2. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 14.3. 2017
Z dvojice úloh A a B je druhá obtížnější a je určena těm, pro které je prvá úloha jednoduchá. Stačí, když odevzdáte řešení jedné z nich.
1A. Uvažujme funkci / : IR —y IR definovanou takto:
0,   pro x iracionální,
-,   pro x = — racionální, man nesoudělná, n > 0.
Dokažte, že pro a E R
lim f (x) ^L>0.
x^ra
1B. Pro funkci definovanou v úloze 1A dokažte,že
lim j(x) = 0
x—>a
pro každé a G IR.
2A. Dokažte z definice spojitosti. Je-li funkce / spojitá v bodě a a f {a) ^ 0, pak je v bodě a spojitá i funkce j.
2B. Nechť <p : U —> U je lineární zobrazení s vlastností ip o tp = id. Potom je vektorový prostor U direktním součtem dvou (obecně netriviálních ) podprostorů V\ © V2 takových, že pro oba platí f (Ví) C Ví. Najděte je a tvrzení dokažte.
1