývají uvažovány v rozsahu <0°; 360°>, někdy i v rozsahu <-180°; 180°>, tedy obdobně jako u zeměpisných délek. Poloha počátku V může být pevná nebo se může měnit v závislost na hodnotě zeměpisné šířky. 20 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Pokud se v některých zobrazeních ztotožňují počátky obou soustav (Obr. 1-16), potom je výhodnější měřit polární úhel s od kladného směru osy X. Pro transformaci mezi soustavami poté platí vtahy ( 1-29 ) x = p cos s H (1-29) y = psin s i x i X v Yp x» \p y Yp 1 1 Xp 1 Y 1 XP Y 0 0 Obr. 1-15 Polární souřadnicová soustava s různým Obr. 1-16 Polární souřadnicová soustava s totožným počátkem než pravoúhlá soustava počátkem jako pravoúhlá soustava Počátek rovinných souřadnicových soustav se zpravidla volí uprostřed zobrazovaného území. Z hlediska konstrukce map, jejich používání nebo používání prostorových geoinformací je však výhodné, aby celé území leželo pouze v 1. kvadrantu. Proto se často k vypočteným souřadnicím přičítají vhodné konstanty Ax (falše northing) a Ay (falše easting) (Obr. 1-17). (X) t X SP Y k o -^ AX r v (Y) (0) ^- -^ AY Obr. 1-17 Posun počátku pravoúhlé souřadnicové soustavy mimo zobrazované území Poznámka: Orientace os X, Y nemusí být vždy stejná jako na předchozích obrázcích. Některé systémy, používané zejména pro státní mapy, mohou mít orientaci otočenou například o 180° (v ČR). 21 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 2. Dělení a klasifikace zobrazení Kartografické zobrazení (map projection, projection) je dáno matematickým vyjádřením závislostí mezi zeměpisnými souřadnicemi na referenční ploše a souřadnicemi v zobrazovací rovině. Při definici uvedené závislosti je možné využít několika způsobů. 2.1 Základní transformace mezi referenčními plochami a rovinnými souřadnicovými systémy Obr. 2-1 ukazuje možné způsoby transformace zeměpisných souřadnic na referenčních plochách do rovinných souřadnic. Výchozími souřadnicemi jsou zpravidla zeměpisné souřadnice na referenčním elipsoidu q>, A, v některých případech, zejména u maloměřítkových map, i zeměpisné souřadnice na referenční kouli U, V. Konečné souřadnice jsou vždy rovinné pravoúhlé souřadnice x, y. REFERENČNÍ PLOCHA ZOBRAZOVACÍ ROVINA ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ PLOŠE ZEMEPISNE SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI KARTOGRAFICKÉ SOUŘADNICE NA REFERENČNÍ KOULI POLÁRNI SOUŘADNICE PRAVOÚHLE SOUŘADNICE Obr. 2-1 Způsoby transformace souřadnic mezi referenčními plochami a zobrazovací rovinou V praxi se lze setkat se všemi kombinacemi transformace. Například zobrazení vojenských topografických map je přímou transformací mezi zeměpisnými souřadnicemi q>, A na rovinnými pravoúhlými souřadnicemi x, y (resp. N, E). Zobrazení základních map České republiky je naopak postupnou transformací od zeměpisných souřadnic na referenčním elipsoidu, přes zeměpisné souřadnice na referenční kouli, kartografické souřadnice, polární souřadnice k výsledným rovinným pravoúhlým souřadnicím. Výchozí referenční plochou při kartografickém zobrazování je referenční elipsoid nebo referenční koule. Referenční elipsoid je zpravidla používán tehdy, pokud je požadavek na minimalizaci zkreslení rovinného obrazu. Využívá se zejména při zobrazení státních mapových děl, vizualizaci objektů a jevů databází státních informačních systémů apod. Referenční koule se využívá jako výchozí plocha zejména při tvorbě map menších měřítek (v atlasech, nástěnných map apod.) či při vizualizaci digitálních dat s menší rozlišovací úrovní. Referenční koule se používá též při řešení jednodušších navigačních úloh. Je ji však možné využívat při zobrazení státních mapových děl s vysokými požadavky na minimalizaci zkreslení rovinného obrazu, potom ovšem ve variantě dvojitého zobrazení (například u Křovákova zobrazení, které je popsáno v kapitole 11). Kartografické zobrazení může být definováno geometrickou nebo matematickou cestou. 22 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Zobrazení definovaná geometrickou cestou se odvozují z matematického popisu perspektivní projekce referenčních těles (v podstatě však výhradně koule) na plochy rozvinutelné do roviny. Tato zobrazení jsou označována jako projekce a jsou v současné době používány poměrně zřídka. V podstatě všechna dnes používaná zobrazení j sou definována matematickou cestou. Poznámka: V anglické terminologii jsou však pod pojmem projekce (projection) uvažovány jak projekce ve významu uvedeném v předchozím textu, tak i všechna ostatní zobrazení. Zobrazení se třídí podle různých hledisek, z nichž nej významnější jsou vlastnosti zkreslení obrazu a tvar zeměpisné sítě v rovině. Dalšími hledisky je i tvar zobrazovacích rovnic, poloha konstrukční osy, počet na sebe navazujících částí, na které je povrch zobrazován apod. 2.2 Základní vlastnosti jednoduchých zobrazení Významnou třídou jsou zobrazení jednoduchá. Jejich charakter je možné přibližně vyjádřit pomocí geometrické představy promítání referenční plochy na plochy rozvinutelné do roviny, což se používá při rámcovém popisu zobrazení. Poznámka: Projekce i jednoduchá zobrazení mají totožné obecné tvary zobrazovacích rovnic, proto jsou projekce často zahrnovány do třídy jednoduchých zobrazení. Pod pojmem plochy rozvinutelné do roviny se rozumí plášť válce, kužele nebo rovina sama. Jednoduchá zobrazení se podle druhu zobrazovací roviny dělí na válcová (cylindrical), kuželová (conic) a azimutální (planar, azimuthal). Charakter zobrazení je výrazně ovlivněn vzájemnou polohou referenční plochou a konstrukční osou zobrazovací plochy. Konstrukční osa je u válcových zobrazení osou válce, u kuželových zobrazení osou kužele a u azimutálních zobrazení normálou k tečné rovině v tečném bodě (nebo ve středu zobrazovaného území). Je-li konstrukční osa totožná s osou rotace Země, je zobrazení označováno jako pólové (normální, polar), leží-li konstrukční osa v rovině rovníku, potom je zobrazení nazýváno příčné (rovníkové, transverzální, transversal), při obecné poloze konstrukční osy se zobrazení nazývá obecné (šikmé, oblique). Obrazem zeměpisné sítě jednoduchých válcových zobrazení v pólové poloze soustava vzájemně ortogonálních přímek (Obr. 2-2). Souřadnice bodů na referenční ploše se přímo transformují na rovinné pravoúhlé souřadnice. Obecné rovnice pro toto zobrazení lze vyjádřit pro referenční elipsoid vztahy (2-1 ), pro referenční kouli potom vztahy ( 2-2 ): x = f{cp) (2_1} y = fU) x=f(U) (2.2) y = f(V) 23 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 2-2 Princip jednoduchého válcového zobrazení (převzato z [23]) Obraz zeměpisné sítě je u jednoduchým kuželových a azimutálních zobrazení v pólové poloze tvořen soustavou polopřímek vycházejících z jednoho bodu (poledníky) a oblouků soustředných kružnic (u kuželových zobrazení) nebo celých soustředných kružnic (u zobrazení azimutálních) s totožným středem (Obr. 2-3, Obr. 2-4). Obrazy poledníků a rovnoběžek jsou na sebe vzájemně kolmé. Obr. 2-3 Princip jednoduchého kuželového zobrazení (převzato z [23]) Zobrazovací rovnice u obou typů zobrazení mají podobný tvar a vycházejí nejprve z transformace souřadnic na referenční ploše na rovinné polární souřadnice podle obecných vztahů ( 2-3 ) pro referenční elipsoid a ( 2-4 ) pro referenční kouli: P = f(+d

p 1 NcospdA. \ V \ ' ~ j------ X+dX P ř X 0 Y Obr. 3-1 Délkový element na referenčním elipsoidu Obr. 3-2 Délkový element v zobrazovací rovině Mějme na referenčním elipsoidu dva diferenciálně blízké body P[cp, ÄJ a Q[cp+d(p, Ä+dÄJ (Obr. 3-1). Jejich vzdálenost je délkový element ds a zeměpisný (geodetický) azimut tohoto elementu je A. Po zobrazení obou bodů do zobrazovací roviny pomocí vztahů ( 2-9 ): 28 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie x = f(ep,A) y = f(ep,A) budou mít tyto transformované body rovinné souřadnice P'[x, y] a Q'[x+dx, y+dy] (Obr. 3-2). Jejich vzdálenost v rovině bude opět délkovým elementem dS, jehož zeměpisný azimut v rovině bude A 'a jeho směrník a'. Délkový element na referenční ploše lze vyjádřit podle obrázku (Obr. 3-1) rovnicí ds2 =M2dcp2 +N2 cos2 epdÁ2 (3"2) Tomuto elementu bude podle (Obr. 3-2) odpovídat délkový element v rovině: dS2 =dx2+dy2 Hodnoty dx a dy se určí jako totální diferenciály z obecných zobrazovacích rovnic ( 2-9 ): ôx ôx dx = — dep h--dA dep dA dy dy dy = — dep h--d A dep dA (3-3) (3-4) Hodnotu dS lze potom vyjádřit: dS2 dx , dx — dep-\--dA dep dA dy dy dep-\--d A dep dA (3-5) a po uprave dS2 (dx^ 2 + (8y^ 2 dep2 + [dep j [depj dxdx dydy depdA depdA 2depdA + ôAJ \dAJ dA (3-6) Součty kvadrátů a součinů parciálních derivací se mohou označit Gaussovými koeficienty: ^ dx^ ydepj ŕ dy^ ydepj ^ dxdx dydy F=-+ - G depdA depdA ^ dx~Ý ( dy^2 JÄ) +[ôÄ (3-7) (3-8) (3-9) a rovnice ( 3-6 ) získá tvar: dS2 = Edep2 + IFdepdA + GdA2 ( 340) Po dosazení výrazů ( 3-2 ) a ( 3-10 ) do rovnice ( 3-1 ) bude délkové zkreslení dáno vztahem: 2 Edep2 + IFdepdA + GdA2 m M2dep2 +N2 cos2 epdA2 Na referenčním elipsoidu podle obrázku (Obr. 3-1) platí: (3-11) 29 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie sin(90°-A)-M^ cos(90°-A) ds N cos tpdA ds a lze tedy vyjádřit: , cos A dep =-ds ^ M (3-12) sin A dA =-ds Ncoscp S uvážením vztahů goniometrických funkcí: 2 sin A cos A = sin 2A cos2 A + sin2 A = l (3-13) dosazením vztahů ( 3-12 ) do výrazu ( 3-11 ) se po úpravě získá výsledný vztah pro výpočet délkového zkreslení: 2 e 2 , f . „ , g m =—t-cos A +-sin2A + —---—sin A (3-14) M MNcoscp N cos (p Rovnice ( 3-14 ) je obecnou rovnicí pro výpočet délkového zkreslení jakéhokoliv zobrazení. Z rovnice plyne, že délkové zkreslení je závislé na poloze bodu, pro které se zkreslení počítá, a dále na azimutu délkového elementu. Bude-li tento azimut A roven 0° nebo 180°(poledník), potom délkové zkreslení ve směru poledníku bude rovno: (3-15) m =- p M Pro azimut A rovný 90°, resp. 270°(rovnoběžka) bude délkové zkreslení: 4g mr =- A^cos^» S využitím výrazů ( 3-15 ) a ( 3-16 ) lze rovnici ( 3-14 ) psát i ve tvaru: p m2 = ml cos2 Ah--sin 2A + ml sin2 A (3-17) (3-16) p MN'cos cp 3.1.1 Délkové zkreslení na referenční kouli Délkové zkreslení na referenční kouli je obdobné jako na referenčním elipsoidu. Při výchozích zobrazovacích rovnicích ( 2-10 ) nabudou rovnice ( 3-7 ), ( 3-8 ) a ( 3-9 ) tvaru: e = {—^\4^\ (3"18) F_ Sxôx | dydy ( 3_19} dUdV dUdV 30 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie G=r—T+r-^-T (3-2o) {dVJ {dVJ Potom je možno vyjádřit rovnice zkreslení v polednících, rovnoběžkách a v obecném azimutu: •Je ( a 71 •» m =- \j ) p R m = (3.22) r ičcosč/ p m2 =m2cos2 A + —-sin 2A + m2 sin2 A (3-23) p R2cosU 3.1.2 Extrémní délkové zkreslení Při konstantní poloze bodu P bude mít rovnice ( 3-17 ) pouze jednu proměnnou - azimut délkového elementu A. Derivací této funkce a jejím položením rovné nule se zjistí extrémy délkového zkreslení, které budou v azimutech označených symboly Aa a Ab: dm2 _ dm 2~ ■ a a F _ _ . r~ ■ A A -= 2m— = -m„2stn^„cos^„ +-2cos2^„ +m22sm An cosAn =0 dA dA p MVcos^ " a Odtud se s využitím vztahů ( 3-13 ) získá vztah: 2F tg2Aa = -r—-^- ( 3-24) \mp - mr )MN cos

je definováno vztahem ( 3-31 ): A(a = ca'-(a (3-31) kde a> j e úhel na referenční ploše mezi dvěma směry PQ\ a PQ2, 0'je odpovídající úhel po zobrazení do zobrazovací roviny. Uhel a> lze však vyjádřit i jako rozdíl dvou azimutu jak na referenční ploše (a> =A2 - A\), tak i v zobrazovací rovině ('=A2-A'i),jakje ukázáno na obrázcích (Obr. 3-5 a Obr. 3-6). X Qi X' \ _Ä2 \ © " Q2 \ ca' _ Q'2 P'\ Obr. 3-5 Úhel jako rozdíl dvou azimutu na referenční Obr. 3-6 Úhel jako rozdíl dvou azimutu v zobrazovací ploše rovině Zkreslení úhluje potom možné vyjádřit jako: Acd =(A2-A\)-(A2-Al) = (A'2-A2)-(A'1-Al) = AA2 -A\ kde AA je zkreslení azimutu vyjádřené obecným vzorcem: AA = A'-A (3-32) Zkreslení azimutu je možné odvodit z obrázku (Obr. 3-7) zobrazující rovinný obraz zeměpisného poledník A a libovolného směru s, jehož azimut v zobrazovací rovině je A' a. na. němž diferenciálně blízku od výchozího bodu P'leží bod Q. Podle obrázku platí: 33 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie A=\%0°-{ďp-G) Lze psát: tgA=-tg{ďp-ď) Podle vzorce pro tangentu rozdílu dvou úhlů lze předchozí vzorec upravit: tgA=- tgď?-tgď = W-**, (3-33) 1 + tga'p tga 1 + tga'p tga Pro určení azimutu A 'je tedy nutné stanovit tangenty směrníků směru s a poledníku A. Podle obrázku (Obr. 3-7) lze směrník cr'vyjádrit jako , > dy dx kde dx a dy je možné vyjádřit vztahy ( 3-3 ) a ( 3-4 ). Potom bude: dy dy — dm + — dA ,_ dep dA (3-34) dx , dx rn — d(p-\--dA dep dA Dosadí-li se za diferenciály zeměpisných souřadnic tvary ( 3-12 ), rovnice ( 3-34 ) bude mít tvar: dy cos A , dy sin A , dy AT dy ,, . . —--ds + —--ds — A^cos^cosA + — Msin A ,_ dep M dANcosp _dcp dA (3-35) dx cos A , dx sin A , dx AT dx ,, . . --a^h---ds —A^cos^cosAh--M sin A dep M dA Ncostp dtp dA Uváží-li se, že azimut poledníku Ap je 0°, potom směrník obrazu poledníku v zobrazovací rovině bude podle rovnice ( 3-35 ) roven: 34 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie dy_ > d(P dtp Dosazením výrazů ( 3-35 ) a ( 3-36 ) do vzorce ( 3-34 ) se po úpravách obdrží: dx dy dx dy dtp dA dA dep ( 3-36) tgA~- ( 3-37) Y (dy^ — + — ydep) [dtp M dx dx dy dy — cos cp cot gA h----1--- N dtp dA dtp dA Využijí-li se Gaussovy koeficienty ( 3-7 ) ( 3-8 ): E ' dx^ yd(Pj f dy^ yd(Pj ^ dxdx dydy F=-+ - dcpdA dcpdA a zavede-li se čtvrtý Gaussův koeficient H _ dx dy dx dy dtp dA dA dtp potom lze výraz ( 3-37 ) psát ve tvaru: ( 3-38 ) tgK- H M E—cos«>cot gA+ F N ( 3-39) Pomocí rovnice ( 3-39 ) je tedy možné vypočítat k azimutu a obecného směru s na referenční ploše azimut a' obrazu tohoto směru v zobrazovací rovině a tím lze vypočítat i zkreslení azimutu AA. Ze znalosti zkreslení azimutu lze vypočítat i zkreslení obecného úhlu Aa>. Zkreslení azimutu je možné vypočítat i z extrémních hodnot délkového zkreslení. Protože podle obrázků Obr. 3-3 a Obr. 3-4 platí: db da mbdb mda potom lze psát: ľľl tglS=—tgti m„ ( 3-40) Pokud je /j = a - aa, lze tedy z něho vypočítat ju' = a'- a'a a tím i zkreslení směrníku /j i azimutu a podle vztahů ( 3-41 ) a ( 3-42 ): A// - ( 3"41} 35 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie AA = A-A = AjU + A'a-Aa ( 3-42) 3.2.1 Úhlové zkreslení na referenční kouli Rovnice (3-38)a(3-39) budou mít na referenční kouli tvar: dx dy dx dy (3-43) H ÔU ôV ôV ôU tgÄ=--- ( 3-44 ) EcosU cot gA +F Ostatní odvozené vztahy jsou beze změny. 3.2.2 Extrémní úhlové zkreslení Z hlediska tvarů rovnic ( 3-39 ) a ( 3-40 ) v elipse zkreslení existují symetrické směry, ve kterých úhlové zkreslení dosahuje extrémů. Označí-li se tyto symetrické směry symbolem s, potom jejich směrníky v ortogonální soustavě hlavních paprsků zkreslení budou /Je a /j's a jim odpovídající azimuty As a A 's. Velikost extrémního zkreslení směrníku bude A/je = /j's — fds a velikost extrémního zkreslení azimutu AA =A 's- ASm. Podle pravidla pro hledání extrémů funkce platí: = 0 z toho dii = dii Diferencováním rovnice ( 3-40 ) se získá: 1 _mb 1 cos2/// ma cos2 jue ( 3-45 ) Protože obecně platí, že l + tg2x cos2 x lze rovnici ( 3-45 ) upravit na tvar: l + r*V=—(L + teVj (3-46) m, a po dosazení za tg ju'z rovnice ( 3-40 ) pro hodnotu ju's se obdrží: 1 mh 2 mh L 2 \ l + ^tg2vE=^(l + tg2vE) m„ mr. a odtud m, tg A 2,. mb m m 'a \ a J mb 36 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Lze tedy vypočítat: I m ( 3-47 ) Pokud by se do výrazu ( 3-46 ) dosadila hodnota z výrazu ( 3-40 ) tg/j, potom se získá obdobný výraz jako ( 3-47 ): ( 3-48 ) Vzorce ( 3-47 ) a ( 3-48 ) určují jak na referenčním elipsoidu, tak i v zobrazovací rovině čtyři symetrické směry s dané dvojznačností tangenty v intervalu 0°- 360° a kladnou a zápornou hodnotou výrazu mjmb, resp. mi/ma po odmocnění. V těchto směrech dosahuje úhlové zkreslení svých extrémů. Ze známých hodnot /js a //'s se vypočítá na základě vzorce ( 3-41 ) velikost extrémního zkreslení směrníku Uvedený vzorec je možné dále upravovat 1 + tgMs'tgMs a po dosazení za tg/js a tg/j'e ze vzorců ( 3-47 ) a ( 3-48 ) se získá tvar: m — m tgA{iE = b.-a- ( 3-49 ) -mb 2aR který je ještě možné upravit podle obecného vztahu tgx sin x = .—11= se rozumí přímo extrémní úhlové zkreslení. 3.3 Plošné zkreslení Plošné zkreslení je definováno výrazem: dP m,=— (3-54) pl dp kde dp je diferenciální plocha na referenční ploše, dP]e odpovídající diferenciální plocha v zobrazovací rovině. Diferenciální plochu lze na referenční ploše vymezit diferenciálně blízkými poledníky a rovnoběžkami jako čtyřúhelník (Obr. 3-9). Tato plocha bude mít velikost: dp = MN cos (pd(pdA Po zobrazení uvedené diferenciální plochy do roviny bude mít obecně tvar rovnoběžníka, ve kterém bude úhel rovnoběžky a poledníku A 'r. Z obrázku (Obr. 3-10) plyne dP = m pmrMNcos cpdcpd'A sin Ar' Dosadí-li se výše uvedené hodnoty do výrazu ( 3-54 ), obdrží se vzorec pro výpočet plošného zkreslení: m pi m mrMN cos qdqxiX sin Ar' MN cos (pd(pdA 38 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie mPl=mPmr SÍn4' (3-55) e- ■D 9+d9 dp NcoscpdX dP miNcostpd?. Obr. 3-9 Diferenciální plocha na referenčním elipsoidu Obr. 3-10 Obraz diferenciální plochy v zobrazovací rovině Plošné zkreslení lze vypočítat i z poměru plochy diferenciální kružnice na referenční ploše a jejího obrazu v zobrazovací rovině - elipsy zkreslení. Plocha kruhu na obrázku (Obr. 3-3) je dp = iids1 Plocha elipsy na obrázku (Obr. 3-4) potom je dP = 7wnadsmbds Po dosazení uvedených výrazů do vzorce ( 3-54 ) lze vypočítat plošné zkreslení i ze známých hodnot extrémů délkového zkreslení mpl=mamb ( 3-56) 3.4 Zákony zkreslení při užití polárních rovinných souřadnic Ke zobrazení referenční plochy do roviny a k vyjádření zákonů zkreslení se v případě kuželových a azimutálních zobrazení využívají polární rovinné souřadnice p, s, do nichž jsou transformovány výchozí zeměpisné souřadnice tp, A. Polární rovinné souřadnice jsou teprve následně transformovány do pravoúhlé souřadnicové soustavy - do souřadnic x, y. Mezi jednotlivými souřadnicemi platí vztahy (viz odstavec 2.4 , vztahy ( 2-11 ) a odstavec 1.2.3 , vztahy ( 1-28 )): P = f( xv —> ep p ->

