Domácí úkoly ke cvičení č. 5
1. Necht' kvadratická forma F na vektorovém prostoru R4 má ve standardních souradnicích vektorového prostoru R4 vyjadrení tvaru
F (x) = x2 + x2 + 4x3 + 9x4 + 2xix2 + 4xi x3 + 6xix4
+ 8x2x3 + 24x2x4 + 10x3x4 .
Najdete symetrickou bilineární formu f na vektorovem prostoru R4 takovou, aby pro každá vektor x G R3 platilo
F (x) = f (x, x).
Vyjadrete tuto symetrickou bilinearní formu f opet ve standardních souradnicích prostoru R4. Metodou stejných ele-mentarních radkovích a sloupcovích íprav matice teto bilinearní formy f upravte bilinearní formu f a spolu s ní i vychoží kvadratickou formu F na diagonalní tvar, v nemž budou vystupovat použe koeficienty 1, —1, prípadne 0, a to v tomto uvedenem poradí. Najdete alespoň jednu bíži prostoru R4 takovou, aby v souradnicích vžhledem k teto baži mňely žadanía kvadratickía forma F i k ní pňriňraženaí symet-ricka bilinearní forma f naležení diagonalní tvar. O kvad-ratickíe formňe F pak rožhodnňete, žda je to forma požitivnňe ci negativne definitní, prípadne semidefinitní, anebo žda jde o kvadratickou formu, kterí je indefinitní.
2. Necht' kvadraticke formy F, G, H na vektorovem prostoru R4 mají ve standardních souňradnicích prostoru R4 vyjía-drení tvaru
F (x) = x1x2 + 2x1x4 + 2x2x3 + 4x3x4 ,
G(x) = x2 + x2 + x2 + x| + x1x2 — x1x4 + x2x3 + x3x4 ,
H (x) = 2x1x2 + 2x1x3 + 2x1 x4 — x1 — 2x2 — 3x3 — 6x4 .
1
Metodou doplňování na čtverce upravte každou z těchto kvadratických forem na diagonální tvar, v němž budou vystupovat pouze koeficienty 1, —1, prípadne 0, a to v tomto uvedenem poradí. Pro každou z kvadratických forem F, G, H najdete bazi prostoru R4 takovou, aby v souradni-cích vzhledem k teto bazi mela dotycna kvadraticka forma nalezený diagonainí tvar. O kazde z kvadratickích forem F, G, H rozhodnňete, zda je tato forma pozitivnňe ňci nega-tivne definitní, prípadne semidefinitní, anebo zda jde o kvadratickou formu, ktera je indefinitní.
2