Sbírka řešených planimetrických úloh
Text vznikl za podpory Fondu rozvoje Masarykovy univerzity číslo projektu MUNI/FR/0926/2015.
1   Konstrukce trojúhelníků Příklad 1.
Zadání. Je dána úsečka BSi, \BSi\ = 6cm. Sestrojte trojúhelník ABC, pro který je úsečka BS\ těžnicí ť& a pro který platí: a = 45°, b = 5cm.
\
Rozbor. Nejprve umístíme úsečku BS\. Bod A leží na ekvigonále a = 45° nad BS± ve vzdálenosti | = 2, 5 cm od Si. Bod C je pak středově symetrický s bodem A podle středu Si.
Popis konstrukce.
0. BSi, \BSX\ = 6cm
1. e; e{BSi, a =45°)
2. jfc; fc(Si;| = 2, 5 cm)
3. ,4; i £ e H &
4. C; C      ASi n fc
5. AABC Konstrukce.
I
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení. Existují totiž dvě ekvigonály a = 45° nad BSl
Příklad 2.
Zadání. Je dána úsečka BSi, \BSi\ = 6cm. Sestrojte trojúhelník ABC, pro který je úsečka BSi těžnicí tb a pro který platí: a = 4 cm, ta = 7 cm.
Rozbor. Nejprve umístíme úsečku BS±. Uvažujme rovnoběžník ABCB'. Pak B' leží na přímce BSi ve vzdálenosti 2 • tb = 2 • 6 cm od B. Sestrojíme těžiště T trojúhelníka ABC, které dělí těžnice trojúhelníka v poměru 2 : 1. Těžiště B tedy leží na úsečce BSi ve vzdálenosti | • = | • 6 cm od B. Bod A se nachází ve vzdálenosti a = 4 cm od 5' a ve vzdálenosti ^ • ta = | • 7cm od T. Bod C je pak středově symetrický s bodem A podle středu S±.
Popis konstrukce.
0. BSi, \BSxl = tb = 6cm
2
1. B';B' G ^ BSľ A = 2 • tb = 2 • 6 cm
2. T;Te^ BSi A \BT\ = | • íb = § • 6 cm
3. fc; k(B';a = 4 cm)
4. i;Z(T;|-ía = |-7cm)
5. A; A G     fl Z
6. C; C G M- AS1! A |ASi| = |CSi|
7. AABC Konstrukce.
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení, protože kružnice k protíná kružnici / ve dvou bodech.
Příklad 3.
Zadání. Je dána úsečka CCi, \CC\\ = 5cm. Sestrojte trojúhelník A ABC, pro který je úsečka CC\ výškou vc a pro který dále platí: c = 3 cm, j3 = 120°.
Rozbor. Nejprve umístíme úsečku CC±. K ní vedeme kolmici p procházející bodem d na níž budou ležet body A a B. Bod B je bod, ze kterého vidíme úsečku CC\ pod úhlem f3 = 120°. Nalezneme tedy bod B pomocí ekvigonály nad úsečkou CC\ a bod A už je od něj vzdálen c = 3 cm.
Popis konstrukce.
0. Cd; \Cd\ =vc = 5cm
1. p; Ci epAp-LCd
2. e; e{CC1\P = 120°)
3. B; B E p(~) £
4. A; A       dB A \AB\ = c = 3 cm
5. AABC Konstrukce.
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení. Existují totiž dvě ekvigonály (3 = 120° nad Cd.
Příklad 4.
4
Zadání. Je dána úsečka CC±, \CC±\ = 5cm. Sestrojte trojúhelník AABC, pro který je úsečka CC\ výškou vc a pro který dále platí: tc = 5, 5 cm, a = 60°.
lo / I	
	
Á K /	\
M    \[ r.	Li
^   5      ^    h i.
x
Rozbor. Umístíme úsečku CC\ délky vc. Následně sestrojíme přímku k procházející bodem Ci a kolmou na úsečku CC\. Bod S pak leží na přímce A; a je od bodu C vzdálený tc = 5, 5 cm. Zkonstruujeme úhel C\CX o velikosti 90° — a. Průsečíkem ramene CX s přímkou k je bod A, bod B je středově symetrický s bodem A podle středu S.
Popis konstrukce.
0. CCi; \Cd \ =vc = 5cm
1. fc; k E Ci A k ± CCX
2. m; m(C;tc = 5, 5 cm)
3. S;Sefcnm
4. <CiCX; |<CiCX| = 90° - a
5. CX fl A;
6. 5; B ekA\BS\ = \AS\
7. AABC Konstrukce.
5
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení, protože existují dva průsečíky S G k H m.
Příklad 5.
Zadání. Je dána úsečka AB, \ AB\ = 6 cm. Sestrojte trojúhelník ABC, pro který je úsečka AB stranou c a pro který dále platí: vc = 2 cm, poloměr kružnice opsané r = 4 cm.
Rozbor. Nejprve sestrojíme úsečku AB o délce c = 6 cm. Dále nalezneme střed S kružnice opsané trojúhelníku ABC. Ten je ve vzdálenosti r = 4 cm od bodu A, rovněž od bodu B. Kružnici opsanou následně narýsujeme. Bod C pak leží na průniku kružnice opsané trojúhelníku ABC a ve vzdálenosti vc = 2 cm od úsečky AB.
Popis konstrukce.
0. AB; \AB\ = c = 6cm
1. a; a (A; r = 4 cm)
2. b; b(B;r = 4 cm)
3. S; S G a f] b
4. k; k(S; r = 4 cm)
5. q; v(AB, q) = vc = 2 cm
6. C; C G g n k
7. AABC Konstrukce.
6
s
Ci
Co
S'
Diskuse počtu řešení. Úloha má čtyři řešení. Existují dvě kružnice k opsané úsečce AB o daném poloměru velikosti r = 4 cm, ovšem následně také dva průsečíky C G q H k.
Příklad 6.
Zadání. Je dána úsečka AB, \ AB\ = 6 cm. Sestrojte trojúhelník ABC, pro který je úsečka AB stranou c a pro který dále platí: vc = 3 cm a tc = 4 cm.
Rozbor. Nejprve sestrojíme úsečku AB o délce c = 6 cm. Dále nalezneme střed S této úsečky. Bod C je od přímky AB vzdálený vc = 3 cm a od bodu S se nachází ve vzdálenosti tc = 3, 5 cm.
7
Popis konstrukce.
0. AB; \AB\ = c = 6cm
1. S; S G AB A \AS\ = \BS\
2. k; k (S; tc = 3, 5 cm)
3. q; v(AB, q) = vc = 3 cm
4. C; C G gílfc
5.
Konstrukce.
Diskuse počtu řešení. Úloha má čtyři řešení. Existují totiž dvě přímky q s vlastností v(AB, q) = vc = 3 cm a každá z těchto přímek má navíc dva průsečíky C E q C\ k.
Příklad 7.
Zadání. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li: c = 8 cm, a = 45° a poloměr kružnice vepsané p = 1, 5 cm.
-A ^ ^
8
Rozbor. Nejprve sestrojíme úsečku AB o délce c = 8 cm. Dále zkonstruujeme úhel BAX o velikosti a = 45° a osu o tohoto úhlu. Střed S kružnice k opsané hledanému trojúhelníku leží na přímce o a ve vzdálenosti p = 1,5 cm od úsečky AB. Dále sestrojíme pomocí Thaletovy kružnice bod T, jenž je tečným bodem z bodu B ke kružnici k. Bod C nyní nalezneme jako průnik polopřímek AX a BT.
Popis konstrukce.
1. AB; \AB\ = c = 8cm
2. <BAX; \<BAX\ = a = 45°
3. o; o je osa <BAX
4. q; v(AB,q) = p = 1,5 cm
5. S; S G on q
6. k; k(S; p = 1,5 cm)
7. T; T É   íl r(1S5)
8. C; C e ^ AXH ^ £T
9. AABC Konstrukce.
A B Diskuse počtu řešení. Úloha má jedno řešení.
Příklad 8.
Zadání. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li: vc = 4 cm, (3 = 60° a poloměr kružnice vepsané p = 1, 5 cm.
9
Rozbor. Nejprve umístíme polopřímku BX, následně sestrojíme úhel XBY o velikosti (3 = 60°. Poté narýsujeme kružnici k o poloměru p = 1, 5 cm jemu vepsanou (střed kružnice A; je průnikem osy o úhlu XBY s přímkou p, která se nachází ve vzdálenosti p = 1, 5 cm od BX). Bod C se nachází na polopřímce BY a to ve vzdálenosti vc = 4cm od úsečky BX. Dále sestrojíme pomocí Thaletovy kružnice bod T, jenž je tečným bodem z bodu C ke kružnici k. Bod B je pak průnikem polopřímek BX a CT.
Popis konstrukce.
1.	<XBY; \<XBY\ --	= (3 = 60
2.	o; o je osa <XBY	
3.	p; v(XB,p) = p =	1, 5 cm
4.	S; S G o n p	
5.	/c; /c(S'; p = 1,5 cm]	
6.	q; v(XB,q) = vc =	4 cm
7.	C;Ce^BYf]q	
8.	T;T ekn t(SC)	
9.	B; C e BX n CT	
10.	AABC	
Konstrukce.
10
Diskuse počtu řešení. Úloha má jedno řešení.
11
2   Užití shodných a podobných zobrazení při konstrukci trojúhelníků
Příklad 9.
Zadání. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li: a : b = 4 : 5, vc = 3 cm, 7 = 60°.
C
A-'
Rozbor. Nejprve umístíme libovolně dlouhou úsečku B'C a narýsujeme AA'B'C: Sestrojíme úhel o velikosti 7 = 60° u vrcholu C a bod A' ležící na jeho rameni a mající od bodu C vzdálenost rovnu ^\B'C'\ = ||B'C"|. Nechť P' je pata výšky tohoto trojúhelníka na stranu A'B'. Uvažujme nyní stejnolehlost "H(C"; k) se středem v bodě C a vhodným koeficientem k tak, že se bod P' zobrazí na bod P a platí \C'P\ = vc = 3 cm. V této stejnolehlosti zobrazíme celý AA'B'C. Trojúhelníky ABC a A'B'C jsou podobné podle věty sus.
Popis konstrukce.
1. B'C';\B'C'\ = lib.
2. <B'C'Y; \<B'C'Y\ = /3 = 60°
3. A'; A' e h- C'Y A \A'C'\ = \ \B'C\
4. AA'B'C
5. P'; P' e A'B' A C P' _L A'B'
6. P; P        C P' A |C'P| =t)c = 3cm
7. AABC; U(C; k = Jggl) : AA'B'C" -> AABC Konstrukce.
12
Y
\ A
B'       B C = C
Diskuse počtu řešení. Úloha má jediné řešení.
