Algebra I — Cvičení Podstatná část příkladů je převzata od kolegů, jmenovitě Prof. Kučery, Doc. Poláka a Doc. Kunce, se kterými jsem při přípravě cvičení spolupracoval. Sbírka vznikla modifikací některých dřívějších soupisů příkladů používaných na cvičení (především sbírky k cvičení Algebra I na PřF v semestru Jaro 2005). Veškeré připomínky, opravy a komentáře jsou vítány na adrese klima@math.muni. cz. Hvězdičkou jsou označeny doplňující úlohy, které přesahují sylaby předmětu nebo jsou obtížnější. Sbírku budu postupně doplňovat. Ondřej Klíma Verze 28. února 2011 1 Základní vlastnosti operací Příklad 1.1: Rozhodněte, zda daný grupoid je pologrupa, zda obsahuje (levý, pravý) neutrální prvek, zda je to grupa a zda je operace komutativní. 1) Celá čísla s operací sčítání. 2) Reálná čísla s operací násobení. 3) Celá čísla s operací odečítání. 4) Přirozená čísla s operací nej větší společný dělitel. Příklad 1.2: Pro dané množiny matic typu 2 krát 2 nad reálnými čísly rozhodněte zda je sčítání, resp. násobení, matic operací na této množině. Pokud se jedná o operaci, zjistěte, zda je operace asociativní či komutativní, zda obsahuje neutrální prvek a zda se jedná o grupu. 1) Množina všech matic nad celými čísly. 2) Množina všech matic nad racionálními čísly. 3) Množina všech regulárních matic nad racionálními čísly. 4) Množina všech matic s nulou v levém dolním rohu a s jedničkami na diagonále. 5) Množina všech regulárních matic nad celými čísly. Příklad 1.3: Pro množinu X značíme P{X) množinu všech podmnožin množiny X. Pro následující operace určete, zda grupoid P{X) je pologrupou, zda je operace komutativní a zda existuje neutrální prvek. 1) Průnik. 2) Sjednocení. 3) Množinový rozdíl. (Y \ Z = {x e Y \ x <^ Z}) 4) Symetricky rozdíl. (Y ^ Z = (Y \ Z) U {Z \ Y)) Příklad 1.4: Určete, zda operace na tříprvkové množině {a, b, c} daná tabulkou je komutativní, asociativní a zda má neutrální prvek. 1) o a b c a b a a b a b a c a a a 2) o a b c a b a a b a b c c a c a 3) o a b c a a a a b b b b c c c c Příklad 1.5: Prvek e pologrupy (G, •) se nazývá idempotent, jestliže e-e = e. Ukažte, že každá grupa obsahuje právě jeden idempotent. 1 Příklad 1.6: Pro množinu X označme R(X) množinu všech relací na X, tj. R(X) = {p C X x X}. Na R(X) definujeme operaci o takto: p o a = {(x, y) G X x X \ (3 z G X)((x, z) G cr A (z, y) G p)} . Dokažte, že (R(X), o) je monoid. Víme, že speciálním případem relací jsou zobrazení, pro které je operace o skládání zobrazení. Označme T(X) množinu všech transformací množiny X (zobrazení z X do X), tj. T(X) = {fe R(X) I (V* e X)(3!y e X)((x,y) e /)} . Rozhodněte, zdaje (T(X),o) monoid. Podobně značíme PT{X) množinu všech parciálních transformací na X, tj. PT(X) = {/ e R(X) I (Vx, y, z e X)(((x, y) e / A (x, z) e /) y = z)} . (Všimněme si, že T(X) C PT(X) a že prázdná relace patří do PT(X).) Rozhodněte, zdaje (PT(X),o) monoid. Rozhodněte, zdaje (T(X),o) nebo (PT(X),o) grupa. V obou případech T(X) i PT(X) se má smysl omezit na injektivní či surjektivní transformace. Které z nich tvoří monoidy a které grupy? (Pozor: odpovědi se mohou lišit v případech kdy X je jednoprvková, resp. konečná, resp. nekonečná.) Příklad 1.7: Doplňte následující tabulku operace na tříprvkové množině tak, aby výsledný grupoid byl polo-grupou. o a b c a b a c b c Příklad 1.8: Následující tabulku je možno jediným způsobem doplnit na tabulku operace • v pologrupě (S, •), kde S = {a, b, c, d, e, /}. a b c d e f a a b c d f b b e c d b f c c c f c c d d d c d d f e e b c d e f f f f d f f c 1. Určete, kterému prvku z množiny S se rovná d ■ b, resp. a ■ e, v pologrupě (S, •). 