Domácí úkoly ke cvičení č. 4
1. Ve vektorovém prostoru R4[x] vsech polynomů jedne proměnné x stupne nejvýše 4 nad telesem R je dána báze
a = (1, x + 1, (x + 1)2, (x + 1)3, (x + 1)4 ).
Najdete k ní duální bázi a* v duálním vektorovem prostoru R4[x]* pozustávajícím ze vsech lineárních forem na R4[x]. KaZdou lineární formu duální báze a* pritom zadejte pred-pisem, podle nehoz je mozno stanovit hodnotu teto linearní formy na libovolnem polynomu ax4 + bx3 + cx2 + dx + e z R4[x].
2. Ve vektorovem prostoru R4[x]* duálním k vektorovemu prostoru R4[x] vsech polynomu jedne promenne x stupne nej-váse 4 nad telesem R, která pozustavá ze vsech lineárních forem na R4[x], je dána baze
r = (#0, gb ^ ^ g0,
kde linearní formy g0, g1, g2, g3, g4 : R4[x] — R jsou zadány následujícími predpisy. Pro kazdá polynom p(x) z R4[x] jsou hodnoty linearních forem g0,g1,g2,g3,g4 na p(x) dany takto:
g0(p(x)) = g1(p(x)) = g2(p(x)) =
g3(p(x))= g4(p(x))=
Najdete polynomy q0(x), q1(x), q2(x), q3(x), q4(x) z R4[x] ta-kováe, aby
P = (q>(x), q1(x), q2(x), q3(x), q4(x))
byla baze vektoroveho prostoru R4[x] s vlastností, ze daná báze r duálního vektoroveho prostoru R4[x]* je bází k ní dualní, tedy takova, aby platilo r = P*.
1
3. Nechť symetrická bilineární forma / na vektorovém prostoru M4 má ve standardních souradnicích prostoru R4 vyjadrení tvaru
f (x, y) = 2xiy2 + 8x1/3 + 2x2/1 - 2x2/3 - 8x22/4
+ 8X3/1 - 2X3/2 + 8X3//4 - 8X4/2 + 8X4/3 .
Metodou stejnách elementárních radkovych a sloupcových áprav matice bilinearní formy f upravte tuto bilinearní formu na diagonalní tvar, v nemž budou vystupovat pouze koeficienty 1, -1, prípadne 0, a to v tomto uvedenem poradí. Najdete alespoň dve ruzne baze a, // prostoru M4 lišící se od sebe i tehdy, když se na ne hledí jen jako na množiny vektoru, tak aby v souradnicích vzhledem k bazi a i vzhledem k bazi // mňela danía bilineíarní forma f nalezenyí diagoníalní tvar.
4. Na vektorovem prostoru M3[x] vsech polynomu jedne promenne x stupne nejvíse 3 nad telesem M je dína bilinearní forma g : M3[x] x M3[x] — M nasledujícím predpisem. Pro kterekoliv dva polynomy p(x), q(x) z M3[x] je hodnota bilinearní formy g na polynomech p(x), q(x) dana formulí
Overte, ze pak g je symetricka bilinearní forma na vektorovem prostoru M3[x]. Najdete matici teto symetricke biline-íarní formy g v souňradnicích vzhledem ke standardní bíazi £ = (1,x,x2,x3) vektoroveho prostoru M3[x]. Metodou stej-níych elementaírních ňríadkovyích a sloupcovyích uíprav matice symetrickíe bilineíarní formy g upravte tuto bilineíarní formu na diagonalní tvar, v nemz budou vystupovat pouze koeficienty 1, -1, pňrípadnňe 0, a to v tomto uvedeníem poňradí. Najdete príklad baze 7 vektoroveho prostoru M3[x] takove, aby v souradnicích vzhledem k bazi 7 mela bilinearní forma g nalezeníy diagonaílní tvar.
2