Příklad 10.
Zadání. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li: b : c = 6 : 7, vc = 4cm, a = 45°.
Rozbor. Nejprve umístíme libovolně dlouhou úsečku AB', následně sestrojíme úhel o velikosti a = 45° u vrcholu A a bod C tak leží na rameni tohoto úhlu a má od bodu A vzdálenost rovnu Tím jsme sestrojili AA'B'C. Nechť P' je pata výšky tohoto
trojúhelníka na stranu AB'. Uvažujme nyní stejnolehlost 7í(C'; k) se středem v bodě C a vhodným koeficientem k tak, že se bod P' zobrazí na bod P a platí \PC'\ = vc = 4cm. V této stejnolehlosti zobrazíme celý AA'B'C. Trojúhelníky ABC a AB'C jsou podobné podle věty sus.
Popis konstrukce.
1. A'B';\A'B'\ = lib.
2. <B'AY; \<B'AY\ = a = 45°
3. C; C G ^ A Y A \AC'\ = %\A'B'\
4. AA'B'C
13
5. P'; P' G A'B' A C P1 _L
6. P; P        C P' A |C"P| =t)c = 4cm
7. AABC; ft(C"; k = JggL) : AA'B'C -> AABC Konstrukce.
F.
	C = C /		
	Á a		
A' /		P'	\ 5
P			
Diskuse počtu řešení. Úloha má jediné řešení.
Příklad 11.
Zadání. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li: a = 75°, 7 = 45° a poloměr kružnice vepsané p = 2 cm.
Rozbor. Nejprve umístíme libovolně dlouhou úsečku A'C, následně sestrojíme úhel o velikosti a = 75° u vrcholu A' a úhel velikosti 7 = 45° u vrcholu C Bod B' nalezneme jako průsečík ramen těchto úhlů. Sestrojili jsme tak AA'B'C. Nechť S je střed kružnice vepsané tomuto trojúhelníku a bod T'h tečný bod této kružnice se stranou A'C trojúhelníka AA'B'C. Uvažujme nyní stejnolehlost 7í(S; k) se středem v bodě S a vhodným koeficientem k tak, že se bod T'h zobrazí na bod T5 vzdálený p = 2 cm od bodu S. V této stejnolehlosti zobrazíme celý AA'B'C Trojúhelníky ABC a A'B'C jsou podobné podle věty mm.
Popis konstrukce.
14
1. A'C';\A'C'\ = lib.
2. <C'A'X; \<C'A'X\ = a = 75°
3. <A'C'Y; \<A'C'Y\ = 7 = 45°
4. 5'; B' e A'X n C'F
5. AÄB'C
6. o; o je osa <C'A'X
7. p; p je osa <A'C'Y
8. S; S e o f] p
9. T^; T'h e A'C A ST£ _L A'C"
10. jfc; fc(S;p = 2 cm)
11. T6; Tbe^STlC\k
12. AABC; ^(S; k Konstrukce.
H) : AÄB'C -> AABC
p
C
A
Diskuse počtu řešení. Úloha má jediné řešení.
Příklad 12.
Zadání. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li: a opsané r = 4 cm.
60°, (3 = 60° a poloměr kružnice
15
6'
Á
Rozbor. Nejprve umístíme libovolně dlouhou úsečku A'B', následně sestrojíme úhel u vrcholu A' velikosti a = 60° a úhel u vrcholu B' velikosti (3 = 60°. Bod C nalezneme jako průsečík ramen těchto úhlů. Sestrojili jsme tak AA'B'C. Nechť S je střed kružnice k' opsané tomuto trojúhelníku. Uvažujme nyní stejnolehlost 7í(S; k) se středem v bodě S a vhodným koeficientem k tak, že se bod A' zobrazí na bod A a platí \SA\ = r = 4cm. V této stejnolehlosti zobrazíme celý AA'B'C. Trojúhelníky ABC a A'B'C jsou podobné podle věty uu.
Popis konstrukce.
1.	A'B';\A'B'\ = lib.	
2.	<B'A'X; \<B'A'X\ = a	= 60
3.	<A'B'Y; \<A'B'Y\ = /3	= 60°
4.	C';C e A'X n B'Y	
5.	AA'B'C	
8. S; S e o f] p
9. k; k(S; r = 4 cm)
10. A; A E h-> SA' n k
11. AABC; H(S'; k = g) : AA'B'C -> AABC Konstrukce.
6
o; o je osa úsečky AB
7.
p; p je osa úsečky B C
16
Y^       c       t X
Diskuse počtu řešení. Úloha má jediné řešení.
Příklad 13.
Zadání. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li: a : b : c = 7 : 3 : 5, vc = 4 cm.
Rozbor. Nejprve umístíme libovolně dlouhou úsečku A'B'. Bod C se nachází ve vzdálenosti -c\A'B'\ = l\A'B'\ od bodu A' a ve vzdálenosti ^\A'B'\ = l\A'B'\ od bodu B'. Sestrojíme tak AA'B'C. Uvažujme stejnolehlost H (A'; k) se středem v bodě A' a vhodným koeficientem k tak, že se bod C zobrazí na bod C a jeho vzdálenost od přímky A'B' bude vc = 4 cm. V této stejnolehlosti zobrazíme celý AA'B'C Trojúhelníky ABC a A'B'C jsou podobné podle věty sss.
Popis konstrukce.
1. A'B';\A'B'\ = lib.
2. kA]kA(A'^c\A'B'\ = l\A'B'\)
3. kB;kB(B';*\A'B'\ = l\A'B'\)
17
4. C- C ekAn kB
5. AA'B'C
6. q; v (A'B', q) = vc = 4 cm
7. C; C e h- A'C" n g
8. AABC; k = $§\) : AA'B'C -> AABC Konstrukce.
A = A' B' B
Diskuse počtu řešení. Úloha má jediné řešení.
Příklad 14.
Zadání. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li: a : b : c = 4 : 3 : 5, poloměr kružnice opsané r = 4 cm.
-
Rozbor. Nejprve umístíme libovolně dlouhou úsečku A'B'. Bod C se nachází ve vzdálenosti ±\A'B'\ = t\A'B'\ od bodu A' a ve vzdálenosti ±\A!B'\ = Š\A'B'\ od bodu B'. Sestrojili
cl i        51 1 cl i        51 1 J
jsme tedy AA'B'C. Sestrojme střed S' kružnice opsané trojúhelníku A'B'C Uvažujme stejnolehlost 7í(S; k) se středem v bodě S a vhodným koeficientem k tak, že se bod A' zobrazí na bod A a platí AS = r = 4 cm. V této stejnolehlosti zobrazíme celý AA'B'C Trojúhelníky ABC a A'B'C jsou podobné podle věty sss.
18
Popis konstrukce.
1. A'B':\A'B'\ = lib.
i. b\ Ar D/| _ 3 M/gi
2. k a] kA(A'^\A'B
3. kB;kB(B';^\A'B'\ = l\A'B'\
4. C; C G kA n fcB
5. AA'5'C"
6. oa; oa je osa úsečky B'C
7. oc; oc je osa úsečky A'-B'
8. S; S G oa Pi oc
9. A;; A;(S'; r = 4 cm)
10. A; A E     SA' n k
11. AABC; U{S\k- ^ Konstrukce.
|A'S|<
AA'5'C" AABC
f       / /	•s.' \ "' s                      ^s. \
I     / *	
/ /	
/ /	
A'	S             B1 ,
\ Oc	/
B
Diskuse počtu řešení. Úloha má jediné řešení.
Příklad 15.
Zadání. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li: a : b : c = 5 : 6 : 5, poloměr kružnice vepsané p = 2 cm.
19
Rozbor. Nejprve umístíme libovolně dlouhou úsečku A'B'. Bod C se nachází ve vzdálenosti -c\A'B'\ = \\A'B'\ od bodu A' a ve vzdálenosti -c\A'B'\ = \A'B'\ od bodu B'. Sestrojili jsme tedy AA'B'C. Sestrojme střed S kružnice vepsané trojúhelníku A'B'C a tečný bod T'c této kružnice se stranou A'B'. Uvažujme stejnolehlost 7í(S; k) se středem v bodě S a vhodným koeficientem k tak, že se bod T'c zobrazí na bod Tc a že platí STC = r = 4 cm. V této stejnolehlosti zobrazíme celý AA'B'C. Trojúhelníky ABC a A'B'C jsou podobné podle věty sss.
Popis konstrukce.
1. A'B';\A'B'\ = lib.
2. kA]kA(A';l\A'B'\ = l\A'B'\)
3. kB; kB(B';*\A'B'\ = \A'B'\)
4. C; C G kA n kB
5. AA'B'C
6. oa; oa je osa <B'A'C
7. op; op je osa <A'B'C
8. S; S G oa n
9. p; S Ep Apl £'C
10. T^; Tc' G        n p
11. /c; A;(S'; r = 4 cm)
12. Tc; Ta G T'CS fl A;
13. AABC; H(S'; k = M) : AA'B'C" AABC Konstrukce.
20
c
Diskuse počtu řešení. Úloha má jediné řešení.
Příklad 16.
Zadání. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li: a = 45°, vb = 4cm, |A£?i| : |-BiC| =3:4, kde B\ je pata výšky z B na AC.
A0'
Rozbor. Nejprve umístíme přímku A'X. Dále na ní nalezneme body B[ a C libovolně tak, aby platilo |A'i?í| : = 3:4. Bod B' leží na přímce p kolmé na úsečku A'X
a procházející bodem B[, zároveň leží na rameni A'Y úhlu XA'Y o velikosti a = 45°. Uvažujme tedy stejnolehlost 7-L(B'; k) s vhodným koeficientem k tak, že se bod B[ zobrazí na bod B\, přičemž musí platit, že úsečka B\B' má velikost vb = 4 cm. V této stejnolehlosti zobrazíme celý AA'B'C Trojúhelníky ABC a A'B'C jsou podobné podle věty uu.
Popis konstrukce.
1. -H- A'X
2. fci(A';3)
3. B[; B[ G fciD ^ A'X
21
4. k2; fc2(Bi;4)
5. C"; C e k2n H> A'X
6. p; B[epAp±- A'X
7. <XÄY; \<XA'Y\ = a = 45°
8. 5'; B' E p D A'Y
9. A;; k(B';vb = 4 cm)
10. Bi; Bi <E píl k
11. AABC; ft(S"; k = : AABC Konstrukce.
Diskuse počtu řešení. Úloha má jediné řešení.
