Animal Model – viz přednáška
Předpokládáme, že naměřená užitkovost krávy je ovlivněna jen stádem, ve kterém je
chována, věkem (tj. pořadím laktace) a genotypem (tj. jedincem se svou jedinečnou
genetickou výbavou).
jedince stádo laktace užitkovost
1 1 1 4500
2* 1 1 5000
3 1 2 6500
4 2 2 8000
5* 2 1 7000
V 1. stádě jsou tři dojnice, z toho dvě jsou na první laktaci
a jedna na druhé laktaci. Ve 2. stádě jsou dvě krávy, jedna
na první a dvě na druhé laktaci. Podle původu víme, že
dojnice č. 2 a 5 mají společného otce* – jsou tedy
polosestry. Jiné příbuzenské vztahy nejsou známy.
V populaci byl odhadnuta hodnota h2 = 0,25.
modelová rovnice: yijkl = Si + Lj + uk + eijkl
maticový zápis: y = Xb +Zu + e
Odvozená soustava normálních rovnic smíšeného modelu:
Řešení
• Matice A
Jedince Otec
1 0
2* 6
3 0
4 0
5* 6
aii = 1 + 0,5(aom)
aij = 0,5(ajo + ajm)
1 2 3 4 5 otec
1 1 0 0 0 0 0
2 0 1 0 0 0,25 0,5
3 0 0 1 0 0 0
4 0 0 0 1 0 0
5 0 0,25 0 0 1 0,5
otec 0 0,5 0 0 0,5 1
Designová matice X
X1 <- matrix(c(1,1,1,0,0,0,0,0,1,1),5)
X1
[,1] [,2]
[1,] 1 0
[2,] 1 0
[3,] 1 0
[4,] 0 1
[5,] 0 1
X2 <- matrix(c(1,1,0,0,1,0,0,1,1,0),5)
X2
[,1] [,2]
[1,] 1 0
[2,] 1 0
[3,] 0 1
[4,] 0 1
[5,] 1 0
X <- cbind(X1,X2)
X
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 0 1 0
[2,] 1 0 1 0
[3,] 1 0 0 1
[4,] 0 1 0 1
[5,] 0 1 1 0
Pro pevný efekt stádo
Pro pevný efekt pořadí
laktace
Spojení do
jedné
designové
matice X
Matice aditivně genetické příbuznosti A
A <-
matrix(c(1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0.25,0.5,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,
0.25,0,0,1,0.5,0,0.5,0,0,0.5,1),6)
A
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6]
[1,] 1 0.00 0 0 0.00 0.0
[2,] 0 1.00 0 0 0.25 0.5
[3,] 0 0.00 1 0 0.00 0.0
[4,] 0 0.00 0 1 0.00 0.0
[5,] 0 0.25 0 0 1.00 0.5
[6,] 0 0.50 0 0 0.50 1.0
Vektor užitkovostí y, designová matice Z
y <- matrix(c(4500,5000,6500,8000,7000),5,1)
y
[,1]
[1,] 4500
[2,] 5000
[3,] 6500
[4,] 8000
[5,] 7000
h2 <- 0.25
K <- (1-h2)/h2
K
[1] 3
Z <- diag(1,5)
Z
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 0 0 0 0
[2,] 0 1 0 0 0
[3,] 0 0 1 0 0
[4,] 0 0 0 1 0
[5,] 0 0 0 0 1
Vytvoření matice soustavy normálních
rovnic
XX <- t(X)%*%X
XZ <- t(X)%*%Z
ZX <- t(Z)%*%X
ZZ <- t(Z)%*%Z
AK <- round(K*solve(A)) současně i zaokrouhlí
/* Abychom mohli spojit matice ZZ(5x5) a AK (6x6) musíme přidat řádek a sloupec nul do matice ZZ, aby
vznikla matice o rozměrech 6x6
Stejně musíme upravit i matice XZ (+ 1 sloupec nul) a ZX (+ 1 řádek nul)
Přidáním nul se nic nemění – jen je pak možné spojit tyto submatice do matice levé strany LS */
ZO <- matrix(c(0,0,0,0,0))
ZZ1 <- cbind(ZZ,ZO)
ZO1 <- matrix(c(0,0,0,0,0,0),1,6)
ZZ2 <- rbind(ZZ1,ZO1)
XZ0 <- cbind(XZ,matrix(c(0,0,0,0)))
ZX0 <- rbind(ZX,matrix(c(0,0,0,0),1,4))
ZZAK <- ZZ2+AK
Spojení dílčích matic do jedné matice levé
strany (LS)
LS1 <- cbind(XX,XZ0)
LS2 <- cbind(ZX0,ZZAK)
LS <- rbind(LS1,LS2)
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,] 3 0 2 1 1 1 1 0 0 0
[2,] 0 2 1 1 0 0 0 1 1 0
[3,] 2 1 3 0 1 1 0 0 1 0
[4,] 1 1 0 2 0 0 1 1 0 0
[5,] 1 0 1 0 4 0 0 0 0 0
[6,] 1 0 1 0 0 5 0 0 0 -2
[7,] 1 0 0 1 0 0 4 0 0 0
[8,] 0 1 0 1 0 0 0 4 0 0
