7. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 2. 5. 2017
Tato domácí úloha slouží k přípravě na písemku, její řešení nemusíte odevzdávat. Úlohy jsou podle obtížnosti označeny A - jednodušší a B složitější.
IA. Zopakujte si Cauchyovo kritérium pro konvergenci posloupnosti {an}^=l. Pomocí kvantifikátorů zformulujte Cauchyovo kritérium pro stejnoměrnou konvergenci funkcí fn(x) na intervalu I.
IB. Udělejte předchozí úlohu a navíc Cauchyovo kriterium pro stejnoměrnou konvergenci dokažte.
2A. Nechť U a, V jsou podprostory prostoru W a nechť
dim W = n,    dim U = dim V = n — 1.
Pak
dim U H V > n - 2.
Dokažte.
2B. Nechť Ui, U2, ■ ■ ■ Uk Jsou podprostory prostoru W a nechť
dim W = n,    dim Ui = n — 1. Odhadněte zdola dimenzi prostoru Ui H U2 H • • • H č/fc. Svůj odhad dokažte. 3A. K jaké funkci konvergují bodově funkce
fn{x) = sin-?
n
Konvergují k této funkci stejnoměrně na intervalu (—00, 00)? Konverhgují k této funkci stejnoměrně na intervalech (-K, K) pro iřGffi? Všechny své odpovědi zdůvodněte
3B. Dokažte, že stejnoměrná limita spojitých funkcí na intervalu I je spojitá funkce na intervalu I.
4A. Nechť /, g a h jsou lineární formy na reálném prostoru U dimenze n. Nechť
/ = ag + bh
pro nějaká reálná čísla a, b. Pak
dim(ker / H ker g H ker h) > n — 2.
4B. Nechť /, g a h jsou lineární formy na reálném prostoru U dimenze n. Nechť
ker g H ker h C ker /. Pak existují reálná čísla a, b tak že
f = ag + bh.
1