Příklad 17.
Zadání. Je dána úsečka CSi, \CSi\ = 3cm. Sestrojte trojúhelník ABC, pro který je úsečka CSi těžnicí tc a pro který dále platí: a = 3, 5 cm, 6 = 5 cm.
22
Rozbor. Nejprve umístíme úsečku CSi. Uvažujme středovou souměrnost S(S\) se středem Si, který je zároveň středem úsečky AB. Vrcholy trojúhelníka ABC a jeho obrazu tvoří vrcholy čtyřúhelníka, který pro jednoduchost označíme BCAD (podle náčrtku). Prakticky tak narýsujeme trojúhelník CAD podle věty sss, přičemž |C7L| = b, \AD\ = a, \CD\ = 2 • tc. Bod A pak jednoduše zobrazíme v S(Si) do bodu B.
Popis konstrukce.
0. CSľ, |CSi| = 3 cm
1. D; De ^CSi A\CD\ ='2-tc
2. ACAD; \CA\ = b = 5 cm, \AD\ = a = 3, 5 cm
3. AS! A\AB\ = 2 • |ASi|
4. AABC Konstrukce.
C
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení. Existují dva trojúhelníky ACAD sestrojené podle věty sss.
Příklad 18.
Zadání. Je dána úsečka CSi, \CSi\ = 3cm. Sestrojte trojúhelník ABC, pro který je úsečka CS± těžnicí tc a pro který dále platí: a = 30°, [3 = 45°.
23
(b
Rozbor. Nejprve umístíme úsečku CS±. Uvažujme středovou souměrnost S(Si) se středem Si, který je zároveň středem úsečky AB. Vrcholy trojúhelníka ABC a jeho obrazu tvoří vrcholy čtyřúhelníka, který pro jednoduchost označíme BCAD (podle náčrtku). Prakticky tak nalezneme bod D a sestrojíme bod A, ze kterého je úsečka CS± vidět pod úhlem velikosti a = 30° a úsečka S\D pod úhlem velikosti (3 = 45°. Bod A pak jednoduše zobrazíme v S(Si) do bodu B.
Popis konstrukce.
0. CSi; |CSi| = 3 cm
1. 5;Dé4 CSi A \CD\ = 2-tc
2. sc; ec{S1C-a = 30°)
3. eD; eD(S1D; (3 = 45°)
4. A; A E scC\ed
5. ASi A |AB| = 2 • |ASi|
6. AABC Konstrukce.
C
24
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení. Existují dvě ekvigonály eq a dvě ekvigonály So- Dostáváme celkem dva jejich průsečíky.
Příklad 19.
Zadání. Je dána úsečka CS±, \CSi\ = 3cm. Sestrojte trojúhelník ABC, pro který je úsečka CSi těžnicí tc a pro který dále platí: b = 8 cm, (3 = 30°.
Rozbor. Nejprve umístíme úsečku CSi. Uvažujme středovou souměrnost S(Si) se středem Si, který je zároveň středem úsečky AB. Vrcholy trojúhelníka ABC a jeho obrazu tvoří vrcholy čtyřúhelníka, který pro jednoduchost označíme BCAD (podle náčrtku). Prakticky tak nalezneme bod D a sestrojíme bod B, ze kterého je úsečka CS± vidět pod úhlem velikosti (3 = 30° a který je od bodu D vzdálen 6 = 8 cm. Bod B pak jednoduše zobrazíme
v S(Si) do bodu A. Popis konstrukce.
0. CSi; |CSi| = 3 cm
1. D; D E h-> CSi A \CD\ = 2-tc
2. e; e(S1C;P = 30°)
3. k; k(D,b = 8 cm)
4. B; B e en k
5. A;Ae^ BSx A \AB\ = 2 • \BS:
6. AABC Konstrukce.
25
Diskuse počtu řešení. Úloha má čtyři řešení. Existují dvě ekvigonály dané vlastnosti nad úsečkou CS± a každá z nich má navíc dva průsečíky s kružnicí k.
Příklad 20.
Zadání. Je dána úsečka CSi, \CSi\ = 3cm. Sestrojte trojúhelník ABC, pro který je úsečka CS± těžnicí tc a pro který dále platí: tb = 5 cm, a = 30°.
D
Rozbor. Nejprve umístíme úsečku CS\. Uvažujme středovou souměrnost S(S\) se středem Si, který je zároveň středem úsečky AB. Vrcholy trojúhelníka ABC a jeho obrazu tvoří vrcholy čtyřúhelníka, který pro jednoduchost označíme BCAD (podle náčrtku). Bod T je těžiště trojúhelníka BCA. Úhel S±BD má velikost a a těžiště trojúhelníků dělí těžnice v poměru 2:1. Pomocí těchto dvou podmínek dokážeme sestrojit trojúhelník T DB. Zbývající vrchol A hledaného trojúhelníka obdržíme zobrazením bodu B v S(Si).
Popis konstrukce.
26
0. CSi; \CSxl = 3cm
1. D;DG4 C5i A I CD I =2 - íc
2. T; TG i-} CD A 3 • |TC| = |CD|
3. e; e(S1D;a = 30°)
4. k; fc(T;| • í6 = | -5 cm)
5. B; B E e C) k
6. A; A G 4 55i A |AB| = 2 •
7. A ABC Konstrukce.
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení. Existují dvě ekvigonály dané vlastnosti nad úsečkou DS\ a každá z nich má jeden průsečík s kružnicí k.
Příklad 21.
Zadání. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li: a + 6 = 10 cm, c = 5 cm, va = 3 cm.
27
Rozbor. Nejprve umístíme úsečku BB\ o délce a + b = 10 cm. Bod A je pak od této úsečky vzdálen «„ = 3cm a od bodu B je vzdálen c = 5cm, dokázali bychom ho tedy jednoduše sestrojit. Stejně tak střed S úsečky AC. Uvažujme tak osovou souměrnost 0(o) s osou o, která je kolmá na úsečku AB\ a prochází bodem S. Trojúhelník ACBX je pak osově symetrický podle osy o. Z této skutečnosti plyne poloha bodu C na úsečce BB\.
Popis konstrukce.
1. BBľ; \BBX\ = a + b = 10cm
2. g; v(BB1,q) = va = 3 cm
3. k; k(B; c = 5 cm)
4. A; A e q n k
5. o; o je osa úsečky AB\
6. C; C E BBi n o
7. AABC Konstrukce.
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení, protože existují dva průsečíky přímky g a kružnice k.
Příklad 22.
Zadání. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li: b + c = 10 cm, a = 45°, (3 = 60°.
28
Rozbor. Nejprve umístíme úsečku BB\ o délce b+c = 10 cm. Uvažujme osovou souměrnost O (o) s osou o, která je osou hledané úsečky CB\. Trojúhelník ACB\ je pak osově symetrický podle osy o, přičemž při vrcholu A má vnitřní úhel o velikosti 180° — a a tedy při vrcholu Bi se nachází vnitřní úhel o velikosti \a. Dokázali bychom tak sestrojit trojúhelník BXBC díky znalosti dvou úhlů a strany jimi sevřené. Bod A narýsujeme díky podmínce, že leží na ose o a na přímce BB\.
Popis konstrukce.
1. BBi, \BBľ\ = b + c = 10cm
2. <B1BX; \<B1BX\ = (5 = 60°
3. <BB1Y- \<BB1Y\ = \a = |45°
4. C; C e BX n B {Y
5. o; o je osa úsečky CB\
6. A; A e B Bi n o
7. AABC Konstrukce.
X ^
\ \ C ^ Y
Diskuse počtu řešení. Úloha má jedno řešení.
Příklad 23.
Zadání. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li: 0 = a + b + c= 12cm, a = 45°, (3 = 75°.
29
Rozbor. Nejprve umístíme úsečku A±Bi o délce O = 12 cm. Uvažujme osové souměrnosti O (o) s osou o, která je osou hledané úsečky CB\ a 0(p) s osou p, která je osou hledané úsečky CAľ. Trojúhelník BB\C (resp. ACA\) je pak osově symetrický podle osy o (resp. p). Dokážeme tedy sestrojit trojúhelník A\B\C, protože známe délku strany A\B\ a přilehlé úhly o velikosti (3ľ a ax. Pro ně platí 2 • /3i + (180° — 0) = 180°, podobně pro a1; z čehož už jednoduše vypočítáme, že /3i = |/3 a «1 = |a. Bod A (resp. 5) leží na přímce a p (resp. o), dokázali bychom je tedy sestrojit.
Popis konstrukce.
1. AxBi, \A1B1\ = a + b + c= 12 cm
2. <A1B1X; |<AiBiX| = ±/3 = ±75°
3. <5iAiF; |<5iAiF| = i a = ±45°
4. C; C <E BXX n i4xy
5. o; o je osa úsečky CB\
6. B; B e A1B1 Ho
7. p; p je osa úsečky CAi
8. A; A e AXBX n p
9. AABC Konstrukce.
Diskuse počtu řešení. Úloha má jedno řešení.
Příklad 24.
Zadání. Sestrojte trojúhelník ABC, znáte-li: O = a + b + c = 12 cm, vc = 3 cm, 7 = 60°.
			
			
	v./		
	V	\	
			
			
'_I_v
^       A a ^ *
30
Rozbor. Nejprve umístíme úsečku A\B\ o délce O = 12 cm. Uvažujme osové souměrnosti O (o) s osou o, která je osou hledané úsečky CB\ aO(p) s osou p, která je osou hledané úsečky CA\. Trojúhelník BB\C (resp. ACA\) je pak osově symetrický podle osy o (resp. p). Součet vnitřních úhlů trojúhelníka ABC je a + {3 + 7 = 180° (z toho vyplývá =
180°-7 2
90°
7
2, a podobně jako v předchozím příkladě dokážeme vypočítat, že
60° ' 2 -
|<AiCA| = \a, \<B1CB\ = \(3. Uhel A1CB1 má tedy velikost (±a + \(3) + 7 = (90° -— ^) + 7 = 90° + ^. Dokážeme tedy sestrojit trojúhelník A\B\C, protože známe délku strany A\B\, velikost výšky trojúhelníka na tuto stranu vc, navíc víme, že bod C leží na ekvigonále 90° + ^ nad A\B\. Bod A (resp. B) leží na průniku přímek A\B\ a p (resp. o).
Popis konstrukce.
