logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VI. SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA POMOCÍ METODY VLASTNÍCH ČÍSEL levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZAČÍNÁME þAR(p) proces znehodnocený aditivním bílým šumem º ARMA(p,p) proces; þteď bude … periodický signál + bílý šum þx(nTvz) = 2.cos(2πfkTvz).x(nTvz-Tvz) – x(nTvz-2Tvz) þtento systém generuje posloupnost þx(nTvz) = 2.cos(2πfknTvz) pro n ≥ 0 þpokud jsou počáteční podmínky x(-1)=-1 a x(-2)=0 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZAČÍNÁME þobecně, posloupnost skládající se z p harmonických složek splňuje diferenční rovnici þ þ ([) þ þcož odpovídá systému s přenosovou funkcí þ þ (N) þ þ þ(Polynom A(z)=1+∑amz-m má 2p kořenů na jednotkovém kruhu v místech, která odpovídají frekvencím harmonické posloupnosti.) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PRINCIP þpřepokládejme periodický posloupnost + bílý šum w(nT) {E(|w(nTvz)2|)=σw2} þy(nTvz) = x(nTvz) + w(nTvz) þpo dosazení za x(nT) z tohoto vztahu do ([) máme þ þ þ þ þcož představuje ARMA proces s identickými AR i MA parametry þyT.a = wT.a (õ) þyT =[y(nTvz), y(nTvz-Tvz),…,y(nTvz-2pTvz)], þwT =[w(nTvz),w(nTvz-Tvz),…,w(nTvz-2pTvz)], þaT =[1, a1,…, a2p-1,a2p], þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PRINCIP þvynásobením obou stran (õ) vektorem y a určením střední hodnoty þE(y.yT).a = E(y.wT).a = E((x+w).wT).a þΓyy.a = 0 + σw2.a þ (Γyy – σw2.I).a = 0 … vlastní (charakteristická) rovnice þσw2 je vlastní číslo autokorelační matice Γyy; þa je vlastní vektor Γyy spojený s vlastním číslem σw2; levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz PISARENKOVA HARMONICKÁ DEKOMPOZICE þMějme p náhodně fázově posunutých harmonických posloupností s aditivním bílým šumem. þHodnoty autokorelační funkce jsou þ þ þ je þ průměrný výkon i-té sinusovky, Ai je její amplituda levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þmaticově þ þ þ þ þznáme-li frekvence fi, 1≤i≤p, můžeme spočítat výkon jednotlivých harmonických složek, místo hodnot gyy(mTvz) použijeme odhady ryy(mTvz), známe-li výkony, určíme rozptyl šumu þ PISARENKOVA HARMONICKÁ DEKOMPOZICE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þpodle Pisarenka platí pro ARMA proces obsahující p harmonických složek v aditivním bílém šumu, že rozptyl σw2 odpovídá minimálnímu vlastnímu číslu autokorelační matice, pokud je rozměr autokorelační matice větší nebo roven þ(2p+1) x (2p+1). þPotom požadovaný vektor koeficientů ARMA modelu je dán vlastním vektorem náležejícím minimálnímu vlastnímu číslu. þFrekvence fi, i=1,…,p se určí řešením rovnice, dané položením jmenovatele ve vztahu (N) rovno nule, kde koeficienty am jsou určeny vlastním vektorem spojeným s minimálním vlastním číslem. þ PISARENKOVA HARMONICKÁ DEKOMPOZICE levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz VLADIMIR FEDOROVICH PISARENKO þ? þPh.D. þMoskevská státní univerzita 1963 þdisertační práce: þMatematická klasifikace objektů þobor: Teorie pravděpodobnosti a stochastické procesy þškolitel: Roland Lvovich Dobrushin Vladimer •Pisarenko, V. F. The retrieval of harmonics from a covariance function Geophysics, J. Roy. Astron. Soc., vol. 33, pp. 347-366, 1973. View works by V. F Pisarenko 1960 - 1960 View works by V. F Pisarenko 1961 - 1961 View works by V. F Pisarenko 1962 - 1962 View works by V. F Pisarenko 1963 - 1963 View works by V. F Pisarenko 1964 - 1964 View works by V. F Pisarenko 1965 - 1965 View works by V. F Pisarenko 1966 - 