A —> s —> ep -> A • y —» p —» ep -> A —» s —> cp -> A Schéma je možné využít jako pomůcku pro parciální derivace rovnic ( 3-58 ): 8x dep čx čx„ čx op čx ôs ■ +--— + ■ dxv dep ôp ôcp ds dep dx ~d~A dy dx dp dx ds dp d A ds d A (3-59) dy dp dy ds dep dp dep ds dep dy _ dy dp ^dy ds dA dp dA ds dA Diferencováním rovnic ( 3-58 ) se získá: dx dxv dx dp dx ds Dosazením vztahů ( 3-60 ) do rovnic ( 3-59 ) se obdrží 1 -COS£ psin s dy —^ = sin s dp dy — = pcoss ds (3-60) dx dxv dp . ds — = —--coss--1-psin s — dep dep dep dep dx dp . ds — = -coss--h psin s — ôA d A dA dy . dp ds — = sin s--h pcoss— dep dep dep (3-61) dy . dp ds — = sin s--h pcoss— d A dA dA Výrazy ( 3-70 ) se dosadí do obecných vztahů pro výpočet Gaussových symbolů (viz. ( 3-7 ), ( 3-8 ), ( 3-9 ) a ( 3-43 )) a získají se rovnice pro vyjádření těchto symbolů v polárních souřadnicích: rdx?2 dep r psvas ds dep -cos s dp dep r. dx„ 2^ + dep fd_pý dep rds^ dep ( 3-62) 40 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie f ôs psin s--cos £ — V ôa ôp ) ôxv ôp op 2 8s ôs — —- +—— + p-- ôa J ôcp dep ôa dep 8A ( 3-63 ) G rĚP)\p>(ĚL\' d A) dA ) TT ( . dp ds~\dxv f ôp ôs ôp ôs H = \sms — + pcoss— —-+ —---— — ^ ô A ôAjôcp yôAôcp ôcp ô A P ( 3-64) ( 3-65 ) Parciální derivace zobrazovacích rovnice vyjádřených v polárních souřadnicích: dxv dp dp ds ds dep' dep' d A' dep' dA se odvodí z konkrétních zobrazovacích rovnic použitého zobrazení. Pokud jsou známy Gaussovy symboly, je možné vypočítat všechna zkreslení podle příslušných vztahů uvedených v předcházejících kapitolách. Pro zobrazovací rovnice z referenční koule vztahy pro výpočet Gaussových symbolů budou mít tvar: dU J dU ŕ x„\2 í p^V dO ( ■ d£ Sp\dxv (dp^\ 2( ôs^\ TTT | + PSU! s^tt-coss^- |2^+ ~^- \ +p TTT I ÔUJ ÔU {dUJ P ÔU J f p srn s ôs dps\dxv ô p ô p 2 ôs ôs --cosa:-^- —- + ——— + p-- v ÔV ôVjôU ÔU ÔV P ÔU ÔV G ôp ~ÔVj + P yÔVj H ôp ôs sm s--h pcosč: — ÔV ÔV A ôx„ f + ÔU ôp ôs ôp ôs ~d~V~ô~U ~ô~U~d~V P ( 3-66) ( 3-67) ( 3-68 ) ( 3-69) 3.5 Vizualizace průběhu zkreslení Představu o rozložení a charakteru průběhu zkreslení je možné vyjádřit pomocí čar stejných hodnot zkreslení, tzv. ekvideformát. Ekvideformáty mohou být konstruovány pro průběh všech druhů zkreslení. Vzhledem ke skutečnosti, že plošné a úhlové zkreslení je možné vyjádřit i pomocí délkového zkreslení, jsou nejčastěji zobrazovány ekvideformáty délkových zkreslení (nazývané též jako izometrickě čáry). Délkové zkreslení je, jak bylo uvedeno v předcházejícím textu, závislé nejen na poloze bodu, ale i na směru délkového elementu. Proto se zpravidla pro délkové ekvideformáty volí směry poledníků nebo rovnoběžek (zeměpisných či kartografických). Ekvideformáty jsou popisovány příslušnými hodnotami zkreslení. Často je však volen popis poměrovými formami. Například délkové zkreslení je vyjádřeno ve formě: vm=m-l (3-70) což po dosazení za m lze také psát ve tvaru: 41 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie dS -ds Hodnota ds se často volí 1 km, což je dostatečně malá hodnota vzhledem k rozměrům Země, a rozdíl dS - ds se uvádí v metrech s příslušným znaménkem. Například pro hodnotu m = 0,9996 bude: 0,9996-1 v =- m ^ čili vm = 0,4 mim"1. Poměrová forma plošného zkreslení bude mít procentuální vyjádření ve tvaru: vpl% = {mpl-\)\W% (3-7D Za předpokladu, že pro zobrazení ekvideformát je volen konstantní interval přírůstku zkreslení, změna zkreslení je ilustrována změnou jejich hustoty (stejně jako u jiných izočar, například vrstevnic, izobar apod.). Zkreslení se nejvíce mění v kolmém směru na směr ekvideformát. Ekvideformáty lze konstruovat různými způsoby s využitím zobrazovacích rovnic daného zobrazení a rovnic jeho zkreslení. U jednoduchých zobrazení jsou ekvideformáty totožné s obrazem rovnoběžek (zeměpisných nebo kartografických - pro rovníkovou nebo šikmou polohu). Jednoduchá válcová zobrazení budou mít tedy ekvideformáty ve tvaru rovnoběžek s obrazem rovníku, kuželová a azimutální zobrazení potom soustředné kružnice se středem v počátku polární souřadnicové soustavy v rovině. Ve všech případech sestrojení ekvideformát je tudíž poměrně snadné. U nepravých a obecných zobrazení je tvar ekvideformát zpravidla složitější. V některých případech ekvideformáty mohou tvořit v zobrazované oblasti i uzavřené křivky. Postup jejich konstrukce je proto někdy obtížnější. V zásadě lze využít následující dvě cesty: • nejprve se určí hodnoty zkreslení, které se bude zobrazovat. Z rovnic zkreslení se potom vypočítají příslušné hodnoty zeměpisných souřadnic a z nich se vypočítají rovinné souřadnice bodů o požadovaném zkreslení. Z těchto bodů se potom interpolují jednotlivé ekvideformáty. Variantou je využití grafu příslušného zkreslení, ze kterého se souřadnice požadovaných bodů odečtou; • na více, zpravidla pravidelně rozmístěných bodech, se vypočítají hodnoty příslušného zkreslení a z nich se v rovině vyinterpolují příslušné ekvideformáty. Tuto variantu lze řešit i s využitím výpočetních prostředků a programového vybavení pro práci s počítačovou grafickou nebo přímo s geoinformačním systémem. Body s vypočteným zkreslením mohou definovat hladkou plochu, na které je možné pomocí interpolační ch funkcí interpolovat izolinie s daným krokem. Ukázka tohoto postupuje na následujícím obrázku (Obr. 3-11). 42 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 3-11 Ukázka použití interpolačního programu pro konstrukci ekvideformát délkového zkreslení v polednících (použito Albersovo ekvivalentní kuželové zobrazení, převzato z [24]) Obr. 3-12 Vizualizace průběhu délkového zkreslení v polednících - povrch byl interpolovaný metodou kriging (použito Mollweidovo zobrazení, převzato z [24]) K vizualizaci délkového zkreslení je též možno využít elipsy zkreslení zobrazené například v uzlových bodech zeměpisné sítě. Výhodou tohoto postupu je zobrazení nejen velikosti délkového zkreslení, ale i orientace hlavních paprsků zkreslení vůči obrazu poledníků a rovnoběžek a plošné zkreslení. Příklad uvedeného postupuje uveden na následujícím obrázku (viz. Obr. 3-13): Obr. 3-13 Ukázka vizualizace zkreslení Mollweidova zobrazení pomocí Tissotových elips Obr. 3-14 Ukázka vizualizace zkreslení Aitovova zobrazení pomocí Tissotových elips Pozn.: Místo ekvideformát je možné použít pro vizualizaci průběhu zkreslení přímo odvozenou hladkou plochu (Obr. 3-12) 43 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 4. Teorie zobrazení Ze závěrů obecné teorie zkreslení je možné matematicky definovat jednotlivé druhy zobrazení - ekvidistantní, ekvivalentní a konformní. V této kapitole budou postupně podány základní východiska pro definici těchto zobrazení. Opět se bude vycházet z pólové polohy obecných zobrazení z elipsoidu do zobrazovací roviny. Vztahy platné pro zobrazení koule budou uvedeny na konci jednotlivých částí. Větší pozornost bude věnována konformním zobrazením vzhledem k jejich významu při tvorbě státních mapových děl a při jejich využívání ve spojení vizualizovaných digitálních geografických dat s navigačními systémy, zejména družicovými. 4.1 Ekvidistantní zobrazení Jak bylo již dříve konstatováno, ekvidistantní zobrazení délkově nezkresluje některou soustavu čar. Tuto podmínku je možné definovat matematicky. Nej častějším požadavkem je, aby se délkově nezkresl ovaly buďto poledníky nebo rovnoběžky. Pokud je požadavek na nezkreslování jiné soustavy čar, je zpravidla možné použít rovníkovou nebo šikmou polohu zobrazení definovanou tak, aby požadovaná soustava byla kartografickými poledníky nebo rovnoběžkami. Proto další text bude omezen pouze na pólovou polohu zobrazení. V případě rovníkové a šikmé polohy je možné použít stejné, dále odvozené vztahy, v nichž se pouze nahradí zeměpisné souřadnice souřadnicemi kartografickými. Základní vztah pro definici ekvidistantního zobrazení vychází z obecné definice délkového zkreslení daného vztahem: dS m = — ds potom musí pro ekvidistantní zobrazení v polednících platit: mp=l (4-D Pokud se za délkový element zeměpisného poledníku použijí vztahy definované na referenčním elipsoidu nebo referenční kouli, lze pro referenční elipsoid předcházející vztah vyjádřit rovnicí: dSJ^ = \ (4-2) Mdcp a pro referenční kouli: dS _£_ = l ( 4-3 ) RdU Obdobně lze definovat obecné vztahy pro ekvidistantní zobrazení v rovnoběžkách z podmínky: mr =1 Pro referenční elipsoid lze potom psát: dS„ Ncos (fdX (4-4) 44 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie a pro referenční kouli: dSr RcosUdV 1 (4-5 ) Vzorce ( 4-2 ) až ( 4-5 ) lze s výhodou použít při odvozování zobrazovacích rovnic ekvidistantního zobrazení nebo při jeho rozpoznávání v případě, že je možné jednoduše vyjádřit v rovině v pravoúhlých nebo polárních souřadnicích délkové elementy poledníku, resp. rovnoběžky. Tohoto postupu se využívá zejména u jednoduchých zobrazení, částečně i u zobrazení nepravých. Ekvidistantní zobrazení lze definovat i s využitím vztahů využívající Gaussovy koeficienty. Pomocí nich lze podmínku ( 4-1 ) psát v případě ekvidistantního zobrazení v polednících pro referenční elipsoid: M Pro referenční kouli vztah ( 4-6 ) platí obdobně: R 1^>E = R 2 (4-7) Ekvidistantní zobrazení v rovnoběžkách pro referenční elipsoid bude mít následující obecnou podmínku: ^ l^G = /V2cos> (4-8) N cos cp Pro referenční kouli vztah ( 4-8 ) platí obdobně RcosU l^G = iTcoszt/ 2r^2TJ (4-9) Hodnoty Gaussových koeficientů E, G budou mít tvary dané parametry konkrétní referenční plochy a konkrétními zobrazovacími rovnicemi použitého zobrazení. 4.2 Ekvivalentní zobrazení Základní vlastností ekvivalentního zobrazení je, že se při jeho použití nezkreslují plochy zobrazovaných objektů a jevů, případně jsou tyto plochy konstantně zkreslené v celém zobrazovaném území. Tato varianta je však pouze modifikací (měřítkovou změnou) základního ekvivalentního zobrazení a proto ji není nutno uvažovat jako zvláštní případ. Podmínku zachování velikosti ploch je možné vyjádřit z obecné rovnice plošného zkreslení (viz (3-55 )): mpl=í (4-10) kterou lze psát ve tvaru: mpmr sin A"r= 1 (4-11) Vzorec ( 4-11 ) se výhodně používá i pro rozpoznávání ekvivalentních zobrazení, a to zejména pro jednoduchá. U těchto zobrazení platí A'r = 90°; výše uvedený vzorec potom nabývá tvaru: 45 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie mm =1 (4-12) p r Jiné vyjádření podmínky ekvivalentního zobrazení vychází ze vztahů pro plošné zkreslení využívající Gaussovy koeficienty. Pro ekvivalentní zobrazení z referenčního elipsoidu lze psát: H \^>H = MNcos

H = R2cosU R2cosU Hodnota koeficientu H je vyjádřena podle druhu referenční plochy a typu zobrazení. Uvedená podmínka se využívá zejména u nepravých nebo obecných zobrazení. 4.3 Konformní zobrazení Vlastností konformního zobrazení je, že nezkresluje úhly. Tuto vlastnost je možné vyjádřit vztahem: Aco=0 (4-15) Uhlové zkreslení je obecně dáno vzorcem (( 3-53 ), viz. odstavec 3.2 ): . Aú)s mb-ma sin-- = —--- (4-16) 2 mb + ma Vzhledem ke vzorci ( 3-53 ) bude podmínka ( 4-15 ) splněna pouze za předpokladu, že: ma =mb ( 4-17 ) Hodnoty ma a m& jsou extremními hodnotami délkového zkreslení. Pokud se mají tyto dvě hodnoty rovnat, potom je délkové zkreslení konstantní a nezávislé na směru azimutu délkového elementu. Elipsa zkreslení se tudíž zobrazuje jako kružnice. Z obecné rovnice délkového zkreslení dané vztahem ( 3-23 ) (viz odstavec 3.1 ): m2 = m2 cos2 A h--—-sin 2A + m2 sin2 A p MNcoscp je zřejmé, že konstantní délkové zkreslení bude pouze v případě platnosti podmínek: 1. mp-mr 2. F = 0 První podmínku lze vyjádřit i pomocí Gaussových symbolů. Pro referenční elipsoid lze psát: Vff= Vg _e= m2 (4.18) M Ncoscp G N2 cos2 (p Pro referenční kouli lze psát obdobně: 46 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie •Je _ Vg e_i (4_i9 -j R ~ RcosU G ~ cos2U Hodnoty Gaussových koeficientů budou vyjádřeny opět podle druhu a charakteru daného zobrazení. Konformní zobrazení lze definovat i pomocí izometrických souřadnic. V kapitole Referenční plochy a souřadnicové soustavy byly odvozeny vztahy pro výpočet izometrické šířky na referenčním elipsoidu a na referenční kouli. Vyjde-li se z obecné rovnice délkového zkreslení ve tvaru: dS2 m2 ds1 a dosadí-li se za diferenciály délek jejich tvary vyjádřené v diferenciálech izometrických souřadnic (viz kapitola 1), lze psát: 2 m dx2+dy2 (4"2°) N2 cos2 cp(dq2 + dA ) V konformním zobrazení nesmí být zkreslení délkového elementu závislé na jeho azimutu. Bude uváženo, kdy bude rovnice ( 4-20 ) vyhovovat této podmínce. Azimut délkového elementu na referenční ploše lze vyjádřit: N cos cpdA Mdcp neboli: A dÄ dq Směrník v zobrazovací rovině se vyjádří vztahem: , > dy dx Je tedy zřejmé, že závislost délkového zkreslení na směru délkového elementu vyjadřují poměry diferenciálů zeměpisných (izometrických) a rovinných souřadnic. Aby zobrazení bylo konformní, nesmí se ve výrazu ( 4-20 ) uvedené diferenciály vyskytovat. To bude splněné pouze za předpokladu využití obecných zobrazovacích rovnic ve tvaru: x + iy = f(q + iA) (4-21) x-iy = f(q-iX) (4-22) Přitom pro praktické použití stačí uvažovat pouze jednu z uvedených funkcí. 4.4 Konformní zobrazení geodetické čáry Většina úloh praktické geodézie je řešena v rovině konformního zobrazení. Při jejich řešení je nutné znát průběh rovinného obrazu geodetických čar, kterými jsou poledníky, rovník a všechny ostatní nej kratší spojnice dvou bodů na referenčním elipsoidu, tedy i strany trigonometrických sítí. Změny průběhu uvedených geodetických čar, které jsou výsledkem 47 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie jejich zobrazení do roviny konformního zobrazení, se projevují v tzv. korekcích ze zobrazení, tedy jako směrová a délková korekce geodetické čáry [14]. 4.4.1 Průběh obrazu geodetické čáry v rovině konformního zobrazení Podle [22] lze prostorové čáře definovat geodetickou křivost y jako křivost pravoúhlého průmětu této čáry do tečné roviny v daném bodě, pro který je křivost počítána. Dále lze definovat geodetickou čáru (geodetickou křivku) jako čáru, jejíž geodetická křivost y je v každém jejím bodě rovna 0. Protože konformní zobrazení není ortogonální, geodetické čáry se v rovině tohoto zobrazení obecně zobrazují jako křivky, jejichž křivost se v každém bodě mění. Definici změny křivosti je nutné vyjít ze situace ilustrované na obrázku (viz Obr. 4-1) dS' _8' > i i Obr. 4-1 Průběh geodetické čáry v rovině konformního zobrazení Mějme na referenčním elipsoidu diferenciální pravoúhlý čtyřúhelník PQBA omezený stranami ds a dt, které jsou částí geodetických čar. Po jeho zobrazení do roviny konformního zobrazení se sice zachovají pravé úhly u vrcholů čtyřúhelníka, avšak každá strana bude jinak zakřivena a bude délkově zkreslena. Po zobrazení budou tyto strany označeny dS, dS', dT a dT. Na základě obrázku (Obr. 4-1) lze zkoumat křivost Y elementu dS v bodě P'. Z obrázku je zřejmé, že: dS = -da. (4-23) r Pokud se zanedbá minimální rozdíl mezi délkami křivek A 'B' a A 'C, potom lze psát: dS'= dS + dadT . (4-24) Po dosazení za do z ( 4-23) do ( 4-24) se získá vztah: dS = dS(l + TdT). (4-25) Pokud se vydělí obě strany rovnice ( 4-33 ) hodnotou ds, potom bude: ^l = ^L(í + rdT) (4-26) ds ds 48 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Výraz dS/ds je výrazem pro délkové zkreslení m v bodě P' a výraz dSVds vyjadřuje délkové zkreslení v bodě A', jehož hodnota je proti hodnotě délkového zkreslení v bodě P' změněna o dm. Tuto změnu je možné vyjádřit jako: dS' ds = m + dm ( 4-27) m + dm = m(l + FdT) (4-28) Po dosazení výrazů pro délkové zkreslení a jeho změnu do ( 4-26) se získá výraz: a z něho po úpravě: 1 dm r = (4-29) m dT kde m je tedy délkové zkreslení a dm/dT')e změna zkreslení ve směru kolmém ke geodetické čáře. Poznámky 1 Délkové zkreslení m je počítáno pro délková element ds mezi body P a Q, který má azimut A. Změnu tohoto zkreslení ve směru kolmém na element ds lze vypočítat pomocí stejného výrazu, pokud se změní hodnota azimutu a 90° v příslušném směru. Je-li geodetická čára vedena kolmo k ekvideformátám, potom dm/dT = 0 a proto její obraz bude přímka. Pokud je geodetická čára ve směru ekvideformát, potom změna zkreslení v kolmém směru bude maximální a tedy bude i její obraz maximálně zakřiven (viz obrázek Obr. 4-2). Obr. 4-2 Průběh geodetické čáry vzhledem k ekvideformátám Délkové zkreslení se mění v závislosti na poloze konkrétního bodu na dané geodetické čáře. Pro výpočty zejména v geodetické praxi je ale nutné znát především tvar geodetické čáry na jejím počátečním a koncovém bodě a délku jejího obrazu. Tyto vlastnosti lze určit pomocí výpočtů tzv. směrové a délkové korekce geodetické čáry. 4.4.2 Směrová korekce geodetické čáry Strany trojúhelníků trigonometrických sítí jsou geodetickými čarami. Na kouli jsou tyto čáry součástí hlavních kružnic, na referenčním elipsoidu jsou částmi zmíněných geodetických čar. K pochopení principu výpočtu směrové korekce v jakémkoliv zobrazení (tedy nejen v konformním) je možné využít jeden sférický trojúhelník ABC na kouli, jehož vrcholové úhly jsou a, /?, y (Obr. 4-3) (podle [15]). Při zobrazení tohoto trojúhelníka do roviny některou ze zobrazovacích metod, budou všechny úhly zkresleny a nabydou hodnot a', /?', y' (Obr. 4-4). Zkreslení těchto úhluje možné vyjádřit rovnicemi: 49 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Aa = a-a, A/3 = 8-8 , Ay = f-y (4-30) S výjimkou gnómonické projekce se části oblouků hlavních kružnic zobrazí jako křivky. Obr. 4-3 Sférický trojúhelník ABC na kouli Obr. 4-4 Obraz sférického trojúhelníka A'B'C v zobrazovací rovině Ve sférickém trojúhelníku platí pro součet jeho vrcholových úhlů vztah: a +8 + y = lS0° + s, kde e je sférický exces. Pokud se řeší vztahy v trojúhelníku v rovině, což je typické pro všechny úlohy praktické geodézie, nepočítá se s křivkami, ale s přímými spojnicemi vrcholů A'B', A 'C, B'C Součet vrcholových úhlů, které jsou mezi uvedenými přímými spojnicemi, potom bude: Přímé spojnice vrcholů trojúhelníka A B 'C svírají s tečnami ke křivkám (obrazům hlavních kružnic) v bodech A', B', C malé úhly ô, které se nazývají směrové korekce. Aby bylo možné trojúhelník řešit v rovině, je nutné směrníky příslušných trigonometrických stran opravit o příslušnou směrovou korekci, pomocí které se převede křivka na přímku. Podle obrázku (viz Obr. 4-4) budou využity následující směrové korekce: • \boděA':SAB;SAC; • v bodě 5': SBA-, SBC; • v bodě C: óCA; ôCB-. Potom lze vypočítat vrcholové úhly v rovinném trojúhelníku A'B'C pomocí následujících vztahů: -a±ôA.B.±ôA.c. (4-31) PQ=P'±ôB,A,±ôB,a r0=f±ôCA.±ôCB. Vztahy ( 4-31 ) jsou platné pro všechny zobrazení s výjimkou gnómonické projekce. U konformních zobrazení se úhly nezkreslují, proto všechny rozdíly úhlů počítané podle ( 4-30 ) jsou nulové a potom lze tedy psát: ■■a±ôA.B.±ôA.c. (4-32) 50 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie P0=P±ÔRA.±ÔB.C. Vrcholové úhly se počítají z naměřených hodnot úhlů v terénu, s nichž se získávají směrníky geodetických čar a. Příslušný vrcholový úhel je tedy získán z rozdílů směrníků jednotlivých stran daného trojúhelníku. V další části je tedy uvedený pouze postup odvození výpočtu směrové korekce jedné strany trojúhelníka. Vzhledem k obvyklé délce stran trojúhelníků v trigonometrické síti nebo velikosti měřených délek je možné použít výše uvedené závěry i pro plochu referenčního elipsoidu. Výchozí situace je na obrázku (viz Obr. 4-5), Obr. 4-5 Směrová korekce geodetické čáry kde: ô\2,č>2\ jsou směrové korekce geodetické čáry, o 12, 012 jsou směrníky geodetické čáry na referenční ploše, které se při konformním zobrazení nezkreslují. Směrníky je zpravidla vypočítány z měření úhlů v terénu na orientační směry; o'n, 0 12 jsou směrníky přímé spojnice koncových bodů geodetické čáry v zobrazovací rovině; D\2 je délka přímé spojnice; S n je délka geodetické čáry v zobrazovací rovině. Podle obrázku ( 4-3 ) lze obecně psát: S = a'-a (4-33) K výpočtu je nutné znát směrník a, resp. křivost geodetické čáry T v obecném bodě této čáry o souřadnicích (x, y). Všechny potřebné parametry lze vyvodit z pomocí obrázku (viz Obr. 4-6), na kterém je rovinný obraz geodetické čáry s počátkem v bodě P±, jehož rovinné souřadnice jsou x\ ayi, a procházející obecným bodem P'. Délka obrazu této geodetické čáry je S a její směrník je o\. 