1. AXBX] = a + 6 + c= 12cm
2. g; w(y4ii?i,g) = vc = 3cm
3. e; e(Ai5i;90° + f = 90°
4. C; C G g n £
5. o; o je osa úsečky CB\
6. B; B e A^Ho
7. p; p je osa úsečky CA\
8. A; A e AXBX f] p
9. AABC Konstrukce.
/s                     A1^           \ nJ /   s            '•           \               '• /N. /y                                                           / : n. /   ^                  ^                      /                                         >^ nv f                                         '■            f >v		n \ ^                   n \ ^ ^             x \
A' \      .1 \       i       / B' /	B	
p'       p     \     d 0 -v "S. '• •v :		
■v "s. V. ■v.		
1 \		
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení, protože existují dva průsečíky kružnice e a přímky g.
31
3   Konstrukce čtyřúhelníků Příklad 25.
Zadání. Sestrojte rovnoběžník ABCD, znáte-li: a = 6 cm, va = 3 cm, ^AS-BI = 120' (kde S je průsečík úhlopříček).
Rozbor. Nejprve umístíme úsečku AB o délce a = 6 cm. Protilehlá strana se nachází ve vzdálenosti va = 3 cm od strany AB, to znamená, že bod S leží ve vzdálenosti | • va = | • •3 cm. Zároveň se nachází na ekvigonále 120° nad úsečkou AB. Dokážeme ho tedy sestrojit a zbývající vrcholy rovnoběžníku ABCD nalezneme pomocí středové souměrnosti S(S).
Popis konstrukce.
1. AB; \AB\ = a = 6cm
2. q; v(AB, q) = \ ■ va = \ ■ 3 cm
3. e; e(AB;\<ASB\ = 120°)
4. S; S eqHe
5. C; S(S) :A^C
6. D; S(S) :B^D
7. rovnoběžník ABCD Konstrukce.
D' D     C C
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení, protože existují dva průsečíky kružnice e a přímky q.
32
Příklad 26.
Zadání. Sestrojte rovnoběžník ABCD, znáte-li: b = 6 cm, \BD\ = f = 7, 5 cm, \<ASB\ = = 45° (kde S je průsečík úhlopříček).
Rozbor. Nejprve umístíme úsečku BC o délce 6 = 6 cm. Střed S hledaného rovnoběžníku leží ve vzdálenosti \ ■ \BD\ = \ ■ f = \ • 7,5cm od bodu B. Střed dále leží na ekvigonále 180° — 45° nad BC. Dokážeme ho díky těmto podmínkám zkonstruovat. Zbývající vrcholy rovnoběžníku ABCD nalezneme pomocí středové souměrnosti S(S).
Popis konstrukce.
1. BC; \BC\ = b = 6 cm
2. k; fc(B;i-/ = i-7,5cm)
3. e; e(BC; 180° - \<ASB\ = 180° - 45°)
4. S; S G k n e
5. A] S(S) :C -> A
6. D; 5(5) :B^D
7. rovnoběžník ABCD Konstrukce.
33
Diskuse počtu řešení. Úloha má jediné řešení.
Příklad 27.
Zadání. Sestrojte kosočtverec ABCD, znáte-li: a = 4 cm, v = 3 cm.
Rozbor. Nejprve umístíme úsečku AB o délce a = 4 cm. Protilehlá strana má ležet na přímce q ve vzdálenosti v = 3 cm. Kosočtverec už pak jednoduše narýsujeme díky znalosti délky strany.
Popis konstrukce.
1. AB; \AB\ = a = 4cm
2. q; v(AB, q) = v = 3 cm
3. c; c(B; a = 4 cm)
4. C;CecC\q
5. d; A e d Ad || BC
6. D; D E d A \AD\ = a = 4cm
7. kosočtverec ABCD Konstrukce.
k
D'
q
A
B
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení, protože existují dva průsečíky přímky q s kružnicí c.
Příklad 28.
34
Zadání. Sestrojte kosočtverec ABCD, znáte-li: \AC\ = e = 6cm, \BD\ = f = 4cm.
Rozbor. Nejprve umístíme úsečku AC o délce e = 6 cm. Body B a D leží na ose o úsečky AC ve vzdálenosti | • / = | • 4 cm od průsečíku přímky ^4C a osy o.
Popis konstrukce.
1. AC] \AC\ = e = 6 cm
2. o; o je osa úsečky AC
3. 5; 5 G o n
4. k; fc(S';i-/ = i-4cm)
5. {£,£>}; {5,D} = oní;
6. kosočtverec ABCD Konstrukce.
0			
			
			
		5	
Diskuse počtu řešení. Úloha má jedno řešení. Příklad 29.
Zadání. Sestrojte lichoběžník ABCD, znáte-li: \AB\ = 8 cm, \CD\ = 3 cm, \AC\ = 6cm, \BD\ = 7cm.
35
i
Rozbor. Uvažujme stejnolehlost 7í(S; k) s vhodným koeficientem tak, že se trojúhelník ABS zobrazí na trojúhelník CDS. Pak všechny odpovídající si strany mají délky v poměru \AB\ : \CD\ =8:3. Díky této skutečnosti dokážeme sestrojit například trojúhelník ABS, protože známe délky všech tří stran. Body C a, D doplníme ve stejnolehlosti 7í(S; k).
Popis konstrukce.
1. AB; \AB\ = 8cm
2. a; a(A;ý • \AC\ = £ -6 cm)
3. b; b(B;±- \BD\ = § • 7cm)
4. S; S e a n b
5. CD; U(S; k = -f) : AB -+ CD
6. lichoběžník ABCD Konstrukce.
D C
A B
Diskuse počtu řešení. Úloha má jedno řešení.
Příklad 30.
Zadání. Sestrojte lichoběžník ABCD, znáte-li: \AB\ = 6 cm, \CD\ = 4cm, \AC\ = 5cm, ^AS-Bl = 120° (kde S je průsečík úhlopříček).
36
Rozbor. Uvažujme stejnolehlost 7í(S; k) s vhodným koeficientem tak, že se trojúhelník ABS zobrazí na trojúhelník CDS. Pak všechny odpovídající si strany mají délky v poměru \AB\ : \CD\ =3:2. Díky této skutečnosti dokážeme sestrojit například trojúhelník ABS, protože známe délky dvou stran a víme, že bod S leží na ekvigonále velikosti ^AS-BI = 120° nad AB. Body C a, D doplníme ve stejnolehlosti 7í(S; k).
Popis konstrukce.
1. AB; \AB\ = 6cm
2. a; a(A; § • \ AC\ = § • 5 cm)
3. e; e(AB;\<ASB\ = 120°)
4. S; S E a f] e
5. CD; U(S; k = -f) : AB -+ CD
6. lichoběžník ABCD Konstrukce.
D C
Příklad 31.
Zadání. Sestrojte lichoběžník ABCD, znáte-li: \AB\ = 7cm, \BC\ = 4cm, \CD\ = 2cm, \AD\ = 3 cm.
A
B
Diskuse počtu řešení. Úloha má jedno řešení.
5
-
b
37
Rozbor. Uvažujme stejnolehlost 7í(S; k) s vhodným koeficientem tak, že se trojúhelník ABS zobrazí na trojúhelník DCS, přičemž bod S je průsečíkem přímek AD a BC. Pak všechny odpovídající si strany mají délky v poměru \AB\ : \CD\ = 7:2. Strany AS a BS trojúhelníka ABS tak mají | krát větší délku než zadané strany AD a BC lichoběžníka ABCD. Body C a, D doplníme ve stejnolehlosti 7í(S; k).
Popis konstrukce.
1. AB; \AB\ = 7cm
2. a; a(A; \ ■ \ AD\ = \ ■ 3 cm)
3. b; b(B;l-\BC\ = f-4cm)
4. S; S e a n b
5. CD; U(S; k = |) : AB —^ CD
6. lichoběžník ABCD Konstrukce.
A B Diskuse počtu řešení. Úloha má jedno řešení.
Příklad 32.
Zadání. Sestrojte lichoběžník ABCD, znáte-li: \AB\ = 6cm, \BD\ = 6cm, \AD\ = 4cm, \<BCD\ = 120°.
Rozbor. Nejprve narýsujeme trojúhelník ABD, přitom známe délky všech stran. Bod C pak leží na ekvigonále 120° nad BD a na rovnoběžce k přímce AB procházející bodem D.
Popis konstrukce.
38
1. AABD; \AB\ = 6 cm, \BD\ = 6cm, \AD\ = 4cm
2. e; ^PODl = 120°)
3. q; D G q A g || AB
4. C; C G q H e
5. lichoběžník ABCD Konstrukce.
D C
Diskuse počtu řešení. Úloha má jedno řešení.
Příklad 33.
Zadání. Sestrojte konvexní čtyřúhelník ABCD, znáte-li: \AB\ = 7cm, \BD\ = 5cm, \AC\ = 8cm, \<BAD\ = 45°, \<ADC\ = 150°.
Rozbor. Nejprve narýsujeme trojúhelník ABD, přitom známe délky dvou stran a velikost úhlu při vrcholu A. Bod C leží ve vzdálenosti \AC\ = 8 cm od bodu A a na rameni DX úhlu ADX o velikosti |<ADC| = 150°.
Popis konstrukce.
1. AABD; \AB\ = 7cm, \BD\ = 5cm, \<BAD\ = 45°
2. jfc; jfc(A; |AC| = 8 cm)
3. <ADX; \<ADX\ = \<ADC\ = 150°
39
4. C; C G H- DX Pi k
5. čtyřúhelník ABC D Konstrukce.
A B
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení. Existují dva trojúhelníky AABD daných vlastností.
Příklad 34.
Zadání. Sestrojte konvexní čtyřúhelník ABCD, znáte-li: \BC\ = 5cm, \CD\ = 5cm, \AC\ = 6cm, \<BAC\ = 45°, \<ADC\ = 90°.
Rozbor. Nejprve narýsujeme trojúhelník ABC, přitom známe délky dvou stran a velikost úhlu při vrcholu A. Bod D leží ve vzdálenosti \CD\ = 5cm od bodu C a na Thaletově kružnici nad AC.
Popis konstrukce.
1. AABC; \BC\ = 5 cm, \AC\ = 6 cm, \<BAC\ = 45°
2. jfc; k(C; \CD\ = 5cm)
3. r; t(AC)
4. D; D ekCír
5. čtyřúhelník ABC-D
40
Konstrukce.
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení. Existují dva trojúhelníky AABC daných vlastností.
Příklad 35.
