Vzdálenost afinních podprostorů v euklidovském prostorů
Bud' (V, +, •) euklidovsky prostor. Připomeňme, že to znamená, že (V, +, •) je nenulový vektorový prostor konečne dimenze n nad tele-sem (R, +, •) vSech reálných čísel s pevne zadaným skalárním součinem f : V x V — R.
Pripomeňme dýle, že pro libovolný vektorový podprostor W eu-klidovskeho prostoru (V, +, •) množina vektoru
= {x G V : (Vw G W)(f (x, w) = 0)}
tvorí rovnež vektorový podprostor v euklidovskem prostoru (V, +, •) a nažýva se ortogonálný doplnek vektoroveho podprostoru W v euklidovskem prostoru (V, +, •). (Podotkneme, ačkoliv to v označený nený expličitne žačhýčeno, že ortogonýlný doplnek podprostoru W i vsečhný dalsý navazuj íčí pojmý jsou žavedený v žavislosti na žmýnňenýem pevnňe žadanýem skalýarným souňčinu f : V x V - R.)
Doplnme konečne, že dusledkem predpokladu o tom, že euklidovský prostor (V, +, •) je krome jineho nenulový vektorový prostor konečne dimenze n (nad telesem (R, +, •)), je tato skutečnost. Pro libovolný vektorový podprostor W euklidovskeho prostoru (V, +, •) je samotný euklidovský prostor (V, +, •) prímým součtem podprostoru W a jeho ortogonálního doplňku W-. Platí tedý V = W 0 W-.
V situači z predčhozýčh odstavču tedý pro každý vektor ů G V existuj ý jednoznačne určene vektorý a G W a b G takove, že ů = a + b. Vektor a se pak nazývá ortogonýlní projekče vektoru ů do vektorovýeho podprostoru W. Vektor b je pak ovňsem ortogonýalnýí projekčí vektoru ů do ortogonýlního doplňku vektoroveho podprostoru W. Pro tento vektor b bývá tez užývýn název komponenta vektoru ů vzhledem k vektorovemu podprostoru W. Pripomeňme, že pro vektorý a a b platý b = ů — a. Je tedý možno ortogonální' projekči vektoru ů do vektoroveho podprostoru W čharakterizo-vat tez jako vektor a splňujíčí podmínký a G W a ů — a G W-. Tato čharakterizáče ortogonýlný projekče je zvlýst' výhodná k jejýmu výýpoňčtu.
1
Buď znovu (V, +, •) euklidovský prostor, což jako doposud znamená, že (V, +, •) je nenulový vektorový prostor koneCne dimenze n nad telesem (R, +, •) vSech reálných Císel s pevne zadaným skalárním souCinem f : V x V — R. Pripomeňme, že pro libovolný vektor x G V se pak Císlo ||x|| = \J f (x, x) nazýva norma vektoru x v euklidovskem prostoru (V, +, •). (Znovu poznamenejme, ze aCkoliv to v oznaCení ||x|| není explicitne zachyceno, norma ||x|| vektoru x je takto zase zavedena v zývislosti na zmínenem pevne zadanýem skalaýrným souňcinu f : V x V — R.)
Necht' dale P, Q C V jsou libovolne dva afinný podprostorý eu-klidovskeho prostoru (V, +, •). Pripomeňme, ze prvký afinných pod-prostoru zpravidla znaCíme velkými latinskými písmený A, B, C,... a mluvmie o nich jako o bodech daných afinných podprostoru. Vzdý-lenost výse uvedených afinných podprostoru P, Q je pak definovana formulý
v (P, Q) = inf{ ||B - A|| : A G P, B g Q}.
Jestlize P H Q = 0, pak ovsem v (P, Q) = 0. Zajýmý nýs tedý dale pnpad, kdý PHQ = 0, tj. kdý afinný podprostorý P, Q jsou navzýjem disjunktný.
Necht' nýný C G P a D G Q jsou dva libovolne zvolene bodý uvedených dvou afinných podprostoru P, Q. Vmie, ze pak zmmena podmmka PHQ = 0 je ekvivalentný podmmce D — C G Z (P )+Z (Q), kde Z (P), Z (Q) jsou zamerený afinných podprostoru P, Q. Takze v tom pnpade Z (P) + Z (Q) je vlastný vektorový podprostor eu-klidovskeho prostoru (V, +, •), coz znamena, ze ortogonalný doplnek (Z (P) + Z (Q))-1 je nenulový vektorový podprostor euklidovskeho prostoru (V, +, •). V teto situaci pak platý
v (P, Q) = ||g||,   kde g je ortogonalný projekce vektoru D — C
do vektoroveho podprostoru (Z (P) + Z (Q))-.
Pravdivost tohoto tvrzený lze ozrejmit nasledující ývahou. OznaCme dýle h ortogonalný projekci vektoru D — C do vektoroveho podprostoru Z (P) + Z (Q). Takze pak mýme D — C = g + h. Ponevadz h G Z (P) + Z (Q), existuji' vektorý s G Z (P) a t G Z (Q) takove, ze h = s +1. Potom tedý mame D — C = g + s +1. Uvazme ným bodý
2
F = C + s a G = D — t. Pak jistě F e V, G e Q az předchozího vyjádření rozdílu D — C přímým přopoCtem vyplyne, Ze G — F = g. Je tedy vektoř g kolmý na zameření Z (V), Z (Q) obou afinních pod-přostořU V, Q a přitom spojuje dva body F, G z techto afinních pod-přostořU. Odtud je patřno, ze v (V, Q) = ||g||, jak uvedeno víse. Navíc z tohoto poznatku ohledne vektora g plyne, ze opřoti dříve uvedene definicní fořmuli vzdílenosti v (V, Q) daních dvou afinních podpřostořů V, Q přo tuto vzdílenost platí dokonce fořmule
v (V, Q) = min{||B — A|| : A e V, B e Q}.
Venujme se zaveřem případu, kdy uvedene afinní podpřostořy V, Q euklidovskeho prostora (V, +, •) jsou íplne mimobezne. To vsak znamení, ze opřoti situaci v předchozím odstavci navíc mame Z (V )flZ (Q) = {o}. V tom případe ale soucet zameření Z (V )+Z (Q) je ve skutecnosti přímym souctem Z (V) 0 Z (Q). To nm ovsem za nasledek, ze v předchozím odstavci k ořtogonalní projekci h vektora D — C do vektořoveho podprostora Z (V) 0 Z (Q) existují jedine vektořy s e Z (V) a t e Z (Q) takove, ze h = s +1. Odtud je patřno, ze body F e V, G e Q (nalezene podle vztahu F = C + s a G = D — t), kteře mají tu vlastnost, ze přo vektoř g = G — F platí v (V, Q) = ||g||, jsou v tomto případe urceny jednoznacne. Tehdy se ísecka FG nazíva přícka íplne mimobezních afinních podprostora V, Q řealizující vzdalenost techto afinních podprostora v eu-klidovskem prostora (V, +, •). Z přave provedeních ívah je take videt, ze k nalezení teto přícky FG íplne mimobeznych afinních podpřostořu V, Q řealizující jejich vzdalenost v euklidovskem prostora (V, +, •) muze bít casto pocetne víhodnejsí zacít vípoctem ořtogonaílní přojekce h vektořu D — C do vektořovíeho podpřostořu
Z(V) 0 Z(Q).
3