Kanonický tvar kvadratických forem
Nechť (U, +, •) je euklidovský prostor dimenze n, tj. vektorový prostor nad tělesem R reálných Čísel koneCne dimenze n se zadaným skalárním souCinem. Necht' a = (gi,... , gn) je zvolený ortonormýlní baze v euklidovskem prostoru (U, +, •). Mejme kvadratickou formu
F : U — R
na vektorovem prostoru (U, +, •) a uvazme symetrickou bilinearní formu
f : U x U — R
na vektorovem prostoru (U, +, •) výtvarející kvadratickou formu F tím způsobem, ze pro kazdý vektor u G U je F (u) = f (u, u). Sýmetricka bilinearní forma f s touto vlastností je kvadratickou formou F urcena jednoznacne. Bud' A matice sýmetricke bilinearní formý f v bazi a. To znamena, ze mýme A = (ciij)i=i,...,n,j=i,...,n, kde pro kazdí i, j G {1,..., n} je ccj = f (gi, gj). Je tedý A ctvercoví sýmetricka matice radu n nad R. Pro kazdí vektor u G U a jeho souradnice (u)a v bazi a zapsane do sloupce pak mame vztah
F(u) = (u£ • A • (u)a.
Bud' díle : U — U lineírní operítor na vektorovem prostoru (U, +, •) definovaní tím, ze A je jeho maticí ve víse zvolene bazi a prostoru (U, +, •), tedý takoví, ze A = Pak pro kazdý vektor u G U, jeho souradnice (u)a
v bazi a zapsane do sloupce a pro souradnice (^(u))a jeho obrazu pri lineírním zobrazení ^ rovnez v bízi a zapsane taktez do sloupce mame vztah
(^(u))a = A • (u)a.
Ponevadz ovsem matice A je sýmetricka a a je ortonormalní bíze euklidovskeho prostoru (U, +, •), je ^ : U — U samoadjungovaní operator na euklidovskem prostoru (U, +, •). Pripomeňme v teto souvislosti znovu, ze vsechna vlastní císla sýmetricke matice A rídu n nad R jsou realna a ze jejich pocet, berou-li se v potaz i jejich algebraicke nasobnosti, je roven n. Vlastní císla teto sýmetricke matice A rídu n nad R jsou ovsem príve vlastní císla víse definovaneho samoadjungovaneho operítoru ^ : U — U. Pro kazde vlastní císlo tohoto samo-adjungovaneho operatoru ^ díle platí, ze jeho algebraickí nasobnost je rovna jeho geometricke nasobnosti. Navíc vlastní vektorý príslusne ruzným vlastním císlum zmíneneho samoadjungovaneho operatoru ^ jsou navzajem ortogonílní.
Necht' tedý ..., ^k jsou vsechna vzíjemne ruzna vlastní císla víse zmínene sýmetricke matice A a necht' í1,..., ík jsou po rade jejich algebraicke nasobnosti. Necht' pro kazde i G {1,..., k} je
Ví = {u G U : p(u) = /vu}
podprostor vsech vlastních vektoru samoadjungovaneho operatoru ^ príslusných vlastnímu císlu Pak pro kazde i G {1,..., k} je ÍL dimenze uvedeneho invariantního podprostoru Vt. Navíc pak U = V1 © • • • © Vk je ortogonalní
1
součet těchto invariantních podprostorů. Vyberme pro každé t E {1,... , k} ortonormální bázi Pt = (ht1,... , ) zmíněného invariantního podprostoru Vt. Pak posloupnost vektorů
P = . . . , hi^i,. . . , hfcl,. . . , hfc4)
je ortonormální bází celého euklidovského prostoru (U, +, •) složenou z vlastních vektorů samoadjungovaneho operatoru <£. Tento operítor ^ : U —► U ma tedy v bazi P diagonílní matici, rekneme matici B, na jejíž diagonale se objevují postupne vlastní císla ... . Každe vlastní císlo kde t E {1,..., k}, se pritom objeví tolikrat, kolik je jeho algebraickí nasobnost €t.
Necht' P = (idu)a,/? je matice prechodu od bíze P k puvodní ortonormalní bazi a euklidovskeho prostoru (U, +, •). Pak P je ortogonalní matice, takže pro ni platí rovnost P-1 = PT. Mezi maticemi A a B jakozto maticemi tehoz linearního operítoru ^ na vektorovem prostoru (U, +, •) v bízích a a P pak platí vztah
B = P-1 • A • P = PT • A • P.
Druhe z techto vyjadrení matice B ovsem podle poznatku o kongruentních maticích znamena, ze B je matice shora uvedene symetricke bilinearní formy f na vektorovem prostoru (U, +, •) v bazi P, a je to tedy tez matice touto bilinearní formou urcene kvadraticke formy F na vektorovem prostoru (U, +, •) v bazi P. Jiním zpusobem lze tuto skutecnost nahlednout tez takto. Uvazme pro libovolní vektor u E U jeho souradnice (u)a v bazi a a tez jeho souradnice (u)/ v bazi P, obojí zapsane do sloupcu. Pak z vlastností matice prechodu P plyne, ze mezi temito souradnicemi platí vztah
(U)a = P • (U)/.
Podle shora uvedeneho vyjadrení hodnoty kvadraticke formy F na vektoru u pak vychíazí
F (u) = (u)T • A • (u)a
= (P • (u)/)T • A • P • (u)/ = (u)T • PT • A • P • (u)/ = (u)T • B • (u)/.
Rozepíseme-li souradnice vektoru u v bazi P ve tvaru (u)/ = ..., yn)T, pak vzhledem k víse popsanemu diagonalnímu tvaru matice B muzeme príve zjistenou hodnotu kvadraticke formy F na vektoru u vyjadrit tez ve tvaru
f (u)=+^ ^ ^+^1 +^ ^ ^++...+ek_1+1+^ ^ ^+^ vi.
Tomuto vyjadrení kvadraticke formy F ríkame tez kanonicky (diagonílní) tvar kvadraticke formy F, ortonormílní bízi P euklidovskeho prostoru (U, +, •), v níz kvadraticka forma F tohoto vyjadrení nabíva, nazívame polírní bazí kvadraticke formy F, a ponevadz matice prechodu P mezi ortonormalními bazemi P a a je ortogonalní a realizuje výse uvedenou transformaci souradnic vektoru v techto bazích, mluvíme zde o prevodu kvadraticke formy F na kanonickí tvar ortogonalní transformací souradnic.
2