Zadání. Sestrojte konvexní čtyřúhelník ABCD, znáte-li: \BC\ = 6cm, \CD\ = 3cm, \AC\ = 5cm, \<DAB\ = 30°, \<BCD\ = 30°.
3>
Rozbor. Nejprve narýsujeme trojúhelník BCD, přitom známe délky dvou stran a velikost úhlu jimi sevřeného. Bod A leží ve vzdálenosti \AC\ = 5 cm od bodu C a na ekvigonále 30° nad BD.
Popis konstrukce.
1. ABCD (sus); \BC\ = 6cm, \CD\ = 3cm, \<BCD\ = 30°
2. k; k(C; \AC\ = 5 cm)
3. e; |<L>AB| = 30°)
4. A; Aefcíle
5. čtyřúhelník ABCD Konstrukce.
41
B
C
Diskuse počtu řešení. Úloha nemá řešení. Čtyřúhelník vzniklý konstrukcí dle popisu nesplňuje zadanou podmínku konvexnosti.
Příklad 36.
Zadání. Sestrojte konvexní čtyřúhelník ABCD, znáte-li: \AC\ = 6cm, \AD\ = 5cm, \CD\ = 4cm, \<ABC\ = 90°, \<ASB\ = 90° (S je průsečík úhlopříček).
Rozbor. Nejprve narýsujeme trojúhelník ACD, přičemž známe délky všech tří stran. Bod B leží na Thaletově kružnici nad úsečkou AC. Zároveň se nachází na přímce kolmé k úsečce AC procházející bodem D.
Popis konstrukce.
1. AACD (sss); \AC\ = 6cm, \AD\ = 5cm, \CD\ = 4cm
2. q; D EqAq ±AC
3. r; t(AC)
4. B; B e qCír
5. čtyřúhelník ABCD
42
4   Další úlohy
Příklad 37.
Zadání. Je dána úsečka OP, \OP\ = 4 cm, kružnice A;(0;2,5cm) a přímka p kolmá na úsečku OP a procházející bodem P. Dále je zadán jediný bod M, pro který platí \OM\ = 3cm a \<POM\ = 30°.
Sestrojte čtverec ABC D tak, aby platilo: A G k, C G p, bod M je středem čtverce ABC D.
Rozbor. Nejprve narýsujeme zadání polohové úlohy s pomocí úsečky OP — bod M, přímku p a kružnici k. Pro narýsování čtverce ABCD uvažujme středovou souměrnost S(M). V té se zobrazí přímka p na přímku p'. Jestliže C G p, pak i A G p', protože bod A je středově souměrný podle M s bodem C. Bod A tedy dokážeme sestrojit jako průsečík přímky p' a kružnice k. Zbývající body najdeme s pomocí středové souměrnosti S(M) a vlastností čtverce.
Popis konstrukce.
43
0. úsečka OP, bod M, přímka p, kružnice k (zadaných vlastností)
1. p'; S (M) :p^p'
2. A; A e k n p'
3. C; S (M) : A^C
4. o; M eoAo-LAC
5. m; m(M; |AM|)
6. {£,£>}; {£,£>} = o n m
7. čtverec ABC D Konstrukce.
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení, protože existují dva průsečíky přímky p' s kružnicí k.
Příklad 38.
Zadání. Je dána úsečka OP, \OP\ = 4 cm, kružnice A;(0;2,5cm) a přímka p kolmá na úsečku OP a procházející bodem P. Dále je zadán jediný bod M, pro který platí \OM\ = 3cm a \<POM\ = 30°.
Sestrojte čtverec ABCD tak, aby platilo: B E k, D E p, A = M.
44
Rozbor. Nejprve narysujeme zadání polohové úlohy s pomoci úsečky O P — bod M, přímku p a kružnici k. Pro narýsování čtverce ABCD uvažujme otočení TZ(M; =(=90°) o úhel =1=90° se středem M. V tomto otočení se bod D E p se zobrazí na bod B G k. Pak se i přímka p zobrazí na přímku p' a platí B G p'. Bod B tedy leží na průsečíku přímky p' a kružnice A;. Bod A splývá s bodem M a zbývající body získáme v daném otočení nebo s využitím vlastností čtverce.
Popis konstrukce.
0. úsečka OP, bod M, přímka p, kružnice k (zadaných vlastností)
1. p'; K(M; ^90°) : p -> p'
2. B; B E k f] p'
3. D; 7e(M;±90°) : B -> P>
4. A; A = M
5. b; B eb Ab ± AB
6. d; D E d Ad ± AD
7. C;Cebnd
8. čtverec APCP> Konstrukce.
45
p
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení, protože existují dva průsečíky přímky p' s kružnicí k.
Příklad 39.
Zadání. Je dána úsečka OB, \0P\ = 4cm, kružnice A;(0;2cm) a přímka p kolmá na úsečku OP a procházející bodem P. Dále je zadán jediný bod M, pro který platí \OM\ = = 2, 5 cm a \<POM\ = 30°.
Sestrojte čtverec ABCD tak, aby platilo: A G k, C G p, BD C PM.
Rozbor. Nejprve narýsujeme zadání polohové úlohy s pomocí úsečky OP — bod M, přímku p a kružnici k. Pro narýsování čtverce ABCD uvažujme osovou souměrnost 0(BM) s osou souměrnosti, kterou je přímka BM. V tomto zobrazení se bod C G p se zobrazí na bod A G k. Pak se i přímka p zobrazí na přímku p' a platí A G p'. Bod A
46
tedy leží na průsečíku přímky p' a kružnice k. Zbývající body získáme s využitím vlastností čtverce a osové souměrnosti O(PM).
Popis konstrukce.
0. úsečka OP, bod AI, přímka p, kružnice k (zadaných vlastností)
1. p'; 0{PM) :p^p'
2. A; A G k H p'
3. C; O(PM) :A^C
4. S*; S1 je střed úsečky AC
5. o; o je osa úsečky AC
6. m; m(5; |Aí?|)
7. {B, D); {B, D} = o Hm
8. čtverec ABC D Konstrukce.
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení, protože existují dva průsečíky přímky p' s kružnicí k.
Příklad 40.
47
Zadání. Je dána úsečka OP, \OP\ = 4 cm, kružnice A;(0;2,5cm) a přímka p kolmá na úsečku OP a procházející bodem P. Dále je zadán jediný bod M, pro který platí \OM\ = 3cm a \<POM\ = 30°.
Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby platilo: C G k, B G p, A = M.
ť
I
Rozbor. Nejprve narýsujeme zadání polohové úlohy s pomoci úsečky OP — bod M, přímku p a kružnici k. Pro narýsování rovnostranného trojúhelníka ABC uvažujme otočení TZ(M; =1=60°), ve kterém se zobrazí přímka p na přímku p'. Jestliže B E p, pak i C E p', protože bod B se v daném otočení zobrazí do bodu C. Bod C tedy dokážeme sestrojit jako průsečík přímky p' a kružnice k. Bod A splývá s bodem M a bod B najdeme s pomocí vlastností otočení TZ(M; =(=60°).
Popis konstrukce.
0. úsečka OP, bod M, přímka p, kružnice k (zadaných vlastností)
1. p'; Tl{M; ^60°) : p -> p'
2. C; C E k f] p'
3. A; A = M
4. B; n(M;±60°) : C -> 5
5. AABC Konstrukce.
48
p
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení, protože existují dva průsečíky přímky p' s kružnicí k.
Příklad 41.
Zadání. Je dána úsečka OP, \0P\ = 4 cm, kružnice A;(0;2,5cm) a přímka p kolmá na úsečku OP a procházející bodem P. Dále je zadán jediný bod M, pro který platí \OM\ = 3cm a \<POM\ = 30°.
Sestrojte rovnoběžník MOKL tak, aby platilo: K G k, L G p.
Rozbor. Nejprve narýsujeme zadání polohové úlohy s pomoci úsečky OP — bod m, přímku p a kružnici k. Pro narýsování rovnostranného trojúhelníka ABC uvažujme posunutí t(mÓ), ve kterém se přímka p zobrazí na přímku p'. Jestliže L G p, pak i K E p', protože bod L se v daném posunutí zobrazí do bodu K. Bod K pak dokážeme sestrojit jako průsečík přímky p' a kružnice k. Bod L pak nalezneme jednoduše inverzním zobrazením, než bylo posunutí
Popis konstrukce.
49
0. úsečka OP, bod M, přímka p, kružnice k (zadaných vlastností)
1. p'; T(MÔ) :p^p'
2. K; K ekHp'
3. L; T{OM) :K^L
4. rovnoběžník MOKL Konstrukce.
L
L
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení, protože existují dva průsečíky přímky p' s kružnicí k.
Příklad 42.
Zadání. Je dána úsečka OP, \OP\ = 4 cm, kružnice A;(0;2,5cm) a přímka p kolmá na úsečku OP a procházející bodem P. Dále je zadán jediný bod M, pro který platí \OM\ = 3cm a \<POM\ = 30°.
Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABM se základnou AB tak, aby platilo: B G k, Aep,vcC PM.
50
ť
Rozbor. Nejprve narysujeme zadání polohové úlohy s pomoci úsečky O P — bod M, přímku p a kružnici k. Pro narýsování rovnostranného trojúhelníka ABC uvažujme osovou souměrnost O(MP), přičemž trojúhelník ABC je souměrný podle přímky MP. V dané osové souměrnosti se přímka p zobrazí na přímku p' a jestliže A E p, pak i B G p', protože se bod A zobrazí v 0(MP) do bodu B. Bod B tedy dokážeme sestrojit jako průsečík přímky p' a kružnice k. Bod A nalezneme jednoduše využitím osové souměrnosti 0(MP).
Popis konstrukce.
0. úsečka OP, bod M, přímka p, kružnice k (zadaných vlastností)
1. p';0(MP) :p^p'
2. B; B e k f] p'
3. A; 0{MP) :B^A
4. AABM Konstrukce.
51
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení, protože existují dva průsečíky přímky p' s kružnicí k.
Příklad 43.
Zadání. Je dán čtverec KLMN, \KL\ = 6 cm. Vně čtverce sestrojte bod A tak, aby platilo \AM\ = 3 cm, \AL\ = 4cm
Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby vrcholy B, C ležely na obvodu čtverce KLMN.
Rozbor. Nejprve narýsujeme zadání polohové úlohy — čtverec KLMN a bod A. Pro narýsování rovnostranného trojúhelníka ABC uvažujme otočení TZ(A; ±60°). V daném
52
otočení zobrazíme čtverec KLMN na čtverec K'L'M'N'. Jestliže B G KLMN, pak i C G K'VM'N', protože se bod B v tomtéž otočení zobrazí na bod C. Bod C tak nalezneme jako průsečík dvou čtverců KLMN a K'L'M'N'. Bod B doplníme jako vzor bodu C v zobrazení 7Z(A; ±60°).
