JARO 20xx x
Vzorová zkouška M2100
Skupina A
1. (0.5 bodu) Určete řešení diferenciální rovnice x2
y′
= xy + y2
splňující y(1) = −1. Určete také
maximální interval, na kterém toto řešení existuje.
2. (0.5 bodu) Určete řešení Clairautovy diferenciální rovnice y = xy′
− 1
3
(y′
)3
.
3. (0.5 bodu) Metodou neurčitých koeficientů určete obecné řešení diferenciální rovnice y′′
− y = xe−x
.
4. (0.5 bodu) V prostoru C[0, 1] spojitých funkcí určete vzdálenost funkcí f(x) =
√
x a g(x) = x2
ve
stejnoměrné metrice ρ∞ a v integrální metrice ρ1. Na obrázku vyznačte geometrický význam těchto
vzdáleností.
5. (0.5 bodu) Uvažujme zobrazení F mezi metrickým prostorem C[0, 1] spojitých funkcí na intervalu
[0, 1] se stejnoměrnou metrikou ρ∞ a metrickým prostorem E1
, které je pro f ∈ C[0, 1] zadáno
vzorcem F(f) =
1
0
f(x) dx. Rozhodněte a řádně zdůvodněte, jestli je toto zobrazení F spojité na
C[0, 1]. Dále rozhodněte, jestli je zobrazení F lipschitzovské a s jakou konstantou, případně jestli je
F kontrakce.
6. (0.5 bodu) V metrickém prostoru C∞
funkcí se spojitými derivacemi všech řádů na R mějme zobrazení
G : C∞
→ C∞
, které je pro f ∈ C∞
zadáno vzorcem G(f) = f′
. Určete všechny pevné body
tohoto zobrazení G.
7. (0.5 bodu) Určete směrovou derivaci funkce f(x, y) = x2
+ 2xy − y2
v bodě [1, 2] ve směru vektoru
u = (1, −1).
8. (0.5 bodu) Uveďte příklad funkce f(x, y), která má (vlastní) obě parciální derivace v bodě [0, 0], ale
která není v bodě [0, 0] spojitá.
9. (0.5 bodu) Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = ex2−y2
.
10. (0.5 bodu) Rozhodněte a zdůvodněte, jestli je funkce F(x, y) = (x+y) sin(x2
−y2
) diferencovatelná
v bodě [1, 1]. Pokud ano, určete její diferenciál dF(1, 1)(dx, dy).
11. (1.5 bodu) Určete obecné řešení diferenciální rovnice y′′
− y = 2
1+ex .
12. (1.5 bodu) Určete, ve kterých bodech má implicitní funkce y = y(x) zadaná rovnicí F(x, y) =
3x2
+ 2xy − y2
− 3y + x − 5
4
= 0 vodorovnou tečnu a rovnici této tečny určete. Ověřte dále, že ve
vypočtených bodech skutečně implicitní funkce existuje.
13. (2 body) Metodou Lagrangeových multiplikátorů určete vázané extrémy funkce f(x, y) = 2
x
+ 2
y
+ 2
z
na množině M dané rovnicí 1
x2 + 1
y2 + 1
z2 = 12.