51 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie X Obr. 4-6 Rovinný obraz geodetické čáry v rovině konformního zobrazení Praktický postup výpočtu odvodil Laborde, který aplikoval konformní válcové zobrazení pro území Madagaskaru1. Aby bylo možné snadněji odvodit průběh této čáry, je definována pomocná soustava pravoúhlých souřadnic £ rj. Počátek této souřadnicové soustavy je v bodě Pl5 osa 77 je ve směru tečny k obrazu geodetické čáry a osa č, je na ni kolmá. V pomocném souřadnicovém systému lze vyjádřit směrovou korekci geodetické čáry v bodě ?x: 1 Laborde byl kapitán delostrelectva Francouzské armády a uvedený postup publikoval v roce 1928 v práci „La nuvelle projection du service geographique de Madagascar" 52 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 4-7 Detail průběhu obrazu geodetické čáry Podle tohoto obrázku platí: - dč, = sin (cr - ox )dS, dt] = cos(cr - ax )dS . (4-35 ) Obě goniometrické funkce je možné rozvést v řadu. Vzhledem k velmi malé hodnotě rozdílů směrníků (cr- oi) je možné uvažovat rozvoj pouze do druhé mocniny. Lze tedy psát: dč, = -(cr - CTj )dS , (4-36) dt] Z rovnice ( 4-23) lze určit: 1- dS . der = TdS. (4-37) Křivost obrazu geodetické čáry Y se mění se změnou polohy bodu na této čáře, pro který je křivost počítána. Lze tedy říci, že je funkcí délky oblouku S. Tuto funkci je možné vyjádřit MacLaurinovou řadou jako: r = f(s)=f (o) + /• (0)5 + f"(o)±- + . (4-38 ) S využitím rovnice ( 4-29 ) a se zanedbáním členů s druhou a vyšší mocninou, což nemá vliv na požadovanou přesnost výpočtů, je možné vypočítat křivost obrazu geodetické čáry v libovolném bodě jako funkci křivost této čáry v počátečním bodě P1. Bude tedy: r=r1+r15. <4-39) Pokud se dosadí výraz ( 4-39 ) do ( 4-37), potom je možné psát: da = (T1+riS)dS. Výraz ( 4-40 ) je možné integrovat: cr S jd(T = j(r1+r1s)ds ( 4-40) (4-41 ) a tím získat vztah: cr - \, bude se síť poledníků na kouli překrývat. Obecné vztahy pro zkreslení délek ve směrech poledníků a rovnoběžek jsou dány poměry elementů délek na referenční kouli a příslušných délek na referenční ploše. V shodě se vztahy (3-1 ) z kapitoly 3 bude: RdU m p Mdcp (5-4) RcosUdV RcosU mr=-= a- (5o) N cos (pdA Neosej) S využitím vztahů ( 3-23 ), ( 3-53 )a ( 3-56 ) z kapitoly 3 je možné počítat všechna ostatní zkreslení. Nejprve je však nutné vypočítat hodnotu koeficient F. Vzhledem ke tvaru funkcí ( 5-1 ) a ( 5-2 ) je nutné nejprve upravit výraz ( 3-19 ) z kapitoly 3. Po úpravě bude: ^ ÔUÔU 8VÔV ,,,, F =-H-- (5-6) dcpdA dcpdA Ze zobrazovacích rovnic ( 5-1) a ( 5-2 ) vyplývá, že: 58 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie ^ = 0 a^ = 0 ÔA dep a potom koeficient F = 0. Výraz ( 3-23 ) bude mít v tomto případě tvar: m2 = m2p cos2 A + m2 sin 2 A (5~7) Pokud se do vzorce ( 3-24 ) dosadí za F = 0, potom budou hodnoty Aa = 0° a = 90°, z čehož plyne, že zeměpisné poledníky a rovnoběžky jsou současně i hlavními paprsky zkreslení a, Z? a i na referenční kouli se protínají pod pravým úhlem. Lze tedy psát výrazy pro ostatní zkreslení ve tvaru: mpl = mpmr ( 5-8 ) Aa> mr-m„ sin — = —-p- ( 5-9 ) 2 mr+mp Poznámka: Uvedené rovnice ( 5-7 ), ( 5-8 ) a ( 5-9 ) platí pro všechna jednoduchá zobrazení, která budou popsána v následujících kapitolách. 5.2 Zobrazení se zachovanými zeměpisnými souřadnicemi V praxi se poměrně často požívá zobrazení referenčního elipsoidu na kouli se zachovanými zeměpisnými souřadnicemi. Je to v podstatě stejné, jako když se pro zobrazení do roviny volí přímo referenční koule jako výchozí referenční plocha geodetického referenčního systému. Základní zobrazovací rovnice jsou ve tvaru: U =

M -N sin-=- (j-íj) 2 M + N Na následujících obrázcích jsou grafy jednotlivých zkreslení pro zobrazení elipsoidu WGS84 na kouli o poloměru 6 371 km. 59 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Zobrazení elipsoidu na kouli délková zkresleni 10 20 30 40 50 70 80 90 Alze potom vyjádřit i obecným vztahem: m = f{cp)= f(cp0+Acp) který je možné za předpokladu malého rozsahu Acp rozvinout v Taylořovu řadu k zeměpisné šířce cpo: ,2 * „3 m=fM+fMAcp+rM^f-+f"'M^r+■■ (5-22) První člen rozvoje je dán výrazem ( 5-21 ). Pro to, aby délkové zkreslení v celém zobrazovaném území bylo minimální, stanovil Gauss podmínku, že délková zkreslení počítaná podle vztahu ( 5-22 ) byla závislá pouze na derivacích 3. a vyšších řádů. Z toho plyne, že: 61 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie /Vo) = Oa/"(%) = 0 Společným řešením uvedených tří rovnic pro délkové zkreslení se získají konečné vztahy požadované tři konstanty:" 2 . e2cos40 ^ JM0N0 V rámci tohoto postupu se získá i rovnice pro výpočet hodnoty Uq ve tvaru: Un = are sin 'sin <^0 v a (5-23) (5-24) (5-25) (5-26) Poznámka: Podrobný postup odvození konstant je uveden například v [9]. 62 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 6. Jednoduchá válcová zobrazení Jednoduchá válcová zobrazení jsou charakteristická tím, že obrazy poledníků a rovnoběžek tvoří vzájemně ortogonální soustavu rovnoběžných přímek, ve kterých leží směry hlavních paprsků zkreslení. Pokud je zobrazení v pólové poloze, uvedená vlastnost je platná pro zeměpisnou síť, v případě příčné nebo obecné polohy je platná pro kartografické poledníky a rovnoběžky. Všechny dále odvozené vztahy budou platné pro pólovou polohu při zobrazení referenční plochy koule do roviny. Při použití rovníkové nebo šikmé polohy se ve všech vzorcích zeměpisné souřadnice nahradí souřadnicemi kartografickými. 6.1 Základní vztahy a vzorce Základní obecné rovnice jednoduchého válcového zobrazení j sou definovány vztahy ( 2-2 ): X=fW (6-1) y = f(V) Druhá rovnice vyjadřuje vzdálenost mezi obrazy poledníků. Ta by měla být při konstantním AV konstantní. Rovnici lze potom psát ve tvaru: y = nV (6-2) kde n je zatím blíže neurčená konstanta. Při výpočtu válcového zobrazení se zpravidla osa X rovinné pravoúhlé soustavy ztotožňuje s obrazem některého poledníku, většinou středního zobrazovaného území. Tento poledník se označuje jako základní a pro zobrazované území je považován za nultý poledník V o. Osa F je vkládána zpravidla do obrazu rovníku. Při této volbě souřadnicových os je zeměpisná (kartografická) síť symetrická podle obou souřadnicových os (Obr. 6-1). —c "ttrľ \ '/^ \ x -A \ \ s\ \ -m / n n V v ~> if t - T yv \ K ■rf ■I 0 í i l r y n \ { ; t / l ( > ( / u- Obr. 6-1 Poloha souřadnicových os a tvar zeměpisné (kartografické) sítě jednoduchého válcového zobrazení Poznámka: Výše definovaný základní poledník je používán pouze pro výpočet souřadnic potřebných bodů válcového zobrazení. Při konečné prezentaci daného území ve formě trvalé nebo virtuální mapy se uvádí zeměpisné délky většinou vztažené k poloze Greenwichského poledníku. 63 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obecné vztahy pro zkreslení délek ve směrech poledníků a rovnoběžek jsou dány poměry elementů délek v zobrazovací rovině a příslušných délek na referenční ploše. V shodě se vztahy ( 3-1 ) bude: dx m m. p RdU dy RcosUdV Vztah ( 6-4 ) lze upravit vzhledem ke tvaru rovnice ( 6-2 ): n RcosU (6-3) (6-4) (6-5) Poněvadž se opět jedná o jednoduché zobrazení, vychází i zde hodnota Gaussova koeficientu F=0. Proto hlavní paprsky zkreslení budou opět ležet ve směrech obrazů poledníků a rovnoběžek. Pro výpočet plošného a úhlového zkreslení je možné opět použít vzorce ...: mpl = mpmr ( 6-6 ) Km m -m sin —= --p- (6-7) 2 mr+mp Rovnice zkreslení jsou funkcemi pouze zeměpisné šířky, resp. souřadnice x. Proto všechny ekvideformáty budou přímky rovnoběžné s osou Y. Zkreslení se bude měnit stejnoměrně na obě strany od rovníku. Z rovnic zkreslení je též patrné, že charakter válcového zobrazení na hodnotě konstanty n a tvaru funkce x=f(U). Velikost konstanty n má vliv na rozestup obrazů poledníků a zpravidla se určuje z podmínky, která rovnoběžka se nemá zkreslovat. Za předpokladu, že se nemá zkreslovat rovnoběžka Uq (zpravidla střední rovnoběžka zobrazovaného území), potom lze rovnici ( 6-5 ) psát: n i mr =-= 1 r° RcosU0 a tedy lze odvodit: n = RcosU0 (6-8) Pokud se požaduje nezkreslený rovník, potom hodnota Uo bude rovna nule a hodnota konstanty n bude vzhledem k rovnici ( 6-8 ): n = R (6-9) Tvar funkce x=f(U) se odvodí podle požadavků na zkreslení rovinného obrazu. 6.2 Ekvidistantní válcové zobrazení Vzhledem ke tvaru obecných rovnic zkreslení může být jednoduché válcové zobrazení ekvidistantní pouze v polednících. Poledníky budou nezkreslené, pokud bude platit: dx mn =-= 1 " RdU 64 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie odtud lze psát: dx = RdU Pokud osa Y bude totožná s obrazem rovníku, potom je možné předchozí výraz bude integrován v mezích: x U §dx = R$dU o o z něhož se získá první zobrazovací rovnice ve tvaru: x = RU (6-10) Druhá zobrazovací rovnice se pouze připojí ve tvaru ( 6-2 ), tedy: y = nV Zákony zkreslení budou mít tvar: mr = mvl = - " RcosU . Aco n-RcosU sm-=- 2 n +RcosU V ve druhé zobrazovací rovnici i v rovnicích zkreslení bude konstanta n dosazena podle doplňujících podmínek ze vztahu ( 6-8 ) nebo ( 6-9 ). Síť rovnoběžek a poledníků je v tomto zobrazení čtvercová (pro n = R) nebo obdélníková (pro n = RcosUo). Zobrazení se čtvercovou sítí se v literatuře nazývá zpravidla jako zobrazení Marinovo. Jeho ukázka pro území Afriky je na následujícím obrázku (Obr. 6-2), doplněném grafem zkreslení v rovnoběžkách. Obrázek (Obr. 6-3) je příkladem zobrazení stejného území se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami Uq = ± 20°. Ekvidistantní válcové zobrazení se v současné době používá velice zřídka. Bývá v něm například zpracováván klad mapových listů topografických map. Obr. 6-2 Ukázka Marinova zobrazení pro území Afriky doplněné grafem délkového zkreslení 65 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie JI ľ 3ť 7 --f ■ 1 = 7 : i- *r*r—y - ■u. ) ;ti' m' 10' ■A { C7 i i • ■ j í • ■ ■ Obr. 6-3 Ukázka ekvidistantního válcového zobrazení se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami U0- +20° pro území Afriky doplněné grafem délkového zkreslení 6.3 Ekvivalentní válcové zobrazení Při ekvivalentním válcovém zobrazení se nezkreslují plochy. Proto platí vztah: ™P, = mpmr = 1 Po dosazení za délková zkreslení vzorců ( 6-3 ) a ( 6-5 ) se obdrží vztah dx n _ MU RcosU ~ Při ztotožnění obrazu rovníku s osou F lze výraz ( 6-12 ) integrovat: (6-12) x U \dx = — \cosUdU J n J a po integraci se obdrží první zobrazovací rovnice: R2 . x = —sin U n (6-13) Druhá zobrazovací rovnice bude mít opět tvar ( 6-2 ), tedy: y = nV Zkreslení v poledníku a rovnoběžce mají vzájemně reciprokou hodnotu (viz vztah ( 6-12 )). Všechna zkreslení jsou tedy dány výrazy: 1 RcosU m. n (6-14) mPi =1 . Aú) n2-R2 cos2 u sm-= ~i-1-1— 2 n2+R2 cos2 U 66 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Konstanta n je volena na základě požadavků na nezkreslený rovník nebo dvě symetrické rovnoběžky s využitím vztahů ( 6-8 ) nebo ( 6-9 ). Vlastností ekvivalentního válcového zobrazení je zmenšující se vzdálenost rovnoběžek s rostoucí zeměpisnou šířkou. Zobrazení se používá buďto s nezkresleným rovníkem (zobrazení Lambertovo podle Johanna Heinricha Lamberta, 1728 - 1777) nebo se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami (zobrazení Behrmannovo, Walter Emmerich Behrmann, 1882 -1955). Zobrazení se používá u map velmi malých měřítek v případě, že je nutné zachovat velikosti ploch (velikosti území států, tematických areálů apod.). Na následujících obrázcích (Obr. 6-4 , Obr. 6-5) jsou ukázky zobrazení Afriky v Lambertově izocylidrickém a Behramnnově zobrazení. Obr. 6-4 Ukázka Lambertova izocylindrického zobrazení pro území Afriky doplněné grafem délkových zkreslení 11-- ■ r-5! 11) <• 3 71 T--sc. h \ : J C -■ i" \á y ) ) f 'ľi < ŕ u ;- Obr. 6-5 Ukázka ekvivalentního válcového zobrazení Behrmannova se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami U0-+20° pro území Afriky doplněné grafy délkovýcho zkreslení 6.4 Konformní válcové zobrazení Zobrazovací rovnice konformního zobrazení se odvodí z podmínky konformity (viz odstavec 4.3 ): mp =mr 67 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie ve které se za mp a mr dosadí výrazy ( 6-3 ) a ( 6-5 ). Tím se obdrží základní rovnice: dx n RdU ~ RcosU Pokud se ztotožní obraz rovníku s osou F, výraz se integruje v mezích: u dU cosU Po integraci se získá první zobrazovací rovnice ve dvou formálních variantách: r) . (U x = nQ = n In tg - + 45° (6-15) V2 Druhá zobrazovací rovnice bude mít opět tvar ( 6-2 ), tedy: y = nV Rovnice zkreslení v případě uvážení vztahu mp = mr= m nabudou tvaru: n m =- RC0SU (6-16) mpl=m2 Ao = 0 Konstanta n se opět volí na základě doplňujících podmínek ve tvaru ( 6-8 ) nebo ( 6-9 ). Konformní válcové zobrazení je typické zvětšováním vzdálenosti rovnoběžek směrem k oběma pólům. Na mapách v tomto zobrazení není možné póly zobrazit, neboť leží v nekonečnu vzhledem k rovníku. Proto se zobrazení používá nejčastěji pro území s polohou v blízkosti rovníku. Příklad použití uvedeného zobrazení pro území Afriky je na obrázku (Obr. 6-6), kde je připojen i graf délkového zkreslení. Opět jako v předešlých případech byla volena varianta se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami Uq = ± 20°. Popsané zobrazení se nazývá podle holandského kartografa Mercatorovo (Gerardus Mercator, vlastním jménem Kraemer, 1512 -1594). Mercator zobrazení již odvodil pomocí matematického aparátu ze zákonů zkreslení. Poznámka: Jednoduché konformní válcové zobrazení celé Země v pólové poloze bylo často používáno zejména pro tvorbu námořních navigačních map, protože se v něm čáry stejných hodnot azimutu (loxodromy) zobrazovaly jako přímky. To mělo své výhody, pokud se k navigaci používaly zejména magnetické přístroje (kompasy, ...). S přechodem na moderní metody navigace a začátkem plavby podél ortodrom, frekvence využití tohoto zobrazení se výrazně snížila. 68 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 6-6 Ukázka konformního válcového zobrazení Mercatorova se dvěma nezkreslenými rovnoběžkami U0- +20° pro území Afriky doplněné grafy délkovýcho zkreslení 6.4.1 Konformní válcové zobrazení ve webových mapových službách Jednoduché konformní válcové zobrazení v pólové poloze s nezkresleným rovníkem zpravidla z referenčního elipsoidu WGS84 je často používáno jako základní zobrazení pro publikaci komerčních nebo volně šiřitelných geografických dat včetně jejich publikování pomocí webových mapových služeb například v aplikacích Microsoft® Bing™ Maps, Google Maps™, and ESRI® ArcGISSM Online [26]. Toto zobrazení se často nazývá jako Web Mercator, WGS 84 Web Mercator, WGS 1984 Web Mercator (Auxiliary Sphere) apod. Vzhledem k tomu, že se při používání různých dat je nutná přesná znalost jejich polohových základů, je nutné přesně rozlišovat jednotlivé varianty uvedeného zobrazení. Základní zobrazovací rovnice jsou takřka totožné s rovnicemi ( 6-9 ) a ( 6-15 ) a mají tvar: x = ah.tg\ — + 45 (6-17) + 45° I y = aA, (6-18) kde a je velikost hlavní poloosy referenčního použitého elipsoidu. Poznámka: V prostředí webových mapových služeb je zpravidla používán kartézský souřadnicový systém s označením a orientací os x, y stejně jako v matematice. V tomto případě jsou v rovnicích ( 6-17 ) a ( 6-18 ) souřadnice označeny opačně. Lze se však setkat i jednoduchým konformním válcovým zobrazením (Mercatorovým) z elipsoidu často označovaném jako Ellipsoid Mercator Projection. V tomto případě budou zobrazovací rovnice mít jiný tvar: x = a In tg v- 1 + esin

(6-21) I přes jistou podobnost není možné tato dvě zobrazení vzájemně zaměňovat, i když je pro ně použit stejné referenční elipsoid. Následující tabulka ukazuje rozdíly v souřadnici x pro jeden poledník. Tabulka 6-1 Rozdíly souřadnic x Web Mercator a Mercatorova zobrazení. Pro obě zobrazení byl použit elipsoid WGS 84 XwEB Merc [m] XwGS84 [Ti] Rozdíly souřadnic [m] -60 -8399737,89 -8362698,55 -37039,34 -50 -6446275,84 -6413524,59 -32751,25 -40 -4865942,28 -4838471,40 -27470,88 -30 -3503549,84 -3482189,09 -21360,76 -20 -2273030,93 -2258423,65 -14607,28 -10 -1118889,97 -1111475,10 -7414,87 0 0 0,00 0,00 10 1118889,97 1111475,10 7414,87 20 2273030,93 2258423,65 14607,28 30 3503549,84 3482189,09 21360,76 40 4865942,28 4838471,40 27470,88 50 6446275,84 6413524,59 32751,25 60 8399737,89 8362698,55 37039,34 6.5 Šikmá poloha válcového zobrazení Všechna válcová zobrazení značně zkreslují oblasti kolem pólů. Jsou proto vhodná zpravidla pro zobrazení pouze pro úzkých pásů podél zeměpisného nebo kartografického rovníku (hlavní kružnici na kouli). V případě použití válcového zobrazení území rozloženého podél kartografického rovníku (rovníková nebo šikmá poloha), je nutné ve všech vzorcích zaměnit souřadnice U a V souřadnicemi kartografickými Š a. D. Vztah mezi kartografickými a zeměpisnými souřadnicemi je dán vzorci (viz vzorce ( 1-24 ) a ( 1-25 )). K jej ich určení je však nutné znát polohu kartografického pólu Uk a Výt, kterou je možné vypočítat ze známých zeměpisných souřadnic dvou bodů ležících na kartografickém rovníku (tedy zpravidla na podélné ose zobrazovaného území). Pro určení zeměpisných souřadnic je vhodné využít mapu, na které je již území jednou zobrazené. Body definující polohu kartografického rovníku se vybírají co nejdále od sebe. Jejich zeměpisné souřadnice budou P\ (U\, V\) a P2 (U2, Ví). K výpočtu polohy kartografického pólu se potom využijí vztahy odvozené v téže kapitole. 70 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 7. Jednoduchá kuželová zobrazení Jednoduchá kuželová zobrazení mají poledníky zobrazené jako osnovu přímek vycházející z jednoho bodu - počátku polárního souřadnicového systému. Rovnoběžky jsou částí soustředných kružnic opět se středem v počátku rovinného polárního souřadnicového systému. Zeměpisný (nebo kartografický) pól se zobrazuje jako bod totožný se středem obrazů rovnoběžek nebo jako část kružnice. Poledníky a rovnoběžky jsou navzájem ortogonální a současně v jejich směrech leží hlavní paprsky zkreslení. Všechny dále odvozené vztahy budou platné pro pólovou polohu při zobrazení referenční plochy koule do roviny. Při použití rovníkové nebo šikmé polohy se ve všech vzorcích zeměpisné souřadnice nahradí souřadnicemi kartografickými. 