Popis konstrukce.
0. čtverec KLMN, bod A (zadaných vlastností)
1. K'L'M'N';K(A; ±60°) : KLMN -> K'L'M'N'
2. C; C G KLMN n K'L'M'N'
3. 5; ^(A;^60o) : C ^ B
4. AABC Konstrukce.
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení, protože existují dva průsečíky čtverců KLMN a K'L'M'N'.
Příklad 44.
53
Zadání. Kružnice &i(Oi; 5 cm), k2(02; 3 cm), IO1O2I =3 cm se protínají ve dvou bodech. Označte C jeden z těchto průsečíků.
Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AB tak, aby platilo: A G ki, B G k2, \<ACB\ = 105°.
Rozbor. Nejprve narýsujeme zadání polohové úlohy určením úsečky 0\02 — kružnice k\ a k2. Pro narýsování trojúhelníka ABC uvažujme otočení TZ(C; ±105°). V daném otočení zobrazíme kružnici k\ na kružnici k[. Jestliže A G kľ, pak i B G k[, protože se bod A v tomtéž otočení zobrazí na bod B. Bod B tak nalezneme jako průsečík kružnic k[ a k2. Bod A doplníme jako vzor bodu B v zobrazení 7Z(C; ±105°).
Popis konstrukce.
0. úsečka 0±02, kružnice ki, k2, bod C
1. k[; ft(C;±105°) : kx k[
2. B; B G k2 n k[
3. A; ^(C;^105o) : B —ř A
4. AABC Konstrukce.
54
o2
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení. Jedno získáme v otočení TZ(C; +105°) a druhé v otočení TZ(C; —105°).
Příklad 45.
Zadání. Kružnice ki{0\] 4cm), /^(C^; 3 cm), IO1O2I = 2 cm se protínají ve dvou bodech. Označte T jeden z těchto průsečíků.
Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby platilo A G ki, B G k2 a bod T byl těžiště trojúhelníku ABC.
Rozbor. Nejprve narýsujeme zadání polohové úlohy určením úsečky O1O2 — kružnice ki a k2. V rovnostranném trojúhelníku ABC splývají těžnice s osami vrcholových úhlů. Pak také platí, že trojúhelník ABT je rovnoramenný a velikost úhlu při vrcholu T je
55
120°. Pro narýsování trojúhelníka ABC uvažujme otočení TZ(T; ±120°). V daném otočení zobrazíme kružnici k\ na kružnici k[. Jestliže A G ki, pak i B G k[, protože se bod A v tomtéž otočení zobrazí na bod B. Bod B tak nalezneme jako průsečík kružnic k[ a k2-Bod A doplníme jako vzor bodu B v zobrazení TZ(T; ±120°) a bod C užitím vlastností rovnostranného trojúhelníka.
Popis konstrukce.
0. úsečka O1O2, kružnice ki, k2, bod T
1. k[; ft(T;±120°) : kt -> k[
2. B; B ek2n k[
3. A; K(T, ^120°) : B —ř A
4. AABC (sss); AABC je rovnostranný s vnitřním bodem T Konstrukce.
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení. Jedno získáme v otočení TZ(C; +120°) a druhé v otočení K{C; -120°).
Příklad 46.
Zadání. Je dána kružnice A;(0;4cm) a bod A, \OA\ = 3 cm. Sestrojte všechny tětivy XY kružnice k, které mají délku 6 cm a pro které platí, že přímka XY prochází daným bodem A.
56
Rozbor. Nejprve narysujeme zadání polohové úlohy — úsečku O A a kružnici k. Poté narýsujeme libovolnou tětivu X'Y' kružnice k o délce 6 cm. Uvažujme otočení 71(0; a) s vhodným koeficientem a tak, že se tětiva X'Y' zobrazí na tětivu XY kružnice k a platí A G XY. Sestrojíme tak kružnici a se středem O takovou, že A E a. Pak nalezneme A' jako průsečík tětivy X'Y' a kružnice a. V otočení 71(0; a) se pak bod X' (resp. Y') zobrazí do bodu X (resp. Y).
Popis konstrukce.
0. úsečka OA, kružnice k
1. X'Y'; X' E k AY' E k A \X'Y'\ = 6 cm
2. a; a(0; \OA\)
3. A'; A' E a C) X'Y'
4. XY; 71(0; a) : A'     A A X'Y' XY Konstrukce.
Y
X
57
Diskuse počtu řešení. Úloha má dvě řešení, protože existují dva průsečíky tětivy X'Y' s kružnicí a.
Příklad 47.
Zadání. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC (a = 6 cm) a kružnice k{0; 2, 5 cm). Střed O je volen tak, aby platilo \CO\ = \BO\ = 5 cm, k fl AABC = 0.
Sestrojte přímku p rovnoběžnou se stranou AB tak, aby tětiva, kterou kružnice k vytíná na přímce p, byla stejná jako úsečka XY, kterou přímka p vytíná na trojúhelníku ABC,
Rozbor. Nejprve narýsujeme zadání polohové úlohy — trojúhelník ABC a kružnici k daných vlastností. Uvažujme posunutí t{u) o vektor u, který má směr úsečky AB a velikost vzdálenosti osy o úsečky AB od středu O kružnice k. V tomto zobrazení se trojúhelník ABC zobrazí na trojúhelník A'B'C takový, že obraz hledaného bodu X (resp. Y), tedy bod X' (resp. Y') bude průsečíkem úsečky A'C (resp. B'C) a kružnice k. Obraz o' osy úsečky AB splyne s osou úsečky A'B', na níž navíc leží bod O, proto jsme volili dané posunutí t. Hledaná přímka p je přímka procházející body X', Y' a jejich vzory X, Y v zobrazení t. Díky osové souměrnosti trojúhelníka ABC podle osy o je nalezená přímka p opravdu rovnoběžná s přímkou AB a splňuje i další body zadání.
Popis konstrukce.
0. trojúhelník ABC, kružnice k se středem O
1. o; o je osa úsečky AB R
2. R; R G o A OR || AB
3. A'B'C; t(R~Ô) : ABC A'B'C
4. X'; X' G A'C H k
5. Y'; Y' G B'C H k
6. X, Y; t(0~Ŕ) : X' -+ X, Y' -+ Y
7. p; p = XY Konstrukce.
tj. x g p n ac, f g p n bc.
A
58
59
4. Další příklady Příklad 48
Zadáni: c = 6 cm, a = 45°, a.
Rozbor: Nejprve umístíme úsečku AB. Vrchol C vznikne průnikem ramene úhlu BAC a kružnice k se středem ve vrcholu B a poloměrem velikosti strany a.
Postup konstrukce:
1. AB; \AB\ = c = 6cm
2. <BAX; \<BAX\ = a = 45°
3. k; k{B; a)
4. C; C = kí) ^ AX
5. AABC
A B
Diskuse: Počet řešení je závislý na počtu bodů v průniku polopřímky AX a kružnice k. Jediné řešení má úloha v případě dotyku A: s i—>- AX. AX je pak tečnou kružnice k, a tedy
60
je úhel BCA pravý, kde s využitím goniometrických funkcí odvodíme vztah pro délku strany a:
a
siná = -
c
V případě rovnosti máme tedy jedno řešení. Je-li strana a menší než c • siná, pak se kružnice k s polopřímkou AX vůbec neprotnou. Je-li strana a větší než c • siná, pak může mít kružnice k s polopřímkou AX dva společné body za předpokladu, že poloměr kružnice je menší než 6. V případě a = 6 cm je jedním z bodů průniku polopřímky AX a kružnice k právě bod A, čímž získáváme právě jedno řešení pro konstrukci bodu C.
V případě a > 6 cm získáme jediné řešení.
a = c sin a = 6 • ^— = 3^/2 nebo a > 6... 1 řešení 2
a < 3\/2.. . 0 řešení 3\/2 < a < 6 ... 2 řešení
c = 3 cm žádné řešení
61
Příklad 49
Zadáni: l = 8 cm, ji = 30°, i/.
Rozbor: Umístíme úsečku KM. Těžnice je úsečka spojující vrchol a střed protější strany (v obrázku Li). Bod L je bodem průniku ramene úhlu KLM a kružnice d se středem v bodě L\ a poloměrem t\.
Postup konstrukce:
1. ifM; |KM| = Z = 8 cm
2. <KMX; \<KMX\ = /i = 30°
3. Li; Li G ATM A = \LXM\
4. d; d(Li;í/)
5. L; L = dn ^ MI
6. AKLM Konstrukce:
Diskuse: Počet řešení je závislý na počtu bodů v průniku polopřímky MX a kružnice d. V případě, že MX je tečna kružnice d, platí vztahy
62
tl
sm // = —,
2
6 8 ti = — sin u = - sin 30 = 2. 2     P 2
V případech, kdy délka těžnice ŕ; je rovna 2 cm, tzn. přímka MX je tečnou kružnice d, a kdy ŕ; > 4, tzn. průnik kružnice d s polopřímkou MX je jednoprvkový, má úloha jediné řešení.
Je-li délka těžnice t\ větší než 2 cm a menší než 4 cm, pak má úloha dvě řešení, protože existují dva body L,Ľ. Je-li délka těžnice t\, menší než 2 cm, úloha nemá řešení, tzn. průnik kružnice d a polopřímky MX je prázdný.
/\ /.. M
b = 4,5 cm jedno řešení
b = 1,5 žádné řešení
Příklad 50
Zadáni: s = 8 cm, ts = 2,5 cm, r.
Rozbor: Umístíme úsečku RT a sestrojíme její střed Si. Bod S pak leží na kružnici k (Si, ts a na rameni úhlu RTS.
63
Postup konstrukce:
1. RT; \RT\ = s = 8 cm
2. Si; lÄS'il = |SiT| A Si G i?T
3. <i?TX; |<ÄTX| = r
4. fc; fc(5i;ía = 2,5 cm)
5. S; S = kí) ^ TX
6. AÄST Konstrukce:
X
S
		
		
R		
T
Diskuse: Je-li ST tečnou kružnice k, platí vztah sin r =
^ = §. Je-li sinr = |, má
úloha jediné řešení, je-li sinr < |, má úloha dvě řešení, a pro sinr > | úloha nemá řešení.
Příklad 51
Zadání: z = 6 cm, y = 5 cm, x.