2. * Určete všechny idempotenty. 3. * Vypište všechny pravé neutrální prvky. 4. *Určete všechny podmnožiny GCS takové, že (G, •) je grupa. 5. Lze původní tabulku doplnit tak, aby byla operace • v grupoidu (S, •) komutativní? Příklad 1.9*: V monoidech T(X) a PT(X) z příkladu 1.6. určete počet všech idempotentů (def. v př. 1.5.) Příklad 1.10*: V monoidu matic (Mat2(Q), •) typu 2 krát 2 nad racionálními čísly s operací násobení matic určete všechny idempotenty. Pro každý idempotent e určete nej větší možnou podmnožinu Me, která společně s operací • tvoří grupu s neutrálním prvkem e. Popište Me v T(X) z příkladu 1.6. 2 2 Pojem grupa Příklad 2.1: Rozhodněte, zda daný grupoid (g,o) je grupa. 1) g je množina nenulových racionálních čísel a operace o je dána předpisem x o y = \x ■ y\. 2) g je interval (0,1) a operace o je dána předpisem x o y = x + y — [x + y], kde [z] značí celou část z čísla z, tj. největší celé číslo menší nebo rovno z. 3) G je množina celých čísel a operace o je dána předpisem x o y = x + {—\)xy. 4) G = R x R — {(0, 0)} je množina všech dvojic reálných čísel z nichž aspoň jedno je nenulové, a operace o je dána předpisem (x, y) o (u, v) = (xu — yv, xv + yu). 5) G je množina uspořádaných dvojic reálných čísel, přičemž první z nich není 0, a operace o je dána předpisem (x, y) o (u, v) = (xu, xv + y). 6) G je množina komplexních čísel, jejichž reálná i imaginární část je celočíselná, a operace o je sčítání komplexních čísel. 7) G = R je množina všech reálných čísel a operace o je dána vztahem f — xy, x < 0, y < 0 „ xoy=< . , .. 'y proi,«el. y \ \xy\, jinak p 'y 8) G = {(a, 6) e R x R | a2 + b2 = 1} a operace o je dána předpisem (a, 6) o (c, d) = (ad + bc, bd — ac) pro (a, ď), (c, d) e G. 9) g = {(a, b) e R x R | a2 + ď2 > 1} a operace o je dána předpisem (a, 6) o (c, d) = (ad + bc, bd — ac) pro (a, ď), (c, d) e g. 10) g = {(a, b) e Z x Z | a2 — 562 = 1} a operace o je dána předpisem (a, 6) o (a', 6') = (aď + 566', a6' + a'6) pro (a, 6), (a', 6') G g. Příklad 2.2: 1) Dokažte, že v libovolné grupě platí tzv. zákony o krácení (Va, 6, c) (a6 = ac 6 = c) A (Va, 6, c) (6a = ca 6 = c) . 2)* Dokažte, že konečná pologrupa, v které platí zákony o krácení, je grupa. 3) Udejte příklad nekonečné pologrupy, která není grupou, ale platí v ní zákony o krácení. 4) Udejte příklad tříprvkového grupoidu, který není grupou, ale platí v něm zákony o krácení. Ukažte, že grupoid není pologrupou. 5) Udejte příklad pětiprvkového grupoidu s neutrálním prvkem, který není grupou, ale platí v něm zákony o krácení. Ukažte, že grupoid není pologrupou. Příklad 2.3: Určete, kolik je dvouprvkových, resp. tříprvkových, resp. čtyřprvkových grup. Příklad 2.4: Dokažte, že v konečné grupě o sudém počtu prvků existuje prvek, který je inverzní k sobě samému a není to neutrální prvek. Příklad 2.5: Doplňte tabulku operace * tak, aby vznikla grupa ({a, 6, c}, *): o a 6 c a 6 c a c 3 Příklad 2.6: Nechť (G, o) je grupa a a nějaký její pevně zvolený prvek. Dokažte, že potom (G, □) je také grupa, kde operace □ je definována předpisem gUh = g o ao h. Příklad 2.7*: Dokažte, že grupy jsou právě ty pologrupy, pro něž platí: (Va, b) (3x, y) (ax = b, ya = b) . Příklad 2.8*: Dokažte, že v každé konečné pologrupě existuje idempotent. Příklad 2.9*: Určete všechny dvouprvkové pologrupy (až na izomorfismus, tj. přejmenování prvků). 