Mathématiques

Claire Voisin, la conquête de l’algébrique

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Cours au Collège de France en octobre 2016. Claire Voisin y est titulaire de la chaire de géométrie
algébrique depuis le mois de juin.

13.12.2016, par Louise Mussat


Déjà titulaire de prix prestigieux, Claire Voisin a reçu le 14 décembre la médaille d’or 2016 du
CNRS, la plus haute distinction scientifique française, pour ses travaux en géométrie algébrique
complexe. Portrait d’une artiste des maths.

Spécialiste de géométrie algébrique, directrice de recherche au CNRS à l’Institut de mathématiques
de Jussieu jusqu’en juin dernier, désormais professeur au Collège de France, Claire Voisin, 54 ans,
pourrait philosopher sur son métier pendant des heures. D’ailleurs, c’est avec la philo qu’elle a
d’abord accroché au lycée. À l ‘époque, la poésie occupe aussi son esprit. Les maths, en revanche,
n’ont pas d’emblée obtenu ses faveurs même si cela viendra assez vite.

À force de chercher, en compagnie de son père polytechnicien, les mille implications des théorèmes
de base de la géométrie plane, tels ceux de Thalès ou Pythagore, à force de dévorer, dès l’âge de
15 ans, des livres de maths « qui traînaient à la maison ». Le chômage soudain du père de famille
lui vaut de recevoir une bourse d’État pour poursuivre ses études. Après deux années de classes
préparatoires, où les mathématiques deviennent enfin assez intrigantes à son goût, elle entre Ã
l’ENS en 1981, à 19 ans. « J’avais un salaire, c’était formidable ! Ce salaire, je l’ai pris comme
un message qui signifiait : on est content que vous fassiez des études, profitez-en ! »



Réconcilier l’algèbre et la géométrie

Agrégée de mathématiques dès 1983, elle soutient sa thèse trois ans plus tard, sous la direction
d’Arnaud Beauville. Puis elle est aussitôt recrutée au CNRS. Au sein de l’institution, elle
multiplie les exploits de carrière. Elle est élue membre de l’Académie des sciences en 2010 et est
la lauréate de nombreux prix prestigieux, dont celui de la Société mathématique européenne en 1992.
L'année 2016 aura été particulièrement riche : le 14 décembre, elle reçoit ainsi la médaille d'or
du CNRS, la plus haute récompense scientifique française, quelques mois après être devenue la
première mathématicienne à entrer au Collège de France où elle occupe la chaire de géométrie
algébrique (link is external).

Tous les puissants outils théoriques que nous développons trouveront tôt ou tard une application.

Devant notre difficulté à saisir en quoi consiste exactement cette discipline de haute voltige,
elle file au tableau et dessine un grand tore qu’elle encadre d’une abscisse et d’une ordonnée. « À
première vue,  indique-t-elle, tout ce que l’on voit ici, c’est une sorte de bouée, avec un ou
plusieurs trous au milieu. Mais en mathématique, on cherche à en savoir plus : comment les courbes
tracées sur ce tore se coupent-elles ? Par quelles familles de courbes peut-on le recouvrir ?
Peut-on le déplier et le superposer sur une sphère ? Ce sont là des questions de topologie et des
outils, tels que la théorie de Morse ou la théorie de Hodge, permettent de les attaquer. Ces objets
sont aussi définis par des équations algébriques complexes et cela donne d’autres façons de les
étudier. »

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Exemple de tore à triangulation (recollement de triangles qui crée une surface) quasi aléatoire.






« Ce qui est intéressant en géométrie algébrique, ajoute François Charles, professeur Ã
l’université Paris-Sud à Orsay, ancien doctorant de Claire Voisin, c’est que l’on peut à la fois
faire de la géométrie pour comprendre des équations algébriques et faire de l’algèbre pour
comprendre des figures géométriques, il y a un va-et-vient permanent entre les deux approches. Mais
cela nous pose aussi un problème : si l’algèbre et la géométrie nous éclairent chacune à leur façon
pour comprendre un objet, nous ne parvenons pas toujours à faire le lien entre les deux, à les
réconcilier », un peu comme les physiciens ne parviennent pas à lier dans une même théorie du tout
les quatre forces fondamentales de l’Univers, qui le décrivent chacune à leur manière : la gravité
d’une part, et la force électromagnétique, la force nucléaire faible, la force nucléaire forte de
l’autre.

Une approche créative

Découvrir les arcanes de l’Univers, voilà qui parle à tout le monde ou presque. Mais disséquer
mathématiquement un tore ou une sphère… à quoi ça sert ? À la question volontairement provocante,
elle répond par un vif dithyrambe, qui laisse entrevoir toute la passion qu’elle voue aux
mathématiques. « Ce sont des mathématiciens qui, dès l’Antiquité, ont calculé le rayon de la Terre
! plaide-t-elle. Les développements de la physique ne seraient pas possibles sans les
mathématiques. C’est grâce aux mathématiques que l’on étudie la structure de l’Univers ! Tous les
puissants outils théoriques que nous développons trouveront tôt ou tard une application. »

L’un de ses résultats les plus marquants est en relation avec le théorème de Kodaira. Elle a aussi
montré l’impossibilité d’étendre la conjecture de Hodge au cadre kählérien. Elle a en outre
travaillé en géométrie projective, montrant la conjecture de Green pour les courbes génériques par
une construction inattendue et des calculs complexes. Ses travaux actuels sur les invariants
birationnels sont très remarqués et ont été discutés le 5 novembre dernier, lors du séminaire
Nicolas Bourbaki, l’une des plus célèbres « institutions » contemporaines de mathématiques.

Malheureusement, les maths sont un peu malmenées au collège et au lycée : on en fait une discipline
de sélection.

« Je ne vais pas me prendre pour une artiste, mais il est vrai qu’il faut être créatif pour faire
de bonnes mathématiques. D’ailleurs, j’ai beaucoup peint jusqu’à l’âge de 25 ans, révèle-t-elle en
montrant deux toiles de sa confection accrochées dans son salon, et puis j’ai arrêté : notre métier
monopolise beaucoup nos facultés de création ».
Quand elle était plus jeune, dès que l’un de ces problèmes se posait à elle, elle s’asseyait tout
de suite à un bout de table pour tenter de le résoudre. Aujourd’hui, cela n’est plus toujours
possible : Claire Voisin a de multiples responsabilités, des collègues, des étudiants  et... cinq
enfants, ainsi qu’une petite-fille. Alors, dans le brouhaha du quotidien, elle consigne chacune de
ses réflexions dans un petit carnet – qu’elle extirpe d’une pile de documents posés au sol – et s’y
replonge quand le calme revient.

 « Nous disposons d’institutions remarquables qui contribuent au rayonnement des mathématiques
françaises dans le monde. Malheureusement, les maths sont un peu malmenées au collège et au lycée :
on en fait une discipline de sélection, ce qui peut avoir tendance à faire émerger surtout des gens
arrogants. Il est aussi regrettable de ne transmettre aux élèves qu’une combinaison de définitions,
de propriétés, de théorèmes, qui donne une idée figée de la discipline. Je serais en faveur d’un
enseignement plus ouvert, qui donne accès à des maths qui ne soient pas faites à l’avance et pousse
les élèves à se poser d’avantage de questions. »

Vidéo : https://www.dailymotion.com/video/x553gz0_claire-voisin-la-force-de-l-abstraction_school

Sources bibliographiques et autres :

https://lejournal.cnrs.fr/dossiers/femmes-de-science