1. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 28. 2. 2017
Z dvojice úloh A a B je prvá analogická tomu, co jsme dělali v semináři, druhá je obtížnější a je určena těm, pro které je prvá úloha jednoduchá. Stačí, když odevzdáte řešení jedné z nich.
IA. Mějme prosté lineární zobrazení ip :U —> V a vektory u1}u2,..., G U. Dokažte: Jsou-li vektory u1}u2,... ,Uk lineárně nezávislé v prostoru U, jsou lineárně nezávislé také vektory </?(iti), (p(u2), ... ,f(uk) v prostoru V.
Najděte příklad nenulového lineárního zobrazení ip a vektorů Ui,u2, ■ ■ ■ ,Uk lineárně nezávislých v U a takových, že </?(iti), (p(u2), ... ,(p(uk) jsou lineárně závislé v prostoru V.
IB. Nechť U a. V jsou vektorové podprostory v prostoru W. Nechť Wi,w2,... ,Wk je báze podprostoru UC\V, nechť wi,..., Wk,ui,...,un je báze podprostoru U a konečně nechť wi,... ,Wk,vi,... ,vm je báze podprostoru V. Dokažte, že wi,... ,Wk,ui,... ,Uk, Vi,..., vm je báze podrostoru U + V.
2A. Nechť {an} je nerostoucí posloupnost kladných reálných čísel. Dokažte, že má limitu.
2B. Nechť Q je množina racionálních čísel. Najděte spojitou funkci / : [0,1] PlQ —> Q, která zobrazuje racionální čísla do racionálních čísel, /(O) < 0, /(l) > 0 a přitom neexistuje x G Q takové, že f {x) = 0.
l