logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz II. PRINCIPY TOHO, JAK NA TO? POKRAČOVÁNÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þVÝKONOVÝ EXKURZ: þstřední výkon periodického signálu: þ þ þ þneperiodický signál je takový periodický signál, jehož perioda T0 ® ¥ þstřední výkon neperiodického signálu þ þ þ þje-li E< ¥, pak P ® 0 (nezajímavé); þ E> ¥, pak P=lim ¥/ ¥ = KÎá0, ¥) ! þ = ® ¥ NEPERIODICKÁ VELIČINA S NEKONEČNOU ENERGIÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þspektrální hustota výkonu: þ þ þWiener-Khinchinovy vztahy: þ þ þ þ kde þ þ þ þAKF náhodných stacionárních ergodických procesů NEPERIODICKÁ VELIČINA S NEKONEČNOU ENERGIÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þodhad pouze z konečného intervalu þ þ þodhad spektrální hustoty výkonu ze signálu v konečném intervalu þ þ þ NEPERIODICKÁ VELIČINA S NEKONEČNOU ENERGIÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ODHADOVÝ EXKURZ þodhad parametru je závislý na volbě úseku analyzované veličiny; þprotože je výběr intervalu náhodný, je i odhad parametru náhodnou veličinou; þzákladní (požadované) vlastnosti odhadů: ènestrannost – záruka, že v průměru se bude odhad pohybovat kolem správné hodnoty parametru èasymptoticky nestranný odhad è èkonzistence – čím delší bude zkoumaný interval, tím více se bude odhad blížit neznámé hodnotě è levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þDISKRÉTNÍ POSLOUPNOST èvzorkováním veličiny xa(t) vzorkovací frekvencí è F > 2fmax; èvýsledná posloupnost x(nT) má N hodnot è (0 £ n £ N-1) NEPERIODICKÁ VELIČINA S NEKONEČNOU ENERGIÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz èodhad spektrální hustoty výkonu z konečné posloupnosti (nepřímá metoda) è è è èodhady AK posloupnosti: NEPERIODICKÁ VELIČINA S NEKONEČNOU ENERGIÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz èodhad spektrální hustoty výkonu z konečné posloupnosti (nepřímá metoda) è è è èodhady AK posloupnosti: NEPERIODICKÁ VELIČINA S NEKONEČNOU ENERGIÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KORELACE - OPAKOVÁNÍ • • • • • • • • • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ODHADY AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTI þad1) střední hodnota þ þ þ þ þ þ þrozptyl [Jenkins, G.M., Watts,D.G.: Spectral Analysis & Its Application, Holden-Day, 1968] •takhle je definovaná AKF stacionárního diskrétního náhodného procesu •tzn. je nestranný odhad levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ODHADY AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTI þad1) pokračování þ þProtože a þje odhad konzistentní þ þpro velké hodnoty m má odhad velký rozptyl þ þ þ þ þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ODHADY AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTI þad2) střední hodnota þ þ þ þ þ þ þ je asymptoticky nestranný odhad levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ODHADY AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTI þad2) rozptyl þ þ þje to menší než pro þ þ þ þa tak je také konzistentní levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz KRUHOVÁ DISKRÉTNÍ KORELACE - OPAKOVÁNÍ - • levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz DISKRÉTNÍ KORELACE - OPAKOVÁNÍ PŘÍKLAD ZE ŽIVOTA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdosadíme-li do vztahu pro výpočet odhadu spektrální hustoty výkonu za podle 2), dostaneme þperiodogram (Schuster 1898) (přímá metoda) NEPERIODICKÝ SIGNÁL S NEKONEČNOU ENERGIÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SIR FRANZ ARTHUR FRIEDRICH SCHUSTER þ*12.9.1851 Frankfurt n.M., Německo þV17.10.1934, Berkshire, Anglie þoblasti zájmu: spektroskopie, elektrochemie, optika, X- radiografie, fyzikální aplikace harmonické analýzy; zavedl koncept antihmoty (1898) http://www.cas.manchester.ac.uk/images/photos/instruments/300/ww_Schuster.jpg spolupracovníci: Gustav Kirchhoff, Herman von Helmholz, James Clerk Maxwell, 3. baron Rayleigh (John William Strutt), Ernest Rutherford X-Ray of the bullet in Mrs Hartley's cranial cavity •postřelení Elizabeth Ann Hartleyové, duben 1896 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SIR FRANZ ARTHUR FRIEDRICH SCHUSTER þ*12.9.1851 Frankfurt n.M., Německo þV17.10.1934, Berkshire, Anglie þoblasti zájmu: spektroskopie, elektrochemie, optika, X- radiografie, fyzikální aplikace harmonické analýzy; zavedl koncept antihmoty (1898) http://www.cas.manchester.ac.uk/images/photos/instruments/300/ww_Schuster.jpg spolupracovníci: Gustav Kirchhoff, Herman von Helmholz, James Clerk Maxwell, 3. baron Rayleigh (John William Strutt), Ernest Rutherford „If your experiment needs statistics, you ought to have done a better experiment.