7.1 Základní vztahy a vzorce Při použití kuželových zobrazení se zpravidla střední poledník (tvořící osu zobrazovaného území) volí jako základní poledník Vo tohoto zobrazení. Do jeho obrazu se vkládá osa X a současně je mu přisouzena nulová hodnota zeměpisné délky. Kuželová zobrazení jsou vhodná pro zobrazování území rozložená podél zeměpisných (nebo kartografických) rovnoběžek. Rovník od těchto území bývá často značně vzdálen bez možnosti jeho zobrazení, proto se počátek rovinné pravoúhlé souřadnicové soustavy volí v průsečíku základního poledníku a základní rovnoběžky, která přibližně prochází středem zobrazovaného území (viz Obr. 7-1) základní poledniiffVfí i /////'"n ////,'/u n /////'//li ////////i, //////."'i Obr. 7-1 Volba počátku rovinné pravoúhlé souřadnicové soustavy u kuželových zobrazení U kuželových zobrazení se zobrazovací rovnice i zákony zkreslení vyjadřují v rovinných polárních souřadnicích pas, které se transformují do rovinných pravoúhlých souřadnic pomocí vztahů (7-1 ), tedy x = xv - p cos s y = psms (7-1) Počátek polární souřadnicové soustavy je v bodě V (vrchol kužele), který má konstantní hodnotu souřadnice x označenou xv. 71 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obecné rovnice kuželového zobrazení j sou ve tvaru ( 7-2 ), tedy P = fP) (7.2) První zobrazovací rovnici je možné vyjádřit s ohledem na základní rovnoběžku ve tvaru: p = p0+f(U-U0) (7-3) kde poje průvodič základní rovnoběžky, který současně určuje její vzdálenost od počátku rovinného polárního souřadnicového systému. S ohledem na obrázek (Obr. 7-1) platí Po (7-4) U kuželových zobrazení se dále požaduje, aby úhlová vzdálenost obrazů poledníků byla při konstantním přírůstku AV též konstantní. Druhou obecnou zobrazovací rovnici je potom možné uvést ve tvaru: s = nV (7-5) kde Vje zeměpisná délka počítaná od základního poledníku pro dané území Vb a n je konstanta nabývající hodnot (0;1) v závislosti na doplňujících podmínkách pro vybraný typ zobrazení. Vzhledem k tomu, že se opět jedná o jednoduché zobrazení, budou hlavní paprsky délkového zkreslení ležet ve směrech poledníků a rovnoběžek. Hodnoty tohoto zkreslení je možné vyjádřit poměrem délkových elementů v zobrazovací rovině a na referenční kouli ve tvarech (Obr. 7-2): ~dP (7-6) mn -p RdU pds (7_7) mr = RcosUdV Záporné znaménko u proměnné dp ve vzorci ( 7-6 ) je formálním vyjádřením vzájemné protichůdnosti růstu hodnot U a p. Rovnici ( 7-7 ) je možné upravit vzhledem ke tvaru rovnice ( 7-5 ), jejíž derivace bude: ds = ndV ds n =- dV Rovnici ( 7-7 ) je potom možné psát ve tvaru: nP (7-8) ffí, = RcosU 72 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie x V V+dV 0 y Obr. 7-2 Délkové elementy poledníku a rovnoběžky u kuželových zobrazení Úhlové a plošné zkreslení je možné vyjádřit ve tvarech ( 7-9 ) a, ( 7-10 ) tedy: . Acd rnr- m srn-=-- 2 m+m p (7-9) p mpl = mrmp (7-10) Všechna zkreslení jsou funkcemi pouze jedné proměnné - zeměpisné šířky U, resp. souřadnice p. Ekvideformáty stejných hodnot zkreslení mají proto tvar soustředných kružnic se středem v počátku polárního systému V. U kuželových zobrazení je možné nalézt vždy jednu ekvideformátu (rovnoběžku), s minimální hodnotou zkreslení, která může být případně rovna jedné. Od této rovnoběžky zkreslení roste na v obou směrech zeměpisné šířky, avšak nesymetricky. Obrazem pólu může být bod nebo část kružnice. Kuželová zobrazení mohou být řešena s jednou nebo dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami. Zobrazení jsou matematicky definovaná, přesto tyto varianty je možné si geometricky představitjako tečný, resp. sečný kužel. 7.2 Ekvidistantní kuželové zobrazení Jednoduchá kuželová zobrazení je možné jako ekvidistantní řešit pouze jako ekvidistantní v polednících. Pro ně lze napsat podmínku: RdU Řešení rovnice (7-11 ) vztažené k základní rovnoběžce Uq je možné napsat ve tvaru: p u ze kterého se získá tvar zobrazovací rovnice pro p: p = p0-R(U-U0) (7-12) 73 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Význam jednotlivých veličin rovnice ( 7-12 ) je zřejmý z obrázku (Obr. 7-3). Na obrázku je též patrný rozdíl v použití uvedené rovnice pro zeměpisné šířky větší, resp. menší než je Uq. Zobrazovací rovnice pro e má tvar ( 7-5 ), tedy: s = nV Vztahy pro zákony zkreslení vyplývají z rovnic ( 7-11 ), ( 7-8 ), .... Pro tuto variantu zobrazení budou ve tvarech: mp =1 mr = mpl np RcosU (7-13) . Aco np-RcosU srn-=- 2 np + RcosU i y ' A ' /i / / P°\ „ \/ / ! X \v\ \ \ \ \ \ \ \ U RU U=0° \ N / i ^--1 o \'y 'y Obr. 7-3 Význam průvodiče p u ekvidistantního kuželového zobrazení Pro vlastní použití je nutné určit hodnoty konstant n a po. K tomuto určení se stanovují doplňující podmínky v různých variantách. V dalším textu jsou uvedeny tři nejběžnější varianty: a) je stanovena podmínka, aby na základní rovnoběžce Uo bylo délkové zkreslení minimální a současně aby tato rovnoběžka byla délkově nezkreslena; b) je stanovena podmínka dvou předem daných nezkreslených rovnoběžek o zeměpisných šířkách U\ a L^; c) je stanovena podmínka totožného zkreslení nejsevernější a nejjižnější rovnoběžky. 7.2.1 Ekvidistantní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou Pokud je stanovena podmínka, aby na základní rovnoběžce Uo bylo délkové zkreslení minimální a současně aby tato rovnoběžka byla délkově nezkreslena, je nutné nejprve odvodit konstantu po. Konstanta se odvodí z podmínky extrémní hodnoty funkce ( 7-8 ) pro zeměpisnou šířku základní rovnoběžky Uo- 74 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie d dmv f "Po ^RcosU0 j tedy: dU dU dp0 d(RcosU0) n—-i?cost/n -npn-— dU dU =Q R2cos2U0 Z rovnice (7-11 ) plyne výraz: dp -R dU který lze dosadit do výše uvedené rovnice. Po derivacích se obdrží vztah: 0 nR2 cos£/0 +np0Rsm U0 R2cos2U0 a odtud lze vypočítat: p0=RcotgU0 (7-14) d2 m Protože druhá derivace ^2r je kladná (jak se lze snadno přesvědčit), dochází na rovnoběžce Uq při splnění podmínky ( 7-14 ) k minimu délkového zkreslení. Je-li dále požadováno, aby hodnota tohoto minima byla optimální, tedy rovna jedné, musí podle (7-13 ) platit: np0 ľ RcosU0 odkud se po dosazení za po z výrazu ( 7-14 ) vypočítá n = sin U0 ( 745 ) Hodnotu po je možné si graficky představit na základě obrázku (Obr. 7-4) jako tečný kužel dotýkající se referenční koule podél rovnoběžky Uq. Analogicky pro referenční elipsoid platí: pQ=NQcotg(pQ (7-16) n = sin (p0 ( 7_17 ) Základní rovnoběžky Uo může být předem volena. Její volba však musí respektovat nesymetrický průběh délkového zkreslení, které od ní roste rychleji na sever než na jih, jak dokumentuje obrázek (Obr. 7-5). Proto je nutné polohu základní rovnoběžky volit poněkud severněji, než je střed zobrazované oblasti. Polohu základní rovnoběžky je možné vypočítat z podmínky totožného zkreslení severní a jižní rovnoběžky území, jejichž zeměpisné šířky jsou Us a Uj. 75 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie v p>/ / / yC Uov^------- i u°\ rovník | Pl Obr. 7-4 Volba konstanty p0 u ekvidistantního kuželového zobrazení Uvedenou podmínku lze vyjádřit rovnicí: mr = m s j Po dosazení odpovídajících proměnných z rovnice ( 7-13 ) se získá vztah: "P, = nPj RcosU, R cosi/, kde se výrazy ps a pj se dosadí podle vztahu ( 7-12 ): Ps=Po-R(Us-U0) pJ=p0-R^JJ-U0) Použije-li se pro výpočet po vztah ( 7-14 ), potom bude: cotgř70(cosř7y -cosř/s)= cosUj -Uj cosUs)-U0(cosUj -cosUs) Odtud bude po úpravě: £/ cosU, -U,- cosU, cotg U0 = —--1-- - U0 cosU, -cosf/„ (7-18 ) Rovnici ( 7-18 ) je nutné řešit aproximací v několika krocích. Jako počáteční hodnotu je možné volit us+u, un=—- Ukázka tohoto typu zobrazení, které odvodil Ptolemaios (Claudius Ptolemaeus, 83 - 161) je na obrázku (Obr. 7-5), v němž byla volena základní rovnoběžka Uo = 50°. Na obrázku jsou též vykreslené ekvideformáty délkového a plošného zkreslení. 76 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 7.2.2 Ekvidistantní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami Ekvidistantní kuželové zobrazení je možné řešit tak, aby dvě předem dané rovnoběžky U\ a U2 byly délkově nezkreslené. V tomto případě platí: nPi i mr =--— = 1 r' RcosUl np2 m.. -1 RcosU2 Dosadí-li se za p\ a.p2 výrazy ( 7-12 ), po úpravě bude: R cos U, = n[p0 - RÍU, - U0)] RcosU2=n[p0-R(U2-U0)] Pokud se druhá rovnice odečte od první, potom bude: i?(cos U, - cos U2) = nR(U2 - U,) odkud se vypočítá první konstanta n: n=cosUl-cosU2 (719) u2-uy Hodnota po se poté vypočítá dosazením za vypočítané n do jedné z obou výchozích rovnic. Bude tedy: cos Ľ!-cos£/2 r D/TT TT Y] RcosUi=—TTZTj—-\Po-R\Pi-U0)\ U 2 Ul Odtud se po úpravě získá vztah pro výpočet druhé konstanty: 77 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Po R[(U2 -U0)cosUl -(Ul -U0)cosU2] (7-20 ) cosUl -cosU2 Poloha rovnoběžky Uo se zpravidla volí uprostřed mezi rovnoběžkami U\ a U2. Ekvidistantní kuželové zobrazení o dvou nezkreslených rovnoběžkách odvodil de Visle, který při svém řešení volil konstantní úhlové vzdálenosti mezi jednotlivými konstrukčními rovnoběžkami. V tomto případě tedy platí: us+u, un= s 1 2 Uj+U0 2 U+Un Jeho použití na území Evropy a průběh délkového zkreslení tohoto zobrazení vypočítaného za stejných vstupních podmínek jako na obrázku (Obr. 7-5) je uveden na obrázku (Obr. 7-6). 60- 5S-6S- 50" 4S- 40" 70" 30' 26- 20" 16 L j \ \ \^%c / /tC/7/ r j—í- 55- »■ / / 7C-/ / / ř i' „• ... m so- ir «r r !■ 10- «• SO- 2J- De ľlsleovo zobrazení délkové zkreslení Obr. 7-6 Ukázka použití de Vlsleova zobrazení pro Us=70° a Uj =30° a graf délkového zkreslení Ekvidistantní kuželové zobrazení o dvou nezkreslených rovnoběžkách lze řešit i ve variantě totožného zkreslení nejsevernější a nejjižnější rovnoběžky zobrazovaného území. Poloha nezkreslených rovnoběžek v tomto případě není předem dána, ale vyplyne z výše uvedené podmínky. Tuto variantu rozpracoval Vitkovskij, který připojil další podmínku, aby základní rovnoběžka měla v absolutní hodnotě stejné zkreslení jako rovnoběžky krajní. Polohu základní rovnoběžky přitom zvolil uprostřed území, tedy: U. +U: o Z této podmínky se odvodí hodnota po postupem stejným jako při odvozování předchozí varianty zobrazení. Podmínku totožného zkreslení lze vyjádřit: 78 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie mrs =mrj tedy: "P, = nPj RcosU' i?cos£7, a odtud se po dosazení za ps a pj z ( 7-12 ) obdrží výsledný vztah: _ R[(US -ř/0)cosř/, -(Uj -U0)cosUs\ (?2i } 0 cos U, -cosU, Podmínku shodné absolutní hodnoty zkreslení na základní rovnoběžce Uo a krajních rovnoběžkách lze vyjádřit podle obrázku (Obr. 7-7): Vitkovského zobrazení délkové zkreslení 1,04 i i i i i i i i i i i i i i i i Obr. 7-7 Graf délkového zkreslení Vitkovského zobrazení pro Us=70° a Uj =30° mr, =mr, =l + Vm mr0 =l-Vm kde vm je délkové zkreslení vyjádřené v poměrové formě jako vm = m -1. Sečtením obou rovnic se získá vztah: mr + m =2 tedy: a odtud: nps + np0 RcoslIs RcosU0 „= 2i?cos^cos^/0 (7 22) ps cosU0 + p0 cosU 79 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Pokud je nutné znát polohu nezkreslených rovnoběžek, například pro jejich zadání do parametrů zobrazení při vizualizaci digitálních dat v používaném programovém prostředí, jejich zeměpisné šířky lze vypočítat na základě zákonů zkreslení: RcosUl RcosUn 1 Dosazením za p\ a pi z rovnice ( 7-12 ) se po úpravě získají vztahy: cosUl =n -Ul+U0 cosřX, =n R ^-U2+U0 KR 2 0 (7-23 ) Hodnoty Ui a U2 se určí opět některou z metod postupné aproximace. Při prvním přiblížení je možné do pravých stran rovnic dosadit: Uj+U0 Na následujícím obrázku (Obr. 7-8) je ukázka použití Vitkovského zobrazení pro Us = 70° a Uj = 30°, ve kterém mají nezkreslené rovnoběžky hodnoty Ui = 36°55' a U2 = 66°02'. Obr. 7-8 Ukázka Vitkovského zobrazení pro Us=70° a Uj =30° 7.3 Ekvivalentní kuželové zobrazení Ekvivalentní kuželové zobrazení je definováno základním vztahem vycházející z podmínky: mpl = mpmr = 1 80 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie která po dosazení za délková zkreslení z ( 7-6 ) a ( 7-7 ) získá tvar: -dp np RdU RcosU ~ a po úpravě tvar vhodný pro integraci: P U \pdp =--\cosUdU Po uo Po integraci výrazu se získá první zobrazovací rovnice: p 2 = pl - (sh U - sin U0) <7"24 > n Druhá zobrazovací rovnice bude ve tvaru ( 7-5 ), tedy: s = nV Zákony zkreslení mají tvar: 1 _ np m.. mp RcosU mpl=l (7-25) ,2 2 . Aú) nlpl-Rl cos1 u sin - 2 nlpl+Rl cos1U Pro úplnou definici zobrazení je nutno určit konstanty n a po pomocí doplňujících podmínek, které zpřesňují jeho parametry. Obdobně jako u ekvidistantního kuželového zobrazení se volí podmínky, že jedna nebo dvě rovnoběžky jsou nezkreslené. 7.3.1 Ekvivalentní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou Podmínku nezkreslené základní rovnoběžky Uo je nutné doplnit podmínkou, aby se pól zobrazil jako bod totožný s počátkem rovinného polárního souřadnicového systému. Uvedenou podmínku lze vyjádřit z rovnice ( 7-24 ) dosazením za U = 90° a p = 0. Z toho: 2i?2(l-sin£/0) n - Pl Podmínku nezkreslené základní rovnoběžky je možné vyjádřit rovnicí: np0 RcosU0 1 Společným řešením obou rovnic pro dvě neznámé se obdrží rovnice pro jejich vypočet ve tvaru: 2R(\-smU0) 45°- cos(70 ^ 2 y o (7-26) 81 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie n ■ cos U0 2(l-sin£/0) :cos2(45°-£/0) (7-27) Základní rovnoběžka se zpravidla opět volí uprostřed mezi severní a jižní rovnoběžkou zobrazovaného území. Tato varianta je zajímavá tím, že platí: p0 *RcotgU0 což si lze geometricky představit tak, že se kužel referenční koule vůbec nedotýká. Tato varianta zobrazení se nazývá Lambertovo kuželové ekvivalentní zobrazení. Průběh jeho délkového zkreslení v rovnoběžkách a polednících je na obrázku (Obr. 7-9). Lambertovo ekvavalentní kuželové zobrazení délková zkreslení Obr. 7-9 Graf délkového zkreslení Lambertova ekvivalentního kuželového zobrazení pro Us=70° a Uj =30° 7.3.2 Ekvivalentní kuželové zobrazení se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami Podobně jako u ekvidistantního kuželového zobrazení i v této variantě je možné předem zvolit dvě rovnoběžky (U\ a U2), které se nebudou délkově zkreslovat. Platí zde tedy opět rovnice: m„ m. npx RcosU, np2 RcoslI, 2 2 které po umocnění a po dosazení za p\ a pi z ( 7-24 ) nabudou tvar: n n Po Po 2R2 n 2R2 n (sin Ul - sin U0) (sin U2 - sin U0) R2cos2U, R2cos2U, Rovnice se od sebe odečtou a z jejich rozdílu se odvodí první konstanta n: cos2 U, - cos2 U, 1 n 2(smř/2-smř/1) 2 — (sin Ul +sin U2) (7-28 ) 82 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Druhá konstanta po se získá po dosazení výrazu ( 7-28 ) do jedné z předcházejících rovnic. Jeho dosazením například do první z rovnic se tato konstanta vypočítá podle výrazu: Po 2R2(. TT , R'cos'U, (7-29) n n Základní rovnoběžka Uq se zpravidla volí uprostřed mezi nezkreslenými rovnoběžkami U\ a U2. Zobrazení se často nazývá Albersovo. Ukázka tohoto zobrazení pro území Evropy a graf průběhu délkových zkreslení v polednících a rovnoběžkách je na následujícím obrázku (Obr. 7-10). Albersovo ekvivalentní kuželové zobrazení délková zkreslení 30 35 40 45 50 55 60 65 70 Obr. 7-10 Ukázka Albersova ekvivalentního kuželového zobrazení pro Us=60° a Uj =40° a graf délkového zkreslení 7.4 Konformní kuželové zobrazení Konformní kuželové zobrazení je definováno podmínkami: mp = mr F = 0 Druhá podmínka je opět u jednoduchých zobrazení vždy splněna, proto postačí vyjít pouze z první podmínky, která po dosazení za délková zkreslení z ( 7-6 ) a ( 7-12 ) bude mít tvar: -dp np RdU RcosU (7-30) Výraz ( 7-30 ) se integruje: p j u f—=-4 dU cosč7 Po ' ui a po integraci se získá první zobrazovací rovnice ve tvaru In p - In p0 =-n který lze po odlogaritmování vyjádřit také ve tvaru (U ^ \atg — + 45° \-1ntg v 2 J ^ + 45° V 2 83 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie P = Pc tg (u ^ V J (7-31) Při použití vyjádření izometrické šířky podle ( 1-23 ) lze rovnici ( 7-31 ) napsat ve tvaru: p = pQeni&-Q) <7-32) kde e = 2,718281... je základ přirozených logaritmů. Druhá zobrazovací rovnice bude opět ve tvaru ( 7-5 ), tedy: s = nV Zákony zkreslení jsou vzhledem k výchozí podmínce konformního zobrazení ve tvaru: np m ■■ m RcosU 2 — m pi Aco=0 (7-33 ) U kuželových konformních zobrazení se vždy počátek rovinné polární souřadnicové soustavy ztotožňuje s pólem, protože rovnice ( 7-31 ) nabývá pro U = 90° hodnotu p = 0. Konstanty po a n se určují opět podle doplňujících podmínek, kterými se zpřesňují typy zobrazení. Mezi základní varianty opět patří zobrazení s jednou nebo se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami. 7.4.1 Konformní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou První varianta uvažuje zobrazení s jednou nezkreslenou základní rovnoběžkou obdobně, jak bylo uvedeno v odstavci 7.2.1 . V tomto případě se však zpravidla základní rovnoběžka dodatečně zkresluje a rovnice ( 7-14 ) tak získává tvar: p0=m0RcotgU0 (7-34) kde mo je délkové zkreslení základní rovnoběžky, které je vždy menší než 1. Tím vzniká zobrazení se dvěmi nezkresleným rovnoběžkami. Jejich zeměpisnou šířku U\ a C/2 je možné opět vypočítat ze vztahů: "Pí RcosU\ np2 RcosU 1 1 1 kde za p\ a pi se dosadí výraz ( 7-31 ). Výpočet konstanty «je stejný jako v odstavci 7.2.1 , tedy n = sin U n 84 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Uvedený typ zobrazení je použit například při zobrazení základních map České republiky (Křovákovo zobrazení), ovšem v šikmé poloze (viz kapitola 11). 7.4.2 Konformní kuželové zobrazeni se dvěmi nezkreslenými rovnoběžkami Budou-li požadovány dvě, předem dané rovnoběžky U\ a U2, které nebudou délkově zkreslené, potom budou platit podmínky: npl RcosU, 1 np2 RcosU\ Z těchto podmínek se odvodí výrazy: RcosU1 Pi n RcosUj n které se vzájemně podělí. Po jejich dělení se získá vztah: pl _ cosUl P2 cosU2 Dosazením vztahu ( 7-31) a po úpravě se obdrží: PG cosUl cosU, tg ■ + 45c (Uy V 2 tg\ ^ + 45° tg ÍU, + 45c Odtud lze vypočítat konstantu n: n ln cosUY -ln cos£/2 Ô2-Ô1 Druhá konstanta se vypočítá z rovnice ( 7-31 ) dosazením za p\ nebo pi\ (7-35) Po RcosU, n tg (U ^ ^ + 45' V J (U ^ ^ + 45° tg V J RcosU, n tg (U ^ 2- + 45' V J (U ^ ^ + 45' tg V J (7-36) Rovnici ( 7-36 ) je možné vyjádřit formálně i pomocí základu přirozených logaritmů e: 85 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie _ RcosUl „(a-ej _ RcosU2 n{Qj-Qa) (7.37) n n Základní rovnoběžka Uq se opět zpravidla volí uprostřed mezi nezkreslenými rovnoběžkami Ui a U2. Zobrazení se nazývá Lambertovo a je často požíváno pro letecké navigační mapy standardizované podle norem ICAO (International Civil Aviation Organization) nebo NATO (viz. kapitola 12). Zobrazení je použito též při tvorbě státních mapových děl například v Belgii. Na obrázku (Obr. 7-11) je ukázka zobrazení pro střední Evropu a graf průběhu délkových zkreslení. 7.5 Šikmá poloha kuželového zobrazení Kuželové zobrazení je zpravidla vhodné pro území protáhlého tvaru ve směru rovnoběžky. Pokud má území protáhlý tvar, avšak jeho osa není ve směru zeměpisné rovnoběžku, je možné tuto osu nahradit rovnoběžkou kartografickou a pro jeho zobrazení použít šikmou polohu tak, jak je uvedeno v odstavci 1.2.2.a . 