3 Grupa Permutací Příklad 3.1: Nechť _/l 2345678 9\ A 23456789 S~U 4 7 2 1 9 8 6 5J ' [p 2 1 4 3 8 7 6 9 12345678 9 814637592 1) Rozložte permutace s,t,u na součin nezávislých cyklů. 2) Spočtěte součiny s ot, ros, souoí. Použijte jak "dvojřádkový"zápis, tak rozklad na nezávislé cykly. 3) Spočtěte s3,s20,í53,í103,ií211. 4) Určete inverzní prvky s-1, ŕ-1, u^1. 5) Spočtěte permutace (s120 o t~3)17 o u23 a (w~23 o s)134 o t4. 6) Permutace s,t,u rozložte na součin transpozic a určete jejich paritu. Příklad 3.2: Napište permutace / = (2, 3,4, 5) o (1, 3,6,8) a g = (1,4, 6) o (2, 7, 4, 8, 3) o (1, 5) jako součin 10 transpozic. Příklad 3.3: Dokažte že permutace (s3 o t~17)18 o s10 je sudá permutace pro libovolné permutace s,t E §g. Příklad 3.4: Rozhodněte, zda existuje permutace s e §g taková, že s o (1, 2, 3) = (1, 2) o s. Příklad 3.5: Určete všechny permutace a z grupy §8 takové, že a2 = (1, 2, 3) (4, 5, 6). Podobně určete b takové, že b4 = (1,2, 3, 4, 5, 6, 7), c takové, že c3 = (1,2, 3, 4)(5, 6, 7,8), d takové, že d2 = (1,2, 3, 4)(5, 6, 7, 8) a e takové, že e2 = (1,2,3,4) . Příklad 3.6: Určete všechny permutace / z grupy S$ takové, že /3 = (1, 2)(3,4)(5, 6). Příklad 3.7: Určete, pro která přirozená čísla n e N existuje permutace s e §6 taková, že so (1, 2, 3, 4, 5) os = (1, 2)™. Pro tato n popište všechny takové permutace s. Příklad 3.8: Jestliže a je cyklus délky n, pak ak = íd právě když n dělí k. Pokud n nedělí k pak je ak součinem d nezávislých cyklů délky ^, kde d je největší společný dělitel n a k. Příklad 3.9*: 1) Ukažte, že libovolnou permutaci v §„ lze rozložit na součin transpozic tvaru 2) Ukažte, že libovolnou sudou permutaci v §„ lze rozložit na součin cyklů tvaru (1, 2, i). 4 Příklad 3.10*: Ukažte, že libovolnou permutaci v §„ lze rozložit na součin cyklů (1,2) a (1,2.....??■). Příklad 3.11*: Určete následující grupy symetrií (jako podmnožiny §„, pro vhodné n, nebo alespoň určete počty prvků). 1) O3 grupa symetrií rovnostranného trojúhelníka, 2) D4 grupa symetrií čtverce, •3) D„ grupa symetrií pravidelného n-úhelníku (určete alespoň počet prvků), 4) grupa symetrií pravidelného čtyřstěnu. 5) * grupa symetrií krychle. Příklad 3.12*: Určete, které prvky o £ §„ lze psát ve tvaru b2c2 pro vhodné b, c e §„. 4 Grupy zbytkových tříd Příklad 4.1: Spočtěte 1) [4]^ v Z15, 2) [17}^8\ v Z181, 3) [49]^ v Z226, 4) [49)225 v z225, 5) [125]12g6 V Z1296- Příklad 4.2: Spočtěte 1) [2k + l]#k+1 v Z22fc+1, 2) [2k - l]~2\+1 v Z2-2t+1, 3) [m2 - m + 1]~3_! v Příklad 4.3: Určete kolik prvků má grupa (Z^, •) pro následující ??. a popište její multiplikativní tabulku. 1) n = 5, 2) n = 7, 3) ?? = 8. Příklad 4.4: Určete kolik prvků mají grupy (Z^, •) pro následující ??.: 1) n = 24, 2) n = 306, 3) n = 5225. Příklad 4.5: Ukažte, že pro libovolné n > 2 je y(n) sudé číslo. Příklad 4.6: Určete všechna přirozená čísla m, pro která platí tp(m) = 18. Příklad 4.7*: Určete všechna přirozená čísla n taková, že ip(n) | n. Příklad 4.8: Určete zbytek po dělení daných čísel číslem 17. 1) 250 + 350 + 450 , 2) 540 + 640 + 740 + 840 , 3) 444 + 555 , 4) 131313 + 151515. Příklad 4.9: Určete zbytek po dělení čísla ag9~3l° číslem 44, pro a = 8, 9,10,11. Příklad 4.10: Ukažte, že číslo 260 + 730 je dělitelné číslem 13. Příklad 4.11: Určete poslední dvě cifry čísla 1515 . Příklad 4.12: Určete poslední tři cifry čísla 1515 . Příklad 4.13: Určete poslední dvě cifry čísla 1313 . Příklad 4.14*: Dokažte, že pro libovolné n e N je číslo 222"+1 + 3 číslo složené. 