Samoadjungované operátory na euklidovských prostorech
Nechť (U, +, •) a (V, +, •) jsou euklidovské prostory, tj. vektorové prostory nad télesem R reálných Čísel koneCných dimenzí se zadanými skalárními souCiny. Necht' a, resp. // jsou zvolene ortonormální baze v (U, +, •), resp. ve (V, +, •). Necht' t/? : U — V je lineární zobrazení. Necht' A = (^)^,« je matice linearního zobrazení t/ v bázích a a // uvedených euklidovských prostoru. Uvazujme linearní zobrazení t/* : V — U definovane tím, ze transponovana matice AT je jeho maticí v bazích /// a a uvazovaných euklidovskích prostoru, to jest urcene tím, ze platí AT = (t/*)a,;/3. Vezmeme díle libovolne vektory u G U a v G V a uvazme jejich souradnice (u)a a (v)// ve zmíneních ortonormílních bazích uvedeních euklidovskích prostoru. Uvazme rovnez souradnice (/(u)), a (^*(v))a obrazu techto vektoru pri víse uvedenych linearních zobrazeních, samozrejme v odpovídajících bazích daních euklidovskích prostoru. Vsechny souradnice zapisujeme jako sloupce. Víme, ze pak platí
(y>(u))/j = A • (u)Q   a   (p*(v))Q = AT • (v)/,.
Dale víme, ze pro libovolne vektory u, u' G U a v, v' G V a pro jejich skalarní souciny v euklidovskych prostorech (U, +, •) a (V, +, •) platí
(u, u'> = (u)T • (u')a   a   (v, v') = (v)T • (v'),.
Odtud plyne, ze pro vektory u G U a v G V platí
( t (u), v> = (t (u))/T • (v)/
= (u)T • AT • (v),
= (u)T • (p*(v))a = <u,t/>*(v)>.
Dostaívíame tedy rovnost
</(u), v) = (u,^*(v)>
platnou pro vsechny vektory u G U a v G V, kde nalevo vystupuje skalarní soucin v euklidovskem prostoru (V, +, •) a napravo vystupuje skalarní soucin v euklidovskem prostoru (U, +, •). Touto podmínkou je pritom linearní zobrazení t/* : V — U k danemu lineírnímu zobrazení t/ : U — V urceno jedno-znacne. Nezavisí tedy toto lineírní zobrazení t^* : V — U na pocítecní volbe ortonormílních bízí a, resp. // euklidovskych prostoru (U, +, •), resp. (V, +, •). Lineírní zobrazení t^* : V — U se nazíví adjungovane zobrazení k linearnímu zobrazení t  : U — V.
Mejme nyní jeden euklidovsky prostor (U, +, •) se zadaním skalarním souci-nem. Necht' a je libovolní ortonormílní bíze v (U, +, •). Mejme dale lineírní zobrazení y? : U — U, to jest linearní operítor na euklidovskem prostoru (U, +, •). Necht' A = (tp)a,a je matice tohoto lineírního operítoru ^ v bazi a. Pochopi-telne tak jako vyse existuje i tady adjungovane linearní zobrazení <£* : U — U, tj. linearní operítor <£* na prostoru (U, +, •) adjungovaní k linearnímu ope-raítoru t . Maticí tohoto adjungovaníeho lineíarního operaítoru v baízi a je pak
1
matice AT transponovaná k matici A, takže máme AT = ((p*)a>a. Adjungo-vaný linearní operator je prostřednictvím skalarního souCinu v euklidovském prostoru (U, +, •) jednožnaCne urCen rovností
(y>(u), v) = (u,y>*(v)>
platnou pro všechny dvojice vektoru u, v G U. Znovu tedy nežavisí tento adjun-govaný lineární operátor na volbe ortonormalní baže a euklidovskeho prostoru (U, +, •). Nyní linearní operator ^ : U — U na euklidovskem prostoru (U, +, •) se nažíví samoadjungovaná, jestliže platí ^ =      to jest, platí-li rovnost
Mu) v) = (u,^(v))
pro vsechny dvojice vektoru u, v G U. Je jasne, že lineírní operátor ^ : U — U je samoadjungovany prave tehdy, když pro jeho matici A v ortonormalní bíži a prostoru (U, +, •) platí rovnost A = AT. Čtvercoví matice A nad R splňující žmínenou rovnost A = AT se nažíví symetricka.
Je žnamo, že vsechna vlastní císla symetricke matice A nad R jsou reílna, a to i tehdy, když tuto matici A chapeme jako matici nad C. Navíc pro každe vlastníí ňcííslo symetrickíe matice A nad R platíí, ňže jeho algebraickía níasobnost je rovna jeho geometricke nísobnosti. Vlastní vektory príslusne ražním vlastním císlum symetricke matice A jsou navžajem ortogonílní.
2