86 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 8. Jednoduchá azimutální zobrazení Azimutální zobrazení je možné chápat jako mezní případ kuželových zobrazení, kdy konstanta n = 1 a počátek polární rovinné souřadnicové soustavy (vrchol kužele) splyne se zeměpisným nebo kartografickým pólem. V tomto typu zobrazení je obrazem sítě poledníků soustavou polopřímek vycházejících z pólu a obrazem rovnoběžek jsou soustředné kružnice se středem v pólu. Tyto soustavy jsou navzájem ortogonální a ve směrech poledníků a rovnoběžek taktéž leží hlavní paprsky zkreslení. Jednoduchá azimutální zobrazení se nejčastěji používají pro zobrazení z referenční koule, a takto budou i odvozována v následujících odstavcích. Odvozované rovnice budou platné pro pólovou polohu, i když v tomto případě bývají velice často používány rovníková nebo obecná poloha. Zobrazení se však používají i pro zobrazení referenčního elipsoidu (například zobrazení UPS - Universa! Polar Stereographic) 8.1 Základní vztahy a vzorce U azimutálního zobrazení se ztotožňuje počátek rovinné pravoúhlé sítě s obrazem pólu (středem zobrazení). Při pólové poloze je tento střed v obrazu zeměpisného pólu, v rovníkové nebo šikmé poloze potom v obraze kartografického pólu. Jeden z poledníků se zvolí jako základní, od něhož se odečítají zeměpisné (kartografické) délky. Do obrazu tohoto poledníku se vkládá osa X. Jako základní poledník se zpravidla volí střední poledník zobrazovaného území, který je i kolmý na severní a jižní rám budoucí mapy (viz Obr. 8-1). Obr. 8-1 Volba polohy souřadnicových os azimutálního zobrazení Pokud je azimutální zobrazení voleno v rovníkové nebo šikmé poloze, obrazy zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou zpravidla složitými křivkami. Pouze poledník procházející středem zobrazovaného území, který je totožný se základním kartografickým poledníkem a tedy i s osou X, je zobrazen jako přímka (viz Obr. 8-3, poledník V=20°). Zobrazovací rovnice a zákony zkreslení se vyjadřují pomocí polárních rovinných souřadnic p, ^jejichž převod do pravoúhlé soustavy je dán rovnicemi: x = pcoss y = psin s 87 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie kde s je pravotočivý úhel odečítaný od kladné větve osy X. Azimutální zobrazení se zejména využívá ke zobrazování oblastí rozložených v blízkosti pólu (zeměpisného nebo kartografického). Z tohoto důvodu je výhodné nahradit zeměpisnou (nebo kartografickou) šířku zenitovým úhlem počítaným podle vztahu: Z = 90°-U U azimutálního zobrazení je nutné vždy zobrazovat celé území kolem pólu zobrazení (celý kruh). Obecné zobrazovací rovnice lze potom psát ve tvaru: p = f(Z) (8-1) s = V (8-2) Zákony zkreslení se vyjádří obdobně jako u kuželového zobrazení s tím rozdílem, že zde v zobrazovacích rovnicích nevystupuje žádná konstanta: dp m - p RdZ P (8-3) (8-4) R sin Z Uhlové a plošné zkreslení je možné vyjádřit ve tvarech ( 7-9 ) a, ( 7-10 ) tedy: sin 2 m+m p mpl = mrmp (8-6) Všechna zkreslení jsou opět funkcemi pouze jedné proměnné - zeměpisné šířky U, resp. souřadnice p. Ekvideformáty všech zkreslení mají proto tvar soustředných kružnic se středem v pólu zobrazení. V dalších odstavcích jsou odvozené nejběžnější typy azimutálních zobrazení. 8.2 Ekvidistantní azimutální zobrazení Nej častější ekvidistantní azimutální zobrazení je zobrazení Postelovo, které je ekvidistantní v polednících. Jeho zobrazovací rovnice vycházejí ze vztahu: dp mn =-= 1 " RdZ Uvedená diferenciální rovnic se bude integrovat v mezích od 0 do Z, resp. p, protože pól bude vždy zobrazen jako bod: P z jdp = R^dZ o o První zobrazovací rovnice bude potom ve tvaru: p = RZ ( 8-7) Druhá zobrazovací rovnice bude ve tvaru ( 8-2 ), tedy: s = V 88 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Rovnice zkreslení po úpravách vztahů ( 8-3 ), ( 8-4 ), ( 7-9 ) a ( 7-10 ) budou ve tvarech: 1 (8-8) m sin Z Aco Z -sin Z sm Z + sin Z (8-9) (8-10) Význam zobrazení spočívá v zachování skutečné vzdálenosti od pólu zobrazení k libovolnému bodu v zobrazovaném prostoru. Proto se toto zobrazení často používá tam, kde je nutné rychlé zjišťování vzdáleností od pozorovacího místa, a to jak ve vojenských, tak i v civilních aplikacích (např. displeje radiolokátorů, apod.). Stejně tak se toto zobrazení velmi často požívá pro mapy polárních oblastí. Příklad takovéto mapy pro oblast severního poluje uveden na obrázku (Obr. 8-2). i30"(ľ0"w i4o-o'0"w twrarw isotjo-w icot/o-e ve 130'irtrE 120WW- Ekvidistantní azimutální zobrazení 50 60 50-OTTW 40WW 0'0-E 20-01TE 40WE SrOTTE Obr. 8-2 Ekvidistantní azimutální zobrazení pro oblast severního pólu a graf zkreslení v rovnoběžkách a polednících Zobrazení se často používá i v obecné poloze, v níž se zobrazují kartografické poledníky jako polopřímky vycházející z obrazu kartografického pólu a kartografické rovnoběžky jakou soustředné kružnice. Obrazy zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou však složité křivky (Obr. 8-3). 89 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 60°0'0"N 100°0'0"W 180°0'0"E 6O'0"N WO'O'N 10'0'0-W OWE 10WE 50'0'0"E mmE 70WE Obr. 8-3 Ekvidistantní azimutální zobrazení kartografickým pólem v Brně (Uk = 49°12', Ví =16°36') Variantou zobrazení je doplňkový požadavek na nezkreslenou rovnoběžku Z0. V tomto případě je nutné stanovit podmínku nezkreslené rovnoběžky aplikací rovnice ( 8-9 ) zavedením redukční konstanty c: m c = 1 pro Odtud: sin Zn sin Zn (8-11) Zobrazovací rovnice pro p ( 8-7 ) potom bude ve tvaru: p = cRZ (8-12) Rovnice zkreslení po úpravách vztahů ( 8-8 ), ( 8-9 ) a ( 8-10 ) budou ve tvarech: mp =c m pi cZ sin Z c2Z sin Z Aco Z -sin Z sin Z + sin Z (8-13) (8-14) (8-15) (8-16) Vzhledem k rovnici ( 8-13 ) je zřejmé, že se v tomto případě jedná o zobrazení s konstantně zkreslenými poledníky. 90 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 8.3 Ekvivalentní azimutální zobrazení Základní rovnice ekvivalentního azimutálního zobrazené se odvodí ze vztahu: mpmr =1, odtud dp p l RdZ RsinZ Uvedená rovnice se opět integruje ve stejných mezích jako ekvidistantní zobrazení: p | pdp = R1 j"sin ZdZ o o Po integraci se vypočte: — = i?2(l-cosZ) 2 S uvážením obecného vztahu: l-coscz = 2sin — 2 se první zobrazovací rovnice může vyjádřit i vztahem: p = 2Rsm- (8-17) 2 Druhá zobrazovací rovnice bude opět ve tvaru ( 8-2 ), tedy: s = V Délkové zkreslení v rovnoběžkách se vyjádří vztahem ( 8-4 ). Pokud se za p dosadí výraz ( 8-17 ), potom lze psát: on • Z i 2i?sin — 1 2 m~- z' mp i? sin Z S uvážením obecného vztahu: _ . a a sin a = 2sin —cos — 2 2 lze po úpravách psát: _L 1 m m~~ ~ Z (8-18) p cos — 2 Plošné a úhlové zkreslení budou potom ve tvarech: mpl=\ (8-19) 91 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie sin A 1-cos — A» =_2_ 2 u 2Z 1 + cos — ( 8-20 ) Příklad zobrazení pro pól na rovníku je na obrázku (Obr. 8-4) Ekvivalentní azimutálni zobrazeni 0 20 30 40 50 60 70 Obr. 8-4 Ekvivalentní azimutálni zobrazení (U0=0°, Vo=0°) a graf zkreslení v rovnoběžkách a polednících Z charakteru zobrazení je zřejmé, že hlavní délkové měřítko, které je uváděné na mapě používající toto zobrazení, platí pouze ve středu zobrazení. Proto se někdy volí varianta zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou Zq. V tomto případě potom vzniká zobrazení s konstantním zkreslením ploch. Původní délkové zkreslení na této rovnoběžce je: 1 cos Aby bylo rovno jedné, je nutné zavést konstantu c. Potom: mr c = 1 a odtud c = cos- ( 8-21 ) Zobrazovací rovnice a zákony zkreslení dané rovnicemi ( 8-17 ) až ( 8-20 ) budou potom mít tvar: p = 2cR sin ( 8-22) c Z cos — 2 Z m„ =ccos— " 2 mPi =c (8-23) (8-24) (8-25) 92 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 2Z (8-26) A 1-cos — • Aa> 2 sm~=~ 7ž 1 + cos — 2 Ekvivalentní azimutální zobrazení, nazývané též Lambertovo, je často používáno při zobrazování velkých územních celků na jedné mapě. Známé je například jeho použití při zobrazení zemských polokoulí ve školních zeměpisných atlasech (viz Obr. 8-4) s cílem zachovat poměry ploch jednotlivých kontinentů. 8.4 Konformní azimutální zobrazení Zobrazovací rovnice konformního zobrazení se odvodí z podmínky: mp = mr kdy po dosazení rovnic zkreslení bude: dp p RdZ R sin Z Vzhledem k tomu, že p a Z nabývají i nulových hodnot, výraz se integruje neurčitým integrálem: dp r dZ J /") J pi p J sin Z Po integraci se obdrží: lnp=lnř£ — + lnc 2 Po odlogaritmování se získá první zobrazovací rovnice ve tvaru: p = ctg^- (8-27) Druhá zobrazovací rovnice bude opět ve tvaru ( 8-2 ), tedy: s = V Zákony zkreslení budou potom mít tvar: c m - 2Z í8"28) 2R cos 2 mpl=m2 (8-29) Aco = 0 ( 8-30 ) Hodnota parametru c se určí z doplňujícího požadavku na délkové zkreslení. Obecně lze stanovit, že rovnoběžka Zo se nebude délkově zkreslovat. Pro ni platí: m =1 tedy 93 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Po _1 i? sin Z0 Pokud se dosadí za po výraz ( 8-27 ), a opět využije se obecný vztah _ . a a sin a = 2sin — cos — 2 2 potom lze psát: 2i?sin ^cos2^ 2 2 Odtud: c = 2jRcos2^ (8-31) 2 Rovnice ( 8-27 ) a ( 8-28 ) potom budou mít tvar: p = 2Rcos2^tg- (8-32) 2 2 cos2^ m =-2_ ( 8-33 ) cos — 2 V případě požadavku na nezkreslený pól (Z0=0°), rovnice ( 8-31 ), ( 8-32 ) a ( 8-33 ) budou ve tvaru: c = 2R (8-34) p = 2Rtg^ (8-35) 1 m 2 Z ( 8-36 ) cos — Poznámka: Místo stanovení hodnoty nezkreslené rovnoběžky se někdy používá přímo hodnota délkového zkreslení na pólu, často nazývaná měřítkový faktor. Tento postup je například použit při definování zobrazení UPS {Universal Polar Stereographic). Blíže viz. odstavec 12.2 Ukázka konformního azimutálního zobrazení je na obrázku (Obr. 8-5). 94 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 8-5 Konformní azimutální zobrazení (ř70=50°, Vo=15°) a graf zkreslení v rovnoběžkách 8.5 Azimutální projekce Ve skupině azimutálních zobrazení jsou někdy využívány i postupy odvozování rovinných souřadnic na základě geometrických principů - projekcí. Tyto postupy nejsou v současné době využívány u válcových a kuželových zobrazení, proto v příslušných kapitolách nebyly uváděny. Princip azimutální ch projekcí vychází z matematického vyjádření projekce povrchu referenční koule na zobrazovací rovinu. Střed promítání leží na normále k zobrazovací rovině procházející středem koule (viz Obr. 8-6)._ P' P P. 7! P' P P. 71 \ ___-- \/RsinZ \ ^---- / \ 1 * \ A X RcosZ \ ° rovník | ( ""^ 1 \ 1 \ O rovník \ 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ N. \ C \ \ \ \ \ s Obr. 8-6 Princip azimutální projekce Obr. 8-7 Gnomonicka projekce Podle tohoto obrázku platí: p C + R Rsm Z C + RcosZ 95 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Ze vztahu se odvodí první zobrazovací rovnice: p = (C + R)RsmZ (8.37) C + R cos Z Druhá zobrazovací rovnice bude stejná, jako u všech azimutálních zobrazení, tedy ve tvaru ( 8-2 ): s = V Stejně tak budou stejné i zákony zkreslení dané rovnicemi ( 8-3 ) až ( 7-10 ). Jednotlivé typy azimutálních zobrazení se liší volbou konstanty C. 8.5.1 Gnomonická projekce Gnomonická (centrální) projekce vzniká při promítání ze středu koule. V tomto případě je konstanta C rovna nule (Obr. 8-7). Dosadí-li se tato hodnota do obecných zobrazovacích rovnic a zákonů zkreslení, potom bude: p = RtgZ (8-38) s = V (8-39) m = —U- (8-40) m.. cos Z cos Z m Pl 3 ry cos Z (8-41) ( 8-42) . Ao 2 Z (8-43) sin-= tg — 2 2 Gnomonická projekce je charakteristická tím, že všechny ortodromy se zobrazují jako přímky. Ortodromy jsou na kouli hlavními kružnicemi vzniklými jako řezy rovin jdoucích středem koule. Z toho důvodu je zřejmé, že průsečnice dvou rovin (roviny ortodromy a průmětny) může být pouze přímka. Ukázka gnomonické projekce je na obrázku (Obr. 8-8) 96 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 8-8 Ukázka gnomonické projekce, poloha pólu: U = 40°s.š., V= 75°z.d. 8.5.2 Stereografická projekce Stereografická projekce vznikne, umístí-li se projekční centrum do protilehlého bodu referenční koule (viz Obr. 8-9). Konstanta C potom bude rovna poloměru koule R. Pokud hodnota konstanty C bude dosazena do zobrazovacích rovnic a rovnic zkreslení, potom se získají následující vztahy: p=2RsklZ =2RtgZ (8-44) 1 + cosZ 2 s = V (8-45) 2 1 m„ =m p ~ r ~ . „ ~ 7 (8-46) 1 + cos Z 2 Z cos — 1 m pi- z (8-47) cos — 2 Aco = 0 ( 8-48 ) Srovnají-li se vztahy ( 8-44 ) až ( 8-48 ) se vztahy pro konformní azimutální zobrazení v odstavci, potom je patrné, že rovnice jsou stejné. Stereografická projekce je tedy zároveň i konformním zobrazením a toto zobrazení lze tudíž odvozovat jak matematickou, tak i geometrickou cestou. 97 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 8.5.3 Ortografická projekce Ortografická projekce vzniká promítáním z nekonečna, parametr C je tedy co. Princip projekce je zřejmý z obrázku (Obr. 8-10), ze kterého je možné psát ihned zobrazovací rovnice: p = RsmZ (8-49) s = V Zákony zkreslení nabývají po úpravách tvarů: mp=mpl=cosZ (8-50) = 1 (8-51) Sn — = tg2- (8.52) 2 2 Z rovnic zkreslení je zřejmé, že ortografická projekce je současně ekvidistantním azimutálním zobrazením v rovnoběžkách, jehož zobrazovací rovnice lze odvodit i matematickou cestou. P' p p. 71 P' p p, 7T \ — \ / p J* _ !/RsinZ A \ fv R / \ / \ RcosZ \ / 1 >v z / 1 R\K^ / \ 1 ^ O rovník | 1 1 \ 3 rovník | 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ V \ C / \^ \ s i Obr. 8-9 Stereografická projekce Obr. 8-10 Ortografická projekce 9. Nepravá zobrazení Nepravá zobrazení jsou charakteristická tím, že zachovávají některé vlastnosti jednoduchých zobrazení, zejména tvary zeměpisných rovnoběžek. Jiné jejich charakteristiky však mění a tyto změny se potom odrážejí do tvarů zeměpisných poledníků. Nepravá zobrazení mají jednu zobrazovací rovnici funkcí obou souřadnic na referenční ploše. Proto nelze jejich zobrazovací rovnice odvozovat obdobně jako u jednoduchých zobrazení. Stejně tak hlavní paprsky zkreslení neleží ve směrech poledníků a rovnoběžek a úhel mezi obrazy poledníků a rovnoběžek není pravý. Vznik nepravého zobrazení si není možné představit prostorovým promítáním koule na plášť válce či kužele nebo přímo do roviny. Nepravá zobrazení se vždy odvozují matematickou cestou podle zadaných podmínek nebo, a to poměrně často, jsou definována konstrukčním návodem. 98 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Poznámka: Název nepravá zobrazení je používán pro tuto třídu zobrazení poměrně často, přesto se lze setkat i s jinými názvy, například pseudozobrazení, pazobrazení apod. Při užití zobrazení je navíc vhodné a praktické znát název zobrazení. Zejména při použití programových nástrojů obsažených v různých projektech bez znalosti názvu zobrazení se někdy pouze obtížně vybírá odpovídající typ zobrazení. Nepravá zobrazení se často využívají pro zobrazování velkých územních celků v malém měřítku až po zobrazení celého světa na jednom mapovém listě, takzvané planisféry. Z tohoto důvodu se většina zobrazení používá v pólové poloze s referenční koulí jako náhradní plochou. Výjimečně jsou tato zobrazení používána v rovníkové nebo šikmé poloze. V tomto případě je nutné v zobrazovacích rovnicích nahradit zeměpisné souřadnice souřadnicemi kartografickými. 9.1 Nepravá válcová zobrazení Nepravá válcová zobrazení jsou definována zobrazovacími rovnicemi ( 9-1 ) (viz. kapitola 2): X = M (9-1) y = f(u,v) Vzhledem ke tvaru obecných zobrazovacích rovnic je zřejmé, že se rovnoběžky zobrazují jako soustava rovnoběžných přímek s obrazem rovníku, zatímco tvar poledníků budou křivky symetrické k obrazu základního poledníku. Základní poledník je volen jako střední poledník zobrazovaného prostoru a jsou od něho odečítány hodnoty zeměpisné délky. Osa X se ztotožňuje s obrazem tohoto poledníku. Osa Y se ztotožňuje s obrazem rovníku. Podle tvaru obrazů poledníků se zpravidla rozlišují zobrazení sinusoidální, eliptická, kruhová, přímková atd. Rovnice zkreslení lze odvodit z obecných rovnic uvedených v kapitole 3. Jejich aplikací se pro zobrazovací rovnice ( 9-1 ) nejprve vyjádří Gaussovy koeficienty: dUdV ^ H VSV J dx dy dU dV a s jejich pomocí potom i vlastní obecné rovnice zkreslení m=- i9"3) p R -Jo / 9_4 \ m RcosU H pl~ R2 cos U (9-5) 99 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Aco 1 ml+mr 2 (9-6) mPi 9.1.1 Nepravá válcová sinusoidální zobrazení V těchto zobrazeních se poledníky zobrazují jako části sinusoid. Zeměpisné póly se zpravidla zobrazují jako úsečky s výjimkou Mercator - Šansonová zobrazení, v němž se zeměpisné póly zobrazují jako bod. Nejznámější jsou zobrazení Mercator - Sansonovo a Eckertovo. Další zobrazení odvozoval zejména Kavrajskij a Urmajev. Popis těchto zobrazení zde není uveden, je však možné je nalézt například v ([15] nebo [9]). 9.1.1.a Mercator-Sansonovo (Flamsteedovo) zobrazení Mercator-Sansonovo zobrazení je definováno jako ekvidistantní v rovnoběžkách s nezkresleným základním poledníkem a současně jako ekvivalentní. Toto zobrazení odvodil Mercator, prvně použil Francouz Nicalus Šanson (1600 - 1667) a později jej aplikoval i Flasteed (John Flamsteed, 1646 1719), kterému je někdy připisováno i spoluautorství. První podmínku je možné vyjádřit rovnicí: dy dV _i RcosU z čehož plyne výraz: ^ = RcosU (9-7) dV který se pro konstantní U po úpravě integruje: y v $dy = RcosU$dV o o Po integraci se obdrží zobrazovací rovnice ( 9-8 ): y = RVcos.U (9-8) Druhá zobrazovací rovnice se odvodí z podmínky nezkreslení ploch s využitím výrazu ( 9-5 ). Platí: mP,=l H = R2cosU tedy dxÔy-ťcosU (9-9) dU dV Dosadí-li se do výrazu ( 9-9 ) výraz ( 9-7 ), potom se po úpravě obdrží: 100 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie ÔX dU R (9-10) (9-11) Integrací výrazu ( 9-10 ) se získá první zobrazovací rovnice (9-11 ): x = RU y = RVcosU Z tvaru zobrazovacích rovnic vyplývá, že obrazem pólů jsou body a že vzdálenost obrazů rovnoběžek je konstantní (Obr. 9-1). Současně je z první rovnice zřejmé, že základní poledník zůstává délkově nezkreslen a je tudíž splněna i třetí podmínka. Z tvaru zobrazovacích rovnic je možné odvodit i všechny rovnice zkreslení: mp = Vl + sin2 UV2 mr = 1 m„, = 1 (9-12 ) tg- Pi Aa> 1 ■sin Na grafech (Obr. 9-2, Obr. 9-3) je průběh délkového zkreslení v polednících a úhlového zkreslení. Oba grafy zobrazují pouze jeden kvadrát celé planisféry. Zbylé tři kvadráty mají zkreslení symetrická podle základního poledníku a rovnoběžky. Tatáž vlastnost je i ostatních nepravých válcových zobrazení. Obr. 9-1 Mercator-Sansonovo zobrazení, základní poledník 0° 101 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Mercator-Sansonovo zobrazení 9.1.1.b Eckertovo sinusoidální zobrazení U Mercator-Sansonova zobrazení dochází ke značným úhlovým zkreslením zejména ve vyšších hodnotách zeměpisné šířky (viz Obr. 9-3). Tuto nevýhodu se snažil odstranit německý kartograf Max Eckert (1868 - 1938). Navrhl zobrazení, v němž jsou póly zobrazeny úsečkami stejné délky jako základní poledník a současně poloviční délky obrazu rovníku. Přitom zobrazení navrhl jako ekvivalentní tak, že plošný obsah celého obrazu Země je stejný jako plocha zobrazované referenční koule o poloměru R. Odvození zobrazovacích rovnic je poměrně složité, a proto jsou dále uvedeny pouze jejich konečné vztahy. Celé odvození je uvedeno například v [15]. Zobrazovací rovnice mají následující tvar: 102 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie X 2R 2 U ■ v cos — -h + 2 2 7T + 2 (9-13) sint/ +C7 sin U Upravenou zeměpisnou šířku ve vztahu (9-13 ) je nutné řešit postupnou aproximací. Někdy je však vhodné výraz pro výpočet U' nahradit Newton-Raphsonovou iterací ve tvaru: £T+sin£T v 2, sin U AU = 1 + cosřT Rovnice zkreslení potom nabývají tvaru: V;r + 2cosč7' (9-14) m. zcos —COSď 2cos 2 2U' (9-15) m pí V^" + 2cosř7' m mrcosď A® 1 r 2 2V m2p +m2r tgs V . ■ —sin U 2 Ukázka Eckertova sinusoidálního zobrazení je na následujícím obrázku (Obr. 9-4). Poznámka: Max Eckert kromě zde uvedeného zobrazení, označováno jako Eckert VI, navrhl ještě dalších pět nepravých válcových zobrazení pro mapu celého světa zobrazeného na jednom mapovém listě označených Eckert I (přímkové zobrazení), Eckert II (přímkové ekvivalentní zobrazení), Eckert III (eliptické zobrazení), Eckert IV (eliptické ekvivalentní zobrazení), Eckert V (sinusoidální zobrazení). Při jejich aplikaci, zejména v prostředí nástrojů GIS, je nezbytné věnovat pozornost jejich charakteru a matematickému vyjádření. Obr. 9-4 Eckertovo pseudoválcové sinusoidální ekvivalentní zobrazení, V0=0° 103 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 9.1.2 Nepravá válcová eliptická zobrazení U nepravých válcových eliptických zobrazení se obrazy poledníků zobrazují jako části elips, případně i kružnic. Nejznámějším zobrazením je Mollweidovo, v literatuře je možné nalézt i další, například Ecertovo, Kavrqjského, Apianovo nebo Loritzovo. 