5 Příklad 4.15*: Dokažte Čínskou zbytkovou větu: Nechť je dáno k e N a Ai-tice mi,-- - ,mt po dvou nesoudělných přirozených čísel. Pak pro libovolnou fc-tici c\, ■ ■ ■ , přirozených čísel existuje x e N takové, že x = Q(modraj) pro i = 1,... ,k. Navíc je toto x určeno jednoznačně modrai.....mk; přesněji, všechna tato čísla dávají stejný zbytek po dělení číslem í?í!.....mk. 5 Rád prvku Příklad 5.1: Určete řád permutace (1, 2, 4, 5) o (3, 7, 8) o (6, 9) resp. (1,2, 4, 5, 3, 6, 7, 9) o (3, 7, 8) o (6, 2, 9). Příklad 5.2: Určete největší k e N takové, že v grupě §10 existuje prvek řádu k. Příklad 5.3: Nalezněte nějaké k e N takové, že v grupě §i5 existuje prvek řádu k, ale v grupě §14 prvek řádu A; neexistuje. Příklad 5.4: Určete řád prvku [k]n v (Z„,+). Příklad 5.5: Určete řády všech prvků v (Z*, •) pro n = 7, 8,12,13. Příklad 5.6: Určete řády prvků [2] 17 a [13] 17 v (Zf7, •)■ Příklad 5.7: V GL2(Z3) (grupa regulárních matic nad Z3) určete řády prvků ^ ^ a (^j \ 6 Podgrupy Příklad 6.1: Ukažte, že podmnožina kladných reálných čísel, resp. kladných racionálních čísel, resp. Q (-v/3) = {a + bVŠ I a, b e Q, a2 + b2 > 0} je podgrupa grupy (R*, •). Příklad 6.2: Ukažte, že množina sudých permutací tvoří podgrupu grupy §„ pro libovolné n e N. Příklad 6.3: Popište všechny podgrupy grupy (Zi0,+). Příklad 6.4: Popište všechny podgrupy grupy (Z,+). Příklad 6.5: Popište všechny podgrupy grupy (Z„, +). Příklad 6.6: Popište všechny podgrupy grupy §3, respektive grupy A4. Příklad 6.7*: Popište všechny podgrupy grupy symetrií D„ (alespoň pro n = 3,4). Příklad 6.8: Určete podgrupu §8 generovanou množinou X: 1) X = {(4, 5, 2,1) o (4, 6, 3,1, 5, 2), (4, 5, 2,1) o (4, 5, 6) o (2,1, 3)}, 2) X = {(1,5, 8) o (1, 4, 2, 5) o (1, 5, 2), (1,2, 6, 4, 8, 5) o (1,4, 6, 2)}, 3) X = {(1,8, 2, 3, 5) o (1,2, 6, 7, 8), (4, 7, 6, 2) o (2,4, 8)}, 4) X = {(1,2)(3,4),(2,3)(4,5)}. 5)* X = {(2,4, 6), (4, 7, 2), (3, 2,4)}. Příklad 6.9*: Určete podgrupu §„ generovanou množinou {(1, 2), (1,2, 3,..., »)}. 6 Příklad 6.10: V (Z,+) určete podgrupu generovanou množinou {8,30}. Příklad 6.11: V (Zqo,+) určete podgrupu generovanou množinou {[6]eo, [15]6o}- Příklad 6.12: Nechť je dána grupa regulárních matic 2x2 nad Z7 GL2(Z7) = j ^ V^\x,y,z,ve Z7, xv - yz + [0]7| s operací násobení. Určete počet prvků grupy (GL2(Z7), •). V grupě (GL2(Z7), •) určete podgrupu generová: prvkem ([JJj [1]7 [2], [O]- [1]; Příklad 6.13: V GL2(Z2) (grupa regulárních matic řádu 2 nad Z2) určete podgrupu generovanou množinou X 'l 1 0 1 1) x = Podobně v GL2(Z3) určete podgrupu generovanou množinou ^2 l\ (2 0 y n0 žj'^ 2 Příklad 6.14: V grupě (M,+), resp. (M*, •), určete podgrupu generovanou prvkem \J~2. Příklad 6.15: V grupě (C*, •) určete podgrupu generovanou prvkem 2 + i 2 ■ Příklad 6.16*: Určete všechny konečné podgrupy grupy (K*, •), resp. (C*, •). Příklad 6.17: V grupě z příkladu 2.1-3 určete podgrupu generovanou množinou prvků a) {3}, b) {6}, c) {3,7}. Příklad 6.18*: Určete všechny podgrupy grupy z příkladu 2.1-3. Příklad 6.19: Nechť je dána grupa G a její dvě podgrupy H a K. Dokažte, že (HUK) = {aiĎi . .. anbn | n G N, at G H, b, e K}. Příklad 6.20*: Ukažte, že libovolná podgrupa grupy §„, která není podgrupou grupy A„, obsahuje právě polovinu sudých permutací a má tudíž sudý počet prvků. 