Rozbor: Trojúhelník XYZ sestrojíme podle sss. Postup známe ze základní školy. Postup konstrukce:
64
1. XY; \XY\ = z = 6 cm
2. k; k(X; y = 5 cm)
3. /; l(Y;x)
4. Z; Z = kí~)l
5. AXYZ Konstrukce:
X Y
Diskuse: Průnik kružnic k a / můžeme mít O, 1, 2 prvky v závislosti na trojúhelníkové nerovnosti.
x + y > z x + z > y y + z > x
Do soustavy nerovnic dosadíme a vyřešíme ji.
x + 5 > 6 x + 6 > 5 5 + 6 > x
Leží-li parametr x v intervalu (1; 11) cm, konstrukce trojúhelníku XY Z má řešení, a to jediné (druhé řešení je shodné a leží v opačné polorovině). Leží-li parametr mimo tento interval, trojúhelník XY Z nelze zkonstruovat, a tedy neexistuje.
Příklad 52
Zadání: c = 6 cm, tb = 4 cm, a.
Rozbor: Úlohu řešíme tzv. doplněním na rovnoběžník, ve kterém známe délky protilehlých stran a délku jedné úhlopříčky (2tb = 8 cm). Nejprve zkonstruujeme trojúhelník ABD a posléze doplníme na rovnoběžník ABCD pomocí rovnoběžek.
Úlohu lze řešit pomocí středové symetrie. Uvažujeme tedy středovou symetrii S(Bi): C —> A A B —> D, kde B\ je střed strany AC (a zároveň střed rovnoběžníku ABCD).
Postup konstrukce 1:
65
1. AB; \AB\ = c = 6cm
2. k; k(B;2cottb = 8cm)
3. /; l(A; a)
4. D; D = k f] l
5. p; D E p || AB
6. q; B eq\\ AD
7. C; C = p n g
8. AABC Konstrukce 1:
Postup konstrukce 2:
1. |5D| = 2í6 = 8 cm
2. m; m(D; c = 6 cm)
3. n; a)
4. C; C = m n n
5. 5i; B1eBD A \BB^ = ^D]
6. A; 5(50: C 4 A
7.
66
Konstrukce 2:
Diskuse: Počet řešení je závislý na existenci trojúhelníku ABD v prvním postupu konstrukce a trojúhelníku BDC ve druhém postupu konstrukce. Z trojúhelníkové nerovnosti získáme vztahy pro a.
a + 6 > 8 a + 8 > 6 8 + 6 > a
Pro a G (2,14) cm máme právě jedno řešení. Jinak trojúhelník neexistuje.
Příklad 53
Zadáni: t = 5 cm, tt = 4,5 cm, v.
Rozbor: Umístíme úsečku UV. Najdeme její střed, který označíme 7\. Bod T leží v průniku kružnic g (Ti, tt) a h(V; v).
Úlohu lze řešit pomocí středové symetrie. Nejprve sestrojíme trojúhelník TiTU podle sss. Dále uvažujeme středovou symetrii S(Ti) : U —> V.
Postup konstrukce 1:
1. UV; \UV\ = t = 5cm
2. Ti; Ti G Í/F A |í/Ti| = |TiV|
67
3. g; g(Ti,tt = 4,5 cm)
4. h; h{V;v)
5. T; T = g H h
6. ATUV Konstrukce 1:
U T V
Postup konstrukce 2:
1. UTť, 1^1 = 1 = 1
2. k; k(Ti,tt = 4,5cm)
3. /; l(U;v)
4. T;T = knl
5. V; 5(Ti): í/ ^ F
6. ATUV Konstrukce 2:
U TV
Diskuse: Počet řešení závisí na existenci trojúhelníka TUT\. Z trojúhelníkové nerovnosti tedy plynou vztahy pro délku strany v:
2,5 + 4,5 > v v + 2,5> 4,5 4,5 + v > 2,5
68
Pro v G (2,7) cm má úloha jedno řešení (druhé řešení je shodné a leží v opačné polorovině). Jinak trojúhelník TUV neexistuje.
Příklad 54
Zadání: m = 5 cm, tk = 6 cm, t\.
Rozbor: Nejprve zkonstruujeme trojúhelník KLT. Těžiště dělí těžnici v poměru 2 : 1, proto uvažujeme stejnolehlost s koeficientem \ a středem T, ve které se zobrazí body K —>• Ki a L —> Li. Bod M leží v průniku polopřímek LK\ a KL\.
Postup konstrukce:
1. KL\ \KL\ = m = 5 cm
2. g; g{K;r = \tk = 4 cm)
3. /i; h(L; r = |ŕ;)
4. T;T = gnh
5. /Ti; ft(T,±): K Ki
6. Li; H(T,i): L Lx
7. M; M =h-> KLľn H> Lifi
8. AÄXM
Konstrukce:
K L
69
Diskuse: Počet řešení závisí na existenci trojúhelníku KLT. Z trojúhelníkové nerovnosti vyplývají vztahy pro t\.
4 + -ti > 5 3 '
|íz + 5 > 4 2
4 + 5 > -tt
Pro ti G (|, y) cm má úloha jedno řešení (druhé řešení je shodné a leží v opačné polorovině) . Jinak úloha nemá žádná řešení.
Příklad 55
Zadání: ta = 6 cm, íj, = 3 cm, c.
C
Rozbor: Nejprve zkonstruujeme trojúhelník ABT. Těžiště dělí těžnici v poměru 2:1, proto uvažujeme stejnolehlost s koeficientem | a středem T, ve které se zobrazí body A —> Ai a 5 —> B\. Bod C leží v průniku polopřímek ABi a BA\.
Postup konstrukce:
1. AB; |AB| = c
2. /c; fc(A;r = |ŕa = 4 cm)
3. I; l(B;r = \tb = 2cm)
4. T;T = kC\l
5. A; tt(T,|): A -> Ai
6. Bľ, U(T,\): B^BX
7. C; C =i-)- ABiH ^ 5 A
8. A ABC
70
Diskuse: Počet řešení závisí na existenci trojúhelníku ABT. Z trojúhelníkové nerovnosti vyplývají vztahy pro c.
4 + 2 > c c + 2 > 4 c + 4 > 2
Pro c G (2, 6) cm má úloha jedno řešení (druhé řešení je shodné a leží v opačné polorovině). Jinak úloha nemá žádná řešení.
Příklad 56
Zadáni: tz = 4 cm, tx = 6 cm, vz.
Z
	L	
		
		
X\       z, z. Y
Rozbor: Uvažujeme trojúhelník ZiZqZ, kde velikost |-ZiZ| = íz, |^o^| = vz a úhel Z\Z$Z je pravý. Najdeme bod T, protože víme, že těžiště dělí těžnici v poměru 2:1. Bod X získáme jako průsečík kružnice m(T; ^tx) s přímkou ZqZ±. Bod Y pak leží na polopřímce ZXi, kde Xi je homotetickým obrazem bodu X v homotetii 7í(T, |), s přímkou ZqZi.
Postup konstrukce:
1. AZqZiZ; podle Ssw: |ZiZ| = tz = 4cm, |ZoZ| = wz a \<íZ\ZqZ\ = 90°
2. T; 2|TZi| = |TZ| A T G ZiZ
3. m; m(T;r = %tx = 4 cm)
71
4. X; X = mfl O Z0Zi
5. Xi; ft(T,±): Z 4 Zl
6. F; F =4 ZXiD o Z0Z:
7. AlľZ Konstrukce:
Diskuse: Počet řešení závisí na počtu průsečíků kružnice m a přímky Z\Zq. Je-li vz < < 4 cm, má úloha 2 řešení, je-li vz = 4 cm, má úloha 1 řešení, pro vz > 4 cm úloha nemá
řešení.
Příklad 57
Zadání: m = 7 cm, k = 30°, vk.
K L
Rozbor: Umístíme úsečku KL. Pro konstrukci bodu M nejprve zkonstruujeme bod K0 - patu výšky vk. Bod K0 leží na Thaletově kružnici nad K L a ve vzdálenosti vk od bodu K. Bod M je pak průsečíkem přímky LKq a ramene úhlu LKM.
Postup konstrukce:
1. JÍL; |-říl/| = m = 7cm
2. rXL
3. d; d(K;vk)
72
4. K0; K0 = dnrKL
5. <LKX; \<LKX\ = k = 30
6. M; M =i->- KXf] O Li^o
7. KLM Konstrukce:
Diskuse: Počet řešení závisí na průniku kružnic d a tkl- Zřejmě pro vy. = 7 cm existuje jediné řešení AKLM (v opačné polorovině leží shodné řešení). Pro v\. > 7cm bod K0 neexistuje, a tedy úloha nemá řešení. Pro < 7cm existují dva body K0, které při vynesení úhlu LKM v jedné polorovině dají dvě různá řešení (symetrická řešení vzniknou vynesením úhlu do opačné poloroviny).
Příklad 58
Zadáni: v = 5 cm, t = 6 cm, vt.
Rozbor: Trojúhelník TUV vepíšeme do pásu rovnoběžek. Nejprve umístíme úsečku UV, sestrojíme rovnoběžku q ve vzdálenosti vt od UV. Bod T leží na sestrojené přímce g a na kružnici k se středem v bodě U a poloměrem v.
Rozbor 2: Nejprve umístíme úsečku TU, nad ní sestrojíme Thaletovu kružnici a ve vzdálenosti vt od bodu T leží na Thaletově kružnici bod T0. Dále sestrojíme přímku p, která je kolmá na TT0 a prochází bodem T0. Bod V leží na přímce p ve vzdálenosti t od vrcholu U.
Postup konstrukce 1: 1. UV; \UV\ = t = 6cm
73
2. g; g \\ UV A |g; UV\ = vt
3. k; k (U; v = 5 cm)
4. T;T = qnk
5. ATUV
Konstrukce 1:
k
U V
Postup konstrukce 2:
1. Tř7; |Tř7| = w = 5 cm
2. TTt/
3. /; /(T; vt)
4. T0; T0 = / H rTI/
5. p; T0 G p A p _L TT0
6. m; m(ř7; í = 6 cm)
7. V"; V = m H p
8. ATUV Konstrukce 2:
Diskuse: Počet řešení je v prvním případě závislý na průniku kružnice k a přímky q. V druhém případě počet řešení závisí na průniku kružnic / a ttu- Je-li vt = 5 cm, má
74
úloha jedno řešení, je-li vt < 5 cm, má úloha dvě řešení, a pro vt > 5 cm úloha žádné řešení nemá.
Příklad 59
Zadáni: c = 4 cm, vc = 3 cm, tc.