9.1.2.a Mollweidovo zobrazení Německý matematik Karl Brandan Mollweide (1774 - 1825) odvodil zobrazení, které je pseudocylindrické ekvivalentní s poledníky ve tvaru elips. Celá Země je zobrazena do elipsy s poloosami v poměru a : b =1:2, poledníky V = ±90° zobrazí jako kružnice o poloměru p = b = R42 . Vlastní zobrazovací rovnice vycházejí z parametrických rovnic elipsy, jimiž jsou vyjádřeny poledníky: x = RJ2sma ^9-16) 2RV 42 (n 17 \ y =-cosa v^i/y 71 kde a je počítána postupnou aproximací podle tvaru ( 9-18 ) neboje vyhledávána v tabulkách. 2a + sm2a = 7rsmU (9-18) Rovnice ( 9-18 ) může v některých případech konvergovat pomalu, proto s výjimkou pólových oblastí je možné opět využít Newton-Raphsonovu iteraci, zde ve tvaru: A^=-(^+sin g-^sinE/) (9.19) 1 + COSčX' a výsledný úhel a se potom vypočítá jako a = a/2 (9-20) Zákony zkreslení nabývají tvaru: m = Kr- cos U sec a sec r , kde P 2V2 2V z = —tga 7T ^■42 I Q.Ol •) m=-secc/cosa v y ' 7t m pi tS— = -^mp+mr -2 Ukázka Mollweidova zobrazení se základním poledníkem 0° je na obrázku (Obr. 9-5). 104 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-5 Mollweidovo zobrazení se základním poledníkem 0° V Mollweidově zobrazení se pól zobrazí jako bod. Ve velkých zeměpisných šířkách a v blízkosti krajních poledníků dochází ke značnému zkreslení. Tuto nevýhodu se pokusil řešit americký kartograf John Paul Goode, který uvedené zobrazení použil pro konstrukci mapy celé Země tak, že jím zobrazil pouze ucelené části povrchu, jednotlivé kontinenty nebo oceány. Jednotlivé části jsou spojené na rovníku (Obr. 9-6). Uvedenou úpravou jsou vyloučené části sítě s velkým zkreslením, avšak nezíská se souvislý obraz Země. Goodovu upravuje možné aplikovat i na jiná nepravá válcová zobrazení. Obr. 9-6 Mollweidovo zobrazení v Goodově úpravě pro zobrazení kontinentů Poznámka: Obdobnou úpravu je možné provést i pro jiná nepravá válcová zobrazení, poměrně často jsou takto řešena různá Eckertova zobrazení. 9.2 Nepravá kuželová zobrazení Základní rovnice nepravých kuželových zobrazení v pólové poloze jsou vyjádřeny vztahy (9-22): 105 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie P = f(U) (9_22) s = f(U,V) Vzhledem k jej ich tvaru je zřejmé, že obrazem rovnoběžek budou obdobně jako u jednoduchých kuželových zobrazení části kružnice se společným, pevným, středem. Poledníky však budou křivky různého druhu. Zákony zkreslení se odvodí aplikací rovnic pro výpočet Gaussových symbolů při užití polárních souřadnic uvedených v kapitole Zákony zkreslení. Vzhledem k zobrazovacím rovnicím( 9-22 ) budou mít rovnice pro výpočet těchto symbolů následující tvary: (9-23) H dU dV Jednotlivá zkreslení je možné počítat stejnými rovnicemi jako u nepravých válcových zobrazení, tedy rovnicemi ( 9-3 ), ( 9-4 ), ( 9-5 ) a ( 9-6 ). Po dosazení tvarů uvedených Gaussových symbolů rovnice zkreslení budou: m. P R íds_ [dv RcosU ôp ÔS m = P dU dV R2cosU tg- Aco 1 2^ m2 +m2 m Pi (9-24) (9-25) (9-26) (9-27) Obdobně jako u jednoduchých kuželových zobrazení se i zde volí jako základní konstrukční poledník poledník procházející středem zobrazovaného území, do jehož obrazu se vkládá osa X a od něhož jsou potom odečítány zeměpisné délky V. Počátek rovinného pravoúhlého systému souřadnic se volí v průsečíku tohoto poledníku a základní rovnoběžky procházející rovněž středem zobrazovaného území (Obr. 9-7). Transformace z polárních souřadnic na rovinné je opět stejná jako u jednoduchých kuželových zobrazení: x = xv - p cos s y = p sin s (9-28 ) 106 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie kde v Ps K\P U Uo adní poledník | •1 Y Obr. 9-7 Princip nepravého kuželového zobrazení 9.2.1 Bonneovo nepravé kuželové zobrazení Z nepravých kuželových zobrazení se v dřívější praxi uplatnilo zejména Bonneovo zobrazení (Rigobert Bonne, 1727 - 1795), kdy se používalo zejména pro mapy světadílů nebo větších států a případně i pro topografické mapy (například Francie, Švýcarsko apod.). Zobrazení je definováno jako ekvidistantní v rovnoběžkách s nezkresleným základním poledníkem Vq. Vzhledem k tvaru rovnice pro p, která je stejná jako u jednoduchého ekvidistatntního kuželového zobrazení, bude první zobrazovací rovnice: p = p0-R(U-U0) (9-29) Druhá zobrazovací rovnice se odvodí z podmínky nezkreslených rovnoběžek. Pro konstantní hodnotu U bude tedy platit: p ds RcosU dV 1 tedy: Rovnice se integruje RcosU „T ds =-dV P )ds = ^V\dV o Po a řešením integrálu se obdrží druhá zobrazovací rovnice ve tvaru: RcosU, -V (9-30 ) P Derivací rovnic ( 7-12 ) a ( 9-30 ) podle £/ a V se získají výrazy: 107 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie dp dU -R ds dU RV siní/ RcosU --H-- V P P ds _ RcosU 8V~ p Po dosazení do ( 9-24 ), ( 9-26 ) a ( 9-27 ) bude: í m. f i+y/ sin U 1 RcosU^ P J tg- Acd 1 ml -1 (9-31) (9-32) (9-33) Z rovnice ( 9-32 ) je zřejmé, že Bonneovo zobrazení je současně zobrazením ekvivalentním. Ukázka zobrazení celého světa se základním poledníkem Vq=0° je na obrázku (Obr. 9-8). Obr. 9-8 Ukázka Bonneova zobrazení, základní rovnoběžka U0 = 60°, základní poledník V0=0° Mezním případem Bonneova zobrazení pro Uo= 90° a po = 0 je zobrazení Werner-Stabovo (viz 9.3.1 ). 9.3 Nepravá azimutální zobrazení Mezi nepravá azimutální zobrazení se řadí zobrazení odvozená matematickou cestou, zobrazení vzniklá afinním promítání jednoduchých azimutálních zobrazení v rovníkové poloze nebo zobrazení vzniklá kombinací azimutálních zobrazení s válcovými či nepravými válcovými zobrazeními. 108 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie U nepravých azimutálních zobrazení v pólové poloze se kromě základního poledníku přímkově zobrazuje i poledník odkloněný od něho o 90°. V obrazech těchto poledníků se zpravidla umisťují osy X a F rovinné pravoúhlé sítě. Obecné zobrazovací rovnice a obecné tvary zákonů zkreslení jsou stejné jako u nepravých kuželových zobrazení (viz 9.2 ). Zobrazovací rovnice ( 9-22 ) musí být vždy formulovány tak, aby při libovolných hodnotách U zeměpisné délce V = ±180° odpovídal úhel e = ±180°. Pro transformaci polárních souřadnic pa s na pravoúhlé se použijí vztahy (viz též kapitola Referenční plochy a souřadnicové soustavy): x = p cos s H (9-34) y = p sin s Obrazy rovnoběžek jsou i zde soustředné kružnice se společným středem, poledníky se zobrazují jako různé křivky, proto i zde nemohou tato zobrazení být definována jako konformní. Dále jsou uvedeny příklady nepravých azimutálních zobrazení. 9.3.1 Werner-Stabovo nepravé azimutální zobrazení Johannes Werner (1468 - 1522) roku 1514 odvodil nepravé azimutální zobrazení, které lze uvažovat jako mezní případ Bonneova zobrazení, v němž se obraz zemského pólu ztotožňuje se středem rovnoběžkových kružnic (viz Obr. 9-9). V tomto případě pro Uq = 90° bude po = 0 a rovnice: bude mít tvar: p = p0-R(U-U0) p = RZ (9-35) kde Z = 90°- U. Dosazením uvedené rovnice do vztahu ( 9-30 ) se získá druhá zobrazovací rovnice: c = cosU y (9-36) Z Zákony zkreslení budou obdobné jako u Bonneova zobrazení s tím, že místo U bude uvažován zenitový úhel Z. Po dosazení za p výrazu ( 9-35 ) budou mít tedy rovnice zkreslení tvar: mp=\\ + V2 í cos Z sin Z V Z (9-37) mr = mpl = 1 ( 9-38 ) Zobrazení je rovněž ekvivalentní a současně ekvidistantní v rovnoběžkách. Werner-Stabovo zobrazení prvně použil v roce 1517 Johan Stab, proto se jeho jméno objevuje v názvu zobrazení. Hojně se v 16. a 17 století používalo pro mapy kontinentů. Ukázka zobrazení celé planisféry je na obrázku (Obr. 9-9). 109 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-9 Werner - Stabeovo zobrazení celého světa Poznámka: Toto zobrazení bylo odvozeno dříve, než Bonneovo, kterým bylo později zpravidla nahrazeno. 9.3.2 Ginzburgovo zobrazení Dalším typem nepravého azimutálního zobrazení je zobrazení s oválnými ekvideformátami nazývané Ginzbugovo podle sovětského kartografa GA.Ginzburga, nazývané také někdy zobrazení CNIIGAiK (Centralnyj naučnoisledovatelskij institut geodézii, aerofotosjomky i kartografii) podle instituce, kde Ginzburg pracoval. Zobrazovací rovnice mají následující tvar: p = 3 i? sin (9-40) s=V-C f z ^q sin2V kde: Zmax je nej větší hodnota Z v zobrazovaném území, C, q jsou parametry, jejichž volbou je ovlivňováno zakřivení obrazů poledníků. Zákony zkreslení mají potom následující rovnice: m„ =cos — sec r p 3 3C Z tgz =-tg — sin 2V Z_ 3 (9-41) f mr = 3 sin —cos ecZ 3 1-2C- -cos2V m, = mnmr cos r pi p r tg- Aca 1 2ll m2p +m2 m Pi 110 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Ukázka zobrazení části povrchu Země je na obrázku (Obr. 9-10). Vzhledem k obecné poloze zobrazení musely být nejdříve zeměpisné souřadnice převedeny na kartografické a teprve poté byly použity zobrazovací rovnice ( 9-40 ). m,, 1.1 no 0.5/5 0.551 0.95? 0.9011 0,175 m, u o 1.20 ÍT- NI 1IT 20' JO- 40- 5 0- 60- ;o° 10* i.OG 0- 10- 20- SO* 40- 50" 90" W 90" 1.2 i 1,21 1,15 1,11 us UM 0.55 10° 20° 30" 40" 50' 60" /01 IIT Obr. 9-10 Ukázka Ginzburgova zobrazení (převzato z [23]) 9.3.3 Modifikovaná azimutální zobrazení Od druhé poloviny 19. století vznikla řada zobrazení, které mají původ v jednoduchých zobrazení v příčné poloze. U těchto zobrazení se základní poledních a rovník zobrazují jako přímky, ostatní poledníky a rovnoběžky jako křivky. Póly se zobrazují jako body nebo křivky. Zobrazení jsou navrhována tak, aby byla vhodná pro zobrazení celého světa na jedné mapě -tzv. planisféry. Zobrazení vzhledem ke svému charakteru nikdy nemohou být konformní, často jsou však ekvivalentní. 9.3.3.a Aitovovo nepravé azimutální zobrazení Ruský kartograf David A. Aitov (též Aitoff, 1889) sestrojil afinní průmět ekvidistantního azimutálního zobrazení v příčné poloze (Postelovo zobrazení) na rovinu z odkloněnou o 150° od roviny rovníku (o 60°od průmětny iť) (viz Obr. 9-11). Rovník se v tomto zobrazení nezkresluje a obrysová kružnice (pro poledníky AV = ±90°) se zobrazí jako obrysová elipsa celé Země (pro poledníky AV = ±180°). Základní poledník se zobrazí v poloviční délce. Číslování poledníků se nemění. Rovinné pravoúhlé souřadnice Postelová zobrazení se upraví tak, že se souřadnice y vynásobí dvěma a současně se dvěma dělí zeměpisné délky. Zobrazovací rovnice potom získají tvar: í JT AV) x = /Oarccos cosu cos- cose , „„„^ { 2 J (9-42) y = 2R arccosí cos U cos |sin er l 2 J 111 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Zobrazení tímto postupem ztrácí ekvidistantnost, na okrajích mapy však zmenšuje zkreslení. Ukázka zobrazení je na obrázku (Obr. 9-12). Obr. 9-11 Princip Aitovova zobrazení Trrm t#] +11111 tri VvSl r 'Ml-W 11 \ 1 ', [ 11111 J/li Obr. 9-12 Aitovovo zobrazení světa 9.3.3. b Hammerovo zobrazení Prof. Ernest H.H. Hammer užil téhož postupu jako Aitov pro zobrazení Lambertova jednoduchého ekvivalentního azimutálního zobrazení v rovníkové poloze. Zobrazení se po jeho autorovi nazývá Hammerovo nebo i Hammer-Aitovovo•. Obrysová kružnice Lambertova zobrazení se transformuje do obrysové elipsy s poloosami: a = 2RyÍ2 b = R-Jl Poměr poloos a:b je možné označit písmenem h. Tento poměr lze měnit a tím lze upravovat průběh zkreslení. Pokud je tento poměr 2:1, potom i Hammerovo zobrazení je ekvivalentní. Obecné rovnice zobrazení jsou: 112 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie X ■ 2i?sin U 1 + cosrJ cos AV 2R4h cosU sin AV TT AV 1 + cosc/ cos- (9-43) Ukázka zobrazení je na následujícím obrázku (Obr. 9-13) Obr. 9-13 Hammer - Aitovovo zobrazení světa 9.3.3.c Wagnerovo zobrazení Zobrazení vznikají transformací jednoduchého azimutálního ekvivalentního zobrazení v rovníkové poloze a vhodným přečíslováním nejen poledníků, ale i rovnoběžek. Tento postup uplatnil například Wagner. Z původního zobrazení vyňal určitou část a formálně ji přečísloval tak, aby vyjadřovala povrch celé Země. Vyňatou část poté zvětšil tak, aby měla stejnou plochu jako referenční koule. Dále ji afinně transformoval vynásobením všech souřadnic y a dělením všech souřadnic x vhodnou konstantou. Wagner vytvořil celou řadu variant tohoto zobrazení. Na následujícím obrázku (Obr. 9-14) je postup vzniku sítě Wagnerova zobrazení pro vyňaté území omezené poledníky V= ±60° a rovnoběžky U = ±65°. Obr. 9-14 Postup vzniku sítě Wagnerova zobrazení (převzato z [23]) Obrázek (Obr. 9-15) potom představuje zobrazení celé Země. 113 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-15 Ukázka Wagnerova zobrazení pro mapu celé Země (převzato z [23]) 9.4 Polykónická zobrazení Polykónické zobrazení si lze představit jako zobrazování na nekonečný počet kuželů. Každá rovnoběžka je zobrazována na samostatný kužel, jenž je k referenční ploše v této rovnoběžce tečný. Podobně jako u jednoduchých kuželových zobrazení jsou i zde obrazy rovnoběžek kružnice. Každá kružnice má však samostatný střed ležící na obraze základního poledníku. Základní poledník se zobrazuje jako přímka, ve které je vložena osa x. Jako základní rovnoběžka se zpravidla volí rovnoběžka procházející středem zobrazovaného území, případně i jeho nejjižnější rovnoběžka (Obr. 9-16). X -i Vo' Ví V2 -- *\ sx \ po X "k >U2 V* \ Uo Xvo Xvi XV2 0 1 5 základní poledník Obr. 9-16 Princip polykónických zobrazení Obecný tvar zobrazovacích rovnic odpovídá obecnému tvaru zobrazovacích rovnic nepravého kuželového zobrazení, tedy: P = f(U) s = f(U,V) Pro převod polárních souřadnic do rovinných pravoúhlých se použijí vztahy ( 9-44 ) - viz i kapitola 1. 114 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie x = xv - pcoss y = p sin s ( 9-44) V uvedených rovnicích nebude veličina xv konstantní, ale bude funkcí zeměpisné šířky zobrazované rovnoběžky. Lze tedy psát: xv=f(u) (9-45) a tato rovnice je v podstatě třetí zobrazovací rovnicí. Pro definování jednotlivých druhů zkreslení je vhodné použít Gaussovy symboly ve tvaru pro polární souřadnicové systémy (viz odstavec 3.1 ). V tomto případě symboly po úparavách nabudou tvaru: dxv ôp Y f ôxv . ôs ^ t^coss-^t- I + -rr^sin s + p^r- I ÔU 8U) ydU 8U ) ôs F = p — ÔV dx„ ôs sin s + p- dU dU G = p ,(ds_ [dV „ dsf H = p — ÔV ôx„ dp —-coss-- KôU dU (9-46) (9-47) (9-48) (9-49) Jednotlivá zkreslení potom budou mít tvar: P m. R ôs dV (9-50) m Pi RcosU ôs f ôxv ôp P- -^COS£--- ôV{ôU ÔU_ R2cos U tg- Aa> 1 2^ mp +m2 m ■pi Příkladem polykónického zobrazení je ekvidistantní polykónické zobrazení, v němž se nezkreslují rovnoběžky a současně není zkreslený základní poledník. Podle jeho autora, amerického kartografa Ferdinanda Rudolpha Hasslera (1770- 1843), který jej navrhl v roce 1820, je toto zobrazení známé i jako Hasslerovo nebo jednoduché americké, i když se samozřejmě o jednoduché zobrazení nejedná. Protože každá rovnoběžka není délkově zkreslená, první zobrazovací rovnice bude mít tvar (viz odstavec 1.2.1. kapitoly Jednoduchá kuželová zobrazení): p = RcotgU (9-51) 115 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Druhá zobrazovací rovnice bude odpovídat Bonneovu zobrazení, tady rovnici ( 9-30 ). Rcosi/, -V P A po dosazení za p z rovnice ( 9-51 ) lze psát: s = V sin U (9-52 ) Třetí zobrazovací rovnice se odvodí z podmínky nezkresleného základního poledníku (viz. Obr. 9-16). Pro hodnotu U\ platí: xVi =Pi+R(Ui-UQ) Pro rovnoběžku U lze potom obecně psát: xv=p + R(U-U0) (9-53) Zákony zkreslení se odvodí z rovnic ( 9-46 ) až ( 9-50 ). Derivací zobrazovacích rovnic se obdrží: ■ VcosU ds ~d~U ds — = sin U dV R dp dU sin2 U ^ = R__R_ dU sin2 U -R(l-cot g2U) -Rcotg2U Po dosazení do vztahů ( 9-50 ) nabudou zákony zkreslení tvary: m„ 1 + 2cotg2t/sin2 — |secr,kde r = arctg s - sin s 2sm2- + tg2U v 2 m =1 mpl =l + 2cotg2č7sin2 — tg—=- K+m;Z o 2 2V (9-54) Ukázky polykónického zobrazení j sou na následujících obrázcích. 116 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 9-17 Polykónické zobrazení celého světa se základním poledníkem 15° Obr. 9-18 Polykónické zobrazení části Země, základní poledník 15°, základní rovnoběžka 50° 117 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 10. Gaussovo zobrazení Pro velkou část státních mapových děl států světa, včetně děl určených pro ozbrojené síly, je použito Gaussovo konformní válcové zobrazení nebo jeho varianty. Zobrazení je též často používáno pro vizualizaci digitálních informací o terénu stejně jako jsou v jeho souřadnicích prováděna měření v terénu nebo následné výpočty. Obecnou teorii konformního zobrazení referenčního plochy do roviny v příčné poloze odvodil na počátku 19. století Gauss (Carl Fridrich Gauss, 1775 - 1855) s cílem použít ji pro mapování Hannoverská (1820 - 1830). Teorii tohoto zobrazení však neuverejnil. Po jeho smrti ji podle zmínek v korespondenci uveřejnil v roce 1866 Schreiber v díle Teorie der Projektionsmethode der Hannoverschen Landesvermessung. Na počátku 20. století tuto teorii doplnil a upravil pro praktické použití pro zobrazení z referenčního elipsoidu Krüger (L. Krüger, 1857 - 1923) v díle Konforme Abbildung des Erdellipsoids in der Ebene, které doplnil i tabulkami a dalšími pomůckami pro praktické použití. Vzhledem k tomu je možné nalézt i označení tohoto zobrazení jako Gauss-Krüger ovo nebo Gaussovo Krügerovo. Mírně upravené zobrazení pomocí konstantního zkreslení, tzv. měřítkového faktoru (scale factor) se nazývá zobrazení UTM (Universal Transverse Mercator). Ve Velké Británii a Severním Irsku se pro toto zobrazení používá název Transverse Mercator Projection. Poznámka: Je nutné přesně rozlišovat mezi jednoduchým konformním válcovým zobrazením nazývaným Mercatorovo zobrazení a mezi Gaussovým zobrazením. Tato zobrazení nelze vzájemně zaměňovat. Zejména při používání vestavěných programových nástrojů GIS k tomu však může dojít poměrně snadno, neboť nabízená zobrazení jsou zde často označována podle svých autorů nebo podle vžitých názvů. Gaussovo zobrazení bylo zavedeno jako zobrazení státního mapového díla v Německu od roku 1922 (v úpravě podle Krúgera). Před druhou světovou válkou a v období po ní bylo toto zobrazení velice často použito jak pro státní mapová díla včetně děl určených pro potřeby ozbrojených sil (bývalý Sovětský svaz, Rakousko, státy pod vlivem bývalého Sovětského svazu, jako například Vietnam, apod.). V České republice se Gaussovo zobrazení začalo poprvé používat též po druhé světové válce při tvorbě prozatímních vojenských topografických map v systému S-1946, ve kterém byl použit Besselův elipsoid. V padesátých letech 20. století se zobrazení používalo jak pro potřeby armády, tak pro potřeby národního hospodářství. Pro armádní účely bylo použito v šestistupňových pásech, pro civilní účely v pásech třístupňových. V obou případech byl použit geodetický referenční systém S-1952 s Krasovského elipsoidem. Od sedmdesátých let se zobrazení používalo opět pouze pro potřeby armády a to v geodetickém referenčním systému S-1942, resp. S-1942/83, elipsoid byl opět Krasovského. Od počátku roku 2006 je původní Gaussovo zobrazení i pro potřeby obrany státu opuštěno a nahrazeno zobrazením UTM v geodetickém referenčním systému WGS84 s elipsoidem WGS84. Z hlediska praktického využití je předností Gaussovo zobrazení jeho koncepční jednotnost pro jakoukoliv část zemského povrchu a malé rovinné zkreslení. 10.1 Základní charakteristiky zobrazení Gaussovo zobrazení je matematicky definovaným konformním zobrazením referenčního elipsoidu přímo do roviny. K jeho pochopení je možné vyjít z přibližné geometrické představy postupného zobrazování plochy elipsoidu na „soustavu válců" v rovníkové poloze. Pokud je zobrazení použito pro mapy středních měřítek (zpravidla topografické mapy měřítek 1:25 000 až 1:1 000 000, potom se nejčastěji používá se šestistupňovými poledníkovými pásy, 118 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie jimiž je povrch elipsoidu rozdělen na šedesát dílů. V případě, že je nebo bylo použito pro mapy větších měřítek, potom se zpravidla používají třístupňové poledníkové pásy. Poznámka: Pásy jsou často číslovány arabskými číslicemi počínaje od Greenwichského poledníku směrem na východ, případně od poledníku 180° opět východním směrem. Čísla pásů se potom používají i k identifikaci objektů jako součást jedné ze souřadnic (souřadnice y v S-1942) nebo jako součást lokalizačního kódu ve hlásném systému (MGRS). Každý poledníkový pás je samostatně zobrazen do roviny. Celá Země je tedy v případě šestistupňových pásů zobrazena na 60 pásech. Pásy mají rozsah zeměpisné šířky od 90° jižní zeměpisné šířky po 90°severní zeměpisné šířky. V některých modifikacích je tento rozsah upraven. Například vUTM se pásy zobrazují od 80° jižní zeměpisné šířky po 84° severní zeměpisné šířky. V zobrazení se osový poledník (střední poledník pásu) a rovník zobrazují jako navzájem kolmé přímky. Ostatní poledníky a rovnoběžky se zobrazují jako křivky. Poledníky se zobrazují jako části sinusoid konkávne zakřivených a symetrických košovému poledníku. Zakřivení poledníků je velice malé a lze jej stanovit podle přibližného vzorce ( 10-1): Ap = M cos cp Acp2A 8 ( 10-1 ) kde: Ap je největší výška oblouku nad tětivou, Acp]e rozdíl zeměpisných šířek koncových bodů oblouku, A je redukovaná zeměpisná délka vztažená k osovému poledníku, cp]e zeměpisná šířka středu oblouku (viz Obr. 10-1). A/l Ur _____Y_ -^s> i Obr. 10-1 Zakřivení poledníku v Gaussově zobrazení Obr. 10-2 Zakřivení rovnoběžky v Gaussově zobrazení Obrazy rovnoběžek se zobrazují jako části parabol konkávne zakřivených k pólům a jsou symetrické vzhledem k rovníku. Jejich zakřivení je možné vypočítat podle přibližného vzorce ( 10-2 ): Ar = N sin 2

