logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz UKB, A29, RECETOX, dv.č.112 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KDY A JAK SE BUDEME POTKÁVAT? Únor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 Březen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Duben 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Květen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz LITERATURA þHolčík,J.: přednáškové prezentace þ þProakis,J.G., Rader,C.M., Ling,F., Nikias,C.L.: Advanced Digital Signal Processing. Macmillan Publ. Comp, New York 1992, 608s. þKay, S.M., Marple, S.L.: Spectrum Analysis - A Modern Perspective. Proc. IEEE, roč.69, č.11, Nov. 1981, s.1380-1418. þBloomfield,P.: Fourier Analysis of Time Series. An Introduction. J.Wiley&Sons, N.York 2000. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz skenování0004.jpg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz CÍL NAŠEHO SETKÁVÁNÍ þbudou představeny různé algoritmy odhadu frekvenčního spektra časových řad, včetně okolností jejich použitelnosti; þprakticky si ověříte jejich vlastnosti; þbudete mít představu jak se provádí harmonická analýza. þ •Nevěřte všemu, co se vám k věření předkládá: •Zkoumejte vše a přesvědčujte se o všem sami! •Jan Amos Komenský (1592 - 1670) Nalezený obrázek pro J A komenský logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz I. CO UŽ UMÍME? levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ANALYZOVANÉ VELIČINY þSIGNÁL þje jev fyzikální, chemické, biologické, ekonomické či jiné materiální povahy, nesoucí informaci o stavu systému, který jej generuje, a jeho dynamice. þ þČASOVÁ ŘADA (ČÍSLICOVÝ SIGNÁL) þje uspořádaná množina hodnot {y(ti):i=1,… …,n}, kde hodnota ti určuje čas, kdy byla hodnota y(ti) určena. þVZORKOVÁNÍ þvzorkovací teorém - fvz > 2fmax levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PRO JISTOTU þ þx(t) = 4cos(2p10t+p/2) + 5sin(2p30t) þ þJaká musí být minimální vzorkovací frekvence - fvz? þ þa) větší než 40p; þb) rovna 60p; þc) větší než 60; þd) menší než 60p? levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÉ ŘADY – CO S NIMI? þať se snažíme o co chceme, zpravidla se nevyhneme potřebě znát její matematický model levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÉ ŘADY – CO S NIMI? þať se snažíme o co chceme, zpravidla se nevyhneme potřebě znát její matematický model, þtj. matematický popis průběhu časové řady, resp. jejích částí levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÉ ŘADY – CO S NIMI? þať se snažíme o co chceme, zpravidla se nevyhneme potřebě znát její matematický model Øposouzení kvality, tj. srovnání s tím, co považujeme za kvalitu (třeba nalezení a nahrazení odlehlých hodnot); Øseparace systémové (užitečné) a nesystémové (neužitečné, parazitní) složky; Øposouzení okamžitého stavu generujícího objektu – monitorování; Øodhad hodnot mimo známý interval; Ø…. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÉ ŘADY – CO S NIMI? þať se snažíme o co chceme, zpravidla se nevyhneme potřebě znát její matematický model þ þchceme-li jej zkonstruovat, tak nejdříve potřebujeme znát vlastnosti časové řady (analýza) a potom přikročit k návrhu (syntéza) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ANALÝZA ČASOVÉ ŘADY þ! nestacionarita ! ètrend ècyklická složka - ? multiplikativní model ? •počet pasažérů letecké společnosti levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ANALYZOVANÉ VELIČINY þprimární oblast popisu (prostor definovaný původními nezávislými proměnnými)– čas, prostorové souřadnice, pořadí þsekundární oblast popisu – výsledkem transformace (zobrazení) z primární oblasti – vytváříme obraz (latinsky spectrum) původní veličiny levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FREKVENČNÍ SPEKTRUM þ Frekvenční spektrum signálu je vyjádření rozložení amplitud a počátečních fází jednotlivých harmonických složek, ze kterých se signál skládá, v závislosti na frekvenci. þ þ! ZAPAMATOVAT NA VĚKY ! C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÁ ŘADA þna vlastnosti popisu časové řady v sekundární oblasti má vliv: èvlastnosti časové řady v primární oblasti; ètransformační vztah levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÁ ŘADA þna vlastnosti popisu časové řady v sekundární oblasti má vliv: èvlastnosti časové řady v primární oblasti; ètransformační vztah þ (je paráda, když je lineární!) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ČASOVÁ ŘADA þna vlastnosti popisu časové řady v sekundární oblasti má vliv: èvlastnosti časové řady v primární oblasti; ètransformační vztah þ (je paráda, když je lineární!) þCo to je, když je lineární? levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz INTEGRÁLNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE þJe-li jádro transformace a(f,t)=e-j2pft, resp., , pak realizujeme rozklad signálu na jeho harmonické složky þß þfourierovské spektrum spojitý funkce časová řada (diskrétní signál) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM þjeho výpočet závisí na vlastnostech primárního popisu časové řady levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ þ! URČITĚ SI ZAPAMATOVAT ! þ þspojitá periodická funkce má diskrétní frekvenční spektrum – pro rozklad jsme použili Fourierovu řadu; þspojitá jednorázová funkce má spojité frekvenční spektrum– pro rozklad jsme použili Fourierovu transformaci. þ þ! A VĚDĚT PROČ ! C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ þ! URČITĚ SI ZAPAMATOVAT ! þ þ(diskrétní) periodická posloupnost má diskrétní frekvenční spektrum – diskrétní Fourierova řada (transformace); þ(diskrétní) neperiodická v čase nekonečná posloupnost má spojité frekvenční spektrum – Fourierova transformace s diskrétním časem; þ(diskrétní) neperiodická v čase konečná posloupnost má diskrétní frekvenční spektrum – diskrétní Fourierova transformace; þa ve všech těchto diskrétních případech je spektrum periodické þ! A VĚDĚT PROČ ! C:\Program Files\Microsoft Office\MEDIA\CAGCAT10\j0299125.wmf FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DFT w1 = 2Ω = 4p/NTVZ • DFTr.bmp levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DFT w1 = 2,5Ω = 5p/NTVZ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þJAKÉ MÁME NÁSTROJE K JEHO VÝPOČTU? þ FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þJAKÉ ZNÁME NÁSTROJE K JEHO VÝPOČTU? þ þFourierova řada þFourierova transformace þdiskrétní Fourierova řada þFourierova transformace s diskrétním časem þdiskrétní Fourierova transformace FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PRO JISTOTU þJaký je definiční vztah diskrétní Fourierovy transformace? þ þa) b) þ þ þ þc) d) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þkaždou periodickou funkci x(t+kT)=x(t), (která vyhovuje Dirichletovým podmínkám), můžeme rozložit ve Fourierovu řadu •kde cn jsou komplexní Fourierovy koeficienty •Ω – úhlový kmitočet základní harmonické složky (základní harmonická); FOURIEROVA ŘADA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVA TRANSFORMACE •Fourierova transformace •Funkci X(ω) nazveme spektrální funkcí signálu. Ta už nevyjadřuje skutečné zastoupení jednotlivých harmonických složek signálu, nýbrž jen jejich poměrné zastoupení. Pro časovou funkci můžeme psát vztah •zpětná Fourierova transformace levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ FOURIEROVA ŘADA þnechť x(nTvz) je periodický posloupnost s periodou NTvz; pak x(nTvz) lze rozložit pomocí komplexní exponenciální Fourierovy řady þ þ kde levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVA TRANSFORMACE S DISKRÉTNÍM ČASEM •kde ω je pro N→¥ spojitá (nediskrétní) veličina. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FOURIEROVSKÉ SPEKTRUM þjeho výpočet závisí na vlastnostech primárního popisu časové řady: þčasová řada- 1) periodická þ 2) neperiodická qs konečnou energií; qs nekonečnou energií levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ENERGIE þokamžitá práce vykonaná na odporu R: þ A(t) = u(t).i(t) þpodle Ohmova zákona: þ U = R.I, þ a tedy můžeme po dosazení psát þA(t) = R.i(t) . i(t) = R.i2(t) = u(t). u(t)/R = u2(t)/R. þ Když je R = 1 Ω je þA(t) = i2(t) = u2(t) þ a celková práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za čas T na jednotkovém odporu je þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ENERGIE þz té úvahy energie spojitého signálu s(t) þ þ þenergie diskrétního signálu levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VÝKON þvýkon je práce (energie) vykonaná (spotřebovaná) za časovou jednotku, tj. þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KORELAČNÍ FUNKCE þvzájemná či křížová korelační funkce (cross-correlation function) dvou periodických signálů (funkcí) o téže periodě T je definována þ þ þpopisuje podobnost průběhů obou signálů v závislosti na jejich posunutí þje periodická s periodou T levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOKORELAČNÍ FUNKCE þvýpočet korelační funkce má smysl i v případě, že jsou oba signály totožné – autokorelační funkce þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz AUTOKORELAČNÍ FUNKCE þvypočtená autokorelační funkce je: èsudá; èje-li funkce periodická s periodou T, je periodická s toutéž periodou i její autokorelační funkce; èR(0) je rovno kvadrátu efektivní hodnoty signálu; è"tÎR: R(0) ³ R(t). þtyto čtyři vlastnosti mají autokorelační funkce všech periodických signálů. è levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KORELAČNÍ FUNKCE NÁHODNÝCH PROCESŮ þkorelační funkce R(t1,t2) je mírou souvztažnosti mezi hodnotami náhodného procesu v okamžiku t1 a hodnotami náhodného procesu v okamžiku t2. Může být spočítána pomocí vztahu þ þ þkovarianční funkce (covariance function) K(t1,t2) je mírou souvztažnosti mezi odchylkami náhodného procesu v okamžiku t1 od m(t1) a odchylkami náhodného procesu v okamžiku t2 od m(t2). Může být spočítána pomocí vztahu levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þtyto poměrně obecné vztahy se mohou zjednodušit, pokud se zjednoduší vlastnosti náhodných procesů þß þ þstacionarita þ þergodicita KORELAČNÍ FUNKCE NÁHODNÝCH PROCESŮ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU þzhruba: þstacionární náhodný proces (stationary random process) je proces s v čase stálým chováním 001.jpg 002.jpg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þpřesněji: þstacionární náhodný proces je takový proces, jehož libovolné statistické charakteristiky nejsou závislé na poloze počátku časové osy (nezávisí na absolutních hodnotách času, jen na délkách časových intervalů mezi okamžiky t1 a t2) þ v tom případě, tj. s t = t2 – t1, můžeme funkce p(x1,x2,t1,t2), R(t1,t2) a K(t1,t2) nahradit funkcemi p(x1,x2,t), R(t) a K(t) þstacionarita þv užším slova smyslu þv širším slova smyslu (stálé momenty 1. a 2. řádu) þ STACIONARITA NÁHODNÉHO PROCESU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þErgodický náhodný proces (ergodic random process) se vyznačuje tím, že všechny jeho realizace mají stejné statistické vlastnosti (stejné chování) – to umožňuje odhadovat parametry náhodného procesu z jediné libovolné realizace þaritmetický průměr þ þ nebo þ þ þ Odhad bude tím věrohodnější, čím bude úsek T delší. ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdisperze þ þ þautokorelační funkce þ þ þkřížová korelační funkce mezi dvěma vzájemně ergodickými procesy ξ(t) a η(t) s realizacemi x(t) a y(t) ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þkřížová korelační funkce mezi dvěma vzájemně ergodickými procesy ξ(t) a η(t) s realizacemi x(t) a y(t) þ þ þpro diskrétní případ ERGODICITA NÁHODNÉHO PROCESU