logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
holcik@iba.muni.cz

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
II.
PRINCIPY TOHO, JAK NA TO

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ZÁVĚRY Z MINULA
þčasová řada = systematická (deterministická)
þ složka +
þ+ nesystematická (nedeterministická,
þ náhodná) složka
þ(koncept Hermana Wolda (1938) - A Study in the Analysis of Stationary Time Series)
þß
þnení konečná energie
þß
þneexistuje Fourierův integrál
þß
þvýkonový koncept
þspektrální hustota výkonu –
þpower spectral density (PSD)
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
HERMAN OLE ANDREAS WOLD
þ* 25.12.1908 – Skien, Norsko
þV16.2. 1992 – Gothenburg, Švédsko
þoblasti zájmů: matematická ekonomie, ekonometrie, statistika, analýza časových řad
http://www.umetrics.com/Content/Images/Methods/HermanWold.jpg
školitel: Harald Cramér
na čem se podepsal: Cramérův-Woldův teorém, Woldova dekompozice časových řad, metoda parciálních
nejmenších čtverců; teorie užitku, teorie spotřebitelské poptávky

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SPOJITÝ SIGNÁL
þFourierova transformace
þ
þ
þ
• Parsevalova věta
•spektrální hustota energie

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SPEKTRÁLNÍ HUSTOTA ENERGIE (VÝKONU)
SPOJITÝ PŘÍPAD
•autokorelační funkce funkce xa(t)
•obě funkce tvoří Fourierovský pár

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ POSLOUPNOST
x(nTvz), definovaná na nekonečném intervalu
nÎá-¥;¥ñ; je frekvenčně omezená na pásmo o šířce ±B Þ vzorkovací frekvence F = 1/Tvz > 2B
x(nTvz) = xa(nTvz) = ? x(n)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ENERGIE
þenergie spojitého signálu s(t)
þ
þ
þenergie diskrétního signálu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ENERGIE
þenergie spojitého signálu s(t)
þ
þ
þenergie diskrétního signálu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
•Vztah spektra analogového a diskrétního signálu:
DISKRÉTNÍ POSLOUPNOST
•Spektrální vyjádření diskrétního signálu
•spektrální periodicita

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
DISKRÉTNÍ POSLOUPNOST

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
REKONSTRUKCE SPOJITÉ FUNKCE
þ
þpředpokládejme, že je

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
REKONSTRUKCE SPOJITÉ FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
REKONSTRUKCE FUNKCE

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
RAYLEIGHOVA VĚTA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
JOHN WILLIAM STRUTT, 3. BARON RAYLEIGH
þAn Unerring Leader in the Natural Knowledge
þ
þ* 12. 11.1842, Maldon, Essex, U.K.
þV 30.6.1919, Witham, Essex, U.K.
þ
þoblasti zájmu: fyzikální chemie, akustika, optický a elektromagnetický rozptyl světla,povrchové
vlny; psychologie - telekineze
na čem se podepsal: spolu s Williamem Ramsayem objevitel argonu (Nobelova cena 1904) a dalších
vzácných plynů;
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/ca/Diving_grebe.jpg/220px-Diving_grebe.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz


levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
WIENER-KHINCHINOVA VĚTA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
NORBERT WIENER
þ* 26.11. 1894 - Columbia, Missouri,USA
V 18.3.1964 - Stockholm, Švédsko
þ1906 – graduoval na střední škole, 1909 - BA v matematice; poté rok zoologie na Harvardu, od 1910
– filosofie na Cornell Uni; 1912 – PhD na Harvardu – disertace na téma matematická logika
þprofesor matematiky na MIT
þzakladatel kybernetiky (?)
þCybernetics: Or Control and Communication in the Animal and the Machine. Paris, (Hermann & Cie) &
Camb. Mass. (MIT Press) 1948
þdoktorandi : Amar Bose, Colin Cherry, Shikao Ikehara, Norman Levinson
þWienerova rovnice – popis Brownova pohybu
þWienerův optimální filtr, …
þ
http://www.norbertwiener.umd.edu/NW/photos/wiener-norbert.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
АЛЕКСАНДР ЯКОВЛЕВИЧ ХИНЧИН
þ* 7.(19.)7.1894, село Кондрово, Медынский уезд, Калужская губерния, Россия
þV 18.7.1959, Москва, ССС�
þzájmy: teorie pravděpodobnosti, statistika, teorie funkcí reálné proměnné, teorie čísel, limitní
věty, řetězové zlomky, …
þ
http://apprendre-math.info/history/photos/Khinchin_4.jpeg
na čem se podepsal:
Pollaczekova-Chinčinova formule (teorie fronty),Wienerův-Chinčinův teorém, Chinčinova nerovnost
(statistika, komplexní čísla), Chinčinova-Lévyho konstanta (konvergence řetězových zlomků),
Chinčinova věta o diofantických aproximacích (aproximace reálných čísel pomocí racionálních čísel)
Order of Lenin type1.jpg
•ocenění: 1939 – člen korespondent AV SSSR;
•1941 – Stalinova cena, ? - Leninova cena

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
WIENER-KHINCHINOVA VĚTA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
WIENEROVA-KHINCHINOVA VĚTA

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þz toho plyne, že spektrální hustotu energie neperiodické posloupnosti s konečnou energií lze
spočítat dvěma způsoby:
èpřímá metoda:
è Sxx(f) = |X(f)|2 = |Tvz.Σx(nTvz).exp(-2πjfnTvz)|2
è
ènepřímá metoda:
è 1) Rxx(mTvz) = Tvz. Σx(nTvz). x(nTvz+mTvz);
è 2) Sxx(f) = ΣRxx(mTvz).exp(-2πjfmTvz)
POSLOUPNOST S KONEČNOU ENERGIÍ - SHRNUTÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þPRAXE
þposloupnost konečné délky = tj. násobení posloupnosti obdélníkovým oknem, takže počítáme spektrum
posloupnosti
þ
þ ve frekvenční oblasti
POSLOUPNOST S KONEČNOU ENERGIÍ - SHRNUTÍ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þKonvoluce funkce W(f) s X(f) vyhlazuje spektrum X(f) za předpokladu, že W(f) je relativně úzké ve
srovnání s X(f) Þ okno w(nTvz) musí být dostatečně dlouhé
þ
POSLOUPNOST S KONEČNOU ENERGIÍ - SHRNUTÍ
skenování0007.jpg
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f6/Spectral_leakage_from_a_sinusoid_and_rectangular
_window.png
Problémy:
Øpostranní laloky
Ørozlišení dvou frekvenčních
pásem

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FREKVENČNÍ OKNA
•kde I0(•) je modifikovaná Besselova funkce 0. řádu 1. druhu; ωa je šířka hlavního laloku
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/Window_function_and_frequency_response_-_B
lackman.svg/512px-Window_function_and_frequency_response_-_Blackman.svg.png

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FREKVENČNÍ OKNA
skenování0011.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
FREKVENČNÍ OKNA
skenování0012.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
VYHLAZOVÁNÍ OKNEM
skenování0001.jpg skenování0002.jpg
•spektrální konvoluce obdélníkového okna (spektrum)
•X(f) = 1 pro |f| £ 0,1;
•X(f) = 0 pro |f| > 0,1;
•Blackmanova okna
•N = 61
•obrazu obdélníka (N=61) a …

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL S KONEČNOU ENERGIÍ - PŘÍKLADY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL S KONEČNOU ENERGIÍ - PŘÍKLADY

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SIGNÁL S KONEČNOU ENERGIÍ - PŘÍKLADY
skenování0010.jpg