7 Homomorfismy a izomorfismy grup Příklad 7.1: Dokažte, že (Z7, •) je izomorfní s (Z6, +) a (Zg , •) je izomorfní s (Z2, +) x (Z2, +). (Ukažte, že předpis /([a]e) = [3]" definuje izomorfismus / : (Z6,+) —>• (Z*-,+).) 7 Příklad 7.2: U každého z následujících předpisů (kde a, b G Z, p, q G Z\{0}) rozhodněte zda zadává zobrazení. Pokud ano, rozhodněte, zda se jedná o homoniorrisnius či dokonce izomorrisnius grup. a,ä: (Z4,+) x (Z3,+) (Z12,+) a(([a]4,[b]3)) = [6a + 4Ď]12 ä(([a]4, [bh)) = [a - b}12 /3:(Z3x,.)x(Z5,+)^(Z5,+) m*h, [bh)) = [bl% 7:(Q\{0},-)^(Q\{0},-) liv/i) = q/v ó: (Zis,+) -> (Z5,+) x (Z3,+) 5(Hi5) = Ok [a]3) e,ě: (Z3,+) -> (A4,o) e([a]3) = (l,2,4)o(l,3,2)ao(l,4,2) ě([a]3) = (l,2)(3,4)o(l,2,3)a Příklad 7.3: U homoniorrisniů z příkladu 7.2 určete jádro a obraz homoniorrisniu. Příklad 7.4: Dokažte, že předpis /([a]2o) = (1,2,3,4,5)° definuje homoniorrisnius / : (Z2o,+) —>• (§7,0). Určete jeho jádro a obraz. Příklad 7.5: Nechť / : G —>• íř je izomorfismus grup. Ukažte, že řády prvků a a /(a) jsou stejné. Co lze říci o řádech prvků a a /(a) v případě, že / : G —> H je (injektivní) honioniorfismus. Příklad 7.6: Popište všechny honioniorrisniy z grupy (Z3, +) do grupy (A4, o). Příklad 7.7: Popište všechny injektivní homoniorrismy z grupy (Z2, +) x (Z2, +) do grupy (A4, o), respektive (§4, o). Příklad 7.8: Pro libovolnou grupu (G, •) označme Aut(G) = {/ : G —>• G | / izomorfismus} množinu všech automorfismů grupy G a End(G) = {/ : G —> G | / homomorfismus} množinu všech endomorfismů grupy G. Ukažte, že (End(G),o), kde o je skládání zobrazení, je monoid a Aut(G) je podmnožina invertibilních prvků, tj. (Aut(G),o) je grupa. Příklad 7.9: Popište všechny endomorfismy a automorfismy grupy (Z, +). Určete čemu je izomorfní monoid End(Z) a grupa Aut (Z). Příklad 7.10: Popište všechny endomorfismy a automorfismy grupy (Z„, +). Určete čemu je izomorfní monoid End(Z„) a grupa Aut(Z„). Příklad 7.11*: Popište všechny homomorfismy z grupy (Z„, +) do grupy (Z&, +). Příklad 7.12: Dokažte, že zobrazení / : G —> G definované předpisem f(x) = x^1 je izomorfismus právě tehdy, když grupa G je komutativní. Příklad 7.13: Dokažte, že pro libovolné grupy G a, H jsou grupy G x H a, H x G izomorfní. 8 Příklad 7.14: Uvažme grupu (G, •) matic typu 3 krát 3 nad Z, které jsou v horním trojúhelníkovém tvaru s jedničkami na hlavní diagonále, tj. G= (Z, +), které matici přiřadí číslo a — c. Dokažte, že zobrazení / je homomorrismus grup. Příklad 7.15*: Nechť X = {1,... , n}. Ukažte, že grupa (P(X), -=-) z příkladu 1.3-4 je izomorfní grupě Z2. (Z2 je součin n kopií grupy Z2.) Příklad 7.16*: Nechť (G, •) je grupa. i) Dokažte, že pro libovolný prvek a e G je zobrazení pa automorfismus grupy G, kde pa : G —> G je definováno vztahem pa{x) = axa^1. (Hovoříme o vnitřních automorrismech.) ii) Ukažte, že množina všech vnitřních automorfismů Inn(G) = {pa \ a G G} je podgrupa grupy (Aut(G), o). iii) Dokažte, že zobrazeni p : G —> Aut(G) dané předpisem p(a) = pa je homomorrismus grup. Příklad 7.17*: i) Ukažte, že libovolný automorrismu grupy §„ zachovává paritu permutace. ii) Dokažte, že pro n > 2 je grupa Inn(§„) izomorfní grupě §„. iii) Dokažte, že Aut(§„) = §„ pro n = 3,4, 5. Příklad 7.18: Buď a homomorrismus grupy (Z30,+) do grupy (Z2o,+) definovaný předpisem a([a]3o) = [6a]2o- Dále nechť f3 je homomorrismus grupy (Z20, +) do grupy (§5, o) daný předpisem /3([6]2o) = (1, 2, 3,4, 5)b. Určete jádra homomorfismů a, j3 a j3 o a. Příklad 7.19: U následujících předpisů (kde a, b G Z, s G Sq) rozhodněte zda zadávají zobrazení. Pokud ano, rozhodněte, zda se jedná o homomorrismus či dokonce izomorfismus grup. Odpovědi zdůvodněte! 