1966 View works by V. F Pisarenko 1967 - 1967 View works by V. F Pisarenko 1968 - 1968 on View works by V. F Pisarenko 1970 - 1970 View works by V. F Pisarenko 1971 - 1971 View works by V. F Pisarenko 1972 - 1972 View works by V. F Pisarenko 1973 - 1973 View works by V. F Pisarenko 1974 - 1974 View works by V. F Pisarenko 1975 - 1975 View works by V. F Pisarenko 1976 - 1976 View works by V. F Pisarenko 1977 - 1977 View works by V. F Pisarenko 1978 - 1978 View works by V. F Pisarenko 1979 - 1979 View works by V. F Pisarenko 1980 - 1980 on View works by V. F Pisarenko 1982 - 1982 View works by V. F Pisarenko 1983 - 1983 View works by V. F Pisarenko 1984 - 1984 on on on on on View works by V. F Pisarenko 1990 - 1990 on View works by V. F Pisarenko 1992 - 1992 View works by V. F Pisarenko 1993 - 1993 on View works by V. F Pisarenko 1995 - 1995 View works by V. F Pisarenko 1996 - 1996 View works by V. F Pisarenko 1997 - 1997 View works by V. F Pisarenko 1998 - 1998 View works by V. F Pisarenko 1999 - 1999 View works by V. F Pisarenko 2000 - 2000 View works by V. F Pisarenko 2001 - 2001 View works by V. F Pisarenko 2002 - 2002 View works by V. F Pisarenko 2003 - 2003 View works by V. F Pisarenko 2004 - 2004 View works by V. F Pisarenko 2005 - 2005 View works by V. F Pisarenko 2006 - 2006 on View works by V. F Pisarenko 2008 - 2008 View works by V. F Pisarenko 2009 - 2009 on View works by V. F Pisarenko 2011 - 2011 View works by V. F Pisarenko 2012 - 2012 View works by V. F Pisarenko 2013 - 2013 View works by V. F Pisarenko 2014 - 2014 View works by V. F Pisarenko 2015 - 2015 View works by V. F Pisarenko 2016 - 2016 View works by V. F Pisarenko 2017 - 2017 View works by V. F Pisarenko 2018 - 2018 View works by V. F Pisarenko 2019 - 2019 View works by V. F Pisarenko 2020 - 2020 levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þPředpokládejme hodnoty AKF gyy(0)=3, gyy(1)=1 a gyy(2)=0. Proces obsahuje jeden harmonickou posloupnost v bílém šumu. Určete její frekvenci, výkon a rozptyl, tj. výkon šumu. þŘešení: þautokorelační matice je PISARENKOVA HARMONICKÁ DEKOMPOZICE PŘÍKLAD levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þjejí minimální vlastní číslo je rovno nejmenšímu kořenu charakteristického polynomu þ þ þ þl1 = 3, l2 = 3+Ö2, l3 = 3-Ö2 Þ sw2 = lmin = 3-Ö2 þodpovídající charakteristický vektor má složky a0=1, a1, a2, pro které platí þ PISARENKOVA HARMONICKÁ DEKOMPOZICE PŘÍKLAD levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þřešením získáme a1 = -Ö2 a a2 = 1 þz2 - Ö2 + 1 = 0 þ þ tj. leží na jednotkové kružnici þ þ þvýkon P1.cos(2пf1Tvz) = gyy(1)=1 Þ P1 = Ö2, þproto þ þkontrola: sw2 = gyy(0) - P1 = 3-Ö2, což souhlasí s lmin. PISARENKOVA HARMONICKÁ DEKOMPOZICE PŘÍKLAD levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þzbývá určit frekvence fi, 1≤i≤p, - to vyžaduje znalost vlastního vektoru a pro vlastní číslo sw2; þprotože jsme si již uvedli, že: þpro ARMA proces skládající se z p sinusovek v aditivním bílém šumu je rozptyl sw2 roven nejmenšímu vlastnímu číslu matice Γyy za předpokladu, že rozměr Γyy ≥ (2p+1)´(2p+1) þpožadovaný vektor koeficientů ARMA systému je dán hodnotami vlastního vektoru odpovídajícímu nejmenšímu vlastnímu číslu – frekvence fi, 1≤i≤p, pak odpovídají kořenům polynomu, jehož koeficienty PISARENKOVA HARMONICKÁ DEKOMPOZICE PŘÍKLAD levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz skenování0004.jpg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ þ þ þ þ þ þ þ þVÍC UŽ TOHO NEBUDE