“ X-Ray of the bullet in Mrs Hartley's cranial cavity •postřelení Elizabeth Ann Hartleyové, duben 1896 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PERIODOGRAM þstřední hodnota: þ þ þ þ þstřední hodnota periodogramu je dána diskrétní Fourierovou transformací skutečné autokorelační funkce váhované trojúhelníkovým Bartlettovým oknem þBartlettovo okno: þ þ þ þ þ þ þΓxx(f) … skutečná spektrální hustota výkonu þWB(f) … spektrum Bartlettova okna levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PERIODOGRAM •spektrální konvoluce •obdélníkového okna (ve spektrum) •X(f) = 1 pro |f| £ 0,1; •X(f) = 0 pro |f| > 0,1; •Blackmanova okna •N = 61 •a obrazu obdélníka (N=61) … levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz FREKVENČNÍ OKNA skenování0011.jpg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PERIODOGRAM þstřední hodnota periodogramu je vyhlazenou verzí skutečného spektra (pozor na znehodnocení spektra postranními laloky WB(f) þ þ þasymptoticky nestranný odhad þ þrozptyl obecně nekonverguje k nule při N®¥ þpro normální rozložení þ þ þnekonzistentní odhad levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PERIODOGRAM þdosadíme-li do vztahu pro výpočet odhadu spektrální hustoty výkonu za odhad s proměnnou vahou, je střední hodnota þ þ þstřední hodnota je dána DFT skutečné autokorelační funkce váhované obdélníkovým oknem logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz III. NEPARAMETRICKÉ METODY ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz NEPARAMETRICKÉ METODY ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA þnekladou žádné požadavky na znalosti vlastností signálu; þvšechny uvedené metody vycházejí z konečné posloupnosti vzorků þÞ frekvenční rozlišovací schopnost je při nejlepším určena spektrální šířkou obdélníkového okna þ (všechny metody však snižují frekvenční rozlišení díky snaze o snížení rozptylu spektrálního odhadu) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz BARTLETOVA METODA þrozdělení posloupnosti N vzorků na K nepřekrývajících se segmentů, každý o délce M þxi(nTvz) = x(nTvz+iMTvz), i=0, 1, …, K-1; n=0,1,…,M-1 þpro každý segment se spočítá periodogram þ þ þzprůměrněním periodogramů ze všech K segmentů dostaneme odhad výkonového spektra levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ? þA jak to bude s rozlišovací schopností? þ a)zůstane stejná; b)zvětší se; c)zmenší se. levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STATISTICKÉ VLASTNOSTI BARTLETTOVA ODHADU þstřední hodnota þ þ þ pro jednotlivé periodogramy þ þ þ þ þomezení délky signálové posloupnosti z N vzorků na M=N/K vzorků způsobí váhování oknem, jehož spektrální šířka vzroste K-krát; tím se též sníží K-krát frekvenční rozlišovací schopnost levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STATISTICKÉ VLASTNOSTI BARTLETTOVA ODHADU þrozptyl þ þ þ rozptyl se sníží K-krát levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þdvě modifikace Bartletovy metody þpřekrývání segmentů þxi(nTvz) = x(nTvz+iDTvz), þi=0, 1, …, K-1 (počet segmentů); þn=0,1,…,M-1 (počet vzorků v segmentu) þD je posun okna; L je počet segmentů þpro D=M se segmenty nepřekrývají (dělení odpovídá B.m.) Welch WELCHOVA METODA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þváhování vzorků v každém segmentu oknem před výpočtem periodogramů þ þ þ kde U je výkonový normalizační faktor okna daný vztahem þU = Σw2(nTvz)/M þ þnormalizační faktor U zajišťuje jednotkovou plochu vymezenou tvarem okna ve spektrální oblasti þ þ þWelchův odhad výkonového spektra þ WELCHOVA METODA levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STATISTICKÉ VLASTNOSTI WELCHOVA ODHADU þstřední hodnota: þ þstřední hodnota modifikovaného dílčího periodogramu: þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz STATISTICKÉ VLASTNOSTI WELCHOVA ODHADU þrozptyl þ þ þsegmenty bez překrývání (L = K) þ þ þ þ þsegmenty s 50% překrytím a Bartlettovým (trojúhelníkovým) oknem (L = 2K) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz BLACKMANOVA-TUKEYHO METODA VYHLAZENÍ PERIODOGRAMU þnepřímá metoda – přes výpočet odhadu autokorelační funkce þvýpočet odhadu autokorelační funkce þváhování odhadu autokorelační funkce oknem þ w(mTvz)¹0 pro –M+1£m£M-1; w(mTvz)=0 pro |m|³M þ váhování autokorelační funkce oknem ® vyhlazení periodogramu; sníží se rozptyl, omezí se frekvenční rozlišovací schopnost þvýpočet Fourierovy transformace váhovaného odhadu autokorelační funkce – váhování snižuje vliv odhadu autokorelační funkce počítaného pro malé hodnoty (N-m)Tvz, tj. velký posun m levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þBlackmanův-Tukeyův odhad þ þ þ þ þ þve frekvenční oblasti þ þ þVáhování AKF oknem Þ vyhlazení periodogramu – sníží se rozptyl, omezí se rozlišovací schopnost BLACKMANOVA-TUKEYHO METODA VYHLAZENÍ PERIODOGRAMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þpožadavky na okna: èsudá funkce (symetrická kolem m=0) … odhad výkonového spektra bude reálná funkce èW(f) ³ 0 pro |f| £ F/2 Þ odhad výkonové spektrální funkce bude nezáporný pro |f| £ F/2 BLACKMANOVA-TUKEYHO METODA VYHLAZENÍ PERIODOGRAMU levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz BLACKMANOVA-TUKEYHO METODA STATISTICKÉ VLASTNOSTI ODHADU þstřední hodnota þ þ þ þ þ þ þv časové oblasti: þ þ þ þ þkde wB(mTvz) je Bartlettovo okno levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz BLACKMANOVA-TUKEYHO METODA STATISTICKÉ VLASTNOSTI ODHADU þpokud M<