4. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 28. 3. 2017
Z dvojice úloh A a B je druhá obtížnější a je určena těm, pro které je prvá úloha jednoduchá. Stačí, když odevzdáte řešení jedné z nich.
IA. Nechť T je podtěleso reálných čísel. Nechť d G T je kladné a y/ď ^ T. Pak
T[y/ď] = {a + by/ď GR; a,beT} je rovněž těleso. Uvažujme kubickou rovnici
x3 + ax2 + bx + c = 0
s koeficienty a, b, c G T. Dokažte: Jestliže má rovnice jeden kořen v T[\fď]1 pak má jeden kořen rovněž v T. (Návod: Dokažte, je-li jeden kořen tvaru p + qy/ď, pak druhý kořen je p — qy/ď. Pomocí Vietových vztahů pak dokažte, že třetí kořen leží v T.)
IB. Nechť funkce / je spojitá na intervalu [a,b], f {a) < c < f {b). S použitím věty o průniku do sebe vložených uzavřených intervalů, jejichž délky konvergují k nule, dokažte, že existuje x G (a, b) takové, že f(x) = c.
l