1) a : (Z2, +) x (Z5, +) -i- (Z10, +), a(([a]2, [%)) = [a + b]w; f3 : (S6, o) (S6, o), f3(s) = (1, 2) o s o (1,2). 2) a : (Z2, +) x (Z5, +) -> (Z10, +), a(([a}2, [%)) = [5a + 2b}10; (3 : (S6, o) -> (S6, o), (3(s) = s2. 3) a : (Z4, +) -»■ (C*, •), a([a]4) = ía\ P : (Z, +) ->■ (Z3, +), /3(a) = [|a|]3. 4) a : (Z5, +) -> (C*, •), a([a]5) = *a; /? : (Z, +) -> (Z2, +), /3(a) = [\a\]2. Příklad 7.20: U následujících předpisů (kde p, q G Z, g ^ 0 ^ p) rozhodněte zda zadávají zobrazení. Pokud ano, rozhodněte, zda se jedná o homomorrismus či dokonce izomorfismus grup. Odpovědi zdůvodněte! 1) « : (QV)(QV), = £, 2) /?:(Q*,.)^(QV),/?(f) = (-ir • E 3) 7 : (Q*, •) -)■ (Q*, ■), 7(f) = (-1)^+9)9 • f • 8 Normální podgrupy Příklad 8.1: Pro libovolné n G N je A„ normální podgrupa grupy §„. Dokažte. 9 Příklad 8.2: Popište všechny normální podgrupy grup (§3,0) a (A4, o). (Povšimněte si, že existuje normální podgrupa N grupy H — normální podgurpy grupy (A4, o) — která není normální podgrupou (A4, o).) Příklad 8.3: Označme následující podgrupy grupy (§6, o): G = {/ G §6 | / sudá} a H = {/ e G | /(3) = 3}, tj. H C G C §6- Rozdodněte zda a) H je normální podgrupa grupy (G, o); b) H je normální podgrupa grupy (Sg, o); c) G je normální podgrupa grupy (§6,0). Odpovědi zdůvodněte! Příklad 8.4*: Nechť n e N, n > 4. Dokažte, že A„ nemá vlastní normálni podgrupy a že je to jediná netriviálni normálni podgrupa §„. Příklad 8.5: Uvažme grupu (GL2(Q), •) regulárních matic dva krát dva nad racionálními čísly. Buď dále G, H a, N následující množiny matic: Určete, zda se jedná o normální podgrupy. Příklad 8.6: Buď dána následující grupa (G, •) matic ve speciálním tvaru s operací násobení matic a její podgrupa H: Dokažte, že H je podgrupa grupy (G, •)• Rozhodněte, zda H je normální podgrupa (G, •)• Odpověď zdůvodněte! Příklad 8.7: V příkladech 6.13, 6.14., 6.15 a 6.17 určete normální podgrupu generovanou danou množinou. Příklad 8.8*: Které podgrupy z příkladu 6. 18 jsou normální? Příklad 8.9*: Dokažte, že Inn(G) v 7.16-ii) je normální podgrupa. Příklad 8.10: Buď dána grupa (G,o) nekonstantních afinních zobrazení reálných čísel G = {/ : R ->• R | f(x) = ax + b, pro vhodná a e R*, b e R} s operací skládání zobrazení o. Uvažme v této grupě dvě podgrupy: Která z nich je normální podgrupou grupy (G, o)? Popište u obou pravý i levý rozklad. Příklad 8.11: Popište pravé a levé rozklady grupy §3 podle všech podgrup. Příklad 8.12: Popište levý rozklad grupy (A4,o) sudých permutací na množině {1,2,3,4} podle podgrupy generované permutací (2,1,4). Příklad 8.13: Určete počet levých tříd grupy (Z, +) x (Z, +) podle podgrupy H = {(m, n) ; 6 | (m - 2n)}. Příklad 8.14: Nechť konečná grupa (G, •) má sudý počet prvků 2n a H je její n prvková podgrupa. Dokažte, že H je normální podgrupa grupy (G, •). T = {/ : R R I f (x) = ax,ae R*}, S = {/ : R ->■ R I f (x) =x + b,beR}. 