[9,] 0 1 1 0 0 0 0 0 5 -2
[10,] 0 0 0 0 0 -2 0 0 -2 5
Konstrukce matice pravé strany (PS)
Xy <- t(X)%*%y
Zy <- t(Z)%*%y
PS <- rbind(Xy,Zy,matrix(c(0)))
/* rovněž u matice pravé strany musíme > PS přidat nulu, aby
vznikl vektor o 10 řádcích */
[,1]
[1,] 16000
[2,] 15000
[3,] 16500
[4,] 14500
[5,] 4500
[6,] 5000
[7,] 6500
[8,] 8000
[9,] 7000
[10,] 0
Určení determinantu LS a zobecněná
inverze
det <- round(det(LS))
> det
[1] 0
> bu <- solve(LS)%*%PS
Error in solve.default(LS) :
system is computationally singular: reciprocal condition number = 1.33628e-17
/* Protože determinant matice LS je roven nule, je tato matice singulární a nelze ji
invertovat -> jedním z řešení je použít zobecněnou inverzi…
Je nutné si nahrát balíček MASS z nabídky: Packages -> Load Packages */
bu <- ginv(LS)%*%PS
> bu
[,1]
[1,] 2302.23138 ~ odhadnutá odchylka stáda 1
[2,] 4229.74702 ~ odhadnutá odchylka stáda 2 (odchylka 1927)
[3,] 2547.96760 ~ odhadnutá odchylka 1. laktace
[4,] 3984.01080 ~ odhadnutá odchylka 2. laktace (odchylka 1436)
[5,] -87.54974 ~ OPH krávy č. 1
[6,] 47.47015 ~ OPH krávy č. 2
[7,] 53.43945 ~ OPH krávy č. 3
[8,] -53.43945 ~ OPH krávy č. 4
[9,] 61.96703 ~ OPH krávy č. 5
[10,] 43.77487 ~ OPH otce krav č. 2 a 5
Závěry:
• Stáda se liší v chovatelské péči o 1972 kg mléka, druhá laktace převyšuje první o 1436 kg mléka.
Nejlepší kráva je č. 5 (OPH = +62 kg) a nejhorší je kráva č. 1 (OPH = -88 kg). Genetický rozdíl mezi
nimi je 150kg mléka.
• Kráva č. 4 je druhá nejhorší s plemennou hodnotou -53 kg mléka, přestože v rámci ledovaného
souboru dosahuje nejvyšší užitkovost (8000 kg mléka). Při pozornějším ledování však zjistíme, že je
na druhé laktaci, tzn., že její vysoká užitkovost je dána vyšším stupněm tělesné dospělosti (+ 1436
kg mléka) a je ve stádě s lepší chovatelskou péčí (+ 1927 kg mléka). Jestliže o tyto položky, které
jsou dány technikou chovu, se praví její užitkovost, dostane se na podprůměrnou úroveň.
• Naopak její vrstevnice – kráva č. 5 – je na první laktaci a na druhé laktaci lze tedy u ní očekávat
užitkovost 7000 + 1436 = 8436 kg mléka. Kráva č. 5 je proto po korekci +436 kg mléka lepší než
kráva č. 4, což činí v plemenné hodnotě rozdíl (v odhadu rozdílu genetického založení) 115 kg
mléka (62 + 53).
• U krav č. 2 a č. 5 jsou při odhadu plemenné hodnoty využity vlastní užitkovosti zároveň vzájemný
příbuzenský vztah zásluhou společného otce. Jejich plemenné hodnoty jsou proto stanoveny
přesněji než u ostatních krav. Plemenná hodnota otce e stanovena na základě užitkovosti těchto
dcer a činí +44 kg mléka.
• Jak ukazuje příklad, nelze se při výběru do plemenitby řídit naměřenou užitkovostí, neboť ta je
ovlivněna několika činiteli.
• Na základě odhadu plemenných hodnot dáme přednost zařazení do plemenitby krávám podle
tohoto pořadí:
Rozdíly v užitkovostech působené chovatelským prostředím jsou mnohem větší, než genetické
rozdíly mezi zvířaty. Naměřená užitkovost je ovlivněna větším počtem významných faktorů, a
proto jsou soustavy rovnic složitější a zahrnují více efektů.
Porovnejte s příkladem na konci přednášky č. 9
pořadí kráva OPH užitkovost
1 5 +62 7000
2 3 +53 6500
3 2 +47 5000
4 4 -53 8000
5 1 -88 4500