zde bude nahrazena šířkou izometrickou q. Obecné zobrazovací rovnice potom budou mít tvar: X = f^V (10-4) y = ý\q, X) Jelikož zobrazení je konformní, je možné je definovat pomocí obecných rovnic konformního zobrazení odvozených v kapitole Teorie zobrazení: 121 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie x + iy = f(q + iX) t10"5) X-iy = f(q-iÄ) (10-6) Vzhledem k tomu, že poledníkový pás je velice úzký, je hodnota a vzhledem ke q diferenciálně malá, je možné pravou stranu rovnice ( 10-5 ) rozvést v Taylorovu řadu: x + iy = f iq) + fXqn + f'W™ + f"(q)^ + f4J(q)^ + / 5) (q)^ + f6,iq) •6 «6 i A Rovnice ( 10-6 ) by se upravila stejně. Pro odvození zobrazovacích rovnic však stačí uvažovat pouze první z nich. 2 3 Uváží-li se mocniny imaginárního čísla i (i = -1, i = -i, atd.) a oddělí-li se reálná a imaginární část, potom lze psát obecné rovnice: - = f(q) - f"(q)Y+f4>^Y4-f 6> (q)4ó + - ~ (^) y = nq)A-f\q)^ + f*(q)-£--.... (10-8) Při původním odvození zobrazení byla stanovena podmínka, že osový poledník zůstane nezkreslený. Jelikož osový poledník má X = 0°, rovnice ( 10-7 ) a ( 10-8 ) pro bod P'o ležící v zeměpisné šířce (p na tomto poledníku potom nabývají tvaru: *o = f (4) y0=o Z podmínky jeho nezkreslení vyplývá, že: xo = SP = S p kde sp a Sp je délka oblouku osového poledníku od rovníku k bodu P'o na referenčním elipsoidu a v zobrazovací rovině. S uvážením výše uvedeného lze vyjádřit funkci f(q): f(q) = Sp (10-9) a rovnici ( 10-7 ) je možno upravit do tvaru: x = S-f"(q)^ + /4Uq)^-/6J(q)-Ä6 2 24 720 Pro první derivaci funkce f(q) platí: f\q) = ŠĎ!Ú. (10-10) dq Protože podle rovnice ( 10-9 ) je: df(q) = dSp a podle definice izometrické šířky q platí: 122 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Mdcp dq — N cos cp bude po dosazení do ( 10-10 ): Protože platí vztah bude dSnN cos cp / m 11 % f\q)= ' (1°-U) Mdcp dSD = Mdcp f'(q) = Ncos cp (10-12) Uvedený výraz je první člen obecné zobrazovací rovnice pro souřadnici y. Rovnici ( 10-12 ) je možné dále derivovat a tím postupně získávat další členy obecných zobrazovacích rovnic ( 10-7 ) a ( 10-8 ). Druhá derivace bude: f(q) - d(Ncoscp) _ d(Ncos(p) Ncoscp (10 13) dq d

dep dep (l-e2sm2cpf2 (l - e2 sin2 cpf'2 ae2 sin tpcos2 cp-asva cp\l-e2 sin2 cp) a sin cp(l - e2) ,, . (10-14) - L 2 ■ 2 W2- (\ 2 2 W2=-MSm^ ^1-e srn (q) = N sin

(5 - ŕ + 9r/2 + 4r/4 ) (10-17) / V (q) = N cos5 (q) = -Nsin cos3 f. 1 2 O tuto hodnotu se opraví (pf a získá se nová hodnota cpf . Uvedený postup se opakuje do té doby, než A^bude menší, než požadovaná přesnost výpočtu. Obr. 10-6 Význam rovnoběžky cpf v inverzních funkcích k zobrazovacím rovnicím Gaussova zobrazení Rozdíl mezi hodnotami tpa tp/ je možné vypočítat podle přibližného vzorce: x~sp 3f/72 ( \2 ( 10-27) 2 4 Z rovnice ( 10-20 ), do které se dosadí hodnoty 1 al z rovnice ( 10-24 ) se obdrží výraz x - S = Í t + til + 3í2+5/72) <10"28 > p 2N 24/V3 v ' který se dosadí do ( 10-27 ). Po dosazení se obdrží vztah: a A, avšak pouze za předpokladu, že je znám argument cp, který se právě hledá. Jeho hodnotu je možné určit ze vztahu: (p = (pf-{(pf-cp) (10-31) Výraz ( 10-31 ) je možné dosadit do rovnic ( 10-24 ) a ( 10-30 ), předtím je však vhodné upravit. Úpravy se týkají goniometrických funkcí (sin, cos a tg), ve kterých se cp vyskytuje. Například výraz sinaje psát: sin q> = sin \q>j - {cpj - q>)\ Hodnota (cpf - cp) je obecně ve srovnání s hodnotou tp/ diferenciálně malá, proto je možné pravou stranu rovnice rozvinout v Taylorovu řadu, přičemž se vzhledem k jejich velikosti uváží pouze první dva členy této řady: sin cp = sin cpf — cos q>f {(pf — q>) Pokud se za (cpf - f ý ý l^l (10-36) -1-Í5 + 2%t2f + 2Aň + 6tj2 + %rňň) l20N5fcos(pfy f f f ffJ Poslední člen v rovnici ( 10-35 ) se používá pouze v případě vysokých nároků na přesnost výpočtů, kdy je požadována hodnota s přesností 0,0001". 10.3.1 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím UTM Inverzní funkce v zobrazení UTM musí uvažovat měřítkový faktor mo. Jejich tvar bude obdobný jako u výrazů ( 10-35 ) a ( 10-36 ): Ez E4 q)~Ví ~ 2m20MfNelf tf + 2AmtMfNlf ■tf{i + 3t2f +5?]} -9t2f7j2f)+ E6 120mtMfN5elf ^(61 + 9\t) + 45t4f +1 Cn-n) -162t2f7]2f - 45t4f?]2f ) A =------(l + ltl+rf)- m0Nelf cos of 6m0 Ndf cos + N cos3 a>(l-12 +n2)— dA T TX 1 ' 2 A2 ( 10-42) Po dosazení výrazů ( 10-41) a ( 10-42 ) do ( 10-40 ) se získá vztah: 'Z ( O O A \ O ( O O A \ A^cos^sin + Ncos3 q>(l-t2 +n2) A 1 + cos2 A + sin (l + 3r/2 + 2?/4)— + sin cpcos4 q>{l — t2)^ 1044 ^ Pro praktické výpočty, pokud není požadována vysoká přesnost, je možné použít pouze první člen rovnice ( 10-44 ). Meridiánovou konvergenci lze počítat i z rovinných pravoúhlých souřadnic X, Y. Pokud se dosadí do výrazu ( 10-44 ) vztahy ( 10-36 ) a ( 10-37 ), získá se po úpravě rovnice: y = ^-tf-^TtÁ + ň-r,2 -2ri4f)+^-tÁ2 + 5ň + 3ň) (10-45 ) Nf f 3N3f /V f f ' \5N5f /V f n Uvedený vzorec zabezpečí přesnost výpočtu konvergence v prostoru České republiky (na úrovni zeměpisné rovnoběžky 50°) v jednom poledníkovém pásu 0,0005" .V případě, že je požadována přesnost výpočtu do 3", lze v rozmezí jednoho poledníkového pásu použít i zjednodušený vzorec Y = ^tgcp (10-46) N Poznámka: Meridiánová konvergence v rámci jednoho poledníkového pásu nabývá jak kladných (na východní části pásu), tak i záporných hodnot (na západní části pásu). Při q> = 50° je její absolutní hodnota na okrajích pásu přibližně 2° 18'. 10.4.1 Meridiánová konvergence v UTM Výpočet meridiánové konvergence ze zeměpisných souřadnic je totožný jako v původním Gaussově zobrazení. Pokus se k výpočtům použijí rovinné pravoúhlé souřadnice N, E, je nutné uvážit i měřítkový faktor mo. Rovnice ( 10-45 ) potom bude mít tvar: y. E í/-^l^í/(l+í^^^2^)+77^Tí/(2+5í^^) (l0-47) Ndfm0 1 3N:ifm3 J^ 1 1 " 15N3elfrr^ a obdobně zjednodušená rovnice ( 10-46 ) ze změní na: y = —^—tg(p (10-48) Neim0 10.5 Zákony zkreslení V Gaussově zobrazení stačí vypočítat pouze délkové zkreslení m. Plošně zkreslení bude jeho kvadrátem a úhlově zkresleniJe zde nulové. Délkové zkreslení je možné vypočítat ze zeměpisných nebo rovinných pravoúhlých souřadnic. Pokud se počítá ze zeměpisných souřadnic, lze použít obecné výrazy (viz kapitola Zákony zkreslení): 131 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie dx + m m nebo 4g \ ( a* Y Jdy_ [ba ) [ba n cos

= 50° umožní přesnost výpočtu zkreslení na setiny milimetru. Pro tuto hodnotu zeměpisné šířky člen s a4 dosahuje hodnoty 4.10"8, tedy 0,04 mm.km"1. Proto pokud není požadována taková přesnost výpočtu, je možné tento člen zanedbat. Stejně tak, pokud se pro tuto zeměpisnou šířku zanedbá hodnota 2 -7-1 výrazu (1 + t] ), vzniklá chyba nepřesáhne hodnotu 15.10" (tedy 1,5 mm.km" ). Proto se často v praxi používá pouze zjednodušený vzorec: i 2 ^ m = l + cos cp — 2 ( 10-50) Délkové zkreslení je možné vypočítat i z rovinných pravoúhlých souřadnic. V tomto případě se volí jednodušší cesta, při níž se referenční elipsoid v daném bodě nahradí koulí o poloměru r = 4mň a místo Gaussova zobrazení se uvažuje jednoduché válcové konformní zobrazení v příčné poloze (Mercatorovo) (viz Obr. 10-10). Obr. 10-10 Náhrada referenčního elipsoidu koulí pro výpočet délkového zkreslení Gaussova zobrazení 132 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie S ohledem na tvar rovnice délkového zkreslení je možné psát: 1 m cos S a tento vzorec upravit rozvojem kosinu v řadu: 1 m , Š2 š4 1--+ — 2 24 ( 10-51 ) V rámci šestistupňového pásu není příliš velký rozdíl v délce zobrazené části oblouku původní rovnoběžky, části oblouku kartografického poledníku a souřadnice y (viz Obr. 10-11). Proto lze psát: Obr. 10-11 Ilustrace výpočtu délkového zkreslení Gaussova zobrazení y = RS a tento výraz se dosadí do ( 10-51 ), přičemž stačí uvažovat pouze do mocniny y . Výsledný vzorec bude: 1 m ■ 2 4 l-^+ " ( 10-52) Jelikož výraz 2Rl 24R4 2 4 y + . y 2R2 24R4 dosahuje velmi malých hodnot, lze vzorec dále upravit: 2 4 ( 10-53 ) 2R2 24R4 Pokud se opět v rámci jednoho šestistupňového pásu zanedbá ve vzorci ( 10-53 ) třetí člen (s y ), maximální rozdíl na území CR dosáhne hodnoty 5.10" (tedy 0,05 mm.km" ). Proto se v praxi často používá pouze zjednodušený výraz: m = l + - 2R2 ( 10-54) Průběh délkového zkreslení v rámci jednoho šestistupňového pásu je zřejmý z obrázku (viz. Obr. 10-12). 133 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Graf na následujícím obrázku (viz Obr. 10-13) znázorňuje závislost délkového zkreslení na zeměpisné šířce a hodnotě A. Další obrázek (viz Obr. 10-14) ilustruje průběh ekvideformát délkového zkreslení Gaussova zobrazení na území střední Evropy. Na území ČR dosahuje délkové zkreslení maximálních hodnot na okrajích 3. poledníkového pásu kolem 0,58 m.km1. Obr. 10-12 Zobrazení ekvideformát délkového Obr. 10-13 Graf délkového zkreslení v Gaussově zkreslení Gaussova zobrazení (převzato z [23]) zobrazení Obr. 10-14 Průběh ekvideformát délkového zkreslení Gaussova zobrazení na území střední Evropy (převzato z [23]) 10.5.1 Zákony zkreslení v UTM V zobrazení UTM se délkové zkreslení ze zeměpisných souřadnic počítá podle vzorce: \A2 a /_ . t\A4 m = m, 1 + COS2 <^(l + V2)— + cos4 ^(5 - ^2)^ ( 10-55) 134 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Je možné použít i zjednodušený tvar: m = m. 1 + cos cp- 2 ( 10-56) Pro výpočet z rovinných pravoúhlých souřadnic se používá následující vzorec: m = m. ' E2 E4 ^ 1 +-7 +-1 v 2R2 24R4 j ( 10-57) případně opět jeho zjednodušený tvar: m = m. 72 \ 1+- 2R2 ( 10-58 ) Průběh délkového zkreslení v rámci jednoho šestistupňového pásu je zřejmý z obrázku (viz Obr. 10-15). Graf na následujícím obrázku (viz Obr. 10-16) opět znázorňuje závislost délkového zkreslení na zeměpisné šířce a hodnotě A. Na území ČR dosahuje délkové zkreslení hodnot -0.40 m.knť1 uprostřed 3. poledníkového pásu (na poledníku A = 15°), na okrajích tohoto pásu kolem potom kolem 0,20 mim"1. Délkové zkreslení zobrazení UTM 0 10 20 30 40 50 60 70 80 84 Obr. 10-15 Zobrazení ekvideformát délkového zkreslení zobrazení UTM (převzato z [23]) Obr. 10-16 Graf délkového zkreslení v zobrazení UTM 10.6 Směrová a délková korekce geodetické čáry Teorie směrové a délkové korekce geodetické čáry v rovině konformních zobrazení je uvedena v odstavci 4.4 V následujícím textu jsou pouze upřesněny postupy výpočtů příslušných korekcí v rovině Gaussova zobrazení, resp. zobrazení UTM. K upřesnění postupů je využita kopie obrázku (viz Obr. 4-5) z odstavce 4.4 135 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 10-17 Směrová korekce geodetické čáry (kopie) Směrová korekce geodetické čáry v Gaussově zobrazení Křivost obrazu geodetické čáry lze vyjádřit rovnicí ( 4-29 ). Pokud se za m dosadí z rovnice ( 10-52 ) a budou se uvažovat pouze první dva členy, bude: f y2 > 1-—, 2RZ dm dT ( 10-59) Protože m je funkcí y a y je funkcí T, platí: dm dm dy dT dy dT Z rovnice ( 10-54 ) bude: dm _ y dy ~ R2 Podle obrázku (Obr. 10-17), kde je zobrazen diferenciální úsek obrazu geodetické čáry v bodě P', bude: dy dT sin (90° - r2 = ---f-coso-12 /v Hodnota délka přímé spojnice koncových bodů a coscr'12 se vypočítá z jejich rovinných pravoúhlých souřadnic: Di2 = (x2-x1f + (y2-y1f , X2 — X-i coscr ,9= —-L 2 lze po dosazení do ( 4-56 ) vypočítat směrovou korekci na počátečním bodě: Sl2 = -±-(Xl-x2)(2yl + y2) (10-66) 6« Obdobně by se určila směrová korekce na koncovém bodě ve tvaru: S2l=^I(x2-xj2y2 + yl) (10-67) 6« kde hodnota i? je vztažena ke středu geodetické čáry. Vzorce ( 10-66 ) a ( 10-67 ) jsou vhodné pro použití při délce geodetických čar několik desítek kilometrů a jejich přesnost za uvedených podmínek je do ±0,001". Pokud by bylo nutné pracovat s delšími čarami, je nutné použít přesnější vzorce uvedené například v [22]. Směrovou korekci je nutné zavádět do výpočtů vždy se správným znaménkem daným vzorcem ( 4-33 ). Podle vztahu ( 4-55 ) je možné sestavit následující tabulku (Tabulka 10-2): 137 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Tabulka 10-2 Tabulka rozdílů souřadnic koncových bodů geodetické čáry a znaménka směrové korekce 2yi + y2 + — >< 1 + + $12 ďl2<(Tl2 al2 - + 5l2 ~S12 ďl2>(Tl2 x", y", resp. N1,E1 -+Nn,En Pro jednotlivé kroky se použijí vztahy ( 10-20 ), ( 10-21 ) a ( 10-35 ), ( 10-36 ) pro Gaussovo zobrazení a pro zobrazení UTM potom vztahy ( 10-23 ), ( 10-22 ) a ( 10-37 ), ( 10-38 ). Poznámka: Při transformaci jednoho bodu do souřadnicového systému jiného pásuje nutné uvážit rychlý nárůst délkového zkreslení, což v důsledku může ovlivnit i přesnost výpočtů v rovinných souřadnicích. 11. Křovákovo zobrazení Po vzniku Československé republiky v roce 1918 byly budovány i nové geodetické a kartografické základy nového státního mapového díla, které se měly použít i pro katastrální účely. V roce 1922 navrhl Křovák (Josef Křovák 1884 až 1951) konformní kuželové zobrazení v obecné poloze jako součást geodetického referenčního systému jednotné trigonometrické sítě katastrální (S-JTSK). Toto zobrazení se využívalo do roku 1938 a bylo znovu zavedeno po druhé světové válce. S výjimkou padesátých a šedesátých let 20. století se používá dodnes. Zobrazení bylo definováno s ohledem na protáhlý a mírně vůči zeměpisným rovnoběžkám stočený tvar území bývalé Československé republiky (včetně tzv. Zakarpatské Ukrajiny) tak, aby minimalizovalo na tomto území délkové zkreslení. Dnes je používáno pouze v České a Slovenské republice. V současné době jsou v tomto zobrazení vydávána státní mapová díla určená pro státní správu a samosprávu (viz Nařízení vlády ČR č.430/2006 - [17]). Jedná se zejména o Státní mapu v měřítku 1 : 5 000, Základní mapy ČR v měřítkách 1 : 10 000, 1 : 50 000, 1 : 100 000 nebo 1 : 200 000 a Mapu ČR v měřítku 1 : 500 000. V tomto zobrazení jsou také poskytována digitální data z databáze ZABAGED. 11.1 Základní charakteristiky zobrazení V dále uvedených vzorcích jsou použité původní symboly, které zavedl Křovák. Zejména pro rovinné polární souřadnice se používají symboly R, D' namísto p, s a pro poloměr referenční koule r namísto původního R. Křovákovo zobrazení je dvojité zobrazení, které je možné vyjádřit schématickým zápisem: (p,A->U,V->Š,D ->R,D' -> x, y Výchozí referenční plochou je Besselův elipsoid, který je nejprve konformně zobrazen na referenční kouli. Na ní jsou definovány kartografické souřadnice, pomocí kterých je povrch koule transformován do zobrazovací roviny konformním kuželovým zobrazením. Poslední fází je transformace z polárních rovinných souřadnic na pravoúhlé. V následujících odstavcích jsou popsány jednotlivé fáze. 140 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 11.2 Zobrazovací rovnice 11.2.1 Zobrazení referenčního elipsoidu na referenční kouli V první fázi je Besselův elipsoid konformně zobrazen na referenční kouli s jednou nezkreslenou rovnoběžkou (po = 49°30', která probíhá přibližně středem území původní Československé republiky. Poloměr referenční kouleje r = jM0N0 K transformaci souřadnic jsou použity rovnice odvozené v kapitole 5: te|y + 45< tel f + 45< V = aA 1-esin q> 1 + esin (p Konstanty zobrazení jsou: r= 6 380 703,6105 m k= 1,00341 91640 cc= 1,00059 7498372 Po transformaci odpovídá původní hodnotě (po nezkreslené rovnoběžky hodnota na referenční kouli U0 = 49°27'35",84625. 11.2.2 Transformace zeměpisných souřadnic na referenční kouli na kartografické souřadnice Na referenční kouli je definována souřadnicová soustava kartografických souřadnic Š, D. Tato soustava vyhovuje protáhlému a mírně stočenému tvaru původní republiky. Osu území tvoří základní kartografická rovnoběžka So, z jejíhož tvaru byla vypočítána poloha kartografického pólu K podle postupu uvedeném v odstavci 1.2.2.a . Na této kartografické rovnoběžce byl za nej východnější m cípem republiky, který tvořil okraj tehdejší speciální mapy 1:75 000, zvolen bod A, jehož zeměpisné souřadnice jsou: 04 = 48° 15' Aa = 42°30' východně Ferra (24°50ř východně Greenwich). Tento bod má na referenční kuli souřadnice: ř7A = 48°12'42",69689 VA = 42°31'31",41725 Z polohy základní kartografické rovnoběžky byla vypočítána poloha kartografického pólu K. Pól leží na stejném poledníku jako bod A je od něho na sever o 11°30\ Jeho zeměpisné souřadnice na kouli jsou: UK = 59°42'42",69689 y/ř = 42°31'31",41725 141 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Základní kartografická rovnoběžka má hodnotu Šo = 78°30'. Celé území bývalého Československa leželo potom v úzkém pásu vymezeném dvěma kartografickými rovnoběžkami v relativně malé vzdálenosti AS = 2°3ľ, což je asi 280 km. Uvedené hlavní prvky zobrazení dokumentuje obrázek (viz. Obr. 11-1). jT_5° 10° 15° 20' 25° 30' 35' 451 10 15 20° 25° Obr. 11-1 Základní prvky Křovákova zobrazení Zeměpisné souřadnice U, V j sou transformovány na kartografické souřadnice Š, D pomocí rovnic ( 1-24 ) a ( 1-25 ). Křovák jej pouze upravil zavedením zenitové vzdálenosti a (a = 90°- UK) kartografického pólu (viz Obr. 11-2). Vt-V h a=90°-l/» 90'-U K I Iv ť Šo / / A Obr. 11-2 Transformace zeměpisných souřadnic na kartografické Upravené rovnice potom budou: sin Š = sin Ucosa + cosř7 sin acos(V - Vk) (11-1) 142 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie cosi f smD =--sm(V-Vk) cos S (11-2) 11.2.3 Transformace do zobrazovací roviny Pro zobrazení referenční kouleje použito jednoduché konformní kuželové zobrazení s jednou nezkreslenou rovnoběžkou, která se z důvodů zmenšení absolutní hodnoty zkreslení dodatečně zkresluje pomocí měřítkového faktoru mo = 0,9999. Pro výpočty se používají vztahy ( 7-31 ), ( 7-5 ), ( 7-34 ) a ( 7-15 ). Protože se však jedná o obecnou polohu zobrazení, mají zobrazovací rovnice a další vztahy následující tvary: R = R0 tg S, ^ + 45c tg - + 45° 2 kde: J D' = nD R0=m0rcotgŠ0 ( H-3) n = sin S, o ( H-4) ( H-5) ( H-6) Hodnota R0 = 1 298 039,0046 m a n = 0,97992 47046. Poznámka: Použitím měřítkového se zobrazení mění v zobrazení se dvěmi nezkreslenými kartografickými rovnoběžkami o hodnotách = 79°18'03" aŠ2 = 77°40'50". 