10 9 Faktorizace grup Příklad 9.1: Určete faktorgrupu z příkladu 8.10. Příklad 9.2: Faktorizujte grupu Z podgrupou k% = {ka | a G Z}. Příklad 9.3: Faktorizujte grupu Z„ podgrupou k7hn = {kz \ z G Z„} = {[/jz]„ | z G Z}, kde k dělí n. Příklad 9.4: Určete, čemu je izomorfní faktorgrupa regulárních matic nad reálnými čísly podle podgrupy matic jejichž determinant je roven 1. (GL„(M)/§L„(M) =?) Příklad 9.5: Víme, že množina G={(o ľ) Iee{l,-l},ae společně s operací násobení matic tvoří grupu (G, •). Označme podmnožinu G. Ukažte, že H je normální podgrupa grupy G. Popište rozklad G /H, tj. charakterizujte kdy dvě matice ^ ^ a ^ ^ náleží do stejné třídy rozkladu. Určete počet tříd rozkladu G/H. Určete, které grupě (K, •) je izomorfní faktorgrupa G/H, tj. popište grupu (K, •) a definujte vhodné zobrazení a : G —> K pro něž dokažte, že a je surjektivní homomorfismus grup, jehož jádrem je H. Příklad 9.6: Uvažme množiny reálných čísel G = {15p59 | p, q G Z} a H = {3r | r G Z} a operaci • (násobení reálných čísel). Zřejmě (G, •) je grupa. 1. Ukažte, že H je normální podgrupa grupy (G, •). 2. Pro p,p, q,q G Z doplňte podmínku (• • •) tak, aby platilo: 15p59 a 15p59 náleží do stejné třídy rozkladu ^/H ^=> 3. Určete, které grupě je izomorfní faktorgrupa G/H, tj. popište grupu (K, •) a definujte vhodné zobrazení a : G —> K, pro něž dokažte, že a je surjektivní homomorfismus grup, jehož jádrem je H. Řešte stejné zadání pro množinu Hi = {45r | r G Z} a H2 = {25r27s | r, s G Z}. Příklad 9.7: Uvažme množiny reálných čísel G = {2p395r | p, q, r G Z} a iř = {2CP 1 e Z} a operaci • (násobení reálných čísel). Zřejmě (G, •) je grupa. 1. Ukažte, že H je normální podgrupa grupy (G, •). 2. Pro p,p,q,q G Z doplňte podmínku (• • •) tak, aby platilo: 15p59 a 15p59 náleží do stejné třídy rozkladu G/H ^=> 3. Určete, které grupě je izomorfní faktorgrupa G/H, tj. popište grupu (K, •) a definujte vhodné zobrazení a : G —> K, pro něž dokažte, že a je surjektivní homomorfismus grup, jehož jádrem je H. Řešte stejné zadání pro množinu H = {8x15y \ x, y G Z}. Příklad 9.8: Faktorizujte aditivní grupu komplexních čísel podgrupou všech reálných čísel. ((C, +)/K =?) 11 Příklad 9.9: Nechť je dána grupa matic G=Uah °) |a,ceQ*,6e b c, s operací násobení. Dokažte, že podgrupa H = { Í r) ' a' 6' C G Q' ° > ° je normální a určete faktorgrupu. Příklad 9.10: Uvažujme normální podgrupu grupy (G, +) = (Z, +) x (Z, +) definovanou takto: (a) : H = {(a, b) G Z x Z; 5 | a, 2 | b}, (b) : H = {(a, 6) € Z x Z; 7 | 2a + 36}, Určete, které grupě je izomorfní faktorgrupa G/H, tj. popište grupu (AT, •) a definujte vhodné zobrazení a : G —> A', pro něž dokažte, že a je surjektivní homomorfismus grup, jehož jádrem je H. Příklad 9.11*: V příkladu 8.2 jsme spočítali jednu netriviální normální podgrupu v §4 resp. A4, označme ji V4. Spočtete příslušné faktorgrupy. (§4/V4 =?, A4/V4 =?) Příklad 9.12*: Dokažte, že až na izomorfismus existují pouze dvě 2p prvkové grupy a popište je. (Zde p je prvočíslo.) Příklad 9.13*: Určete faktorgrupu z příkladu 8.5. 10 Konečné komutativní grupy, Centrum grupy, Sylowské podgrupy Příklad 10.1: Určete všechny (až na izomorfismus) komutativní grupy, které mají n = 24 prvků. Totéž pro n = 18,30. Příklad 10.2: Pro libovolnou dvojici přirozených čísel to, n dokažte, že předpis a([a]m.