LCc,,>Q
t
A
Rozbor: Trojúhelník ABC vepíšeme do pásu rovnoběžek širového vc. Nejprve umístíme úsečku AB, sestrojíme její střed C\ a ve vzdálenosti vc sestrojíme rovnoběžnou přímku p. Sestrojíme kružnici k se středem v bodě C\ a poloměrem tc. V průniku kružnice k a přímky p leží vrchol C.
Postup konstrukce:
1. AB] \AB\ = c = 4cm
2. p; p || AB A \p; AB\ =vc = 3cm
3. Ci; Ci G      A \AC±\ = \dB\
4. k- fc(Ci;íc)
5. C; C G fc n p
6.
Diskuse: Počet řešení závisí na průniku kružnice a přímky p, tedy pro tc > 3 cm má úloha dvě řešení, pro íc = 3 cm jedno řešení a pro tc < 3 cm žádné řešení.
k
75
Příklad 60
Zadáni: Vk = 3 cm, tk = 3,5 cm, m.
/L
Rozbor: Sestrojíme trojúhelník KKiKq podle Ssu. V prodloužení strany K0Ki pak ve vzdálenosti m od bodu K leží bod L. Dále uvažujeme středovou symetrii S(Ki): L —> M.
Rozbor 2: Nejprve umístíme výšku KK0. Sestrojíme přímku p kolmou na KK0 procházející bodem Kq, na ní najdeme body L a K\. L ve vzdálenosti m a K\ ve vzdálenosti tk od bodu K. Uvažujeme středovou symetrii se středem v bodě Ki, ve které přejde bod L
do bodu M.
Postup konstrukce 1:
1. AKKXK^ podle Ssu: \KKX\ = tk = 3,5cm, \KK0\ = vk = 3cm, ^KKqK^ = 90'
2. d; d(K; m)
3. L; L = dn^ KqKx
4. M; L -> M
5. AKLM Konstrukce 1:
M
K
d
L
Postup konstrukce 2:
76
1. KKq] \KKq\ =-Ufc3cm
2. p; K0EpAp± KK0
3. g; g(K;tc = 3,5cm)
4. K1;K1=pľ\g
5. h; h(K] m)
6. L; L = pHh
7. M; Si^K-y) : L^M
8. AKLM Konstrukce 2:
Diskuse: Podle počtu bodů v průniku přímky KqK\ a kružnice d má úloha 0, 1 nebo 2 řešení. Druhý postup dá až čtyři řešení (závisející na p H g a p fl h), která jsou však po dvou osově symetrická (s osou KK0).
Příklad 61
Zadáni: t = 8 cm, r = 120°, vt.
Rozbor: Nejprve umístíme úsečku RS. Bod T leží ve vzdálenosti vt od této úsečky, tedy na rovnoběžce v dané vzdálenosti, a na ekvigonále 120° nad RS.
Postup konstrukce: 1. RS; \RS\ = t = 8 cm
77
2. e; e(RS;r= 120°)
3. p; p || RS A \p; RS\ = vt
4. T;T = pf]£
5. ARST
Konstrukce:
o
T      — T'
p
R
S
Diskuse: Počet řešení je 0, 1, 2 podle počtu bodů v průniku ekvigonály e s přímkou p.
Zadání: vz = 1,5 cm, uj = 120°, z.
Rozbor: Nejprve umístíme úsečku XY. Bod Z leží ve vzdálenosti vz od této úsečky, tedy na rovnoběžce v dané vzdálenosti, a na ekvigonále 120° nad XZ.
Postup konstrukce:
1. XY; \XY\ = z
2. e; e(XY;cu = 120°)
3. p; p || XY A |p; XY\ = vz = 1,5 cm
4. Z; Z =pHe
5. AXYZ
Příklad 62
78
Konstrukce:
o
e
P
X
Y
S
Diskuse: Počet řešení je 0, 1, 2 podle počtu bodů v průniku ekvigonály e s přímkou p.
Rozbor: Umístíme výšku TTq, dále sestrojíme kolmici p procházenící bodem To. Body R a S leží na ekvigonálách po řadě £6o°>£45° (dále značeno 61,62)- (Vždy uvažujeme ekvigonály v opačných polorovinách.)
Rozbor 2: Uvažujeme podobný trojúhelník RS'T' podle uu. Poté uvažujeme stejnolehlost s kladným koeficientem a středem v bodě R, ve které ARS'T' —> ARST.
Postup konstrukce 1:
1. TT0; \TT0\ =vt
2. p; T0 G p A p _L vt
3. 61, 6X = (TT0;g = 60°)
4. e2;62 = (TT0;a = 45o)
5. R; R = 6X n p
6. S; S = 62 H p
7. ARST
Příklad 63
Zadáni: g = 60°, a = 45°, vt.
79
Konstrukce 1:
Postup konstrukce 2:
1. ARS'T'; podle věty usu: \RS'\ = lib.,\<T'RS'\ = g = 60°,\<RS'T'
2. g; g || RS' A IgjflS"! = vt
3. T;T = qn^ RT
4. r, T G r A r || T'S"
5. 5; 5 = rn ^ AS"
6. ARST Konstrukce 2:
80
R S Rozbor: Úloha má jedno řešení pro každé vt > 0.
Příklad 64
Zadání: vc = 4cm, a = 60°, (3.
Rozbor: Umístíme výšku CCq, dále sestrojíme kolmici q procházející bodem Cq. Body A a B leží na ekvigonálách po řadě e6o°, £p (dále značeno 61,62). (Vždy uvažujeme ekvigonály v opačných polorovinách.)
Rozbor 2: Uvažujeme podobný trojúhelník AB'C podle uu. Poté uvažujeme stejnolehlost s kladným koeficientem a středem v bodě A, ve které AAB'C —> AABC.
Postup konstrukce 1:
1. CC0; \CCQ\ =t)c = 4cm
2. q; Cq e q a q -L CC0
3. ei; £1 = (CC0;a = 60°)
4. £2; e2 = (TT0;/3)
5. A; A = £1 n g
6. B; B = e2nq
7. AABC
8i
Konstrukce 1:
Postup konstrukce 2:
1. AAB'C; podle věty usu: \AB'\ = lib.,\<B'AC'\ = a = 60°, \<AB'C'\ = (3
2. p; p || AB' A \p; AB'\ = vc = 4cm
3. C; C = pH 4 AC"
4. r, C G r A r || 5'C"
5. 5; B =rH4
6.
Konstrukce 2:
Diskuse: Úloha má jedno řešení pro (3 < 90°, jinak řešení nemá.
82
Příklad 65
Zadáni: z = 7 cm, vz = 2 cm, r.
I V-6,*) \
	
—iľ___r—"	
	
	' k yr
Rozbor: Umístíme úsečku XF. Střed kružnice opsané trojúhelníku leží v průsečíku os stran, a tedy střed kružnice opsané trojúhelníku XYZ leží na ose úsečky XY ve vzdálenosti r, např. od bodu X. Bod Z leží ve vzdálenosti vz od úsečky XY a na kružnici opsané trojúhleníku l(S;r).
Postup konstrukce:
1. Xľ; = ^ = 7cm
2. o; o je osa úsečky XF
3. p; p || Xľ A \p; XY\ =vz = 2cm
4. k; k(X;r)
5. 5; S = pn/
6. /; l(S;r)
7. Z; Z = píl k
8. AXľZ Konstrukce:
83
x
Y
Diskuse: Počet řešení závisí 1. na existenci bodu S, 2. na průniku / H p. Z první podmínky vyplývá, že r > 3,5 cm, a za tohoto předpokladu má úloha 1 nebo 2 řešení.
Příklad 66
Zadáni: c = 7 cm, r = 4 cm, v,
t
Rozbor: Umístíme výšku AAq a sestrojíme kolmici p v bodě Aq. Bod B leží ve vzdálenosti c od bodu A a na kolmici p. Dále sestrojíme kružnici opsanou trojúhelníku ABC, jejíž střed leží na ose úsečky AB a ve vzdálenosti r od B. Bod C leží na kružnici m(S; r) a na přímce BA0.
Uvažujme trojúhelník ABS podle sss. Pro sestrojení bodu C potřebujeme sestrojit nejprve bod Aq, který je ve vzdálenosti va od bodu A a na Thaletově kružnici nad AB. Bod C leží v průsečíku kružnice h(S; r) a přímky AqB.
Postup konstrukce 1:
1. AA0; \AAq\ = va
2. p; A0 e p A p _L AA0
3. A;; A;(A, c = 7cm)
84
4. B; B = k (~)p
5. o; o je osa úsečky AB
6. 1; l(A;r = 4cm)
7. 5; S = l H o
8. m; 771(5; r = 4 cm)
9. C; C = míl o A05 10. AABC
Konstrukce 1:
Postup konstrukce 2:
1. AABS; podle sss: \AB\ = c = 7cm, |A5| = \BS\ = r = 4 cm
2. Tab
3- ^(-A;ua)
4. A0; A0 = d n tab
5. fo; /z.(5; r = 4 cm)
6. C; C = hn ^ 5A0
7. AABC Konstrukce 2:
85
Diskuse: Podle počtu průsečíků přímky p a kružnice k dostáváme vztahy pro výšku va:
va = c = 7 cm =>- Aq = B ... 1 řešení va > 7 cm =^ bod B neexistuje... 0 řešení va < 7 cm =^ B, B'... 2 řešení
Podle počtu průsečíků g a       existuje 0, 1, 2 bodů A0, které nám dají 0, 1, 2 řešení.
Příklad 67
Zadáni: fi = 45°, r = 4 cm, Vk-
Rozbor: S využitím středových a obvodových úhlů určíme velikost úhlu \<KSL\ = 2 • • 45° = 90°. Sestrojíme tedy trojúhelník KSL podle sus. Bod M leží na kružnici k(S; r) a na přímce LK0, kde K0 je na Thaletově kružnici nad KL a ve vzdálenosti Vk od bodu K.
Postup konstrukce:
1. AKLS
2. rXL
3. l;l(K;vk)
4. /c; A;(S'; r = 4 cm)
5. K0; K0 = l n rXL
6. M; M = LK0 n jfc
86
7. AKLM Konstrukce:
Diskuse: Z Pythagorovy věty vyplývá, že strana m má délku 4^2 cm. Proto je-li Vk > cm, má úloha jedno řešení, jinak úloha řešení nemá (v závislosti na počtu průsečíků tkl a   které vygenerují řešení v příslušném oblouku KĽ). Ve stejných hodnotách se pak mění řešitelnost i u druhého postupu.
87