11.2.4 Převod rovinných polárních souřadnic na pravoúhlé Polární souřadnice R, D' jsou transformovány na rovinné pravoúhlé x, y v souřadné soustavě, kde osa X je umístěna v obraze poledníku At a její počátek je v obraze kartografického pólu K. Kladný směr osy je na jih. Osa F je na ní kolmá a její kladná orientace je na západ. Polární souřadnice jsou transformovány podle vzorců: x = RcosD' (H-7) y = RsmD' (11-8) Celé území republiky potom leží v prvním kvadrantu (viz Obr. 11-3). 143 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie pf=48°15' Obr. 11-3 Poloha rovinného pravoúhlého systému v Křovákově zobrazení Obrazem kartografických poledníků jsou polopřímky vycházející z obrazu kartografického pólu, obrazem kartografických rovnoběžek jsou soustředné kružnice se středem opět v obraze kartografického pólu. Obrazem zeměpisných poledníků a rovnoběžek jsou složité křivky, které však na zobrazovaném území České a Slovenské republiky mohou být na mapách středních měřítek nahrazeny přímkami (poledníky) nebo soustřednými kružnicemi (rovnoběžky), jejichž zakřivení je téměř totožné se zakřivením obrazu rovnoběžek u Gaussova zobrazení. 11.3 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím se řeší postupně podle schématu (Kratochvíl: Polohové geodetické sítě, 2000): x,y —> R,D' —> Š, D —> U,V^ = 81 ° 06' 52-3" 1 = 0° 1 = 180° Obr. 12-1 Zobrazení UPS a poloha souřadnicových os Obr. 12-2 Zobrazení UPS a poloha souřadnicových os na severní polokouli na j ižní polokouli 12.2.1 Zobrazovací rovnice zobrazení UPS Vzhledem k vysokým zeměpisným šířkám se v zobrazovacích rovnicích počítá se „zenitovou vzdáleností" z, která v tomto případě je však doplňkem izometrické šířky q do 90°. Její rovnice bude mít tvar: tg; 1 + esin m | (n m l-esin cp J v 4 2y ( 12-1 ) Vlastní zobrazovací rovnice potom budou: p = m0C0tg^ s = A kde konstanta Co je počítána podle vztahu: (12-2) 2a 1-e2 1-eY2 l + e) (12-3) Konstanty a, e v rovnicích ( 12-1 )( 12-3 ) jsou parametry elipsoidu. Transformace do rovinných pravoúhlých souřadnic je již stejná jako u všech azimutálních zobrazení. S použitím výše uvedených označení souřadnic bude mít tvar: N = FN- pcoss, pro severní polokouli N = FN + pcoss , pro jižní polokouli (12-4) E = FE + p sin s, pro obě polokoule Poledníková konvergence y je velikostí rovna zeměpisné délce. Na severní polokouli má i stejné znaménko, na jižní má znaménko opačné. 148 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie ( 12-5 ) y = A, pro severní polokouli y = -A, pro jižní polokouli Délkové zkreslení je počítáno podle vztahu: m =-£- (12-6) Ne[cos(p kde Nei je příčný poloměr křivosti elipsoidu. Na následujícím obrázku (Obr. 12-3) je jeho graf. Graf délkového zkreslení zobrazení UPS 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 Obr. 12-3 Graf délkového zkreslení zobrazení UPS 12.2.2 Inverzní funkce k zobrazovacím rovnicím V případě výpočtu zeměpisných souřadnic y, A z rovinných pravoúhlých E, N se postupuje následujícím způsobem: Vypočítají se rovinné pravoúhlé souřadnice vztažené k pólům: A/V = N - F N AE = E- F E ( 12-7) a z nich je možné vypočítat přímo zeměpisnou délku A. Přitom je však nutné uvážit, zda se počítá na severní nebo na jižní polokouli a zda počítaný bod neleží na poledníku 90° východní nebo západní délky. Pokud je počítaný bod současně zeměpisným pólem, potom zeměpisnou délku není pochopitelně možné vypočítat. Z tohoto vyplývá následující postup: • pokud AN = 0 a AE ^ 0, potom A = 90° v.d. nebo A = 90° z.d. podle znaménka AE (viz. Obr. 12-1 nebo Obr. 12-2); • pokud AN = 0 a AE = 0, potom A není definovaná; • pokud AN ^ 0, potom: A'= arctg A'= arctg AE -A/V AE A/V pro severní polokouli pro jižní polokouli ( 12-8) ( 12-9) V případě, že se pro výpočet použije funkce arctg s jedním argumentem (do výpočtu vstupuje přímo podíl), výsledkem je úhel A', jenž je v rozsahu <-ttI2, ttI2>. Zeměpisná délka se potom určí podle schématu: ( 12-10) A — A , pokud jmenovatel ve zlomku je 149 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie (12-11) ( 12-12) kladný A = 7F + A', pokud AE>0a A' <0 A = —7r + A", pokud AE <0 a A' > 0 V případě, že se pro výpočet použije funkce arctg se dvěma argumenty (čitatel i jmenovatel vstupují do výpočtu samostatně), potom A je přímo rovna A' v rozsahu <-7t, 7t>. Zeměpisná šířka cp se počítá postupně s výjimkou hodnoty AN = 0, kdy cp = 90°. Nejprve se vypočítá p podle jednoho za vztahů: jestliže AN=0 P P P AE\, AN\, AE sin A jestliže AE = 0 ve všech ostatních případech Dále se vypočítá hodnota z a izometrické šířky q: P larctg mQCQ ( 12-13 ) ( 12-14) ( 12-15) 71 ( 12-16) ( 12-17) Výsledná zeměpisná šířka se potom vypočítá podle vztahu: (p = q + A1 sin 2q + Bl sin 4q + Cx sin 6q + Dx sin 8g ( 12-18 ) kde hodnoty Au B\, C\ a D\ včetně konstanty Co platné pro elipsoid WGS84 jsou uvedeny v následující tabulce: Tabulka 12-1 Konstanty zobrazení UPS pro elipsoid WGS84 Co 12 713 600,099 m Ai 3,356 551 469.10"03 Bi 6,571 872 711.10"06 c. 1,764 564 339.10"08 5,328 478 445.10"11 72.3 Lambertovo konformní kuželové zobrazení Třetím standardizovaným zobrazením pro mapy v ACR a NATO je Lambertovo konformní kuželové zobrazení o dvou nezkreslených rovnoběžkách. Zobrazení je vždy v pólové poloze, přičemž v zásadě se používají dvě varianty pro rovnoběžkové vrstvy široké 4°a 8°. Každá vrstva je samostatně zobrazena se dvěma předem danými nezkreslenými rovnoběžkami vzdálenými 1°20' od okrajů vrstvy. Základní rovnoběžka je střední rovnoběžka příslušné vrstvy. V některých případech je požíváno i zobrazení s jinak definovanými vrstvami a nezkreslenými rovnoběžkami tak, aby celé zobrazované území státu leželo v jednom 150 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie mapovém listě. To je i případ letecké orientační mapy 1:500 000 (LOM500) (viz. Tabulka 12-2). Princip zobrazení z referenční kouleje uveden v odstavci 7.4.2 . Pokud se použije referenční elipsoid, budou zobrazovací rovnice ( 7-32 ) a ( 7-5 ) ve tvaru: Aio-i) (12-19) P = P0e s = nA ( 12-20) kde q je izometrická šířka na referenčním elipsoidu. Konstanty zobrazení se v tomto případě počítají podle výrazů: _ in(Nlcos(^1)-ln(A^2cos<^2) Po /YjCos^O" _ 7Y2cos(^202 (12-21) (12-22) kde: ® = eq =tg ^ + 45c \f 1-esin tp 1 + esin tp ( 12-23 ) Konstanty zobrazení jsou počítány pro každou vrstvu samostatně, a to jak pro vrstvy s intervalem 8°, tak pro vrstvy s intervalem 4°. Pro vrstvy, ve kterých leží Česká republika, parametry a konstanty zobrazení mají následující hodnoty: Tabulka 12-2 Hodnoty základních parametrů pro Lambertovo konformní kuželové zobrazení pro území ČR Interval vrstvy , A a výška Heí bodu P na souřadnice prostorové pravoúhlé, bude platit podle [14]: x = (N + Hel)cos(pcosA y = (N + Hel)cos(psm A (13"2) z = [N(\-e2)+Hel]sm(p Zpětný převod lze provést podle vzorců ( 13-3 ), kde se hodnoty cp, Hei a N počítají iteracemi: A = arctgl — f (Po = arctg i „ -T ( 13-3 ) H. a 2 • 2 -e sin cos (pn cos A y cos (pn sin A Hodnoty tp, Hei aN se dále počítají pro i-tou iteraci následovně: cpj = arctg H. a (13-4) *Jl-e2 sin2 cpi cos (p{ cos A y cos (p{ sin A 154 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Při prvním výpočtu zeměpisné šířky cpo je možné zanedbat elipsoidickou výšku bodu P. Pomocí (po se vypočítají první aproximace No a HeK). Jejich dosazením do rovnic ( 13-4 ) se získají zpřesněné hodnoty cpu Ni a Heu. Iterační výpočet se ukončí, pokud je rozdíl mezi předcházející a počítanou hodnotou menší než požadovaná přesnost výpočtu. Obr. 13-1 Prosotorové pravoúhlé souřadnice Obdobné vztahy jako ( 13-2 ) a ( 13-3 ) platí i pro transformaci zeměpisných souřadnic U, V a výšky H na referenční kouli o poloměru R na prostorové pravoúhlé souřadnice. Výšku H je možné uvažovat pouze jako nadmořskou, protože tato transformace se používá především pro méně přesné úlohy. Pokud se uvažuje stejná poloha a orientace souřadnicových os jako v případě referenčního elipsoidu, lze transformaci vyjádřit vzorci: x ■ (R + H) cos. U cos. V -(R + H)cosUsmV (R + H)sm U (13-5) Zpětný převod je potom možný podle vztahů: V = arctgi^- U =arctg í 2 . 2 x +y (13-6) J H =—---R = —^—^x2 + y2 -R srn U cosU 13.1.2 Tříprvková prostorová transformace Nejjednodušší transformací mezi referenčními systémy je tříprvková prostorová transformace. Rozdíl mezi původním a novým referenčním systémem geocentrických souřadnic je pouze v lineárním posunu počátků obou systémů. Počátek nového souřadnicového systému je pouze vzhledem k původnímu systému posunut o hodnoty dx, dy a dz. Vlastní transformaci lze vyjádřit vztahem ( 13-7 ): 155 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie dx X yn = dy + y Zn dz z (13-7) Graficky lze podstatu transformace vyjádřit následujícím obrázkem (Obr. 13-2): Z Zn Původní souřadnicový systém On Nový souřadnicový systém Yn Xn dz dx dy Obr. 13-2 Tříprvková prostorová transformace Hodnoty souřadnic i lineárních posunů se vyjadřují v metrech. 13.1.3 Sedmiprvková prostorová transformace Přesnější a komplexnější transformace využívající prostorové pravoúhlé souřadnice je sedmiprvková prostorová transformace, někdy nazývaná i jako prostorová podobnostní transformace. Vedle lineárních posunuje zde uvažováno i se třemi rotacemi kolem původních os (rx, ry a rz) a se změnou měřítka - měřítkovým faktorem m=l+ju. Transformaci je možné vyjádřit následující rovnicí ( 13-8 ): x„ dx m 0 0" 1 r -r z y 1 rx x yn = dy + 0 m 0 y (13-8) dz 0 0 m ry ~rx 1 z Graficky lze podstatu transformace opět vyjádřit následujícím obrázkem (Obr. 13-3): 156 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Obr. 13-3 Sedmiprvková prostorová transformace Hodnoty souřadnic a lineárních posunů se opět uvádějí v metrech, hodnoty rotací v desetinách vteřin a měřítkový faktor bývá v řádech 10~6 až 10~5. V anglické literatuře bývá uváděn v jednotkách ppm (parts per milion). Hodnoty rotací jsou definovány dvojím způsobem. Pokud se díváme směrem k původním osám X, Y, Z, je rotace jsou buďto ve směru nebo proti směru hodinových ručiček. Přitom je možné přiřadit kladné nebo záporné znaménko oběma směrům. Například v Austrálii byla pro rotace při definici referenčního souřadnicového systému použita kladná znaménka pro směry otáčení hodinových ručiček, v Evropě tomu bylo naopak [10]. Před použitím popsané transformace je nutné zjistit, jaký systém rotací byl použit. Pokud by byl použit nesprávný, výsledné transformované hodnoty jsou chybné. 13.1.4 Moloděnského transformace Moloděnského transformace umožňuje přímou transformaci zeměpisných souřadnic definovaných v souřadnicových systémech, aniž je nutný jejich převod do prostorových pravoúhlých souřadnic. K této transformaci je nutná znalost parametrů původního elipsoidu (velikost poloos a, b), lineárních posunů dx, dy a dz a rozdílů parametrů použitých referenčních elipsoidů (původního a nového) - velké poloosy Aa a zploštění Af. Transformace je dána vztahy ( 13-9 ): Acp- , , . . , e svncpcoscp -srn cpcosAdx-sm cpsm My + coscpdz +--ttt-Aci (i- -e srn cp + sin cpcoscp\ M — + N— \Af b a AA = (- sin Adx + cos Ady)/(N + Hel )cos cp Ah = cos cp cos Adx + cos (psin Ady + sin cpdz -(l-e2 sin2 cpj'2 Aa , «(1-/) ( 13-9) (i- e srn cp -sin cpAf \l/2 7 157 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 13.1.5 Zjednodušená Moloděnského transformace Pro méně přesné práce, například pro navigační účely, je možné použít zjednodušenou Moloděnského transformaci, jejíž rovnice je možné vyjádřit následovně ( 13-10 ): Ácp = [- sin

- Remove From Favorites Method: Position Vector - dx=570,000000 dy=05,700000 dzM62,000000 «=-1,938000 ry=l,507000 rz=5,261000 s=3,500000 Obr. 14-2 Ukázka výběru přednastavené transformace (zde sedmiprvková podobnostní transformace) mezi různými geodetickými systémy v programu ArcGIS 162 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie New Geographic Transformation BNew GeographicTransforination Target GCS: -Method-Name: Position Vector z. Geocentric Translation Molodensky Abridged Molodensky_ Position Vector Coordinate Frame NADCON HARN Lonqitude Rotation New Geographic Transformation New GeographicTransforrnation Source GCS: GCS_WGS_ Target GCS: Europe\Pulkovo 1942 Adj 1933 Method-Name: Position Vector Name Value -1 Z Axis Translation (meters) 0 i XAxis Rotation (seconds) YAxis Rotation (seconds) 0 , .ŕ i a„:„ r...4..+;.... jj_ Obr. 14-3 Ukázka výběru vhodné metody transformace (zde sedmiprvková podobnostní transformace) mezi různými geodetickými systémy a způsobu zadávání jejích parametrů v programu ArcGIS Poznámka: Pro transformaci souřadnic mezi referenčními systémy jsou dostupné i jiné postupy, které nemusí být součástí žádného komplexního systému. V České republice je to například program MATKART [5]. 74.3 Volba zobrazení Nástroje GIS mají zpravidla opět vestavěnou širokou nabídku různých zobrazení a projekcí, ze kterých je možné si vybírat a zadávat nebo akceptovat předem dané jejich parametry (základní poledník, poloha nezkreslených rovnoběžek, apod.). Před volbou zobrazení je nutné mít zvolen odpovídající geodetický referenční systém. Příklad systému zadávání parametrů zobrazení je uveden na následujícím obrázku (viz. Obr. 14-4). Projected Coordinate System Properties General Lambertcjvo kuželové zobrazení -Pro|ecíion- Name |Lambert_ Contrjrmal_Crjnic Parameter Value False_Northing 0 000000000000000000 Central_Meridian 14,939909099990996000 J Standard_Parallel_1 47,60 Stand ard_Parallel_2 58.999999999999993000 Scale_Factor 1,000000000000000000 Latitude Of Orioin 0.000000000000000000 ■Linear Unit- Name: Meters per unit: 3 Geographic Coordinate System Name: GCS_Sphere_EMEP Alias: Abbreviation: Remarks: Angular Unit: Degree (3.017453292519943299) Prime Meridian: Greenwich (9.030030300003030030) bJ ±i ect... Jity 1 j. j Obr. 14-4 Volba zobrazení a zadávání jeho parametrů v programu ArcGIS Konkrétní hodnoty parametrů zobrazení je nutné vypočítat předem na základě jeho požadovaných vlastností a polohy zobrazovaného území na Zemi. 163 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie 74.4 Vizualizace matematických prvků Matematické prvky, zpravidla rám mapy s hodnotami zeměpisných nebo rovinných pravoúhlých souřadnic, síť poledníků a rovnoběžek nebo pravoúhlou síť ve zvoleném intervalu, různé druhy vyjádření měřítka mapy, výsledné editované mapy je možné též generovat pomocí vestavěných nástrojů. Pokud není nutné vytvářet vlastní grafický styl zobrazení, k editaci se opět používají vestavěné nástroje a systém průvodce. Příklad výsledné vizualizace matematických prvků je uveden na obrázku (viz. Obr. 14-5). Obr. 14-5 Příklad vizualizace matematických prvků mapy v programu ArcGIS. Poznámka - hodnoty měřítek odpovídají originálnímu zobrazení; na obrázku jsou jiné, dané zmenšením obrázku a slouží pouze pro ilustraci funkčnosti programu. 164 Literatura [I] ArcGIS 9.2, Environmental System Research Institute, Inc. 2007 [2] BÖHM, J.: Vyšší geodesie II, Souřadnicové soustavy, učební texty vysokých škol, České vysoké učení technické v Praze, SNTL Praha 1966, 186 s. [3] BANDROVA T.: Kartografija 1 (Kartni proekcii), UASG Sofia, 235 s. [4] BUCHAR, P.: Matematická kartografie 10, ČVUT Praha 2002 [5] ČECHUROVÁ, M., VEVERKA, B.: Software MATKART - současný stav a vývojové trendy, Kartografické listy, Ročenka k artografickej spoločnosti Slovenskej republiky, č. 15/2007, ISBN 80-89060-10-8, Bratislava 2007, s. 34-40 [6] DMA Technical Manual - The Universal Grids: Universal Transverse Mercator (UTM) and Universal Polar Stereographic (UPS), Edition 1, Defense Mapping Agency, Sign. DMATM 8358.2, September 1989 [7] EGELTOFT, T., STOIMENOV G.: Map Projections, Royal Institute of Technology, Department of Geodesy and Photogrammetry, Stockholm, Sweden, April 1997, ISSN 1400-3155, 83 s. [8] FIALA, F.: Matematická kartografie, SNTL Praha 1955, s. [9] HO JO VEC, V. a kol.: Kartografie, GKP Praha 1987, 660 s. [10] http://www.nga.mil/ [II] http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/toolbox/map/ [12] http://en.wikipedia.org/ [13] KENNEDY, M., KOPP, S.: Understanding Map Projection, Publikace ESRI 200x [14] KRATOCHVÍL, V.: Polohové geodetické sítě, Aplikace metody nejmenších čtverců a transformace souřadnic, VA v Brně 2000, PČT S-464, 214 s. [15] KUSKA, F.: Matematická kartografia, SVTL, Edicia technickej literatúry, Bratislava 1960, 475 s. [16] LEICK, A.: GPS satelite surveying, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc. 1995, ISBN 0-471-30626-6, 560 p. [17] Nařízení vlády ČR č. 430/2006 Sb. O stanovení geodetických systémů a státních mapových děl závazných na území státu a zásadách jejich používání [18] NOVÁK, V., MURDYCH, Z.: Kartografie a topografie, SPN Praha 1988, 320 s. [19] OLSOVSKY, V.: Globálni systém určování polohy - GPS, úvod do studia, VA v Brně 1999, 176 s. [20] OPERATIONAL NAVIGATION CHARTS (ONC), MIL-O-89102 NOT 1, The National Geospatial-Intelligence Agency, 1995, revised 2004, http://www.nga.mil/ [21] PORTER, W., McDONNEL, Jr.: Introduction to map projections, Marcel Dekker, INC., 270 Madison Avenue, New York and Basel 1979, ISBN 0-8247-6830-2 [22] REKTORYS, K. a kol.: Přehled užité matematiky, 5. vydání, SNTL - nakladatelství technické literatury, Praha 1988, 1140 s. [23] SRNKA, E.: Matematická kartografie, VAAZ Brno 1986, 302 s. 165 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie [24] VESELÁ, I: Systém vizualizace zkreslení vybraných zobrazení v prostředí ArcGIS 9.x, (bakalářská práce), Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta, Geografický ústav Brno 2006, 50 s. [25] VYKUTIL, J.: Vyšší geodézie, Kartografie, Praha 1982, 544 s. [26] NGA. Implementation Practice Web Mercator Map Projection. Version 1.0.0. NGA.SIG.0011_1.0.0_WEBMERC, NGA 2014. Staženo z http://earth-info.nga.mil/GandG/wgs84/web_mercator/%28U%29%20NGA_SIG_0011_1.0.0_WE BMERC.pdf 166 Talhofer, V.: Základy matematické kartografie Název: Autor: Vedoucí katedry: Rok vydání: Náklad: Počet stran: Vydavatel: Tiskne: Číslo zakázky: Číslo EP: Cena pro vnitřní potřebu: Základy matematické kartografie plk. doc. Ing. Václav TALHOFER, CSc. plk. doc. Ing. Václav TALHOFER, CSc. 2007 50 167, počet příloh: 0, počet obrázků: 122 Univerzita obrany Vydavatelská skupina UO Publikace neprošla jazykovou úpravou. 167