„) = ([a]„, [a]m) zadává homorfismus z grupy Zm„ do grupy Z„ x Zm. Rozhodněte, pro která to, n je a izomorfismus. Příklad 10.3: Určete pro které dvojice čísel to, n jsou grupy Zm„ a Z„ x Zm izomorfní. Příklad 10.4: Určete rozklad grupy (Z^, •) na součin netriviálních cyklických p-grup. Dejte příklad příslušného izomorfismu. Příklad 10.5: Dokažte, že grupa, v níž pro každý prvek x platí x ■ x = 1, je komutativní. Příklad 10.6: Určete centrum grup: §3, A4, GL2(Q), GL2(Z3), D4. Příklad 10.7: Určete všechny p-Sylowské podgrupy grupy §4. Příklad 10.8: Určete všechny 3-Sylowské podgrupy grupy §5 a nějakou její 2-Sylowskou podgrupy. Příklad 10.9: Pro libovolnou dvojici přirozených čísel to, n určete všechny p-Sylowské podgrupy grupy Z,„ x 12 Příklad 10.10: Pro liché přirozené číslo n a prvočíslo p dělící 2n, určete všechny p-Sylowské podgrupy grupy Příklad 10.11*: Pro sudé přirozené číslo n a prvočíslo p dělící 2n, určete všechny p-Sylowské podgrupy grupy 11 Doplňující příklady z teorie grup Příklad 11.1: Buď (G, •) komutativní grupa. Ukažte, že pro dané n G N tvoří množina Gn = {a G G | an = 1} podgrupu grupy (G, •). Ukažte dále, že množina všech prvků konečného řádu G = U^Li Gn = {a G G \ 3n G N : an = 1} je taktéž podgrupou grupy (G, •). Příklad 11.2: Nechť je dána grupa G a její dvě podgrupy H a K. Definujme nyní podmnožinu H K grupy G: HK = {hk\heH, ke K}. Dokažte, že pokud je K normální podgrupa grupy G, potom je podmnožina HK podgrupou grupy G. Dále dokažte, že pokud jsou obě podgrupy H i K normální, potom je normální i podgrupa H K. Příklad 11.3*: Nechť (G, •) je grupa, n G N a předpokládejme, že grupa G obsahuje jedinný prvek řádu n (označme jej a). Dokažte, že tento prvek komutuje s libovolným prvkem grupy G, tj. xa = ax pro libovolné Příklad 11.4*: Nechť G je grupa a označme G' podgrupu generovanou množinou prvků tvaru [x,y] = i) Dokažte, že G' je normální podgrupa grupy G. ii) Ukažte, že faktorgrupa G/G' je komutativní grupa. iii) Ukažte, že G/G' je "největší"komutativní faktorgrupa grupy G, tj. ukažte, že pokud H je normální podgrupa grupy G taková, že G/H je komutativní grupa, potom G' C H. iv) Určete "největší"komutativní faktorgrupu pro grupu Totéž pro GL2(Q). Příklad 11.5*: i) Nechť (G, •) a (H, *) jsou grupy a nechť ip : (H,*) —> (Aut(G), o) je homomorfismus grup. Definujme na G x H operaci o vztahem: (a, b) o (c, ď) = (a ■ (p(b)(c), b*ď). Dokažte, že (G x H, o) je grupa. ii) Ukažte, že součin grup (G, •) x (H,-k) je speciálním případem (G x H, o) pro vhodné ip. iii) Nechť (G, •) je grupa. Definujme na G x G operaci o vztahem: (a, b) o (c, ď) = (abcb^1, bď). Dokažte, že (G x G, o) je grupa. Příklad 11.6*: Ukažte, že libovolná konečná grupa je izomorfní s podgrupou grupy A„ pro vhodné n G N. x e G. x xy xxy, tj. G' = {[x1,y1][x2,y2] ■ ■ ■ [xn,Vn] I n G N,xl,yl G G}. 13 Příklad 11.7*: V následujících příkladech nerozlišujeme mezi obarveními, která mohou na sebe přejít nějakou rotací. • Kolika způsoby můžeme obarvit hrany krychle n barvami? • Kolika způsoby můžeme obarvit vrcholy krychle n barvami? • Na každou ze stěn krychle máme nakreslit jednu úhlopříčku. Kolik různých krychlí můžeme získat? • Na každou ze stěn krychle máme nakreslit šipku mířící diagonálně od jednoho vrcholu k protějšímu. Kolik různých krychlí můžeme získat? • Jak se změní odpověď v předchozích dvou bodech, máme-li na libovolně mnoha stěnách povoleno také žádnou úhlopříčku (šipku) nekreslit? • Kolika způsoby můžeme obarvit stěny krychle, mají-li být dvě bílé, dvě černé a dvě červené? Příklad 11.8*: Kolika způsoby můžeme obarvit strany pravidelného 15-úhelníka n barvami? Zde nerozlišujeme mezi obarveními, která mohou na sebe přejít nějakou rotací nebo osovou symetrií. 14